1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年安徽省六校教育研究会高考数学第二次联考试卷（理科）年安徽省六校教育研究会高考数学第二次联考试卷（理科） （2 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设全集为实数集 R，集合 Px|x1+2，xR，集合 Q1，2，3，4，则图 中阴影部分表示的集合为（ ） A4 B3，4 C2，3，4 D1，2，3，4 2 （5 分）已知复数 z 与（z+2）28i 均是纯
2、虚数，则 z 的虚部为（ ） A2 B2 C2i D2i 3 （5 分）实数 x，y 满足不等式组 2 + 4 0 2 + 2 0 3 3 0 ，则 x2+y2的最小值为（ ） A25 5 B1 C4 5 D2 4 （5 分）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研 究不定方程的人是希腊数学家丢番图请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 x2020+y22y， （xZ，yZ） ，则该方程的整数解有（ ）组 A1 B2 C3 D4 5 （5 分）已知向量 =（1，3） ，向量 在 方向上的投影为6，若（ + ） ，则实 数 的值为（ ） A1 3 B 1 3 C2
3、 3 D3 6 （5 分）直线 1：2x+y+30 倾斜角为 ，则 sin2+cos2 的值为（ ） A4 5 B 4 5 C3 5 D 3 5 7 （5 分）已知点 M（2，y0）为抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，O 为 坐标原点，若 8|MF|7|MO|则 p 的值为（ ） A1 或5 4 B5 2或 3 C3 或5 4 D1 或5 2 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）函数 f（x）sinx+x3+x，则 a1 是 f（a+1）+f（2a）0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9 （5 分）已知数列an的前 n
4、 项和 Snn2，将数列an依原顺序按照第 n 组有 2n项的要求 分组，则 2021 在第几组（ ） A8 B9 C10 D11 10 （5 分）已知三棱锥 ABCD 满足：ABACAD，BCD 是边长为 2 的等边三角形其 外接球的球心 O 满足： + + = 0 ，则该三棱谁的体积为（ ） A1 6 B1 3 C2 3 D1 11（5分） 圆O半径为1， PA， PB为圆O的两条切线， A， B为切点， 设APO， 则2 2 最小 值为（ ） A4+2 B3+2 C4+22 D3+22 12 （5 分）已知数列an是公比为 q 的等比数列，且首项 a10，给出下列命题：p1：若 14=
5、23，则（a31） （q1）0；p2：若 a1+a2= 3+ 4，则 ( 2 3 ，0) (0， 2 3)则下列说法正确的是（ ） Ap1为真命题，p2为假命题 Bp1，p2都为真命题 Cp1为假命题，p2为真命题 Dp1，p2都为假命题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。分，把答案填在答题卡的相应位置。 13 （5 分）从编号为 1，2，88 的 88 个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为 8 的样 本，所抽样本中有编号为 53 的网站，则样本中网站的最小编号为 14 （5 分）若（x3+ 1 ）
6、n 的展开式中的常数项为 84，则 n 15 （5 分）双曲线 mx2ny21 左右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，P 为双 曲线渐近线上一点，若以 F1F2为直径的圆经过 P 点，且APB= 3则该双曲线的渐近 线方程为 16 （5 分）A，B，C，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人 1 票的概率都是1 3（个人 第 3 页（共 21 页） 不投自己的票） ，则仅 A 一人是最高得票者的概率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答
7、第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，D 是 BC 的中点，AB2，AC4，AD= 3 （）求ABC 的面积； （）若 E 为 BC 上一点，且 = ( | | + | | )，求 的值 18 （12 分）如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面四边形 ABCD 为菱形，AA1A1B1= 1 2AB，ABC60，AA1平面 ABCD （）若点 M 是 AD 的中点，求证：C1MA1C； （）棱 BC 上是否存在一点 E，使得二面角 EAD
8、1D 的余弦值为1 3？若存在，求线段 CE 的长；若不存在，请说明理由 19 （12 分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均 产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些 统计量的值 平均温度 x/ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 =1 ( )( ) =1 ( )2 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 表中= ， = 1 7 7 第 4 页（共 21 页） （1）根据散点图判断，ya+bx 与 ycedx（其
9、中 e2.718为自然对数的底数）哪一个 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明 理由）并由判断结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程 （计算结果精确到小数点后 第三位） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 28以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人 工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 28以上的概率为 p（0 p1） （）记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 f（p） ，求 f（p）的最大值， 并求出相应的概率 p0 （）当 f（p）取最大值时，记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X，求
10、X 的数 学期望和方差附：对于一组数据（x1，z1） ， （x2，z2） ，（x7，z7） ，其回归直线 za+bx 斜率和截距的最小二乘法估计分别为： = 7 =1 ()() 7 =1 ()2 ， = 20 （12 分）已知圆 O：x2+y25，椭圆： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点为 F1， F2，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为 1 和 22 （）求椭圆的标准方程； （）如图 P 为圆上任意一点，过 P 分别作椭圆两条切线切椭圆于 A，B 两点 （）若直线 PA 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率； （）作 PQAB 于点 Q，求证：|QF1|+|
11、QF2|是定值 第 5 页（共 21 页） 21 （12 分）已知函数() = 2+1 ，mR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 m（1，0） ，证明：对任意的 x1，x21，1m，4f（x1）+x25 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1： x+y1 与曲线2： = 2 + 2 = 2 （ 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的非
12、负半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C1，C2的极坐标方程； （2） 在极坐标系中， 已知 l： （0） 与 C1， C2的公共点分别为 A， B， (0， 2)， 当 | | = 4时，求 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 f（x）|ax+1|+|x1| （）当 a2 时，求不等式 f（x）2 的解集； （）若 x（1，2）时，不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 21 页） 2021 年安徽省六校教育研究会高考数学第二次联考试卷（理科）年安徽省六校教育研究会高考数学第二次联考试卷（理科） （2 月份）月份） 参考答案与试
13、题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （5 分）设全集为实数集 R，集合 Px|x1+2，xR，集合 Q1，2，3，4，则图 中阴影部分表示的集合为（ ） A4 B3，4 C2，3，4 D1，2，3，4 【解答】解：全集为实数集 R，集合 Px|x1+2，xR， 集合 Q1，2，3，4， UPx|x1+2，xR， 图中阴影部分表示的集合为（UP）Q3，4 故选：B 2 （5 分）已知复数 z 与
14、（z+2）28i 均是纯虚数，则 z 的虚部为（ ） A2 B2 C2i D2i 【解答】解：由题意，设复数 zbi（b0） ， （z+2）28i（bi+2）28i（4b2）+（4b8）i， （z+2）28i 是纯虚数，4 2 = 0 4 8 0， 解得：b2， z 的虚部为2 故选：A 3 （5 分）实数 x，y 满足不等式组 2 + 4 0 2 + 2 0 3 3 0 ，则 x2+y2的最小值为（ ） A25 5 B1 C4 5 D2 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 7 页（共 21 页） x2+y2的几何意义为可行域内的动点到原点距离的平方， 由图可知，最小值为(|2| 5
15、)2= 4 5， 故选：C 4 （5 分）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研 究不定方程的人是希腊数学家丢番图请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 x2020+y22y， （xZ，yZ） ，则该方程的整数解有（ ）组 A1 B2 C3 D4 【解答】解：x2020+y22y， （xZ，yZ） ， x2020+（y1）21，当 x20201 或（y1）21 时，显然不成立， 故|x|1， （y1）21，即1x1，0y2， x1 时，y1， x0 时， （y1）21，解得：y0 或 y2， x1 时，y1， 综上：共 4 组解（1，1） ， （0，0） ，
16、（0，2） ， （1，1） ， 故选：D 5 （5 分）已知向量 =（1，3） ，向量 在 方向上的投影为6，若（ + ） ，则实 数 的值为（ ） A1 3 B 1 3 C2 3 D3 【解答】解：设 =（x，y） ， 向量 =（1，3） ，向量 在 方向上的投影为6， （ + ） ， 第 8 页（共 21 页） 2+ 2 +3 2+22 = 6 ( + 1) + ( + 3) 3 = 0 ， 解得 = 1 3 故选：A 6 （5 分）直线 1：2x+y+30 倾斜角为 ，则 sin2+cos2 的值为（ ） A4 5 B 4 5 C3 5 D 3 5 【解答】解：直线 1：2x+y+30
17、可化为 y2x3，倾斜角为 ，则 tan2， 所以 sin2+cos2= 2+2 2+2 = 2 2 +1 2 2+1 = 2+1 2+1 = 4+1 4+1 = 3 5 故选：D 7 （5 分）已知点 M（2，y0）为抛物线 y22px（p0）上一点，F 为抛物线的焦点，O 为 坐标原点，若 8|MF|7|MO|则 p 的值为（ ） A1 或5 4 B5 2或 3 C3 或5 4 D1 或5 2 【解答】解：由抛物线的定义知，|MF|xM+ 2 =2+ 2， 点 M（2，y0）为抛物线 y22px 上的点， 0 2 =2p24p， |MO|= 22+ 0 2 = 4 + 4， 又 8|MF|
18、7|MO|， 8（2+ 2）74 + 4，化简得 4p 217p+150， 解得 p3 或5 4 故选：C 8 （5 分）函数 f（x）sinx+x3+x，则 a1 是 f（a+1）+f（2a）0 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：f（x）sinx+x3+x， 则 f（x）sin（x）+（x）3+（x）sinxx3xf（x） ， 故 f（x）是 R 上的奇函数， 第 9 页（共 21 页） 又 f（x）cosx+3x2+13x20， 故 f（x）在 R 单调递增， 故 f（a+1）+f（2a）0，即 f（a+1）f（2a）f（2a）
19、， 故 a+12a，解得：a 1 3， 故 a1 是 a 1 3的必要不充分条件， 故选：B 9 （5 分）已知数列an的前 n 项和 Snn2，将数列an依原顺序按照第 n 组有 2n项的要求 分组，则 2021 在第几组（ ） A8 B9 C10 D11 【解答】解：数列an的前 n 项和 Snn2， 当 n2 时，anSnSn1n2（n1）22n1， 当 n1 时，a1S11 适合上式， 故 an2n1， 故 20212n1n1011， 数列an依原顺序按照第 n 组有 2n项的要求分组， 第一组 2 项，第二组 22项，第三组 23项，第 n 组有 2n项， 故前 n 组共有：2(12
20、 ) 12 =2n2 项， 21021022，291510， 故 2021 在第 10 组， 故选：C 10 （5 分）已知三棱锥 ABCD 满足：ABACAD，BCD 是边长为 2 的等边三角形其 外接球的球心 O 满足： + + = 0 ，则该三棱谁的体积为（ ） A1 6 B1 3 C2 3 D1 【解答】解：因为 ABACAD，BCD 是边长为 2 的等边三角形， 所以过点 A 作 AO面 BCD 于点 O，O是BCD 的外心， 因为 + + = 0 ，所以 O 是BCD 的外心， 则 O 与 O重合， 在BCD 中，CD2，COOD，COD120， 第 10 页（共 21 页） 所以
21、 CO= 3 3 = 23 3 ， 所以 AOBOCODO= 23 3 ， 则该三棱谁的体积为1 3 = 1 3 23 3 3 4 22= 2 3 故选：C 11（5分） 圆O半径为1， PA， PB为圆O的两条切线， A， B为切点， 设APO， 则2 2 最小 值为（ ） A4+2 B3+2 C4+22 D3+22 【解答】解：根据题意，设 AB 与 PO 相交于 C， 在PAO 中，tan= ，则 PA= 1 ， =sin，则 PO= 1 ， A 到 PO 的距离为 ACPAsincos，PCPAcos= 1 cos， 则 SPAB2（1 2 ACPC）cos 1 cos= 2 ， 故2
22、 2 = 2 2 2 = (12)(122) 2 =2sin2+ 1 2 33+22，当且仅当 sin4= 1 2时等号成立， 则2 2 最小值为3+22， 故选：D 第 11 页（共 21 页） 12 （5 分）已知数列an是公比为 q 的等比数列，且首项 a10，给出下列命题：p1：若 14= 23，则（a31） （q1）0；p2：若 a1+a2= 3+ 4，则 ( 2 3 ，0) (0， 2 3)则下列说法正确的是（ ） Ap1为真命题，p2为假命题 Bp1，p2都为真命题 Cp1为假命题，p2为真命题 Dp1，p2都为假命题 【解答】解：命题 P1：若14= 23，则（a31） （q1
23、）0， 由14= 23，得 q= 2 1 = 4 3 =e 43 =e 3(1)0， a3（q1）lnq，a3= 1， 所以（a31） （q1）（ 1 1） （q1）lnqq+1， 令 f（q）lnqq+1，则 f（q）= 1 1= 1 ， 所以当 0q1 时，f（q）0，f（q）单调递增， 当 q1 时，f（q）0，f（q）单调递减， 所以 f（q）f（1）0，q1 时取等号， 所以（a31） （q1）0，故命题 P1为真命题， 命题 P2：若 a1+a2= 3+ 4， 设 a110，q= 1 2， 则 a25，a3= 5 2，a4= 5 4，a1+a25， 但 e 3 +e 4 =e 5
24、2+e 5 45， 即 a1+a2e 3 +e 4不成立，故命题 P2为假命题， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置。分，把答案填在答题卡的相应位置。 13 （5 分）从编号为 1，2，88 的 88 个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为 8 的样 本，所抽样本中有编号为 53 的网站，则样本中网站的最小编号为 9 【解答】解：抽样间隔为88 8 =11，则样本中比 53 小的网站编号有 42，31，20，9，故样 第 12 页（共 21 页） 本中网站最小编号为 9， 故答案为：9 14 （
25、5 分）若（x3+ 1 ） n 的展开式中的常数项为 84，则 n 9 【解答】解：Tr+1nr（x3）n r3 2= 39 2 令 3n 9 2r0， 2n3r n 必为 3 的倍数，r 为偶数 试验可知 n9，r6 时，nrC9684 故答案为 9 15 （5 分）双曲线 mx2ny21 左右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，P 为双 曲线渐近线上一点，若以 F1F2为直径的圆经过 P 点，且APB= 3则该双曲线的渐近 线方程为 y23 3 x 【解答】解：设以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2c2，m= 1 2，n= 1 2， 则双曲线的渐近线方程为 y x， 不
26、妨取点 P 在第一象限，联立 = 2+ 2= 2 ，解得 xa，yb，P（a，b） ， A（a，0） ，B（a，0） ， =（2a，b） ， =（0，b） ， cosAPB= | | | = 2 42+2 =cos 3 = 1 2， 化简得 = 23 3 ， 双曲线的渐近线方程为 y x 23 3 x 故答案为：y23 3 x 16 （5 分）A，B，C，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人 1 票的概率都是1 3（个人 不投自己的票） ，则仅 A 一人是最高得票者的概率为 5 27 第 13 页（共 21 页） 【解答】解：A，B，C，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人 1 票的概
27、率都是1 3 （个 人不投自己的票） ， 则所有的投票情况共有 n3481 种， 则仅 A 一人是最高得票者，有 2 种情况： 第一种情况，A 得了 3 票，即 B、C、D 都投了 A，而 A 投了 B、C、D 中的一个，包含 的基本事件个数 m13； 第二种情况，A 得了 2 票，即 B、C、D 中有 2 个人投了 A，另外一个人投了除 A 和本人 以外的另外 2 人中的一个， 而A投了B、 C、 D中没有得到选票的2人中的一个， 包含的基本事件个数m2= 3 22121 =12， 仅 A 一人是最高得票者的概率为 P= 1+2 = 3+12 81 = 5 27 故答案为： 5 27 三、解
28、答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）在ABC 中，D 是 BC 的中点，AB2，AC4，AD= 3 （）求ABC 的面积； （）若 E 为 BC 上一点，且 = ( | | + | | )，求 的值 【解答】解： （1）因为 D 是 BC 的中点， 所以 = 1 2 ( + )， 则 2 =
29、 1 4( + )2， 因为 AB2，AC4，AD= 3， 所以 4+16+2 =12， 即 = 4， cosBAC= | | | = 4 24 = 1 2， 故BAC= 2 3 ，SABC= 1 2 2 4 3 2 =23； 第 14 页（共 21 页） （2）因为 = ( | | + | | )且 | | ， | | 分别是 ， 方向上的单位向量， 故 E 在角BAC 的平分线上，且| | | + | | |1， 因为 SABCSABE+SACE， 所以1 2 sin 3 + 1 2 3 = 1 2 2 3 ， 即1 2 2 3 2 + 1 2 4 3 2 = 1 2 2 4 3 2 ，
30、所以 AE= 4 3， 故 = 4 3 18 （12 分）如图，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，底面四边形 ABCD 为菱形，AA1A1B1= 1 2AB，ABC60，AA1平面 ABCD （）若点 M 是 AD 的中点，求证：C1MA1C； （）棱 BC 上是否存在一点 E，使得二面角 EAD1D 的余弦值为1 3？若存在，求线段 CE 的长；若不存在，请说明理由 【解答】证明： （）取 BC 中点 Q，连接 AQ，ABCD 是菱形，且ABC60， ABC 是正三角形，则 AQBC，即 AQAD， AA1平面 ABCD，AA1AD，AA1AQ， 以 A 为坐标原点，分别以 AQ，AD，
31、AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐 标系， 第 15 页（共 21 页） 设 AA1A1B1= 1 2AB1， 则 A1（0，0，1） ，C（3，1，0） ，C1（ 3 2 ， 1 2 ，1） ，M（0，1，0） ， 1 = (3，1， 1)，1 = ( 3 2 ， 1 2 ， 1)， 1 1 = 3 ( 3 2 ) + 1 1 2 + (1) (1) = 0， 1 1 ，则 A1CC1M； （）A（0，0，0） ，A1（0，0，1） ，D1（0，1，1） ，Q（3，0，0） ， 假设点 E 存在，使得二面角 EAD1D 的余弦值为1 3， 设点 E 的坐标为（3，0）
32、，11， =（3，0） ， 1 =（0，1，1） ， 设平面 AD1E 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 + = 0 1 = + = 0 ，取 x，得 =（，3，3） ， 平面 ADD1的法向量为 =（3，0，0） ， |cos ， |=3| 32+6 = 1 3，解得： 3 2 ， 又二面角 EAD1D 大小为锐角，由图可知，点 E 在线段 QC 上， = 3 2 ，即 CE1 3 2 19 （12 分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均 产卵数 y 和平均温度 x 有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些 统计量的值 第 16
33、 页（共 21 页） 平均温度 x/ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 =1 ( )( ) =1 ( )2 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 表中= ， = 1 7 7 （1）根据散点图判断，ya+bx 与 ycedx（其中 e2.718为自然对数的底数）哪一个 更适宜作为平均产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明 理由）并由判断结果及表中数据，求出 y 关于 x 的回归方程 （计算结果精确到小数点后 第三位） （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到 2
34、8以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人 工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到 28以上的概率为 p（0 p1） （）记该地今后 5 年中，恰好需要 3 次人工防治的概率为 f（p） ，求 f（p）的最大值， 并求出相应的概率 p0 （）当 f（p）取最大值时，记该地今后 5 年中，需要人工防治的次数为 X，求 X 的数 学期望和方差附：对于一组数据（x1，z1） ， （x2，z2） ，（x7，z7） ，其回归直线 za+bx 斜率和截距的最小二乘法估计分别为： = 7 =1 ()() 7 =1 ()2 ， = 【解答】解： （1）根据散点图可以判断， ycedx更适宜作为平均
35、产卵数 y 关于平均温度 x 的回归方程类型； 对 ycedx两边取自然对数，得 lnylnc+dx； 令 zlny，alnc，bd，得 za+bx； 第 17 页（共 21 页） 因为 = 7 =1 ()() 7 =1 ()2 = 40.182 147.714 0.272， = =3.6120.27227.4293.849； 所以 z 关于 x 的回归方程为 =0.272x3.849； 所以 y 关于 x 的回归方程为 =e0.272x 3.849； （2） （i）由 f（p）= 5 3p3 （1p）2，得 f（p）= 53p2（1p） （35p） ， 因为 0p1，令 f（p）0，得 35
36、p0，解得 0p 3 5； 所以 f（p）在（0，3 5）上单调递增，在（ 3 5，1）上单调递减， 所以 f（p）有唯一的极大值为 f（3 5） ，也是最大值； 所以当 p= 3 5时，f（p）maxf（ 3 5）= 216 625； （ii）由（i）知，当 f（p）取最大值时，p= 3 5， 所以 XB（5，3 5） ， 所以 X 的数学期望为 E（X）5 3 5 =3， 方差为 D（X）5 3 5 2 5 = 6 5 20 （12 分）已知圆 O：x2+y25，椭圆： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左、右焦点为 F1， F2，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为
37、 1 和 22 （）求椭圆的标准方程； （）如图 P 为圆上任意一点，过 P 分别作椭圆两条切线切椭圆于 A，B 两点 （）若直线 PA 的斜率为 2，求直线 PB 的斜率； （）作 PQAB 于点 Q，求证：|QF1|+|QF2|是定值 第 18 页（共 21 页） 【解答】解： （）由题意可得 25 2= 22 22 = 1 ， 解得 a2，b1，c= 3， 所以椭圆的方程为 2 4 +y21 （） （）设 P（x0，y0） ，切线 yy0k（xx0） ，则 x02+y025， 由 2 4 + 2= 1 0= ( 0) ，化简得（1+4k2）x2+8k（y0kx0）x+4（y0kx0）24
38、0， 由0 得（4x02）k2+2x0y0k+1y020， 设切线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1k2= 102 402 = 102 4(502) = 1， 又直线 PA 的斜率为 2，则直线 PB 的斜率为 1 2 （）当切线 PA，PB 的斜率都存在时，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 切线 PA，PB 的方程为 yyiki（xxi） ，i1，2， 由得（4xi2）k2+2xiyiki+1yi20，i1，2， （*） 又 A，B 点在椭圆上得， 2 4 +yi21，i1，2， （*） 得（2yiki+ 2） 20，即 ki= 4，i1，2， 切线 PA，PB
39、的方程为 4 +yiy1，i1，2， 又过点 P，则0 4 +yiy01，i1，2， 所直线 AB 的方程为0 4 +y0y1， 由 PQAB 的直线 PQ 的方程为 yy0= 40 0 （xx0） ， 第 19 页（共 21 页） 联立直线 AB 方程为0 4 +y0y1， 解得 xQ= 40(1+302) 02+1602 = 4 5x0，yQ= 0(1+302) 02+1602 = 1 5y0， 由 x02+y025 得点 Q 轨迹方程为 5 16x 2+5y21，且焦点恰为 F1，F2， 故|QF1|+|QF2|2 4 5 = 85 5 ， 当切线 PA，PB 的斜率有一个不存在时，易得
40、|QF1|+|QF2|= 85 5 综上，|QF1|+|QF2|= 85 5 21 （12 分）已知函数() = 2+1 ，mR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 m（1，0） ，证明：对任意的 x1，x21，1m，4f（x1）+x25 【解答】解： （1）/() = 2+(2)+1 = (1)(1) （2 分） 当 11m，即 m0 时， （，1m）和（1，+）上 f（x）0，f（x）单调 减； （1m，1）上 f（x）0，f（x）单调增 （3 分） 当 11m，即 m0 时， （，+）上 f（x）0，f（x）单调减 （4 分） 当 11m，即 m0 时， （，1）和（1m，+）上
41、f（x）0，f（x）单调 减； （1，1m）上 f（x）0，f（x）单调增 （5 分） （2）对任意的 x1，x21，1m，4f（x1）+x25 可转化为(1) 1 42 + 5 4， 设 g（x）= 1 4x+ 5 4，则问题等价于 x1，x21，1m，f（x）maxg（x）min （6 分） 由 （1） 知， 当 m （1， 0） 时， f （x） 在1， 1m上单调递增， ()= (1 ) = 2 1， （7 分） 第 20 页（共 21 页） g（x）在1，1m上单调递减，()= (1 ) = 1 4 + 1， （8 分） 即证 2 1 1 4 + 1，化简得 4（2m）e1 m5（1
42、m） 令 1mt，t（1，2） 设 h（t）et（5t）4（t+1） ，t（1，2） ， （9 分） h（t）et（4t）42et40，故 h（t）在（1，2）上单调递增 （10 分） h（t）h（1）4e80，即 4（2m）e1 m5（1m） （11 分） 故 2 1 1 4 + 1，得证 （12 分） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知曲线
43、C1： x+y1 与曲线2： = 2 + 2 = 2 （ 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）写出曲线 C1，C2的极坐标方程； （2） 在极坐标系中， 已知 l： （0） 与 C1， C2的公共点分别为 A， B， (0， 2)， 当 | | = 4时，求 的值 【解答】解（1）曲线 C1的极坐标方程为 （cos+sin）1，即 sin（+ 4）= 2 2 曲线 C2 的普通方程为（x2）2+y24，即 x2+y24x0， 所以曲线 C2 的极坐标方程为 4cos （2）由（1）知| = = 1 + ，| = = 4， | | =4cos（cos+sin）2
44、（1+cos2+sin2）2+22sin（2+ 4） | | = 42+22sin（2+ 4）4，sin（2+ 4）= 2 2 第 21 页（共 21 页） 由0 2，知 4 2 + 4 5 4 ，当 2+ 4 = 3 4 时，= 4 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 f（x）|ax+1|+|x1| （）当 a2 时，求不等式 f（x）2 的解集； （）若 x（1，2）时，不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （）当 a2 时，不等式 f（x）2 即为|2x+1|+|x1|2， 等价为 1 2 + 1 + 12或 1 2 1 2 + 1 + 1 2 或 1 2 2 1 + 1 2 ， 即为 x或 1 2 x0 或 2 3 x 1 2， 所以解集为（ 2 3，0） ； （）若 x（1，2）时，不等式 f（x）x 成立， 即为|ax+1|+|x1|x，即|ax+1|+x1x， 则|ax+1|1 对 1x2 成立， 可得1ax+11，即 2 a0， 由 1x2，可得 2 （2，1） ， 则2a0， 所以 a 的取值范围是（2，0）
