1、2020-2021 学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）第一次月考数学试卷学年湖南省长沙市雨花区九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，共小题，共 36 分）分） 1有理数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ） Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 2下列计算正确的是（ ） A5a+2a7a2 B （3b）22b36b6 C6a82a33a7 D （b+2a） （2ab）4a2b2 3 国家主席习近平在 2018 年新年贺词中说道：“安得广厦千万间， 大庇天下寒士俱欢颜！ 2017 年我国 3400000 贫困人口实现易地扶贫搬迁、
2、有了温暖的新家 ”其中 3400000 用科学记数法表示为（ ） A0.34107 B3.4106 C3.4105 D34105 4是关于 x，y 的二元一次方程 xay5 的一组解，则 a 的值是（ ） A1 B2 C1 D2 5下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A图象经过点（1，3） By 随 x 的增大而增大 C图象关于原点对称 D图象与坐标轴没有交点 7下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据 8，8，7，
3、10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，乙组数据的方差 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 8某农业大镇 2018 年葡萄总产量为 1.2 万吨，预计 2020 年葡萄总产量达到 1.6 万吨，求葡萄总产量的年 平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A1.2（1+x）21.6 B1.6（1x）21.2 C1.2（1+2x）1.6 D1.2（1+x2）1.6 9已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A216 B270 C288 D300 10如图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点
4、G，DCF20，则EOD 等于（ ） A10 B20 C40 D80 11 “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即： “如图所示，CD 垂直平分弦 AB，CD1 寸， AB10 寸，求圆的直径” （1 尺10 寸）根据题意直径长为（ ） A10 寸 B20 寸 C13 寸 D26 寸 12关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有一个根是1，若二次函数 yax2+bx+的图象的顶点在第一象 限，设 t2a+b，则 t 的取值范围是（ ） At B1t Ct D1t 二、填空题（本大题共二
5、、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 13分式方程1 的解为 14设 a、b 是方程 x2+x20210 的两个实数根，则（a1） （b1）的值为 15设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，若 x1x20，则 y1与 y2之间的关系 是 16若分式的值为零，则 x 的值是 17如图，ABC 中，ABAC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和点 D，再分别以点 B、 D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE2，BE1， 则 EC 的长度是 18二次函数 yax2+bx
6、+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b0；当 m1 时，a+b am2+bm；ab+c0；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2，x1+x22其中正确的有 三、解答题（本题共个小题，共三、解答题（本题共个小题，共 66 分分.19、20 题各题各 6 分，分，21、22 题各题各 8 分，分，23、24 题各题各 9 分，分，25、26 题各题各 10 分）分） 19计算：|2|+（1）2021（3）0+（） 2 20先化简：，再从不等式 2m16 的正整数解中选一个适当的数代入求值 21中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行
7、“汉 字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为 A，B，C，D 四个等级，并将结果绘制成 如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整 请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有 名； （2）在扇形统计图中，m 的值为 ，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 度； （3）组委会决定从本次比赛获得 A 等级的学生中，选出 2 名去参加全市中学生“汉字听写”大赛已 知 A 等级学生中男生有 1 名，请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的 概率 22如图，已知 A（4，n） ，B（2，4）是一次函数 ykx+b 的图象和反比例函数 y的图象的两个交
8、 点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的 x 的取值范围 23如图 1，已知O 与ABC 的边 BC、AC 分别相切于点 D、E，BO 是ABC 的平分线，与O 相交于 点 G （1）求证：直线 AB 是O 的切线； （2）已知O 的半径为 2，如图 2，点 F 是 AB 与O 的切点，连接 OF、FG、DG，若 OFDG 求证：四边形 OFGD 是菱形； 求阴影部分的面积 24我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果 A 特别受欢迎，某超市以市场价格 10 元每千克在我市收
9、购了 6000 千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题 水果 A 的市场价格每天每千克上涨 0.1 元 平均每天有 10 千克的该水果损坏，不能出售 每天的冷藏费用为 300 元 该水果最多保存 110 天 （1）若将这批 A 水果存放 x 天后一次性出售，则 x 天后这批水果的销售单价为 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为 9600 元？ （3）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 25已知点 M 为关于 x 的二次函数 yax22amx+am22m+2（a0，m 为常数）的顶点 （1）若此二次函数与 x 轴只有一个交
10、点，试确定 m 的值； （2） 已知以坐标原点 O 为圆心的圆半径是， 试判断点 M 与O 的位置关系， 若能确定， 请说明理由， 若不能确定，也请分类讨论之； （3）对于任意实数 m，点 M 都是直线 l 上一点，直线 l 与该二次函数相交于 A、B 两点，a 是以 3、4、5 为边长的三角形内切圆的半径长，点 A、B 在以 O 为圆心的圆上 求O 的半径； 求该二次函数的解析式 26我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形” （1）在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是 ； 如图 1，若四边形 ABCD 是“等线四边形” ，E、F、G、H 分别是边 AB、
11、BC、CD、AD 的中点，依次 连接 E、F、G、H，得到四边形 EFGH，请判断四边形 EFGH 的形状； （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（2，0） 、B（8，0） 、P（9，8） ，以 AB 为直径作 圆，该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，若 Q 为坐标系中一动点，且四边形 AQBC 为“等线四边形” ，当 PQ 的长度最短时，求经过 A、B、Q 三点抛物线的解析式； （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是“等线四边形” ，A 在 x 负半轴上，D 在 y 轴 的负半轴上，且，点 B、C 分别是一次函数与 y、x 轴的交点，动点 P 从点
12、 D 开始沿 y 轴的正方向运动， 运动的速度为 2 个单位长度/秒， 设运动的时间为 t 秒， 以点 P 为圆心， 半径 单位长度作圆，问： 当P 与直线 BC 初次相切时，求此时运动的时间 t0； 当运动的时间 t 满足 tt0且时，P 与直线 BC 相交于点 M、N，求弦长 MN 的最大值 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1有理数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则（ ） Aa+b0 Ba+b0 Cab0 Dab0 【分析】由图可知 a0，b0，且|a|b|，再根据有理数的加减法法则进行判断 【解答】解：由数轴得：a0，b0，且
13、|a|b|， a+b0，ab0 故选：B 2下列计算正确的是（ ） A5a+2a7a2 B （3b）22b36b6 C6a82a33a7 D （b+2a） （2ab）4a2b2 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式7a，不符合题意； B、原式9b22b318b5，不符合题意； C、原式3a5，不符合题意； D、原式4a2b2，符合题意 故选：D 3 国家主席习近平在 2018 年新年贺词中说道：“安得广厦千万间， 大庇天下寒士俱欢颜！ 2017 年我国 3400000 贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家 ”其中 3400000 用科学记数法表示为（ ） A0.34
14、107 B3.4106 C3.4105 D34105 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：3400000 用科学记数法表示为 3.4106， 故选：B 4是关于 x，y 的二元一次方程 xay5 的一组解，则 a 的值是（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】根据题意，可得：1（2）a5，据此求出 a 的值是多少即可 【解答】解：根据题意，可得：1（2）a5， 2a+15， 解
15、得 a2 故选：B 5下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意 故选：D 6关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A图象经过点（1，3） By 随 x 的增大而增大 C图象关于原点对称 D图象与坐标轴没有交点 【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进 行判断即可 【解
16、答】解：A、反比例函数，当 x1 时 y3，说法正确，故本选项不符合题意； B、反比例函数中 k30，则该函数图象经过第二、四象限，需要强调在每个象限象限内 y 随 x 的增大而增大，故说法错误，本选项符合题意； C、反比例函数的图象关于原点对称，说法正确，故本选项不符合题意； D、图象与坐标轴没有交点，说法正确，故本选项不符合题意 故选：B 7下列说法正确的是（ ） A一个游戏的中奖概率是 则做 10 次这样的游戏一定会中奖 B为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D若甲组数据的方差 S20.01，乙组数据的方差
17、 S20.1，则乙组数据比甲组数据稳定 【分析】利用概率的意义、全面调查与抽样调查、中位数、众数及概率的意义逐项判断即可得到正确的 答案 【解答】解：A、一个游戏的中奖概率是，则做 10 次这样的游戏可能中奖，故本选项错误； B、了解全国中学生的心理健康情况，范围比较广，应采用抽查的反思调查，故本选项错误； C、数据 8，8，7，10，6，8，9 中 8 出现的次数最多的为 8，故众数为 8，排序后中位数为 8，故本选 项正确； D、根据方差越小越稳定可知乙组数据比甲组数据稳定，故本选项错误 故选：C 8某农业大镇 2018 年葡萄总产量为 1.2 万吨，预计 2020 年葡萄总产量达到 1.
18、6 万吨，求葡萄总产量的年 平均增长率，设葡萄总产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A1.2（1+x）21.6 B1.6（1x）21.2 C1.2（1+2x）1.6 D1.2（1+x2）1.6 【分析】由该农业大镇 2018 年及 2020 年葡萄的总产量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：依题意，得：1.2（1+x）21.6 故选：A 9已知圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A216 B270 C288 D300 【分析】 首先设其侧面展开图的圆心角为 n， 然后由弧长公式可得：23， 继而求得答案 【解答】解：设
19、其侧面展开图的圆心角为 n， 圆锥的母线长为 5cm，底面半径为 3cm， 23， 解得：n216， 其侧面展开图的圆心角为：216， 故选：A 10如图，O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，DCF20，则EOD 等于（ ） A10 B20 C40 D80 【分析】根据垂径定理得出弧 DF弧 DE，求出弧 DE 的度数，即可求出答案 【解答】解：O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，DCF20， 弧 DF弧 DE，且弧的度数是 40， DOE40， 故选：C 11 “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺
20、，问径几何？”此问题即： “如图所示，CD 垂直平分弦 AB，CD1 寸， AB10 寸，求圆的直径” （1 尺10 寸）根据题意直径长为（ ） A10 寸 B20 寸 C13 寸 D26 寸 【分析】连接 OD，OA，根据垂径定理求出 AD 的长，再根据勾股定理求出 OA 的值即可 【解答】解：连接 OD，OA， CD 垂直平分弦 AB，CD1 寸，AB10 寸， AD5 寸， 在 RtOAD 中，OA2OD2+AD2， 即 OA2（OA1）2+52， 解得：OA13， 故圆的直径为 26 寸， 故选：D 12关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有一个根是1，若二次函数 yax2+b
21、x+的图象的顶点在第一象 限，设 t2a+b，则 t 的取值范围是（ ） At B1t Ct D1t 【分析】二次函数的图象过点（1，0） ，则 ab+0，而 t2a+b，则 a，b，二次 函数的图象的顶点在第一象限，则0，0，即可求解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+0 有一个根是1， 二次函数 yax2+bx+的图象过点（1，0） ， ab+0， ba+， 而 t2a+b， 则 a，b， 二次函数 yax2+bx+的图象的顶点在第一象限， 0，0， 将 a，b代入上式得： 0，解得：1t， 0，解得：t， 故：1t， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题）
22、 13分式方程1 的解为 x1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解 【解答】解：2x1x2 2xx2+1 x1， 经检验 x1 是原方程的解， 所以原方程的解为：x1， 故答案为：x1 14设 a、b 是方程 x2+x20210 的两个实数根，则（a1） （b1）的值为 2019 【分析】根据根与系数的关系得出 a+b1，ab2021，再代入计算即可 【解答】解：a、b 是方程 x2+x20210 的两个实数根， a+b1，ab2021， （a1） （b1）ab（a+b）+12021+1+12019， 故答案为：2019 15设
23、A（x1，y1） ，B（x2，y2）是反比例函数 y图象上的两点，若 x1x20，则 y1与 y2之间的关系 是 y2y10 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据 x1x20 即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y中，k20， 函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， x1x20， y2y10 故答案为：y2y10 16若分式的值为零，则 x 的值是 2 【分析】分式的值为 0 的条件是： （1）分子为 0； （2）分母不为 0两个条件需同时具备，缺一不可据 此可以解答本题 【解答】解：由题意可得|x|20 且 x25x+60，
24、 解得 x2 故答案为：2 17如图，ABC 中，ABAC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和点 D，再分别以点 B、 D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE2，BE1， 则 EC 的长度是 【分析】利用基本作图得到 CEAB，再根据等腰三角形的性质得到 AC3，然后利用勾股定理计算 CE 的长 【解答】解：由作法得 CEAB，则AEC90， ACABBE+AE2+13， 在 RtACE 中，CE， 故答案为： 18二次函数 yax2+bx+c（a0）图象如图，下列结论：abc0；2a+b0；当 m1 时，a+b
25、 am2+bm；ab+c0；若 ax12+bx1ax22+bx2，且 x1x2，x1+x22其中正确的有 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x1，根据抛物线对称轴方程得到1， 则可对进行判断；由抛物线开口方向得到 a0，由 b2a 得到 b0，由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得到 c0，则可对进行判断；利用 x1 时，函数有最大值对进行判断；根据二次函数图象 的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，则 x1 时，y0，于是可 对进行判断；由 ax12+bx1ax22+bx2得到 ax12+bx1+cax22+bx2+c，则可判断 xx1和
26、 xx2所对应的函 数值相等，则 x211x1，于是可对进行判断 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为 x1，即 b2a， b0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； b2a， 2a+b0，所以正确； x1 时，函数值最大， a+b+cam2+bm+c，即 a+bam2+bm（m1） ，所以正确； 抛物线与 x 轴的交点到对称轴 x1 的距离大于 1， 抛物线与 x 轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）与（1，0）之间， x1 时，y0， ab+c0，所以错误； 当 ax12+bx1ax22+
27、bx2，则 ax12+bx1+cax22+bx2+c， xx1和 xx2所对应的函数值相等， x211x1， x1+x22，所以正确； 故答案为 三解答题三解答题 19计算：|2|+（1）2021（3）0+（） 2 【分析】首先计算乘方、开方、绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少 即可 【解答】解：|2|+（1）2021（3）0+（） 2 2112+4 52 20先化简：，再从不等式 2m16 的正整数解中选一个适当的数代入求值 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式得出其正整数解，继而选取使分 式有意义的 m 的值代入计算可得 【解答】解：原
28、式（） ， 解不等式 2m16 得 m， 所以 m 的正整数解为 1、2、3， m2 且 m3， m1， 当 m1 时，原式 21中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉 字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为 A，B，C，D 四个等级，并将结果绘制成 如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整 请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有 20 名； （2）在扇形统计图中，m 的值为 40 ，表示“D 等级”的扇形的圆心角为 72 度； （3）组委会决定从本次比赛获得 A 等级的学生中，选出 2 名去参加全市中学生“汉
29、字听写”大赛已 知 A 等级学生中男生有 1 名，请用列表法或画树状图法求出所选 2 名学生恰好是一名男生和一名女生的 概率 【分析】 （1）根据等级为 A 的人数除以所占的百分比求出总人数； （2）根据 D 级的人数求得 D 等级扇形圆心角的度数和 m 的值； （3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）根据题意得：315%20（人） ， 故答案为：20； （2）C 级所占的百分比为100%40%，表示“D 等级”的扇形的圆心角为36072； 故答案为：40、72 （3）列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （
30、女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有 6 种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有 4 种， 则 P恰好是一名男生和一名女生 22如图，已知 A（4，n） ，B（2，4）是一次函数 ykx+b 的图象和反比例函数 y的图象的两个交 点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB 的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的 x 的取值范围 【分析】 （1）先把 B 点坐标代入代入 y，求出 m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式 确定 A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2） 根据 x
31、 轴上点的坐标特征确定 C 点坐标， 然后根据三角形面积公式和AOB 的面积SAOC+SBOC 进行计算； （3）观察函数图象得到当4x0 或 x2 时，一次函数图象都在反比例函数图象下方 【解答】解：B（2，4）在反比例函数 y的图象上， m2（4）8， 反比例函数解析式为：y， 把 A（4，n）代入 y， 得4n8，解得 n2， 则 A 点坐标为（4，2） 把 A（4，2） ，B（2，4）分别代入 ykx+b， 得，解得， 一次函数的解析式为 yx2； （2）yx2， 当x20 时，x2， 点 C 的坐标为： （2，0） ， AOB 的面积AOC 的面积+COB 的面积 22+24 6；
32、（3）由图象可知，当4x0 或 x2 时，一次函数的值小于反比例函数的值 23如图 1，已知O 与ABC 的边 BC、AC 分别相切于点 D、E，BO 是ABC 的平分线，与O 相交于 点 G （1）求证：直线 AB 是O 的切线； （2）已知O 的半径为 2，如图 2，点 F 是 AB 与O 的切点，连接 OF、FG、DG，若 OFDG 求证：四边形 OFGD 是菱形； 求阴影部分的面积 【分析】 （1）作 OFAB 于 F，根据切线的性质得到 ODBC，根据角平分线的性质得到 OFOD，根 据切线的判定定理证明结论； （2）根据平行线的性质、等腰三角形的得到 OGGDOD，关键菱形的判定定
33、理证明即可； 根据直角三角形的性质求出 OB， 根据勾股定理求出 BD， 根据三角形的面积公式、 扇形面积公式计算， 得到答案 【解答】 （1）证明：如图 1，作 OFAB 于 F， O 与 BC 相切于点 D， ODBC， BO 是ABC 的平分线，ODBC，OFAB， OFOD， 直线 AB 是O 的切线； （2）证明：BF、BD 是O 的两条切线， OFBODB90，OBFOBD， BOFBOD， OFDG BOFOGD， OGDBOD， OGGDOD， 同理可得，OFFGGDOD， 四边形 OFGD 是菱形； 解：OGGDOD， OGD 为等边三角形， BOD60， OBD30， OB
34、2OD2， 由勾股定理得，BD2， 阴影部分的面积OBD 的面积扇形 DOG 的面积222 24我市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果 A 特别受欢迎，某超市以市场价格 10 元每千克在我市收 购了 6000 千克 A 水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题 水果 A 的市场价格每天每千克上涨 0.1 元 平均每天有 10 千克的该水果损坏，不能出售 每天的冷藏费用为 300 元 该水果最多保存 110 天 （1）若将这批 A 水果存放 x 天后一次性出售，则 x 天后这批水果的销售单价为 10+0.1x 元； （2）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售所得利润为 9600 元？ （3
35、）将这批 A 水果存放多少天后一次性出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【分析】 （1）根据等量关系水果的市场价格每天每千克上涨 0.1 元则可求出则 x 天后这批水果的销售单 价，再根据平均每天有 10 千克的水果损坏则可求出这批水果的销售量； （2）按照等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出方程求解即可； （3）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最大值 【解答】解： （1）10+0.1x； （2） （10+0.1x） （600010 x）106000300 x9600， 解得：x80，或 x120， x110， 将这批 A 水果存放 80 天后一次性
36、出售所得利润为 9600 元； （3）设利润为 w，由题意得 w（10+0.1x） （600010 x）300 x600010， x2+200 x（x100）2+10000， a10， 抛物线开口方向向下， x100 时，w最大10000， 当 x100 时，利润有最大值 将这批 A 水果存放 100 天后一次性出售可获得最大利润为 10000 元 25已知点 M 为关于 x 的二次函数 yax22amx+am22m+2（a0，m 为常数）的顶点 （1）若此二次函数与 x 轴只有一个交点，试确定 m 的值； （2） 已知以坐标原点 O 为圆心的圆半径是， 试判断点 M 与O 的位置关系， 若能
37、确定， 请说明理由， 若不能确定，也请分类讨论之； （3）对于任意实数 m，点 M 都是直线 l 上一点，直线 l 与该二次函数相交于 A、B 两点，a 是以 3、4、5 为边长的三角形内切圆的半径长，点 A、B 在以 O 为圆心的圆上 求O 的半径； 求该二次函数的解析式 【分析】 （1）由二次函数与 x 轴只有一个交点，可得0,从而得出关于 m 的方程，解方程即可确定 m 的值； （2）写出点 M 的坐标，用含 m 的式子表示出 OM2，从而可得关于 m 的二次函数，将其写成顶点式，根 据二次函数的性质可得 OM2的最小值，求其算术平方根，可得 OM 的最小值，从而可判断点 M 与O 的位
38、置关系； （3）由切线长定理求得 a 的值,将其代入抛物线的解析式,写出直线 l 的解析式，由抛物线的解析式与 直线 l 的解析式可得关于 x 的方程，解方程，从而用含 m 的式子表示出点 A 和点 B 的坐标,由勾股定理或 两点距离公式可得O 的半径；将 a 和 m 的值代入抛物线 yax22amx+am22m+2 计算即可得出答 案 【解答】解:（1）二次函数与 x 轴只有一个交点， (2am)24a(am22m+2)0, 8am8a8a(m1)0, a0, m10, m1； （2）点 M 为关于 x 的二次函数 yax22amx+am22m+2 的顶点, M(m,2m+2), 原点 O
39、的坐标为(0,0)， OM2m2+(2m+2)2 5m28m+4 5(m)2+, 当 m时,OM2有最小值, ， 点 M 在O 外； （3）作出以 3、4、5 为边长的三角形，F，G，H 是三角形与O 的切点，连接 OF，OG，如图所示: 由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则E90， 由切线的性质可知，OFDE，OGCE， OFE90，OGE90， 四边形 OFEG 是矩形， OFOGa, 四边形 OFEG 是正方形， FEEGa, CHCG,DHDF, 2a3+45, a1, yx22mx+m22m+2, 对于任意实数 m，点 M 都是直线 l 上一点,且 M(m,2m+2), 直线 l
40、的解析式为 y2x+2, 令2x+2x22mx+m22m+2, 解得 x1m,x2m2, A(m,2m+2),B(m2,2m+6), 点 A、B 在以 O 为圆心的圆上, m2+(2m+2)2(m2)2+(2m+6)2, 解得 m, O 的半径为: 4 将 a1,m代入抛物线 yax22amx+am22m+2 得: yx2x+ 该二次函数的解析式为 yx2x+ 26我们预定：对角线相等的凸四边形称之为“等线四边形” （1）在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是 矩形、正方形 ； 如图 1，若四边形 ABCD 是“等线四边形” ，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、C
41、D、AD 的中点，依次 连接 E、F、G、H，得到四边形 EFGH，请判断四边形 EFGH 的形状； （2）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（2，0） 、B（8，0） 、P（9，8） ，以 AB 为直径作 圆，该圆与 y 轴的正半轴交于点 C，若 Q 为坐标系中一动点，且四边形 AQBC 为“等线四边形” ，当 PQ 的长度最短时，求经过 A、B、Q 三点抛物线的解析式； （3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 ABCD 是“等线四边形” ，A 在 x 负半轴上，D 在 y 轴 的负半轴上，且，点 B、C 分别是一次函数与 y、x 轴的交点，动点 P 从点 D 开
42、始沿 y 轴的正方向运动， 运动的速度为 2 个单位长度/秒， 设运动的时间为 t 秒， 以点 P 为圆心， 半径 单位长度作圆，问： 当P 与直线 BC 初次相切时，求此时运动的时间 t0； 当运动的时间 t 满足 tt0且时，P 与直线 BC 相交于点 M、N，求弦长 MN 的最大值 【分析】 （1）依据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质可得结论；根据三角形的中位线定理及 菱形的判定定理可得结论； （2）设以 AB 为直径的圆心为 E,连接 CP，与E 交于一点，连接 CE，当点 Q 在直线 PC 上时,PQ 的长 度最短；由勾股定理求得 OC 的长，从而得出点 C 的坐标，再求得直线
43、PC 的解析式，进而算出点 Q 的 坐标，则可由待定系数法求得抛物线的解析式； （3）当P 与直线 BC 初次相切时(t4),过点 P 作 PE直线 BC 于点 E，根据 PEBPsinOBC 及 半径得出关于 t 的方程，解方程并作出取舍即可；根据 PQBPsinOBC，用含 t 的式子 表示出 PQ，再由垂径定理、勾股定理、二次函数的性质得出 MN 的最大值即可 【解答】解:（1）在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中，一定是“等线四边形”的是矩形、正 方形, 故答案为:矩形、正方形； 四边形 EFGH 是菱形，理由如下: 如图 1， 四边形 ABCD 是“等线四边形”, ACBD, E、
44、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、AD 的中点， EFGHAC,EHFGBD, EFGHEHFG, 四边形 EFGH 是菱形； （2）如图 2,设以 AB 为直径的圆心为 E,连接 CP，与E 交于一点，连接 CE， A（2，0） 、B（8，0）, 圆心 E 的坐标为(3,0),CEAE5, 在 RtCOE 中，由勾股定理得:OC4, 点 C 的坐标为（0,4）, 设直线 PC 的解析式为 ykx+4,将 P(9,8)代入得: 89k+4, 解得 k, 直线 PC 的解析式为 yx+4, 圆心 E 在直线 PC 上， 当点 Q 在线段 CP 上时,PQ 最小，此时点 Q 在第四象限， ,
45、 解得, 点 Q 的坐标为(6,4), 设过点 A 和点 B 的抛物线解析式为 ya(x+2)(x8), 将 Q(6,4)代入，得416a, a, y(x+2)(x8)x2x4 经过 A、B、Q 三点抛物线的解析式为 yx2x4； （3）如图 3，画出P, 在直线 yx+3 中，令 x0,得 y3；令 y0,得 x4, B(0,3),C(4,0), 设点 A 的坐标为(a,0), ACBD, 点 D 的坐标为(0,a1), 在 RtAOD 中，AD2a2+(a+1)241, 解得 a15(舍去),a24, 点 A 和点 D 的坐标分别为 A(4,0),B(0,5), 点 P 的坐标为(0,2t
46、5) 当P 与直线 BC 初次相切时(t4),过点 P 作 PE直线 BC 于点 E， 当 PER 时，P 与直线 BC 相切, 在 RtBPE 中,PEBPsinOBC,B(0,3),P(0,2t5), BP|82t|,sinOBC, PE|82t|, |82t|t+, 解得 t2 或 t10, 当P 与直线 BC 初次相切时，此时运动的时间 t02 秒； 过 P 作 PQBC 于 Q， 当 2t4 时,MN 逐渐增大, 当 CP4时,OP8,此时 t6.5； 当 4t6.5 时,BPDPBD2t8, 则 PQBPsinOBC (2t8) t, MN2MQ 2 2 , 当 t6 时,MN 有最大值，最大值为
