1、第第 3 章章 函数函数 真题复习集锦真题复习集锦 1二次函数 2 (0)yaxbxc a的图像如图所示，下列结论正确是( ) A0abc B20ab C30ac D 2 30axbxc有两个不相等 的实数根 2已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是 x=1，下列结论：abc0；b24ac； a+b+c0；3a+c0，其中正确结论的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3如图是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A(3，0)，对称轴为直线 x1，下列结论： b24ac；2a+b0；a+b+c0；若 B(5，y1)、C(1，y2)为函
2、数图象上的两点，则 y1y2其中 正确结论是（ ） A B C D 4如图，点 A，B 在双曲线 y= 3 x （x0）上，点 C 在双曲线 y= 1 x （x0）上，若 ACy 轴，BCx 轴， 且 AC=BC，则 AB 等于（ ） A 2 B2 2 C4 D3 2 5如图所示， 四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 四边形 EFGH 是边长为 2 的正方形， 点 D 与点 F 重合， 点 B、D（F） 、H 在同一条直线上.将正方形 ABCD 沿 FH 方向平移到点 B 与点 H 重合时停止.设点 D，F 之间的距离为 x， 正方形 ABCD 与正方形 EFGH 重叠部分的面积为 y
3、， 则能大致反映 y 与 x 之间函数关系的 图像是（ ）. A B C D 6如图，在矩形ABCD中，ABAD，对角线 ,AC BD相交于点O，动点P由点A出发，沿 ABBCCD向点D运动设点P的运动路程为x，AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图 所示，则AD边的长为( ) A3 B4 C5 D6 7如图，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿AD、DC、CB运动至点B停止，设点P运动的 路程为x，ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象所示，则APB的最大面积是（ ） A8 B40 C18 D144 8如图，已知反比例函数(0) k yk x 在第一象限的图象上有 A、B 两点，过点
4、 B 作BCy轴于点 C， 现有一动点P从点A出发， 沿ABC匀速运动， 终点为C， 在点P的运动过程中， 分别过点P作PMx 轴于点 M，PNy轴于点 N，设四边形 OMPN 的面积为 S，P 点运动的时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象 大致是( ) A B C D 9如图，在 ABC 中，C90 ，AB10cm，cosB 4 5 点 M、N 分别是边 BC 和 AC 上的两个动点，点 M 以 2cm/s 的速度沿 CB方向运动， 同时点N 以 1cm/s 的速度沿AC 方向运动， 当其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为 t，四边形 ABMN 的面积为 S，则下列能
5、大致反映 S 与 t 函数关系的 图象是（ ） A B C D 10如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 为正方形边上一动点，若点 P 从点 A 出发沿 ADCBA 匀速运动一周设点 P 走过的路程为 x， ADP 的面积为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是 （ ） A B C D 11 如图， 已知抛物线 2 1 2 yxbxc与x轴相交于6,0A ，10B ,， 与y轴相交于点C， 直线lAC， 垂足为C （1）求该抛物线的表达式： （2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； （3）设动点P m n,在该抛物线上，当45PAC时，求m的值 12如图
6、，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（一 1，0） ，B（3，0）两点，过点 A 的直线 l 交抛物线于点 C （2，m） （1）求抛物线的解析式 （2）点 P 是线段 AC 上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 E，求线段 PE 最大时点 P 的坐标 （3）点 F 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 D，使得以点 A，C，D，F 为顶点的四边形是平行四边 形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 D 的坐标；如果不存在，请说明理由 13 一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙 地货车的路程 1 y（km） ，小
7、轿车的路程 2 y（km）与时间 x（h）的对应关系如图所示 （1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？ （2）写出 1 y与 x 的函数关系式； 当 x5 时，求 2 y与 x 的函数解析式； （3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？ 14如图，lA、lB分别表示 A 步行与 B 骑车在同一路上行驶的路程 S 与时间 t 的关系 (1)B 出发时与 A 相距_千米； (2)走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是_小时； (3)B 出发后_小时与 A 相遇； (4)求出 A 行走的路程 S 与时间 t 的函数关系式； （写出计算过程） (5)请通过
8、计算说明：若 B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与 A 相遇 15 甲船从 A 港出发顺流匀速驶向 B 港， 行至某处， 发现船上一救生圈不知何时落入水中， 立刻原路返回， 找到救生圈后，继续顺流驶向 B 港乙船从 B 港出发逆流匀速驶向 A 港已知救生圈漂流的速度和水流速 度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同甲、乙两船到 A 港的距离 y1、y2（km）与行驶时间 x（h）之间 的函数图象如图所示 （1）写出乙船在逆流中行驶的速度 （2）求甲船在逆流中行驶的路程 （3）求甲船到 A 港的距离 y1与行驶时间 x 之间的函数关系式 （4）求救生圈落入水中时，甲船到 A 港的距离
9、 （参考公式： 船顺流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度， 船逆流航行的速度船在静水中航行 的速度水流速度 ） 16 如图， 平面直角坐标系中， 直线y2x 2 与 x 轴， y 轴分别交于 A， B 两点， 与反比例函数 k y(x0) x 的图象交于点M a,4 1求反比例函数 k y(x0) x 的表达式； 2若点 C 在反比例函数 k y(x0) x 的图象上，点 D 在 x 轴上，当四边形 ABCD 是平行四边形时，求点 D 的坐标 17如图，一次函数 yx+4 的图象与反比例函数 y k x （k 为常数且 k0）的图象交于 A（1，3） ，B（b， 1）两点 （1）求反比例函
10、数的表达式； （2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，并求满足条件的点 P 的坐标； （3）连接 OA，OB，求 OAB 的面积 18如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别落在 x 轴，y 轴的正半轴上，顶点 B（2，2 3） ，反比例函数 k y x （x0）的图象与 BC，AB 分别交于 D，E，BD1 2 （1）求反比例函数关系式和点 E 的坐标； （2）写出 DE 与 AC 的位置关系并说明理由； （3）点 F 在直线 AC 上，点 G 是坐标系内点，当四边形 BCFG 为菱形时，求出点 G 的坐标并判断点 G 是 否在反比例函数图象上 19如图，在平面直角坐标系中
11、，OAOB，ABx 轴于点 C，点 A（3，1）在反比例函数 k y x 的图 象上 （1）求反比例函数 k y x 的表达式； （2）在 x 轴的负半轴上存在一点 P，使得 S AOP= 1 2 S AOB，求点 P 的坐标； （3）若将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60 得到 BDE，直接写出点 E 的坐标，并判断点 E 是否在该反 比例函数的图象上，说明理由 20如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）与双曲线 y= 相交于点 A，B已知点 B 的坐标为（2，2） ，点 A 在第一象限内，且 tanAOx=4过点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点 C （1）求双曲线和抛物线
12、的解析式； （2）计算 ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使 ABD 的面积等于 ABC 的面积若存在，请你写出点 D 的坐标；若 不存在，请你说明理由 21如图，抛物线 2 2yxxc与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点 ,A B，且,OAOB 点G为抛物 线的顶点 1求抛物线的解析式及点 G 的坐标； 2点,M N为抛物线上两点(点M在点N的左侧) ，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长 度，点Q为抛物线上点,M N之间(含点,M N)的一个动点，求点Q的纵坐标 Q y 的取值范围 22 如图， 已知二次函数 2 3 8 yxbxc 的图象与x轴交于点,A C， 与
13、y轴交于点B， 直线 3 3 4 yx经 过点,A B （1）求, b c的值； （2）若点P是直线AB上方抛物线的一部分上的动点，过点 P 作PFx轴于点 F，交直线 AB 于点 D， 求线段PD的最大值 （3）在（2）的条件下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以 ,C D G Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 1C 2C 3C 4B 5B 6B 7B 8A 9C 10D 11 （1） 2 15 3 22 yxx； （2）点D的坐标为1, 5 ； （3）m的值为 5 3 或-5 12 （1）
14、 2 23yxx； （2）线段 PE 最大时点 P 的坐标为（ 1 2 ， 3 2 ） ； （3）存在，此时点 D 的坐标为 （47，0）或（47，0）或（1，0）或（-3，0） 13 （1）420，2； （2） 1 60yx（0 x7） ； 2 100230yx（x5） ； （3）货车出发 4.5 小时后首次与小轿车相遇，距离甲地 270km 14 （1）10； （2）1； （3）3； （4）510St； （5）1 小时 （1）根据函数图象可知，B 出发时与 A 相距 10 千米， 故答案为 10； （2）根据函数图象可知，走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是 1.50.5=1
15、 小时， 故答案为 1； （3）根据图象可知 B 出发后 3 小时时与 A 相遇； （4）根据函数图象可知直线 lA经过点（0，10） ， （3，25） 设直线 lA的解析式为：S=kt+b，则 b10 3kb25 解得，k=5，b=10 即 A 行走的路程 S 与时间 t 的函数关系式是：S=5t+10； （5）设直线 lB的解析式为：S=kt， 点（0.5，7.5）在直线 lB上， 7.5=k 0.5 得 k=15 S=15t 510 15 St St 解得 S=15，t=1 故若 B 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，1 小时时与 A 相遇 15解： （1）乙船在逆流中行驶的速度
16、为 6km/h （2）甲船在逆流中行驶的路程为62.523(km) （3）设甲船顺流的速度为akm/h， 由图象得233.5 2.524aa 解得 a9 当 0 x2 时， 1 9yx 当 2x2.5 时，设 11 6yxb 把2x， 1 18y 代入，得 1 30b 1 630yx 当 2.5x3.5 时，设 12 9yxb 把3.5x ， 1 24y 代入，得 2 7.5b 1 97.5yx （4）水流速度为9621.5(km/h) 设甲船从 A 港航行 x 小时救生圈掉落水中 根据题意，得91.5 2.59 2.5 7.5xx 解得1.5x 1.5 9 13.5 即救生圈落水时甲船到 A
17、 港的距离为 13.5 km 16 （1）y= 4 x （2） （1，0） 解： （1）点 M（a，4）在直线 y=2x+2 上， 4=2a+2， 解得 a=1， M（1，4） ，将其代入 y= k x 得到：k=xy=1 4=4， 反比例函数 y= k x （x0）的表达式为 y= 4 x ； （2）平面直角坐标系中，直线 y=2x+2 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点， 当 x=0 时，y=2 当 y=0 时，x=1， B（0，2） ，A（1，0） BCAD， 点 C 的纵坐标也等于 2，且点 C 在反比例函数图象上， 将 y=2 代入 y= 4 x ，得 2= 4 x ， 解得
18、x=2， C（2，2） 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD 且 BD=AD， 由 B（0，2） ，C（2，2）两点的坐标知，BCAD 又 BC=2， AD=2， A（1，0） ，点 D 在点 A 的右侧， 点 D 的坐标是（1，0） 17 （1） 3 y x ； （2）点 P 的坐标为（ 5 2 ，0） ； （3）4 （1）将点 A(1，3)代入 y k x 得：3 1 k ，解得：k3， 反比例函数的表达式为：y 3 x ； （2）把 B(b，1)代入 yx+4 得：b+41，解得：b3， 点 B 的坐标为(3，1)， 作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点
19、P，此时 PA+PB 的值最小，如图， 点 B 的坐标为(3，1)， 点 D 的坐标为(3，1) 设直线 AD 的函数表达式为：ymx+n， 将点 A(1，3） 、D(3，1)代入 ymx+n，得 3 31 mn mn ，解得 2 5 m n ， 直线 AD 的函数表达式为：y2x+5， 当 y0 时，2x+50，解得：x 5 2 ， 点 P 的坐标为( 5 2 ，0)； （3）设直线 AB 与 y 轴交于 E 点，如图， 令 x0，则 y0+44，则点 E 的坐标为(0，4)， S OABS OBES AOE 1 2 4 3 1 2 4 14 18 （1） 3 33 3 ,2, 2 yE x
20、 ； （2）/DE AC，理由见解析； （3）点 G 的坐标为 3, 3或 1,3 3，这 两个点都在反比例函数图象上 解： （1）B（2，2 3） ，则 BC2， 而 BD 1 2 ， CD2 1 2 3 2 ，故点 D（ 3 2 ，2 3） ， 将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：2 33 2 K ，解得 k3 3， 故反比例函数表达式为 y 3 3 x ， 当 x2 时，y 3 3 2 ，故点 E（2， 3 3 2 ） ； （2）由（1）知，D（ 3 2 ，2 3） ，点 E（2， 3 3 2 ） ，点 B（2，2 3） ， 则 BD 1 2 ，BE 3 2 ， 故 BD BC 1
21、2 2 1 4 ， EB AB 3 2 2 3 1 4 BD BC ， DEAC； （3）当点 F 在点 C 的下方时，如下图， 过点 F 作 FHy 轴于点 H， 四边形 BCFG 为菱形，则 BCCFFGBG2， 在 RT OAC 中，OABC2，OBAB2 3， 则 tanOCA AO CO 2 2 3 3 3 ，故OCA30 ， 则 FH 1 2 FC1，CHCFcosOCA2 3 2 3， 故点 F（1， 3） ，则点 G（3，3） ， 当 x3 时，y 3 3 X 3，故点 G 在反比例函数图象上； 当点 F 在点 C 的上方时， 同理可得，点 G（1，3 3） ， 同理可得，点
22、G 在反比例函数图象上； 综上，点 G 的坐标为（3， 3）或（1，33） ，这两个点都在反比例函数图象上 19 （1） 3 y x ； （2）P（2 3 ，0） ； （3）E（ 3 ，1） ，在 （1）点 A（3，1）在反比例函数 k y x 的图象上， k= 3 1=3， 反比例函数的表达式为 3 y x ； （2）A（3，1） ，ABx 轴于点 C， OC= 3，AC=1，由射影定理得 2 OC=ACBC， 可得 BC=3，B（3，3） ，S AOB= 1 2 3 4=2 3， S AOP= 1 2 S AOB= 3 设点 P 的坐标为（m，0） ， 1 2 |m| 1= 3， |m|=
23、2 3， P 是 x 轴的负半轴上的点， m=2 3 ， 点 P 的坐标为（2 3，0） ； （3）点 E 在该反比例函数的图象上，理由如下： OAOB，OA=2，OB=2 3，AB=4， sinABO= OA AB = 2 4 = 1 2 ， ABO=30 ， 将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60 得到 BDE， BOABDE， OBD=60 ， BO=BD=2 3， OA=DE=2， BOA=BDE=90 ， ABD=30 +60 =90 ， 而 BDOC= 3，BCDE=1， E（3，1） ， 3 （1）= 3， 点 E 在该反比例函数的图象上 20 （1）y=4 y=x 2+3
24、x； （2）15； （3） （3，18） 试题解析： （1）把点 B（-2，-2）的坐标，代入 y= ， 得：-2= 2， k=4 即双曲线的解析式为：y=4 设 A 点的坐标为（m，n） A 点在双曲线上， mn=4 又tanAOx=4， =4，即 n=4m 由，得：m2=1， m= 1 A 点在第一象限， m=1，n=4， A 点的坐标为（1，4） 把 A、B 点的坐标代入 y=ax2+bx，得： 4 = + 2 = 4 2 ， 解得 a=1，b=3 抛物线的解析式为：y=x2+3x； （2）ACx 轴， 点 C 的纵坐标 y=4， 代入 y=x2+3x，得方程 x2+3x-4=0， 解得
25、 x1=-4，x2=1（舍去） C 点的坐标为（-4，4） ，且 AC=5， 又ABC 的高为 6， ABC 的面积=1 2 5 6=15； （3）存在 D 点使 ABD 的面积等于 ABC 的面积 过点 C 作 CDAB 交抛物线于另一点 D ABD 与 ABC 同底等高， ABD 的面积等于 ABC 的面积， 因为直线 AB 相应的一次函数是：y=2x+2，且 C 点的坐标为（-4，4） ，CDAB， 所以直线 CD 相应的一次函数是：y=2x+12 解方程组 = 2 + 3 = 2 + 12 ， x2+3x=2x+12， 即 x=3 或 x=-4， 当 x=3 时，y=18， 当 x=-
26、4 时，y=4， = 3 = 18 或 = 4 = 4 （不合题意，舍去） ， 所以点 D 的坐标是（3，18） 考点：二次函数综合题 21 （1） 2 yx2x3 ，G（1,4） ； （2）21 Q y4. 解： （1）抛物线 2 2yxxc与y轴正半轴分别交于点 B， B 点坐标为（c，0） ， 抛物线 2 2yxxc经过点 A， c2+2c+c=0， 解得 c1=0（舍去） ，c2=3， 抛物线的解析式为 2 yx2x3 2 yx2x3 =（x1）2+4， 抛物线顶点 G 坐标为（1,4） （2）抛物线 2 yx2x3 的对称轴为直线 x=1， 点 M,N 到对称轴的距离分别为 3 个单
27、位长度和 5 个单位长度 ， 点 M 的横坐标为2 或 4，点 N 的横坐标为4 或 6， 点 M 的纵坐标为5，点 N 的纵坐标为21， 又点 M 在点 N 的左侧， 当 M 坐标为（2，5）时，点 N 的坐标为（6，21） ， 则21 Q y4 当当 M 坐标为（4，5）时，点 N 的坐标为（6，21） ， 则21 Q y5， Q y 的取值范围为21 Q y4 22 （1）b= 3 4 ，c=3； （2） 3 2 ； （3）存在，G（1， 15 8 ）或(5， 21 8 )或(3， 21 8 ) 解： （1）由 3 3 4 yx得， 当0 x时，y3；当0y 时，4x， 即 3 3 4
28、yx与坐标轴的交点坐标为( 4,0), (0,3)AB 分别将4,0;0,3xyxy 代入 2 3 8 yxbxc ， 得 2 3, 3 0( 4)4 8 c bc 解得，b= 3 4 ，c=3 （2）由（1）得 y 3 8 x 3 4 x3， 设点 P（m， 3 8 m 3 4 m3） ， 则 D（m， 3 4 m3） PD= 3 8 m 3 4 m3( 3 4 m3)= 3 8 m 3 2 m= 3 8 (m2) 3 2 所以当 m2 时，PD 最大，最大值是 3 2 （3）存在点 G ，使得以 C、D、G、Q 为顶点的四边形是平行四边形他们分别是：G(1，15 8 )或 G(3， 21
29、8 )或 G(5， 21 8 )理由如下： 由（2）得 m=-2 时，点 D(-2， 3 2 )，由二次函数 2 33 3 84 yxx 可求得点 C(2，0)，对称轴为 x-1 设 G(n， 3 8 n 3 4 n3)，Q(1，p)，CD 与 y 轴交于点 E，显然 E 为 CD 中点 当 CD 为对角线时，对角线 QE 的中点即为点 E，由中点坐标公式可得： n（-1）=0，所以 n1，此时点 G（1， 15 8 ） 当 CD 为边时， i）若 G 在 Q 上边，由平行四边形及平移的性质可知，点 D 向右平移 4 个单位，向下平移 3 2 个单位到点 C， 故点 G 也同样的平移到点 Q， 则 n4-1，则 n=-5，此时点 G(5， 21 8 ) ii） 若 G 在 Q 下边， 由平行四边形及平移的性质可知， 点 D 向右平移 4 个单位， 向下平移 3 2 个单位到点 C， 故点 Q 也同样的平移到点 G，则-14n，则 n=3，此时点 G(3， 21 8 )
