1、2020-2021 学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A守株待兔 B瓮中捉鳖 C百步穿杨 D水中捞月 3一元二次方程 x2160 的解是（ ） Ax4 Bx14，x20 Cx14，x24 Dx8 4将抛物线 yx2向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x+1）2 Dy（x1）2 5已知现有的 1
2、0 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期，从这 10 瓶饮料中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮 料的概率是（ ） A B C D 6某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1892 张照片，如果全班 有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax（x+1）1892 Bx（x1）18922 Cx（x1）1892 D2x（x+1）1892 7如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是的中点，则D 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 8如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在 BC
3、边上，且 ABCB，则C的度数为（ ） A18 B20 C24 D28 9圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 10从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系 如图所示下列结论：小球抛出 3 秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是 80m；小球 的高度 h20 时，t1s 或 5s小球抛出 2 秒后的高度是 35m其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 7 个小题；每小题个小题；每小题 4 分，满分分，满分 2
4、8 分）分） 11已知点 A（a，1）与点 B（5，b）是关于原点 O 的对称点，则 a+b 12若某扇形花坛的面积为 6m2，半径为 3m，则该扇形花坛的弧长为 m 13表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 m 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 （精确到 0.1） 14已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为 15如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，若B50，
5、则EDF 度 16如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） ，若抛物线 yax2的图象与正 方形的边有公共点，则实数 a 的取值范围是 17如图，在ABC 中，AB10，AC8，BC6，以边 AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P， Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最小值是 三、解答题（一） （共三、解答题（一） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，满分分，满分 18 分）分） 18已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2x+1a20 有一个根为1，求 a 的值 19在下面的网格图
6、中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点，已知 A，B， C 的坐标分别为 （0， 2） ， （1， 1） ， （1， 2） ， 将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 90得到ABC 在 图中画出ABC 并写出点 A、点 B的坐标 20如图，在O 中，OA 是半径，OA4 （1）用直尺和圆规作 OA 的垂直平分线 BC，BC 与 OA 相交于点 D，BC 与O 相交于点 B，C（保留作 图痕迹，不写作法） ； （2）求线段 BC 的长度 四、解答题（二） （共四、解答题（二） （共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，满分分，满分 24 分）分） 21甲、乙两人分别
7、从 A、B、C 这 3 个景点中随机选择 2 个景点游览 （1）求甲选择的 2 个景点是 A、B 的概率； （2）甲、乙两人选择的 2 个景点恰好相同的概率是 22若 a2+b2c2，则我们把形如 ax2+cx+b0（a0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程” （1）当 a3，b4 时，写出相应的“勾系一元二次方程” ； （2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0（a0）必有实数根 23如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏） 若所用铁栅栏的长为 40 米，矩形 ABCD 的边
8、 AD 长为 x 米，AB 长为 y 米， 矩形的面积为 S 平方米，且 xy （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求 S 与 x 的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积 五、解答题（三） （共五、解答题（三） （共 2 个小题，每小题个小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 24如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM PN （1）当点 M 在O 内部，如图一
9、，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否成立？请说明理由； （3）当点 M 在O 外部，如图三，AMO30，求图中阴影部分的面积 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1：yx2+bx+c 过点 C（0，3） ，且与抛物线 l2：yx2x+2 的一个交点为 A，已知点 A 的横坐标为 2点 P、Q 分别是抛物线 l1、抛物线 l2上的动点 （1）求抛物线 l1对应的函数表达式； （2）若点 P 在点 Q 下方，且 PQy 轴，求 PQ 长度的最大值； （3）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写
10、出点 P 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列交通标志是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形定义可得答案 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 2下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A守株待兔 B瓮中捉鳖 C百步穿杨 D水中捞月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、守株待兔，是随机事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、百步穿杨，
11、是随机事件； D、水中捞月，是不可能事件； 故选：D 3一元二次方程 x2160 的解是（ ） Ax4 Bx14，x20 Cx14，x24 Dx8 【分析】先移项，写成 x216 的形式，从而把问题转化为求 16 的平方根 【解答】解：移项得 x216， 开方得，x，4 即 x14，x24 故选：C 4将抛物线 yx2向左平移一个单位，所得抛物线的解析式为（ ） Ayx2+1 Byx21 Cy（x+1）2 Dy（x1）2 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律 【解答】解：将抛物线 yx2向左平移 1 个单位，得 y（x+1）2； 故选：C 5已知现有的 10 瓶饮料中有 2 瓶已过了保质期
12、，从这 10 瓶饮料中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮 料的概率是（ ） A B C D 【分析】直接利用概率公式求解 【解答】解：从这 10 瓶饮料中任取 1 瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率 故选：C 6某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送 1892 张照片，如果全班 有 x 名同学，根据题意，列出方程为（ ） Ax（x+1）1892 Bx（x1）18922 Cx（x1）1892 D2x（x+1）1892 【分析】如果全班有 x 名同学，那么每名同学要送出（x1）张，共有 x 名学生，那么总共送的张数应 该是 x（x1）张，即可列出方程 【解答】解
13、：全班有 x 名同学， 每名同学要送出（x1）张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是 x（x1）1892 故选：C 7如图，点 A、B、C、D 在O 上，AOC120，点 B 是的中点，则D 的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 【分析】连接 OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到AOBCOBAOC60，然后根据 圆周角定理得到D 的度数 【解答】解：连接 OB，如图， 点 B 是的中点， AOBAOC12060， DAOB30 故选：A 8如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在 BC 边上，且 ABCB，则C的度数为（
14、） A18 B20 C24 D28 【分析】 由旋转的性质可得CC， ABAB， 由等腰三角形的性质可得CCAB， BABB， 由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解 【解答】解：ABCB， CCAB， ABBC+CAB2C， 将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC， CC，ABAB， BABB2C， B+C+CAB180， 3C180108， C24， CC24， 故选：C 9圆的直径是 13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D相交或相切 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离 d，再与
15、半径 r 进行比较若 dr， 则直线与圆相交；若 dr，则直线于圆相切；若 dr，则直线与圆相离 【解答】解：圆的直径为 13 cm， 圆的半径为 6.5 cm， 圆心与直线上某一点的距离是 6.5cm， 圆的半径圆心到直线的距离， 直线于圆相切或相交， 故选：D 10从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球运动时间 t（单位：s）之间的函数关系 如图所示下列结论：小球抛出 3 秒时达到最高点；小球从抛出到落地经过的路程是 80m；小球 的高度 h20 时，t1s 或 5s小球抛出 2 秒后的高度是 35m其中正确的有（ ） A B C D 【分析】由图象可知，点（0，0）
16、， （6，0） ， （3，40）在抛物线上，顶点为（3，40） ，设函数解析式为 h a（t3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可 【解答】解：由图象可知，点（0，0） ， （6，0） ， （3，40）在抛物线上，顶点为（3，40） ， 设函数解析式为 ha（t3）2+40， 将（0，0）代入得：0a（03）2+40， 解得：a， h（t3）2+40 顶点为（3，40） ， 小球抛出 3 秒时达到最高点，故正确； 小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为 40280m，故正确； 令 h20，则 20（t3）2+40， 解得 t3，故错误； 令 t2，
17、则 h（23）2+40m，故错误 综上，正确的有 故选：A 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小题） 11已知点 A（a，1）与点 B（5，b）是关于原点 O 的对称点，则 a+b 6 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到 a、b 的值，再算出 a+b 即可 【解答】解：点 A（a，1）与点 B（5，b）是关于原点 O 的对称点， a5，b1， a+b6 故答案为：6 12若某扇形花坛的面积为 6m2，半径为 3m，则该扇形花坛的弧长为 4 m 【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可 【解答】解：设弧长为 l， 扇形的半径为 3m，面积是
18、 6m2， l36， l4 （m） 故答案为 4 13表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 m 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 0.9 （精确到 0.1） 【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率 【解答】解：根据表格数据可知： 苹果树苗移植成活的频率近似值为 0.9， 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 0.9 故答案为：0.9 14已知正六边形的
19、边长为 2，则它的内切圆的半径为 【分析】解答本题主要分析出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为 2 的正三角形的高，从而构造 直角三角形即可解 【解答】解：由题意得，AOB60， AOC30， OC2cos302， 故答案为： 15如图，ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，若B50，则EDF 65 度 【分析】设ABC 的内切圆圆心为 O，连接 OE，OF，根据ABC 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、 F，可得 OEAB，OFBC，再根据四边形内角和可得EOF 的度数，再根据圆周角定理即可得结论 【解答】解：如图，设ABC 的内切圆圆心为 O，连接 OE，OF， ABC 的
20、内切圆与三边分别相切于点 D、E、F， OEAB，OFBC， OEBOFB90， B50， EOF18050130， EDFEOF65 故答案为：65 16如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1） ， （3，1） ， （3，3） ， （1，3） ，若抛物线 yax2的图象与正 方形的边有公共点，则实数 a 的取值范围是 a3 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的 a 的值即可解决问题 【解答】解：设抛物线的解析式为 yax2， 当抛物线经过（1，3）时，a3， 当抛物线经过（3，1）时，a， 观察图象可知a3， 故答案为a3 17如图，在ABC 中，AB10，AC8，BC6，以边 AB 的中
21、点 O 为圆心，作半圆与 AC 相切，点 P， Q 分别是边 BC 和半圆上的动点，连接 PQ，则 PQ 长的最小值是 1 【分析】当 O、Q、P 三点一线且 OPBC 时，PQ 有最小值，设 AC 与圆的切点为 D，连接 OD，分别 利用三角形中位线定理可求得 OD 和 OP 的长，则可求得 PQ 的最小值 【解答】解： 当 O、Q、P 三点一线且 OPBC 时，PQ 有最小值，设 AC 与圆的切点为 D，连接 OD，如图， AC 为圆的切线， ODAC， AC8，BC6，AB10， AC2+BC2AB2， ACB90， ODBC，且 O 为 AB 中点， OD 为ABC 的中位线， ODB
22、C3， 同理可得 POAC4， PQOPOQ431， 故答案为：1 三解答题三解答题 18已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x2+2x+1a20 有一个根为1，求 a 的值 【分析】将 x1 代入原方程可求出 a 值 【解答】解：将 x1 代入原方程，得（a+1）2+1a20， 整理得：a2a0， 即：a（a1）0 解得：a0 或 a1 19在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为 1，ABC 的三个顶点都是网格线的交点，已知 A，B， C 的坐标分别为 （0， 2） ， （1， 1） ， （1， 2） ， 将ABC 绕着点 C 顺时针旋转 90得到ABC 在 图中画出ABC 并写出点 A
23、、点 B的坐标 【分析】将点 A、B 分别绕点 C 顺时针旋转 90得到对应点，再与点 C 首尾顺次连接即可，根据点 A、 B、C 坐标建立平面直角坐标系，从而得出点 A、B的坐标 【解答】解：如图所示，ABC 即为所求， 由图知，点 A（5，1） 、点 B（2，0） 20如图，在O 中，OA 是半径，OA4 （1）用直尺和圆规作 OA 的垂直平分线 BC，BC 与 OA 相交于点 D，BC 与O 相交于点 B，C（保留作 图痕迹，不写作法） ； （2）求线段 BC 的长度 【分析】 （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出符合题意的图形； （2）直接利用勾股定理得出答案 【解答】解： （1）如
24、图所示：直线 BC 即为所求； （2）BC 垂直平分 OA，且 OA4， OD2， OB4，则 BD2， OABC， BC2BD4 21甲、乙两人分别从 A、B、C 这 3 个景点中随机选择 2 个景点游览 （1）求甲选择的 2 个景点是 A、B 的概率； （2）甲、乙两人选择的 2 个景点恰好相同的概率是 【分析】 （1）列举出甲选择的 2 个景点所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率； （2）用树状图表示所有可能出现的结果，再求出两个景点相同的概率 【解答】解：甲选择的 2 个景点所有可能出现的结果如下： （1）共有 6 种可能出现的结果，其中选择 A、B 的有 2 种， P（A、B）
25、； （2）用树状图表示如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中选择景点相同的有 3 种， P（景点相同） 故答案为： 22若 a2+b2c2，则我们把形如 ax2+cx+b0（a0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程” （1）当 a3，b4 时，写出相应的“勾系一元二次方程” ； （2）求证：关于 x 的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b0（a0）必有实数根 【分析】 （1）由 a3，b4，由勾股定理求出 c5，从而得出答案； （2）只要证明0 即可解决问题 【解答】 （1）解：当 a3，b4 时，c5，相应的勾系一元二次方程为 3x25x+40； （2）证明：根据题意，得（c）24ab
26、2（a2+b2）4ab 2（ab）20 即0 勾系一元二次方程 ax2+cx+b0（a0）必有实数根 23如图，利用一面长为 34 米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ABCD，在 AB 和 BC 边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏） 若所用铁栅栏的长为 40 米，矩形 ABCD 的边 AD 长为 x 米，AB 长为 y 米， 矩形的面积为 S 平方米，且 xy （1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）求 S 与 x 的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积 【分析】 （1）根据三边铁栅栏的长度之和为 40 可得 x+（y2）+（x2）40，整理即可
27、得出答案； （2）根据长方形面积公式列出解析式，配方成顶点即可得出答案 【解答】解： （1）根据题意，知 x+（y2）+（x2）40， y2x+44， 自变量 x 的取值范围是 5x； （2）Sxy x（2x+44） 2x2+44x 2（x11）2+242， 当 x11 时，S 取得最大值，最大值为 242，即矩形场地的最大面积为 242m2 24如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交于O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM PN （1）当点 M 在O
28、内部，如图一，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否成立？请说明理由； （3）当点 M 在O 外部，如图三，AMO30，求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）根据切线的判定得出PNOPNM+ONAAMO+ONA 进而求出即可； （2）根据已知得出PNM+ONA90，进而得出PNO1809090即可得出答案； （3）首先根据外角的性质得出AON60进而利用扇形面积公式得出即可 【解答】解： （1）PN 与O 相切 证明：连接 ON， 则ONAOAN， PMPN， PNMPMN， AMOPMN， PNMAMO， PNOP
29、NM+ONAAMO+ONA90， 即 PN 与O 相切 （2）成立 证明：连接 ON， 则ONAOAN， PMPN， PNMPMN， 在 RtAOM 中，OMA+OAM90， PNM+ONA90 PNO1809090 即 PN 与O 相切 （3）连接 ON，由（2）可知ONP90 AMO30，PMPN， PNM30，OPN60， PON30，AON60， 作 NEOD，垂足为点 E， 则 NEONsin301， S阴影SAOC+S扇形AONSCON OCOA+12CONE 11+1 + 25如图，在平面直角坐标系中，抛物线 l1：yx2+bx+c 过点 C（0，3） ，且与抛物线 l2：yx2
30、x+2 的一个交点为 A，已知点 A 的横坐标为 2点 P、Q 分别是抛物线 l1、抛物线 l2上的动点 （1）求抛物线 l1对应的函数表达式； （2）若点 P 在点 Q 下方，且 PQy 轴，求 PQ 长度的最大值； （3）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）将 x2 代入 yx2x+2，从而得出点 A 的坐标，再将 A（2，3） ，C（0，3）代 入 yx2+bx+c，解得 b 与 c 的值，即可求得抛物线 l1对应的函数表达式； （2）设点 P 的坐标为（m，m22m3） ，则可得点 Q 的坐标为（m，m2m+2） ，从而 PQ 等
31、于 点 Q 的纵坐标减去点 P 的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可； （3）设点 P 的坐标为（n，n22n3） ，分两类情况：第一种情况：AC 为平行四边形的一条边；第二种 情况： AC 为平行四边形的一条对角线 分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上， 得出关于 n 的方程， 解得 n 的值，则点 P 的坐标可得 【解答】解： （1）将 x2 代入 yx2x+2，得 y3， 点 A 的坐标为（2，3） 将 A（2，3） ，C（0，3）代入 yx2+bx+c，得， 解得， 抛物线 l1对应的函数表达式为 yx22x3； （2）点 P、Q 分别是抛物线 l1、抛物线 l2上的动点 设点 P
32、的坐标为（m，m22m3） ， 点 P 在点 Q 下方，PQy 轴， 点 Q 的坐标为（m，m2m+2） ， PQm2m+2（m22m3） m2+m+5， 当 m时，PQ 长度有最大值，最大值为：+5； PQ 长度的最大值为； （3）设点 P 的坐标为（n，n22n3） ， 第一种情况：AC 为平行四边形的一条边 当点 Q 在点 P 右侧时，点 Q 的坐标为（n+2，n22n3） ， 将 Q 的坐标代入 yx2x+2，得 n22n3（n+2）2（n+2）+2， 解得，n0 或 n1 n0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，舍去， n1， 点 P 的坐标为（1，0） ； 当点 Q 在点 P 左侧时，点 Q 的坐标为（n2，n22n3） ， 将 Q 的坐标代入 yx2x+2，得 n22n3（n2）2（n2）+2， 解得 n3 或 n 此时点 P 的坐标为（3，0）或（，） ； 第二种情况：AC 为平行四边形的一条对角线 点 Q 的坐标为（2n，n2+2n3） ，将 Q 的坐标代入 yx2x+2， 得n2+2n3（2n）2（2n）+2， 解得，n0 或 n3 n0 时，点 P 与点 C 重合，不符合题意，舍去， n3， 点 P 的坐标为（3，12） 综上所述，点 P 的坐标为（1，0）或（3，0）或（，）或（3，12）
