1、 1 2021 年全国新高考八省重点高中高考数学联考试卷（年全国新高考八省重点高中高考数学联考试卷（2 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|x25x140，Bx|5x100，则 AB（ ） Ax|2x7 Bx|2x7 Cx|x7 Dx|x2 2 （5 分）若 iz3+2i（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三
2、象限 D第四象限 3 （5 分）已知 是第四象限的角，cos3 5，则 tan2（ ） A24 7 B24 7 C24 25 D24 25 4 （5 分）一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中常用的二次曲面有球面、椭球面、单 叶双曲面和双曲抛物面比如，中心在原点的椭球面的方程为 2 2 + 2 2 + 2 2 =1（a0， b0，c0） ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图 1） 若某建筑准备采用半椭 球面设计 （如图 2） ， 半椭球面方程为 2 4 + 2 4 +z21 （z0） ， 该建筑设计图纸的比例 （长 度比）为 1：50（单位：m） ，则该建筑的占地面积为（ ） A4000m
3、2 B6000m2 C8000m2 D10000m2 5 （5 分）若（1 3） a（1 3） b1，则下列各式中一定成立的是（ ） Aln（ab）0 B2b a1 C1 1 Dlogcalogcb（c0 且 c1） 2 6 （5 分）已知 ， 是平面向量，满足| |2，| |1，且|3 2 |2，记与 的夹角为 ， 则 cos 的最小值是（ ） A11 16 B7 8 C 15 8 D315 16 7 （5 分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动 中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多 名目，如“贯耳（投入壶耳） ” 每一
4、局投壶，每一位参赛者各有四支箭、投入壶口一次 得 1 分，投入壶耳一次得 2 分现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是 相互独立的） ，甲四支箭已投完，共得 3 分，乙投完 2 支箭，目前只得 1 分，乙投中壶口 的概率为1 3，投中壶耳的概率为 1 5，四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的 概率为（ ） A13 75 B 3 75 C 8 15 D 8 75 8 （5 分）已知定义 R 在上的函数 f（x） ，其导函数为 f（x） ，若 f（x）f（x）2sinx且 当 x0 时，f（x）+cosx0，则不等式 f（x+ 2）f（x）+sinxcosx 的解集为（ ） A
5、（， 2） B （ 2，+） C （， 4） D （ 4，+） 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知直线 yx 与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）无公共点，则双曲线离心率 可能为（ ） A1 B2 C 6 2 D3 3 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A设 x，yR，则“x2+y22”是“x1 且
6、 y1”的必要不充分条件 B 2是“cos0”的充要条件 C “x3”是“|x|3”成立的充分条件 D设 R，则“| 12| 12”是“sin 1 2”的充分而不必要条件 11 （5 分）已知函数 f（x）|12sin2x|，下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 B函数 yf（x）的图象关于直线 x 4对称 C函数 yf（x）在（ 4 ， 5 12）上单调递增 D方程 f（x）1 在，上有 7 个不同的实根 12 （5 分）如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，过对角线 BD1的一个平 面交棱 AA1于点 E， 交棱 CC1于点 F， 得四边形 BFD1E，
7、 在以下结论中， 正确的是 （ ） A四边形 BFD1E 有可能是梯形 B四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 C四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D D四边形 BFD1E 面积的最小值为 6 2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中第分，其中第 16 题有两空，第一空得题有两空，第一空得 3 分，第分，第 2 空得空得 2 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）春节文艺汇演中需要将 A，B，C，D，E，F 六个节目进行排序，若 A，B 两个 节目必须相邻， 且都不能排在 3 号位置， 则不同的排序方式有
8、种 （用数字作答） 14 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Snn2an（nN*） ，则数列an的通项公 式为 4 15 （5 分）若函数 f（x）称为“准奇函数” ，则必存在常数 a，b，使得对定义域内的任意 x 值， 均有 f （x） +f （2ax） 2b， 请写出一个 a2， b2 的 “准奇函数”（填写解析式） ： 16 （5 分）已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C：x22py（p0）于 A，B 两点，O 为坐标 原点，且| + | |，若OAB 的面积的最小值为 64，则： （1）p ； （2）直线 l 过定点，该定点的坐标为 四、解答题：本题共四、解答题：
9、本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知an为等差数列，bn为等比数列，bn的前 n 项和为 Sn，且 a1b11， a2a3b3，a3S3+b2 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnanbn，Tn为数列cn的前 n 项和，求 Tn 5 18 （12 分）在tanB2tanC，3b2a212，bcosC2ccosB 三个条件中任选一个， 补充在下面问题中的横线上，并解决该问题 问题：已知ABC 的内角 A，B，C 及其对边 a，b，c，若 c2，且满足_，求ABC 的面积的
10、最大值 6 19 （12 分）2020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民 法典 ，自 2021 年 1 月 1 日起施行 中华人民共和国民法典被称为“社会生活的百科 全书” ，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经 济的基本法为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习中 华人民共和国民法典知识竞赛，从中随机抽取 100 名学生的成绩（单位：分）统计得 到如表表格： 成绩 性别 0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男 5 14 16 13 4 女 3 11 13 15 6 规
11、定成绩在90，100内的学生获优秀奖 （1）根据以上成绩统计，判断是否有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与 性别有关？ （2）在抽取的 100 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 3 人进行座谈，记 X 为抽 到获优秀奖的女生人数，求 X 的分布列和数学期望 附： P （K2k） 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 K2 ()2 (+)(+)(+)(+) 7 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，APB 2， ABC 3，PB23，PC4，点 M 是 AB 的中点 （1）求证：CM平面 PA
12、B； （2）线段 CD 上是否存在一点 N，使得直线 PN 与平面 PMD 所成角的正弦值为 6 8 ，若 存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 8 21 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率 e1 2，点 P（ 1 2 ， 35 4 ）在 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 E，F 为短轴端点，过点 M（0，1）作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（异于 E，F） ， 直线 AE、BF 交于点 T求证：点 T 恒在一定直线上 9 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+x3+mx+2 （1）若 x 轴为曲线 yf（x）的切线，试求实数 m
13、的值； （2）已知 g（x）f（x）ex，若对任意实数 x，均有 g（ex+1）g（x） ，求 m 的取值 范围 10 2021 年全国新高考八省重点高中高考数学联考试卷（年全国新高考八省重点高中高考数学联考试卷（2 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合 Ax|x25x140，Bx|5x100，则 AB（ ） Ax|2x7 Bx|2x7 Cx|x7 D
14、x|x2 【解答】解：Ax|x25x140 x|2x7， Bx|5x100 x|x2， 则 ABx|x7， 故选：C 2 （5 分）若 iz3+2i（其中 i 为虚数单位） ，则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位 于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：iz3+2i（其中 i 为虚数单位） ， iizi（3+2i） ， z2+3i， 则复数 z 的共轭复数 23i 在复平面内对应的点（2，3）位于第四象限 故选：D 3 （5 分）已知 是第四象限的角，cos3 5，则 tan2（ ） A24 7 B24 7 C24 25 D24 25 【解答】解：因为 是第
15、四象限的角，cos3 5， 所以 sin= 1 2 = 4 5，tan= = 4 3， 则 tan2= 2 12 = 24 7 故选：B 4 （5 分）一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中常用的二次曲面有球面、椭球面、单 叶双曲面和双曲抛物面比如，中心在原点的椭球面的方程为 2 2 + 2 2 + 2 2 =1（a0， b0，c0） ，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图 1） 若某建筑准备采用半椭 11 球面设计 （如图 2） ， 半椭球面方程为 2 4 + 2 4 +z21 （z0） ， 该建筑设计图纸的比例 （长 度比）为 1：50（单位：m） ，则该建筑的占地面积为（ ） A400
16、0m2 B6000m2 C8000m2 D10000m2 【解答】解：令 z0，半椭球面方程为 2 4 + 2 4 =1， 即 x2+y24，这是一个半径为 2m 的圆， 乘上比例尺，即圆的实际半径为 100m 的圆， 则建筑的占地面积为 100210000 平方米 故选：D 5 （5 分）若（1 3） a（1 3） b1，则下列各式中一定成立的是（ ） Aln（ab）0 B2b a1 C1 1 Dlogcalogcb（c0 且 c1） 【解答】解：指数函数 y= (1 3) 是 R 上的减函数，由（1 3） a（1 3） b1， 可知 ab0，所以1 1 ，则 1 1 ，故 C 正确； ab
17、0，但不一定 ab1，故 ln（ab）不一定大于 0，故 A 错误； 函数 y2x为增函数，ba0，则 2b a201，故 B 错误； 当 0c1 时，函数 ylogcx 在（0，+）上单调递减， 所以由 ab 可得 logcalogcb，故 D 错误 故选：C 6 （5 分）已知 ， 是平面向量，满足| |2，| |1，且|3 2 |2，记与 的夹角为 ， 12 则 cos 的最小值是（ ） A11 16 B7 8 C 15 8 D315 16 【解答】解：根据题意，设| |t，则 t0，1， |3 2 |2，则有 9 2 12 +4 29t224tcos+164， 变形可得 cos= 32
18、+4 8 = 3 8 + 1 2， 设 f（x）= 1 2 + 3 8 ，其导数 f（x）= 1 22 + 3 8 = 324 82 ， 在区间0，1上，f（x）0，则 f（x）= 1 2 + 3 8 在区间0，1上递减， 则 t1 时，cos 取得最大值7 8， 故选：B 7 （5 分）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏晋代在广泛开展投壶活动 中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳因此在投壶的花式上就多了许多 名目，如“贯耳（投入壶耳） ” 每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭、投入壶口一次 得 1 分，投入壶耳一次得 2 分现有甲、乙两人进行投壶比赛（两人投中壶口、壶耳是
19、 相互独立的） ，甲四支箭已投完，共得 3 分，乙投完 2 支箭，目前只得 1 分，乙投中壶口 的概率为1 3，投中壶耳的概率为 1 5，四支箭投完，以得分多者赢请问乙赢得这局比赛的 概率为（ ） A13 75 B 3 75 C 8 15 D 8 75 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ，乙的第三支箭投中壶口，第四支箭必须投中壶耳，其概率 P1= 1 3 1 5 = 1 15， ，乙的第三支箭投中壶耳，第四支箭投中壶口、壶耳均可，其概率 P2= 1 5 （1 3 + 1 5） = 8 75， 13 则乙获胜的概率 PP1+P2= 1 15 + 8 75 = 13 75， 故选：A 8
20、 （5 分）已知定义 R 在上的函数 f（x） ，其导函数为 f（x） ，若 f（x）f（x）2sinx且 当 x0 时，f（x）+cosx0，则不等式 f（x+ 2）f（x）+sinxcosx 的解集为（ ） A （， 2） B （ 2，+） C （， 4） D （ 4，+） 【解答】解:令 g(x)f(x)+sinx,则 g(x)f(x)+sin(x)f(x)sinx, 又 f(x)f(x)2sinx,f(x)+sinxf(x)sinx, 故 g(x)g(x),g(x)为定义在 R 上的偶函数； 当 x0 时,g(x)f(x)+cosx0,g(x)在0,+)上单调递增, 又g(x)为偶函数
21、,故 g(x)在(,0上单调递减, 由( + 2) + = ( + 2) + ( + 2)() + 得( + 2)(),| + 2 |,解得 4, 不等式的解集为( 4 ,+) 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知直线 yx 与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）无公共点，则双曲线离心率 可能为（
22、） A1 B2 C 6 2 D3 【解答】解：双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）的一条渐近线方程为 y= x， 因为直线 yx 与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）无公共点， 所以 1， 则 e= =1 + 2 2 2，又 e1， 可得双曲线的离心率的范围是（1，2 故选：BC 14 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A设 x，yR，则“x2+y22”是“x1 且 y1”的必要不充分条件 B 2是“cos0”的充要条件 C “x3”是“|x|3”成立的充分条件 D设 R，则“| 12| 12”是“sin 1 2”的充分而不必要条件 【解答】解：对于 A：当 x1 且 y1
23、 时，x21 且 y21，故 x2+y22 成立， 反之，当 x2+y22 时，xy1 满足条件， 故 x2+y22”是“x1 且 y1”的必要不充分条件，故 A 正确； 对于 B：由 = 2可得 cos0，但由 cos0 不一定得 = 2， 如 = 3 2 也满足 cos0， 故 = 2是 cos0 的充分不必要条件，故 B 错误； 对于 C：当 x3 时，满足 x3，反之，若|x|3，则|x|3 且 x3， 故 x3”是“|x|3”成立的必要不充分条件，故 C 错误； 对于 D：由| 12| 12，解得：0 6，故 sin 1 2， 由 sin 1 2，得 7 6 +2k 6 +2k，kZ
24、，推不出“| 12| 12” ，故 D 正确； 故选：AD 11 （5 分）已知函数 f（x）|12sin2x|，下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 B函数 yf（x）的图象关于直线 x 4对称 C函数 yf（x）在（ 4 ， 5 12）上单调递增 D方程 f（x）1 在，上有 7 个不同的实根 【解答】解：由函数 f（x）|12sin2x|= 1 22，2 1 2 22 1，2 1 2 ， 作出 f（x）在，的图象， 将 y2sin2x 的图象向下平移 1 个单位可得 y2sin2x1 的图象， 将所得图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴上方，如图所示， 可得 f（x）的最小值
25、正周期为 ，故 A 正确； 图象关于直线 x= 4对称，故 B 正确； 15 通过图象可知函数 yf（x）在（ 4 ， 5 12）上单调递减，故 C 错误； 方程 f（x）1 在，上有 7 个不同的实根，故 D 正确 故选：ABD 12 （5 分）如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，过对角线 BD1的一个平 面交棱 AA1于点 E， 交棱 CC1于点 F， 得四边形 BFD1E， 在以下结论中， 正确的是 （ ） A四边形 BFD1E 有可能是梯形 B四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 C四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D D四
26、边形 BFD1E 面积的最小值为 6 2 【解答】解：对于选项 A，过 BD，作平面与正方体 ABCDA1B1C1D1的截面为四边形 BFD1E，如图所示： 因为平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且平面 BFD1E平面 ABB1A1BE， 平面 BFD1E平面 DCC1D1D1F，BED1F 因此同理 D1EBF故四边形 BFD1E 为 平行四边形，因此 A 错误； 16 对于选项 B，四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ABCD，因此 B 正确； 对于选项 C，当点 E、F 分别为 AA1，CC1的中点时，EF平面 BB1D1D，又 EF平面 BFD1E， 则平面
27、平面 BFD1E平面 BB1D1D，因此 C 正确； 对于选项 D，当 F 点到线段 BD1的距离最小时，此时平行四边形 BFD1E 的面积最小， 此时点 E、 F 分别为 AA1， CC1的中点， 此时最小值为1 2 2 3 = 6 2 ， 因此 D 正确 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，其中第分，其中第 16 题有两空，第一空得题有两空，第一空得 3 分，第分，第 2 空得空得 2 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）春节文艺汇演中需要将 A，B，C，D，E，F 六个节目进行排序，若 A，B 两个 节目必须相邻， 且都不能
28、排在 3 号位置， 则不同的排序方式有 144 种 （用数字作答） 【解答】解：使用捆绑法，将 AB 捆绑，先确定 AB 的位置，再将剩余的节目进行排序， 故有 3A22A44144 种， 故答案为：144 14 （5 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Snn2an（nN*） ，则数列an的通项公 式为 = 2 (+1) 【解答】解：因为 Snn2an（nN*） ， 所以当 n2 时，Sn1（n1）2an1， 故 anSnSn1n2an（n1）2an1，整理可得 1 = 1 +1， 故= 1 1 2 2 3 3 2 2 1a1= 1 +1 2 3 1 2 4 1 3 1 = 2
29、(+1)， 当 n1 时，a11 也适合上式， 故数列an的通项公式为= 2 (+1) 故答案为：= 2 (+1) 15 （5 分）若函数 f（x）称为“准奇函数” ，则必存在常数 a，b，使得对定义域内的任意 x 值，均有 f（x）+f（2ax）2b，请写出一个 a2，b2 的“准奇函数” （填写解析式） ： f（x）= 23 2 【解答】解：由 f（x）+f（2ax）2b，可得“准奇函数”f（x）的图像关于点（a，b） 17 对称， 若 a2，b2，即函数 f（x）的图像关于点（2，2）对数， 如 f（x）= 23 2 = 2 + 1 2的图像关于点（2，2）对数 故答案为：f（x）= 2
30、3 2 16 （5 分）已知不过原点的动直线 l 交抛物线 C：x22py（p0）于 A，B 两点，O 为坐标 原点，且| + | |，若OAB 的面积的最小值为 64，则： （1）p 4 ； （2）直线 l 过定点，该定点的坐标为 （0，8） 【解答】解：设直线与抛物线交于 A，B 两点，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由题知 OAOB， 所以 x1x2+y1y20， 所以 x1x2+ 12 2 2 2 2 =0，得到 x1x24p2， 联立直线 l 与抛物线的方程得 x22pkx2pm0， 所以 x1+x22pk，x1x22pm，所以 m2p， 所以 S= 1 2|m|(1 +
31、2)2 412= 1 2|m|4 22+ 8 4p2， 即 4p264，即 p4， 所以所求定点为（0，8） 故答案为：4， （0，8） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知an为等差数列，bn为等比数列，bn的前 n 项和为 Sn，且 a1b11， a2a3b3，a3S3+b2 （1）求数列an，bn的通项公式； （2）设 cnanbn，Tn为数列cn的前 n 项和，求 Tn 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，
32、由 a1b11，a2a3b3，a3S3+b2， 即为1 + = 1 + 2 2 1 + 2 = 1 + + 2+ ， 解得 = 4 = 2或 = 0 = 0（舍去） ， 18 则 an1+4（n1）4n3，bn2n 1； （2）cnanbn（4n3） 2n 1， Tn120+521+922+（4n3） 2n 1， 2Tn12+522+923+（4n3） 2n， 两式相减可得，Tn1+4（21+22+2n 1）（4n3） 2n 1+42(12 1) 12 （4n3） 2n， 化简可得，Tn7+（4n7） 2n 18 （12 分）在tanB2tanC，3b2a212，bcosC2ccosB 三个条
33、件中任选一个， 补充在下面问题中的横线上，并解决该问题 问题：已知ABC 的内角 A，B，C 及其对边 a，b，c，若 c2，且满足_，求ABC 的面积的最大值 【解答】解：若选择条件，因为 tanB2tanC，可得 sinBcosC2sinCcosB， 由正弦定理可得 bcosC2ccosB，利用余弦定理可得 b 2+22 2 =2c 2+22 2 ， 又 c2，可得 3b2a212， 又由余弦定理可得：cosA= 2+22 2 = 82 2 ， sinA= 1 2 =1 (82)2 42 = 202464 2 ， 所以 SABC= 1 2bcsinAb 202464 2 = (210)2+
34、36 2 ，所以当且仅当 b210 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 若选择条件，因为 3b2a212，由余弦定理可得 cosA= 2+22 2 = 82 2 ， sinA= 1 2 =1 (82)2 42 = 202464 2 ， 所以 SABC= 1 2bcsinAb 202464 2 = (210)2+36 2 ，所以当且仅当 b210 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 若选择条件， 因为 bcosC2ccosB， 利用余弦定理可得： b 2+22 2 =2c 2+22 2 ， 即 3b2a212， 又 c2， 19 又由余弦定理可得：cosA= 2+22 2 = 8
35、2 2 ， sinA= 1 2 =1 (82)2 42 = 202464 2 ， 所以 SABC= 1 2bcsinAb 202464 2 = (210)2+36 2 ，所以当且仅当 b210 时， ABC 面积取得最大值，最大值为 3 19 （12 分）2020 年 5 月 28 日，十三届全国人大三次会议表决通过了中华人民共和国民 法典 ，自 2021 年 1 月 1 日起施行 中华人民共和国民法典被称为“社会生活的百科 全书” ，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经 济的基本法为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某校组织全校学生进行学习中 华人民共和国
36、民法典知识竞赛，从中随机抽取 100 名学生的成绩（单位：分）统计得 到如表表格： 成绩 性别 0，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男 5 14 16 13 4 女 3 11 13 15 6 规定成绩在90，100内的学生获优秀奖 （1）根据以上成绩统计，判断是否有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与 性别有关？ （2）在抽取的 100 名学生中，若从获优秀奖的学生中随机抽取 3 人进行座谈，记 X 为抽 到获优秀奖的女生人数，求 X 的分布列和数学期望 附： P （K2k） 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 K
37、2 ()2 (+)(+)(+)(+) 【解答】解： （1）依题意得列联表如下： 获优秀奖 未获优秀奖 合计 男 4 48 52 20 女 6 42 48 合计 10 90 100 假设 H0： “该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别无关” ， 当 H0成立时，P（K22.706）0.1， 将列联表中的数据代入公式，计算得： K2= 100(442486)2 52481090 0.6412.706， 小概率事件没有发生，接受假设 H0， 有 90%的把握认为该校学生在知识竞赛中获优秀奖与性别有关 （2）依题意 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P（X0）= 4 3 10 3 = 1 30，
38、P（X1）= 6 1 4 2 10 3 = 3 10， P（X2）= 6 2 4 1 10 3 = 1 2， P（X3）= 6 3 10 3 = 1 6， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 E（X）= 0 1 3 + 1 3 10 + 2 1 2 + 3 1 6 = 9 5 20 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形，APB 2， ABC 3，PB23，PC4，点 M 是 AB 的中点 （1）求证：CM平面 PAB； （2）线段 CD 上是否存在一点 N，使得直线 PN 与平面 PMD 所成角的正弦值为 6
39、 8 ，若 存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 21 【解答】 （1）证明：在PAB 中，因为APB 2，PB23，AB4，所以 PA2， 因为点 M 是 AB 的中点，所以 BMPM2， 在BMC 中，MBC 3，BM2，BC4， 由余弦定理定理可得， CM= 2+ 2 2 =22+ 42 2 2 4 1 2 = 23， 故 BM2+CM2BC2，所以 ABCM， 在PMC 中，PM2，CM= 23，PC4，所以 PC2CM2+PM2，故 PMCM， 又 ABPMM，AB，PM平面 PAB，所以 CM平面 PAB； （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0，0，0)，(0，23，
40、0)，(4，23，0)， 设 P（x0，0，z0） ，(，23，0)（0，4） ， 在PAB 中，0= = 3，而 PM2，所以 x01，故(1，03)， 设平面 PMD 的一个法向量为 = (，)，直线 PN 与平面 PMD 所成的角为 ， 因为 = (1，0，3)， = (4，23，0)， 所以 = 0 = 0 ，即 + 3 = 0 4 + 23 = 0， 令 z1，则 = (3，2，1)， 又 = (1 ，23， 3)， 所以 = | ， | = | | | | | = |433| 2222+16 = 6 8 ，化简可得 210+16 0，解得 2 或 8（舍） ， 22 故 = 1 2
41、1 （12 分）椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率 e1 2，点 P（ 1 2 ， 35 4 ）在 C 上 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设 E，F 为短轴端点，过点 M（0，1）作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点（异于 E，F） ， 直线 AE、BF 交于点 T求证：点 T 恒在一定直线上 【解答】解： （1）因为点 P（1 2， 35 4 ）在椭圆 C 上， 所以 1 4 2 + (35 4 )2 2 =1， 又 e= = 1 2，a 2b2+c2， 所以 a24，b23， 所以椭圆的方程为 2 4 + 2 3 =1 （2）由题意知直线 l 的斜率存在，设
42、其方程为 ykx+1， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， （x10，x20） ， 联立 = + 1 32+ 42 12 = 0，得（3+4k 2）x2+8kx80， 所以 x1+x2= 8 3+42，x1x2= 8 3+42，且有 x1+x2kx1x2， 23 直线 AE 的方程为 y3 = 13 1 ，直线 BF 的方程为 y+3 = 2+3 2 ， 所以3 +3 = 13 1 2 2+3 = 1+13 1 2 2+1+3 = 12+(13)2 12+(1+3)1， 3 23 = 12+(13)2 (1+3)1(13)2， 故 y= 3 212+2(13)2 (1+3)1(13)
43、2 +1= 3 3(1+2)+3(12) 3(1+2)+(12) =3， 故点 T 恒在定直线 y3 上 22 （12 分）已知函数 f（x）ex+x3+mx+2 （1）若 x 轴为曲线 yf（x）的切线，试求实数 m 的值； （2）已知 g（x）f（x）ex，若对任意实数 x，均有 g（ex+1）g（x） ，求 m 的取值 范围 【解答】解： （1）f（x）ex+x3+mx+2，f（x）ex+3x2+m 设曲线 yf（x）与 x 轴相切于点 P（x0，0） ， 则 f（x0）0，f（x0）0， 0+ 0 3 +mx0+20，0+30 2 +m0， 化为： （x01）0+2（1+x0+0 2）
44、0， 解得 x01， me3 经过检验可得：me3，曲线 yf（x）与 x 轴相切 （2）g（x）f（x）exx3+mx+2， 记 h（x）ex+1x，h（x）ex+11， 可得：h（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增 h（1）2， h（x）2，即 ex+1x2 不妨设 ex+1xt2 则 g（ex+1）g（x）g（x+t）g（x）（x+t）3+m（x+t）+2（x3+mx+2） t3( + 2) 2 + 1 4t 2+m，t2，+） 若对任意实数 x，均有 g（x+t）g（x） ， 则 3( + 2) 2 + 1 4t 23(1 +2 2) 2 + 1 4 221， （t2，x1 同时取等号） 即 1+m0，解得 m1
