1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年全国新高考高考数学大联考试卷（年全国新高考高考数学大联考试卷（2 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，Bx|x23x0，则 AB（ ） A （0，+） B （2，3） C （0，3） D （2，+） 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+2i） （2+i） （i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A2 B4 C5 D5 3 （5 分
2、）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 为 BC 的中点，则四面体 AEDC1的体积 为（ ） A4 B8 3 C4 3 D2 4 （5 分）已知等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216，则 a5+a7（ ） A2 B4 C8 D16 5 （5 分）已知直线 l：x+y30 交圆 x2+y2+4x2y40 于 A、B 两点，则|AB|（ ） A2 B1 C22 D17 6 （5 分）a，b 都为正数，则“ab1 4”是“ 1 + 1 4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）公元 960 年，北宋的建
3、立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、手工业、商 业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情 况下得到广泛应用1084 年秘书省第一次印刷出版了算经十书 ，为数学的发展创造了 良好的条件 11 至 14 世纪出现了一批著名的数学家和数学著作， 如秦九韶的 数书九章 ， 李冶的测圆海镜 ，杨辉的详解九章算法 ， 日用算法和杨辉算法 ，现从三位 数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至 少有一部不是杨辉著作的概率为（ ） A3 5 B 7 10 C4 5 D 9 10 8 （5 分）已知函数 f（x）2x1，令 a= (2 1
4、2) 2 1 2 ，b(5 1 5) 5 1 5 ，c(32) 32 ，则 a，b，c 的 大小关系是（ ） 第 2 页（共 20 页） Aabc Bcba Ccab Dbac 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）已知抛物线 C：y212x 的焦点为 F，直线 l 过 F 交抛物线于 A、B 两点，交抛物 线的准线
5、于点 P， （点 A 在 P、F 之间） ，若 = 3 ，O 为坐标原点，则（ ） A点 A 的坐标为（1，23） B|BF|12 C直线 l 的方程为 y3 （x3） D|AO|13 10 （5 分）将函数 f（x）sin（x+ 6） （N *）的图象向右平移 6个单位后得到函数 yg （x） 的图象， 若 f （x） 的所有对称中心与 g （x） 的所有对称中心重合， 则 可以为 （ ） A3 B6 C9 D12 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x） ，满足 f（x+2）f（2x） ，f（x）为 f（x）的导 函数，且对于任意的 xR，都有（x2）f（x）0，则（ ） Af（
6、0）f（4） Bf（1）f（5） CxR，f（x）f（2） DxR，f（x）f（2） 12 （5 分）如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合， 圆锥的顶点为 P，圆柱的上、下底面的圆心分别为 O1，O2，若该几何体有半径为 1 的外 接球，且球心为 O，则（ ） A如果 PO1O1O2，则 O 与 O1重合 BO1O2+2PO12 第 3 页（共 20 页） C如果 PO1：O1O21：3，则圆柱的体积为96 125 D如果圆锥的体积为圆柱体积的1 6，则圆锥的体积为 8 三、填空题：本大题有三、填空题：本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分
7、。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。 13 （5 分）已知向量 =（1，2） ，向量 与向量 共线，且 =15，则| | 14 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，点 M 为双曲 线的左支上一点，满足|MF1|2|F1F2|，且 cosMF1F2 5 16，则该双曲线的离心率 e 15 （5 分）写出一个最小正周期为 2 的偶函数 f（x） 16 （5 分）已知函数 f（x） 2 + 4 + 1， 0 |2|，0 ，则函数 yf（f（x） ）1 的零点个数 为 四、解答题：本大题有四、解答题：本大题有 6 小题，共小题，共 70 分
8、分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b4， （ac）sinA（b c） （sinB+sinC） （1）求角 B； （2）求ABC 周长的最大值 18 （12 分）已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，an0，2a2+a3a4，S54a4 1 （1）求 an； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，设点 Qk（k，bk） （k1，2，3，） ，直线 QkQk+1的斜 率为 2k，且 b11，求数列bn的通项公式 19（12分） 如图在三棱柱ABCA1B1C1中， 侧
9、面ABB1A1是边长为2的菱形， ABB1120， 平面 AA1B1B平面 ABC，M、N 分别为 AB、BB1的中点，ACBC2 （1）证明：BC1平面 A1CM； （2）求二面角 MACN 的余弦值 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次 消防安全知识测试并从中随机抽取了参加测试的 1000 人的成绩（满分：100 分） ，经统 计得到如图频率分布直方图： （1） （）求 m； （）由直方图可知，此次测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121） ，请用正态分布 知识求 P（54X87） ； （2）在（1）的条
10、件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖 励方案： 测试成绩低于 65 的居民获得 1 次随机红包奖励，成绩不低于 65 的居民获得 2 次随机红 包奖励每次随机红包钱数（单位：元）对应的概率如表： 随机红包 30 50 概率 4 5 1 5 该小区王大爷参加此次测试，记 为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元） ，求 的分 布列及数学期望 参考数据：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6827；P（2X+2 ）0.9545；P（3X+3）0.9974 第 5 页（共 20 页） 21 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的焦距为 42，且过点（6，2）
11、设点 P 为 圆 O：x2+y23 上任意一点，过点 P 作圆的切线交椭圆 C 于点 E、F （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）e x（1 3x 32x+2sinx+1） ，g（x）sinx+cosx+x22x （1）求 g（x）在点（0，g（0） ）处的切线方程； （2）证明：对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立 第 6 页（共 20 页） 2021 年全国新高考高考数学大联考试卷（年全国新高考高考数学大联考试卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一
12、、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|x2，Bx|x23x0，则 AB（ ） A （0，+） B （2，3） C （0，3） D （2，+） 【解答】解：Ax|x2，Bx|0 x3， AB（0，+） 故选：A 2 （5 分）已知复数 z 满足 z（1+2i） （2+i） （i 为虚数单位） ，则|z|（ ） A2 B4 C5 D5 【解答】解：z（1+2i） （2+i） 5i， 则|z|5 故选：C
13、 3 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，E 为 BC 的中点，则四面体 AEDC1的体积 为（ ） A4 B8 3 C4 3 D2 【解答】解：由题意，四面体 AEDC1的底面积为：1 2 2 2 =2，高为 2， 所以则四面体 AEDC1的体积为：1 3 2 2 = 4 3 故选：C 4 （5 分）已知等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216，则 a5+a7（ ） A2 B4 C8 D16 第 7 页（共 20 页） 【解答】解：等比数列an的各项均为负数，若 a2a8+2a3a9+a7216， 则 a52+2a5a7+a7216， 则（a5+a
14、7）216， 解得 a5+a74， 故选：B 5 （5 分）已知直线 l：x+y30 交圆 x2+y2+4x2y40 于 A、B 两点，则|AB|（ ） A2 B1 C22 D17 【解答】解：根据题意，圆 x2+y2+4x2y40，即（x+2）2+（y1）29，其圆心为 （2，1） ，半径 r3， 圆心到直线 l 的距离 d= |(2)+13| 1+1 =22， 则弦长|AB|2 9 8 =2， 故选：A 6 （5 分）a，b 都为正数，则“ab1 4”是“ 1 + 1 4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：当 ab 1 4时，取
15、a9，b= 1 9，则 ab1 1 4， 1 + 1 = 1 9 +94，故 ab1 4”推不出“ 1 + 1 4” ，不是充分条件， 当1 + 1 4 时，已知基本不等式 2 1 : 1 ， 则 2 1 + 1 ，当且仅当 ab 时“”成立， 又1 + 1 4， 2 4，则 ab 1 4， 于是“1 + 1 4”可以推出“ab1 4” ， 故 a，b 都为正数，则“ab1 4”是“ 1 + 1 4”的必要不充分条件， 故选：B 7 （5 分）公元 960 年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面北宋的农业、手工业、商 业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情
16、 况下得到广泛应用1084 年秘书省第一次印刷出版了算经十书 ，为数学的发展创造了 良好的条件 11 至 14 世纪出现了一批著名的数学家和数学著作， 如秦九韶的 数书九章 ， 第 8 页（共 20 页） 李冶的测圆海镜 ，杨辉的详解九章算法 ， 日用算法和杨辉算法 ，现从三位 数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选的两部中至 少有一部不是杨辉著作的概率为（ ） A3 5 B 7 10 C4 5 D 9 10 【解答】解：由题设可得：从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣 拓展参考书目，共有 C 5 2 =10 种选法，其中所选的两部中至少有一部不是杨
17、辉著作的选 法有 C 2 2 +C 3 1C 2 1 =7 种， 所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为 7 10， 故选：B 8 （5 分）已知函数 f（x）2x1，令 a= (2 1 2) 2 1 2 ，b(5 1 5) 5 1 5 ，c(32) 32 ，则 a，b，c 的 大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbac 【解答】解：令 g（x）= () = 21 ，x0， 则 g（x）= 222+1 2 ， 令 h（x）x2xln22x+1，x0， h（x）ln2（x2xln2+2x）2xln22xln22x0 恒成立， h（x）在（0，+）上单调递增， h（x）h（0）0
18、， g（x）在（0，+）上单调的递增， （2 1 2）102532， （5 1 5）1025， 2 1 25 1 51， 又 0log321， 2 1 25 1 5log32， g（2 1 2）g（5 1 5）g（log32） ， (2 1 2) 2 1 2 (5 1 5) 5 1 5 (32) 32 ， 第 9 页（共 20 页） abc， 故选：B 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有
19、选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）已知抛物线 C：y212x 的焦点为 F，直线 l 过 F 交抛物线于 A、B 两点，交抛物 线的准线于点 P， （点 A 在 P、F 之间） ，若 = 3 ，O 为坐标原点，则（ ） A点 A 的坐标为（1，23） B|BF|12 C直线 l 的方程为 y3 （x3） D|AO|13 【解答】解：由题意可知 F（3，0） ，准线方程为 x3， 设 P（3，yP） ，A（xA，yA） ， = 3 ， （6，yP）3（3xA，yA） ， 93xA6， xA1，yA23，故选项 A 不正确； 直线 l 的斜率 k= = 2
20、30 13 = 3， l 的方程为：y= 3（x3） ，C 正确； |OA|= 2 + 2 = 1 + 12 = 13，D 正确 联立 = 3( 3) 2= 12 ，得 x210 x+90， xAxB9，xA1， xB9， |BF|= + 2 =9+312，B 正确； 故选：BCD 10 （5 分）将函数 f（x）sin（x+ 6） （N *）的图象向右平移 6个单位后得到函数 yg （x） 的图象， 若 f （x） 的所有对称中心与 g （x） 的所有对称中心重合， 则 可以为 （ ） A3 B6 C9 D12 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：将函数 f（x）sin（x+ 6） （
21、N *）的图象向右平移 6个单位后得到函数 yg（x）sin（x 6 + 6）的图象， 若 f（x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合， 故 f（x）的图象和 g（x）的图象相差半个周期的整数倍，即 g（x）f（x） ， 6 =k1 2 2 =k ，即 6k，kZ， 则 可等于 6，12， 故选：BD 11 （5 分）已知定义在 R 上的函数 f（x） ，满足 f（x+2）f（2x） ，f（x）为 f（x）的导 函数，且对于任意的 xR，都有（x2）f（x）0，则（ ） Af（0）f（4） Bf（1）f（5） CxR，f（x）f（2） DxR，f（x）f（2） 【解答】解：f（x+2
22、）f（2x） ， 当 x2 时，f（0）f（4） ，故 A 正确； 当 x3 时，f（1）f（5） ，故 B 错误； 由 f（x+2）f（2x）知，yf（x）的图象关于直线 x2 对称， 又（x2）f（x）0， 当 x2 时，f（x）0，即 yf（x）在区间（2，+）上单调递减， 当 x2 时，f（x）0，yf（x）在区间（，2）上单调递增， xR，f（x）f（2） ，故 C 正确，D 错误； 综上所述，AC 正确， 故选：AC 12 （5 分）如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合， 圆锥的顶点为 P，圆柱的上、下底面的圆心分别为 O1，O2，若该几何体有半径为
23、1 的外 接球，且球心为 O，则（ ） 第 11 页（共 20 页） A如果 PO1O1O2，则 O 与 O1重合 BO1O2+2PO12 C如果 PO1：O1O21：3，则圆柱的体积为96 125 D如果圆锥的体积为圆柱体积的1 6，则圆锥的体积为 8 【解答】解：由 O 为外接球的球心得 POAOCODO， 选项 A，若 O 与 O1重合，则 POOO2，所以 OCODOO2OP 与题设矛盾，故 A 不 正确； 选项 B，由于 BODO，则 O 为 O1O2中点，如图所示， 因为 POPO1+O1OR1，OO2OO1，所以 PO1+OO21， 所以 PO1+O1O+PO1+OO2O1O2+
24、2PO12，故 B 正确； 选项 C，由 PO1：O1O21：3，O1O2+2PO12，可得 PO1= 2 5，O1O2= 6 5， 所以 OO1= 1 2O1O2= 3 5，又有 OB1，则 O1B= 4 5， 所以 VO1B2O1O2(4 5) 2 6 5 =96 125，故 C 正确； 第 12 页（共 20 页） 选项 D， 锥体 柱体 = 1 31 21 1212 = 1 6，则 PO1= 1 2O1O2， 又 O1O2+2PO12，所以 PO1= 1 2，O1O21，则 OO1= 1 2， 所以 O1B21 1 4 = 3 4， 所以 V锥= 1 3O1B 2PO1=1 3 3 4
25、 1 2 = 8，故 D 正确 故选：BCD 三、填空题：本大题有三、填空题：本大题有 4 小题，每小题小题，每小题 5 分共分共 20 分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。 13 （5 分）已知向量 =（1，2） ，向量 与向量 共线，且 =15，则| | 35 【解答】解：因为向量 =（1，2） ，向量 与向量 共线， 所以设 = =（，2） ， 又 =15， 所以 +415，所以 3， 所以 =（3，6） ， 所以| |= 32+ 62=35 故答案为：35 14 （5 分）已知 F1，F2是双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左、右焦点，点 M 为双曲 线的左支
26、上一点，满足|MF1|2|F1F2|，且 cosMF1F2 5 16，则该双曲线的离心率 e 2 【解答】解：由已知可设|F1F2|2c， 又点 M 为双曲线的左支上一点，满足|MF1|2|F1F2|，则|MF2|MF1|2a， 且|MF1|4c，所以|MF2|2a+4c， 在三角形 MF1F2中，由余弦定理可得：cosMF1F2= |1|2+|12|2|2|2 2|1|12| = 162+42(2+4)2 242 = 5 16，整理可得 9c 216ac4a20， 即 9e216e40，解得 e2 或 2 9（舍去） ， 所以双曲线的离心率为 2， 第 13 页（共 20 页） 故答案为：2
27、 15 （5 分）写出一个最小正周期为 2 的偶函数 f（x） cos（x） （答案不唯一） 【解答】解：根据题意，要求函数是最小正周期为 2 的偶函数， 可以联想余弦函数， 则 f（x）cos（x） ， 故答案为：cos（x） （答案不唯一） 16 （5 分）已知函数 f（x） 2 + 4 + 1， 0 |2|，0 ，则函数 yf（f（x） ）1 的零点个数 为 10 【解答】解：函数 f（x） 2 + 4 + 1， 0 |2|，0 的图象如下图所示： 若 f（x）1，当 x0 时，x2+4x+11x0 或 x4， 当 x0 时，|log2x|1x2 或 x= 1 2， 结合图象分析： yf
28、f（x）10， 则 ff（x）1， 即 f（x）0 或 f（x）4 或 f（x）2 或 f（x）= 1 2； 对于 f（x）0，存在 3 个零点； 对于 f（x）2，存在 3 个零点； 对于 f（x）= 1 2，存在 4 个零点； 对于 f（x）4，不存在零点， 综上所述，函数 yff（x）1 的零点个数为 10 个， 故答案为：10 第 14 页（共 20 页） 四、解答题：本大题有四、解答题：本大题有 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b4
29、， （ac）sinA（b c） （sinB+sinC） （1）求角 B； （2）求ABC 周长的最大值 【解答】解： （1）由正弦定理知， = = ， （ac）sinA（bc） （sinB+sinC） ， （ac）a（bc） （b+c） ，整理得 a2+c2b2ac， 由余弦定理知，cosB= 2+22 2 = 2 = 1 2， B（0，） ，B= 3 （2）由（1）知，B= 3， A+C= 2 3 ， 由正弦定理知， = = = 4 3 = 8 3 ， a= 8 3sinA，c= 8 3sinC， a+c= 8 3（sinA+sinC）= 8 3sinA+sin（ 2 3 A）= 8 3（s
30、inA+ 3 2 cosA+ 1 2sinA） = 8 3（ 3 2sinA+ 3 2 cosA）= 8 3 3sin（A+ 6）8sin（A+ 6） ， A（0，2 3 ） ，A+ 6（ 6， 5 6 ） ， 当 A+ 6 = 2，即 A= 3时，a+c 取得最大值，为 8， a+b+c8+412， 故ABC 周长的最大值为 12 18 （12 分）已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，an0，2a2+a3a4，S54a4 1 （1）求 an； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，设点 Qk（k，bk） （k1，2，3，） ，直线 QkQk+1的斜 率为 2k，且 b11，求数
31、列bn的通项公式 【解答】解： （1）等比数列an中，an0，2a2+a3a4， 第 15 页（共 20 页） 所以22+ 2 = 22， 则 q2q20， 由 an0 得，q0， 故 q2 或 q1（舍） ， 因为 S54a41， 所以1(1;2 5) 1;2 =4a1231， 解得，a11， 故 an2n 1； （2）由题意得，+1; :1; =2k，即 bk+1bk2k， 所以 b2b12， b3b222， bnbn12n 1， 累加得，bnb12+22+2n 1=2(121) 12 =2n2， 故 bn2n1 19（12分） 如图在三棱柱ABCA1B1C1中， 侧面ABB1A1是边长为
32、2的菱形， ABB1120， 平面 AA1B1B平面 ABC，M、N 分别为 AB、BB1的中点，ACBC2 （1）证明：BC1平面 A1CM； （2）求二面角 MACN 的余弦值 【解答】 （1）证明：取 A1B1中点 D，连接 DC1、DB， 1 1 = 四边形 A1DBM 为平行四边形，所以 A1MDB， 因为 DMB1B，DMB1B，又 B1BC1C，B1BC1C，所以 DMC1C，DMC1C， 第 16 页（共 20 页） 所以四边形 DMCC1为平行四边形，所以 DC1MC， A1MMCM，BDDC1D，所以平面 BC1D平面 A1CM， 又因为 BC1平面 BC1D，所以 BC1
33、平面 A1CM； （2）解：因为侧面 ABB1A1是边长为 2 的菱形，ABB1120，所以A1AB 为正三角 形， 所以 A1MAB，又因为平面 AA1B1B平面 ABC， 所以 A1M平面 ABC，所以 A1MMC， 因为 ACBC2，所以 CMAB，于是 MB、MC、MA1两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： A（1，0，0） ，C（0，1，0） ，B（1，0，0） ，B1（2，0，3） ，N（3 2，0， 3 2 ） =（1，1，0） ， =（5 2，0， 3 2 ） ， 设平面 ACN 的法向量为 =（x，y，z） = + = 0 = 5 2 + 3 2 = 0
34、，令 z5， =（3，3，5） ， 平面 MAC 的法向量为 =（0，0，1） ， 设二面角 MACN 的大小为 ， 由图可知， 为锐角， 所以 cos= | | | |= 5 311 = 531 31 故二面角 MACN 的余弦值为531 31 第 17 页（共 20 页） 20 （12 分）某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次 消防安全知识测试并从中随机抽取了参加测试的 1000 人的成绩（满分：100 分） ，经统 计得到如图频率分布直方图： （1） （）求 m； （）由直方图可知，此次测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121） ，请用正态分布 知
35、识求 P（54X87） ； （2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖 励方案： 测试成绩低于 65 的居民获得 1 次随机红包奖励，成绩不低于 65 的居民获得 2 次随机红 包奖励每次随机红包钱数（单位：元）对应的概率如表： 随机红包 30 50 概率 4 5 1 5 该小区王大爷参加此次测试，记 为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元） ，求 的分 布列及数学期望 参考数据：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6827；P（2X+2 ）0.9545；P（3X+3）0.9974 【解答】解： （1） （）由 10（0.0025+m+0.02+0.025+
36、0.0225+0.01+0.005）1， 解得 m0.015； （）测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121） ， 65，11， 第 18 页（共 20 页） 则 P（54X87）P（X+2）= 1 2P（2X+2）+P（ X+） = 1 2（0.9545+0.6827）0.8186； （2）由题意可知， 的可能取值为：30，50，60，80，100， 由频率分布直方图可知，测试成绩低于 65 的频率为1 2，以频率作为概率， 可得：P（30）= 1 2 4 5 = 2 5，P（50）= 1 2 1 5 = 1 10， P （60） = 1 2 (4 5) 2 = 8 25， P （8
37、0） = 2 1 2 4 5 1 5 = 4 25， P （100） = 1 2 (1 5) 2 = 1 50 的分布列为 30 50 60 80 100 P 2 5 1 10 8 25 4 25 1 50 E= 30 2 5 + 50 1 10 + 60 8 25 + 80 4 25 + 100 1 50 =51 21 （12 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 =1（ab0）的焦距为 42，且过点（6，2）设点 P 为 圆 O：x2+y23 上任意一点，过点 P 作圆的切线交椭圆 C 于点 E、F （1）求椭圆 C 的方程； （2）试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明
38、理由 【解答】解： （1）由题可得 2 = 42 6 2 + 2 2 = 1 2= 2+ 2 ，解得 a23，b2 椭圆的方程为 2 12 + 2 4 = 1； （2）当过点 P 且与圆 x2+y23 相切的切线斜率不存在时， 由对称性，不妨设切线方程为 x= 3， 则 P（3，0） ，E（3，3） ，F（3，3） ， = 3 当过点 P 且与圆 x2+y23 相切的切线斜率存在时， 不妨设切线的方程为 ykx+m， 设点 E（x1，y1） ，F（x2，y2） ，P（x0，y0） 第 19 页（共 20 页） 将直线方程与圆的方程联立并整理， 得（1+k2）x2+2kmx+m230， 由直线与
39、圆相切易得 m23（1+k2） ，0= 2+1， 联立直线和椭圆的方程并整理， 得（1+3k2）x2+6kmx+3m2120， 则36k2m24（1+3k2） （3m212）0， 1+ 2= 6 1+32，12 = 3212 1+32 ， =（x1x0，y1y0） （x2x0，y2y0） （x1x0） （x2x0）+（y1y0） （y2y0） （k2+1） （x1x0） （x2x0） （1+k2）x1x2x0（x1+x2）+02 （1+k2）3 2;12 1:32 + 6(; 1+2) 1:32 + ( 1:2) 2 = 923 1+32 = 3 综上可知， 为定值3 22 （12 分）已知函
40、数 f（x）e x（1 3x 32x+2sinx+1） ，g（x）sinx+cosx+x22x （1）求 g（x）在点（0，g（0） ）处的切线方程； （2）证明：对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立 【解答】 （1）解：由题意，g（x）cosxsinx+2x2，则 g（0）1，即 g（x） 在点（0，g（0） ）处的切线斜率为1， 由 g（0）1，可得切线方程为 y1x，即 yx+1 （2）证明：设 h（x）= 1 3x 32x+2sinx+1，则 h（x）x22+2cosx，则 h（x）2x 2sinx， （2x2sin）2+2cosx0， 所以 h（x）2x2sinx
41、 在0，+）上单调递增，h（x）h（0）0， 故 h（x）在0，+）上单调递增，h（x）h（0）0，故 h（x）在0，+）上 单调递增， 所以 h（x）h（0）10，所以 f（x）0 在0，+）上恒成立， 第 20 页（共 20 页） 故 g（x）af（x）g（x）f（x） ， 故只需证 g（x）f（x） ，即证 ex（sinx+cosx+x22x）（1 3x 32x+2sinx+1）0， 设 F（x）ex（sinx+cosx+x22x）（1 3x 32x+2sinx+1） ， 则 F（x）ex（2cosx+x22）（2cosx+x22）（2cosx+x22） （ex1）0， 则 F（x）在0，+）上单调递增，F（x）F（0）0， 故对任意的实数 a1，g（x）af（x）在0，+）上恒成立
