1、2020-2021 学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷 A 卷卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列实数中，最小的数是（ ） A B C1 D 2在平面直角坐标系中，点 A（x，y）位于 y 轴正半轴，距离原点 3 个单位长度，则点 A 的坐标为（ ） A （3，0） B （0，3） C （3，0） D （0，3） 3如图，直线 ABCD，B50，D20，则E 的度数是（ ） A20 B30 C50 D70 4下列计算正确的是（ ） A5 B431 C D9 5甲，乙，丙，丁四位同学本学期 5
2、 次 50 米短跑成绩的平均数 （秒）及方差 S2如下表所示若从这四 位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7.5 s2 0.45 0.2 0.2 0.45 A甲 B乙 C丙 D丁 6下列关于一次函数 y2x+2 的图象的说法中，错误的是（ ） A函数图象经过第一、二、四象限 B函数图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） C当 x0 时，y2 Dy 的值随着 x 值的增大而减小 7如图所示，8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为 x，宽为 y，则依 据题意可得二元一次方程组为（ ） A B C
3、D 8下列命题中，是真命题的为（ ） A两个无理数的和还是无理数 B三边长为，的三角形为直角三角形 C两个角的两边分别平行，则这两个角相等 D说明命题“如果 a2b2，则 ab”是假命题的一个反例是：a2，b2 9如图，直线 l1：y3x+1 与直线 l2：ymx+n 相交于点 P（1，b） ，则关于 x，y 的方程组的解 为（ ） A B C D 10如图，在长方形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，连接 ED，若 ED5，EC3，则长方形的周 长为（ ） A20 B22 C24 D26 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共
4、分，共 16 分，答案写在答题卡上）分，答案写在答题卡上） 11已知|a+1|+0，则 ab 12第一象限内的点 P（2，a4）到坐标轴的距离相等，则 a 的值为 13一次函数 y2x+b 的图象沿 y 轴平移 3 个单位后得到一次函数 y2x+1 的图象，则 b 值为 14如图，在ABC 中，BAC100，ADBC 于 D 点，AE 平分BAC 交 BC 于点 E若C26， 则DAE 的度数为 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分） 15 （1）计算： （2）6； （2）解方程组： 16已知，求 a2+b23ab 的值 17如图，已知ABC 的两个顶点的坐标分别为 A（1，1）和 B（
5、2，4） （1）请补全原有的直角坐标系； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的ABC，其中点 A，B，C 的对应点分别为 A，B，C，写出点 C 的坐标 ； （3）点 P 是 y 轴上一动点，当 BP+CP 取最小值时，写出点 P 的坐标： 18为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某学校举行了一次“垃圾分类”的知小测试，现随机抽取 20 名 学生的测试成绩（满分 10 分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出该组数据的中位数 分，众数 分，并计算这组数据的平均数； （2）你认为（1）中的三个统计量， 更能反映学生测试成绩的“平均水平” ； （3
6、）该校共 2000 名学生参加了本次测试，试估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约 有多少人？ 19如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yk1x+b（k10）经过点 A（4，0） ，B（0，2） ，与直线 l2：y k2x（k20）交于点 P（a，1） （1）求直线 l1、l2的表达式； （2）C 为直线 l1上一点，过点 C 作直线 mx 轴于 E，直线 m 交 l2于点 D当 CD3ED 时，求 C 点的 坐标 20.如图，在ABC 中，ABC 的角平分线与外角ACD 的角平分线相交于点 E （1）设A，用含 的代数式表示E 的度数； （2）若 ECAB，AC4，求线段 CE
7、 的长； （3）在（2）的条件下，过点 C 作ACB 的角平分线交 BE 于点 F，若 CF3，求边 AB 的长 B 卷卷 四、填空题（每小题四、填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21比较大小： （填“” ， “”或“” ） 22已知方程组的解 x，y 满足 x+y2，则 k 的值为 23 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kn，门槛的意思）一尺，不合二 寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，推开双门，双门间隙 CD 的距 离为 2 寸，点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为 1 尺（1 尺10 寸） ，则 AB
8、的长是 寸 24如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC6，D 为 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AEAD， 取 AEAD，连接 BE 交 AC 于 F当AEF 为等腰三角形时，CD 25在平面直角坐标系 xOy 中，我们把点 O，A（0，4） ，B（8，4） ，C（8，0）顺次连接起来，得到一个 长方形区域，P 为该区域（含边界）内一点若将点 P 到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为 d， 则称 P 为“d 距点” 例如：点 P（5，3）称为“4 距点” 当 d3 时，横、纵坐标都是整数的点 P 的个 数为 个 二解答题（共二解答题（共 30 分）分） 26 “新冠肺炎疫情
9、期间，戴口罩成为了每个人外出时的习惯为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采 用 A、B 两类不同的包装方式出售医用口罩A 类包装每包装有 10 只口罩，按 15 元/包定价销售；B 类 包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表： 口罩的数量 售价 不超过 10 只的部分 2 元/只 10 只以上的部分 1.6 元/只 设共购买口罩的数量为 x 只（x 为 10 的倍数） ，购买 A 类包装口罩的金额为 y1元，购买 B 类包装口罩的 金额为 y2元 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式，并直接写出当 x10 时 y2与 x 之间的函数关系式； （2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共
10、有 100 只，且购买的 B 类包装口罩不低于 10 只，合计付款 160 元，求小颖买了多少包 A 类包装口罩 27 【背景】在ABC 中，分别以边 AB、AC 为底，向ABC 外侧作等腰直角三角形 ABD 和等腰直角三角 形 ACE，ADBAEC90 【研究】点 M 为 BC 的中点，连接 DM，EM，研究线段 DM 与 EM 的位置关系与数量关系 （1）如图（1） ，当BAC90时，延长 EM 到点 F，使得 MFME，连接 BF此时易证EMC FMB，D、B、F 三点在一条直线上进一步分析可以得到DEF 是等腰直角三角形，因此得到线段 DM 与 EM 的位置关系是 ，数量关系是 ； （
11、2）如图（2） ，当BAC90时，请继续探究线段 DM 与 EM 的位置关系与数量关系，并证明你的结 论； （3） 【应用】如图（3） ，当点 C，B，D 在同一直线上时，连接 DE，若 AB2，AC4，求 DE 的长 28 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 AB： ykx+3k （k0） 交 x 轴于点 B， 交 y 轴于点 A， AB3 （1）求点 A 的坐标； （2）点 C 为 x 轴正半轴上一点，BAOACO，点 M 为线段 AC 上一动点，设 M 的纵坐标为 a（a 0） ，请用含 a 的代数式表示点 M 到 y 轴的距离 d； （3）在（2）的条件下，过点 M 作 MN
12、AB 交 x 轴于点 N，连接 BM，AN，当ABM 为等腰三角形时， 求AMN 的面积 2020-2021 学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷学年四川省成都市高新区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列实数中，最小的数是（ ） A B C1 D 【分析】根据负数大小比较法则进行解答便可 【解答】解；，|1|1， 又， 最小的数是 故选：D 2在平面直角坐标系中，点 A（x，y）位于 y 轴正半轴，距离原点 3 个单位长度，则点 A 的坐标为（ ） A （3，0） B （0，3） C （3，0） D （0
13、，3） 【分析】根据点的坐标特点解答即可 【解答】解：点 A（x，y）位于 y 轴正半轴，距离原点 3 个单位长度， 点 A 的坐标为（0，3） ， 故选：B 3如图，直线 ABCD，B50，D20，则E 的度数是（ ） A20 B30 C50 D70 【分析】 根据平行线的性质， 得出BMDB50， 再根据BMD 是CDE 的外角， 即可得出E 【解答】解：ABCD， BMDB50， 又BMD 是CDE 的外角， EBMDD502030 故选：B 4下列计算正确的是（ ） A5 B431 C D9 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案 【解答】解：A、5，故此选项错误； B
14、、43，故此选项错误； C、，故此选项正确； D、3，故此选项错误； 故选：C 5甲，乙，丙，丁四位同学本学期 5 次 50 米短跑成绩的平均数 （秒）及方差 S2如下表所示若从这四 位同学中选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加学校比赛，则应该选的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 7 7 7.5 7.5 s2 0.45 0.2 0.2 0.45 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越 小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 【解答】解：乙的平均分最好，方差最小，最稳定， 应选乙 故选：B 6下列关于一次函数 y2
15、x+2 的图象的说法中，错误的是（ ） A函数图象经过第一、二、四象限 B函数图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） C当 x0 时，y2 Dy 的值随着 x 值的增大而减小 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题 【解答】解：A、k20，b20，函数图象经过第一、二、四象限，说法正确； B、y0 时，x1，函数图象与 x 轴的交点坐标为（1，0） ，说法错误； C、当 x0 时，y2，说法正确； D、k20，y 的值随着 x 值的增大而减小，说法正确； 故选：B 7如图所示，8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为 x，宽为 y，则依
16、据题意可得二元一次方程组为（ ） A B C D 【分析】 设每一个小长方形的长为 x， 宽为 y， 根据大长方形的宽为 15 及小长方形的长与宽之间的关系， 即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解 【解答】解：设每一个小长方形的长为 x，宽为 y， 依题意，得： 故选：A 8下列命题中，是真命题的为（ ） A两个无理数的和还是无理数 B三边长为，的三角形为直角三角形 C两个角的两边分别平行，则这两个角相等 D说明命题“如果 a2b2，则 ab”是假命题的一个反例是：a2，b2 【分析】直接利用勾股定理逆定理以及命题与定理、无理数的定义分别判断得出答案 【解答】解：A、两个无理数的和
17、不一定是无理数，例如：+（）0，故此选项错误； B、三边长为，的三角形不是直角三角形，因为（）2+（）2（）2，故此选项错 误； C、两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故此选项错误； D、说明命题“如果 a2b2，则 ab”是假命题的一个反例是：a2，b2，故此选项正确 故选：D 9如图，直线 l1：y3x+1 与直线 l2：ymx+n 相交于点 P（1，b） ，则关于 x，y 的方程组的解 为（ ） A B C D 【分析】首先把 P（1，b）代入直线 l1：y3x+1 即可求出 b 的值，从而得到 P 点坐标，再根据两函数图 象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案
18、【解答】解：直线 y3x+1 经过点 P（1，b） ， b3+1， 解得 b4， P（1，4） ， 关于 x，y 的方程组的解为， 故选：C 10如图，在长方形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，连接 ED，若 ED5，EC3，则长方形的周 长为（ ） A20 B22 C24 D26 【分析】 直接利用勾股定理得出 DC 的长， 再利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质得出 BE 的长， 进而得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是长方形， BC90，ABDC， ED5，EC3， DC4， 则 AB4， AE 平分BAD 交 BC 于点 E， BAEDAE， ADBC， D
19、AEAEB， BAEBEA， ABBE4， 长方形的周长为：2（4+4+3）22 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11已知|a+1|+0，则 ab 2 【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】解：由题意得，a+10，b20， 解得 a1，b2， 所以，ab122 故答案为：2 12第一象限内的点 P（2，a4）到坐标轴的距离相等，则 a 的值为 6 【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点以及到坐标轴距离相等点的特征得出答案 【解答】解：第一象限内的点 P（2，a4）到坐标轴的距离相等， 2a4， 解得：a6 故答案为：6 1
20、3 一次函数 y2x+b 的图象沿 y 轴平移 3 个单位后得到一次函数 y2x+1 的图象， 则 b 值为 2 或 4 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式，对应得到 b31，解得即可 【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y2x+b32x+1 b31， b2 或 4， 故答案为：2 或 4 14如图，在ABC 中，BAC100，ADBC 于 D 点，AE 平分BAC 交 BC 于点 E若C26， 则DAE 的度数为 14 【分析】利用垂直的定义得到ADC90，再根据三角形内角和计算出CAD64，接着利用角平 分线的定义得到CAE50，然后计算CADCAE 即可 【解答】解：A
21、DBC， ADC90， CAD180ADCC180902664， AE 平分BAC， CAEBAC10050， DAECADCAE645014 故答案为 14 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 15 （1）计算： （2）6； （2）解方程组： 【分析】 （1）利用二次根式的运算法则可求解； （2）解方程可求解 【解答】解： （1）原式3636； （2） 3 得：9x6y3， 2 得：4x+6y14， +得：x， 把 x代入得：y， 方程组的解为： 16已知，求 a2+b23ab 的值 【分析】首先利用配方法对多项式进行变形整理，再把 a、b 的值代入，进行计算即可 【解答】解：， a
22、+b4， a2+b23ab（a+b）25ab425111 17如图，已知ABC 的两个顶点的坐标分别为 A（1，1）和 B（2，4） （1）请补全原有的直角坐标系； （2）画出ABC 关于 y 轴对称的ABC，其中点 A，B，C 的对应点分别为 A，B，C，写出点 C 的坐标 （4，2） ； （3）点 P 是 y 轴上一动点，当 BP+CP 取最小值时，写出点 P 的坐标： （0，2） 【分析】 （1）如图所示； （2）利用关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A、B、C 关于 y 轴的对应点 A、B、C的坐标，然后 描点即可； （3）连接 CB 交 y 轴于点 P，利用对称的性质和两点之间线段
23、最短，可求点 P 坐标 【解答】解： （1）如图所示： （2）如图所示：点 C（4，2） ， 故答案为（4，2） ； （3）如图，连接 CB 交 y 轴于点 P， 点 P（0，2） ， 故答案为（0，2） 18为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，某学校举行了一次“垃圾分类”的知小测试，现随机抽取 20 名 学生的测试成绩（满分 10 分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接写出该组数据的中位数 7.5 分，众数 8 分，并计算这组数据的平均数； （2）你认为（1）中的三个统计量， 平均数（或中位数） 更能反映学生测试成绩的“平均水平” ； （3）该
24、校共 2000 名学生参加了本次测试，试估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约 有多少人？ 【分析】 （1）由中位数，众数，平均数的定义可求解； （2）平均数（或中位数）更能反映学生测试成绩的“平均水平” ； （3）由总的学生数样本中测试成绩不低于“平均水平”的学生的百分比，即可求解 【解答】解： （1）由题意可得：20 名学生的测试成绩为 5，5，6，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8， 8，9，9，10，10，10， 中位数为7.5， 众数为8， 平均数7.5； 故答案为：7.5，8； （2）平均数（或中位数）更能反映学生测试成绩的“平均水平” ， 故答案为平均数（或中
25、位数） ； （3）20001000（人） ， 答：估计参加此次测试成绩不低于“平均水平”的学生人数约有 1000 人 19如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：yk1x+b（k10）经过点 A（4，0） ，B（0，2） ，与直线 l2：y k2x（k20）交于点 P（a，1） （1）求直线 l1、l2的表达式； （2）C 为直线 l1上一点，过点 C 作直线 mx 轴于 E，直线 m 交 l2于点 D当 CD3ED 时，求 C 点的 坐标 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式； （2）设点 C（t，t+2） ，点 D（t，t） ，点 E（t，0） ，由线段关系列出方程可求解 【解答】解：
26、（1）直线 l1：yk1x+b（k10）经过点 A（4，0） ，B（0，2） ， ， ， 直线 l1的解析式为 yx+2， 当 y1 时，x2， 点 P（2，1） ， 12k2， k2， 直线 l2的解析式为 yx； （2）设点 C（t，t+2） ，点 D（t，t） ，点 E（t，0） ， CD|t+2t|t+2|，DE|t|， CD3DE， |t+2|t|， t或4， 点 C（4，4）或（，） 20.如图，在ABC 中，ABC 的角平分线与外角ACD 的角平分线相交于点 E （1）设A，用含 的代数式表示E 的度数； （2）若 ECAB，AC4，求线段 CE 的长； （3）在（2）的条件下，
27、过点 C 作ACB 的角平分线交 BE 于点 F，若 CF3，求边 AB 的长 【分析】 （1）设ABECBEx，ACEECDy，利用三角形的外角的性质，构建方程组求解即 可 （2）证明 CACBCE，可得结论 （3）如图，连接 AF，过点 C 作 CTBE 于 T解直角三角形求出 EF，BE，BF，再利用相似三角形的 性质求解即可 【解答】解： （1）设ABECBEx，ACEECDy，则有， 可得EA. （2）ECAB， ABEE， ABC2ABE，A2E， AABC，ECBE， CACB4，CECB4 （3）如图，连接 AF，过点 C 作 CTBE 于 T，延长 CF 交 AB 于 R C
28、F 平分ACB，CE 平分ACD， FCE（ACB+ACD）90， CF3，CE4， EF5， SCEFECCFEFCT， CT， 在 RtBCT 中，BT， CBCE，CTBE， BTTE， BE2BT， BFBEEF5， CACB，CF 平分ACB， CRAB，BRAR， 设 BRx，RFy， 则有， 解得（不符合题意的解已经舍弃） AB2BR 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题） 21比较大小： （填“” ， “”或“” ） 【分析】通过比较和的平方的大小可判断和的大小 【解答】解：（）23.5， （）2， 而， 故答案为 22已知方程组的解 x，y 满足 x+y2，则 k 的值为
29、 【分析】把两方程相加，利用整体代入的方法得到2，然后解关于 k 的一次方程即可 【解答】解：， +得 5x+5y2k+1， 即 x+y， x+y2， 2，解得 k 故答案为 23 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读 kn，门槛的意思）一尺，不合二 寸，问门广几何？题目大意是：如图 1、2（图 2 为图 1 的平面示意图） ，推开双门，双门间隙 CD 的距 离为 2 寸，点 C 和点 D 距离门槛 AB 都为 1 尺（1 尺10 寸） ，则 AB 的长是 101 寸 【分析】取 AB 的中点 O，过 D 作 DEAB 于 E，根据勾股定理解答即可得到结论 【解答】解：取
30、AB 的中点 O，过 D 作 DEAB 于 E，如图 2 所示： 由题意得：OAOBADBC， 设 OAOBADBCr 寸， 则 AB2r（寸） ，DE10 寸，OECD1 寸， AE（r1）寸， 在 RtADE 中， AE2+DE2AD2，即（r1）2+102r2， 解得：r50.5， 2r101（寸） ， AB101 寸， 故答案为：101 24如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC6，D 为 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AEAD， 取 AEAD，连接 BE 交 AC 于 F当AEF 为等腰三角形时，CD 2 或 6 【分析】分两种情形：如图 1 中，过点 E 作 EH
31、AC 于 H证明 AHFHCFCD，可得结论，如图 2 中，当 AFEF 时，点 D 与 D 重合，此时 CDBC6 【解答】解：如图 1 中，过点 E 作 EHAC 于 H EAEF，EHAF， AHAF， EAAD， EADEHAC90， EAH+CAD90，CAD+ADC90， EAHADC， 在EHA 和ACD， ， EHAACD（AAS） ， AHCD，EHACCB 在EHF 和BCF 中， ， EHFBCF（AAS） ， FHCF， AHFHCFCD， CDAC2， 如图 2 中，当 AFEF 时，点 D 与 D 重合，此时 CDBC6 综上所述，满足条件的 CD 的长度为 2 或
32、 6 故答案为：2 或 6 25在平面直角坐标系 xOy 中，我们把点 O，A（0，4） ，B（8，4） ，C（8，0）顺次连接起来，得到一个 长方形区域，P 为该区域（含边界）内一点若将点 P 到长方形相邻两边的距离之和的最小值记为 d， 则称 P 为“d 距点” 例如：点 P（5，3）称为“4 距点” 当 d3 时，横、纵坐标都是整数的点 P 的个 数为 10 个 【分析】根据“d 距点”的定义，作出 d3 的点，即可解决问题 【解答】解：满足条件的点如图所示，共有 10 个 故答案为 10 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26 “新冠肺炎疫情期间，戴口罩成为了每个人外出时的习
33、惯为满足大家使用口罩的实际需求，某药店采 用 A、B 两类不同的包装方式出售医用口罩A 类包装每包装有 10 只口罩，按 15 元/包定价销售；B 类 包装则采用每只口罩独立包装的方式销售，售价如下表： 口罩的数量 售价 不超过 10 只的部分 2 元/只 10 只以上的部分 1.6 元/只 设共购买口罩的数量为 x 只（x 为 10 的倍数） ，购买 A 类包装口罩的金额为 y1元，购买 B 类包装口罩的 金额为 y2元 （1）求 y1与 x 之间的函数关系式，并直接写出当 x10 时 y2与 x 之间的函数关系式； （2）小颖购买了以上两种不同包装的口罩共有 100 只，且购买的 B 类包
34、装口罩不低于 10 只，合计付款 160 元，求小颖买了多少包 A 类包装口罩 【分析】 （1）由金额单价数量，可求解； （2）设买了 a 只 A 类包装口罩，b 只 B 类包装口罩，由两种不同包装的口罩共有 100 只，且购买的 B 类包装口罩不低于 10 只，合计付款 160 元，列出方程组，即可求解 【解答】解： （1）y11.5x，y21.6x+4（x10） ； （2）设买了 a 只 A 类包装口罩，b 只 B 类包装口罩， 由题意可得：， 解得：， 答：小颖买了 4 包 A 类包装口罩 27 【背景】在ABC 中，分别以边 AB、AC 为底，向ABC 外侧作等腰直角三角形 ABD 和
35、等腰直角三角 形 ACE，ADBAEC90 【研究】点 M 为 BC 的中点，连接 DM，EM，研究线段 DM 与 EM 的位置关系与数量关系 （1）如图（1） ，当BAC90时，延长 EM 到点 F，使得 MFME，连接 BF此时易证EMC FMB，D、B、F 三点在一条直线上进一步分析可以得到DEF 是等腰直角三角形，因此得到线段 DM 与 EM 的位置关系是 DMEM ，数量关系是 DMEM ； （2）如图（2） ，当BAC90时，请继续探究线段 DM 与 EM 的位置关系与数量关系，并证明你的结 论； （3） 【应用】如图（3） ，当点 C，B，D 在同一直线上时，连接 DE，若 AB
36、2，AC4，求 DE 的长 【分析】 （1）由“SAS”可证ECMFBM，可得 BFCE，FBMECM，通过证明DEF 是等 腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （2）由“SAS”可证EMCFMB，DAEDBF，可得 BFCE，FMME，DFDE，BDF ADE，通过证明DEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得结论； （3）由等腰直角三角形的性质和勾股定理分别求出 DN，NE 的长，即可求解 【解答】解： （1）如图 1，延长 EM 到点 F，使得 MFME， 点 M 为 BC 的中点， BMCM， 又BMFCME， ECMFBM（SAS） ， BFCE，FBMECM，
37、 ADBAEC90， DFEC， DBC+ECM180， DBC+FBM180， 点 D，点 B，点 F 共线， AECE， BFAE， ADDB， DFDE， DEF 是等腰直角三角形， 又EMFM， DMEM，DMEM； （2）如图 2，延长 EM 到 F，使 FMEM，连接 BF，DF， 点 M 为 BC 的中点， BMCM， 在EMC 和FMB 中， ， EMCFMB（SAS） ， BFCE，FMME， ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，ADBAEC90， DADB，EAEC，ABDBADACECAE45， FBEA DAEBAD+CAE+BAC90+BAC， 又FBMECM， D
38、BF360ABDABCFBM360ABDABC（ACB+ACE）90+ BAC， DAEDBF， 在DAE 和DBF 中， ， DAEDBF（SAS） ， DFDE，BDFADE， ADE+BDE90， BDF+BDE90， DEF 是等腰直角三角形， 又EMFM， DMEM，DMEM； （3）如图 3，取 BC 中点 M，连 EM，BE，设 AB 与 ED 交于点 N， ABD 和ACE 都是等腰直角三角形，AB2，AC4， ABAD，ACAE， AB2，AECE2， 在（2）的结论可得，BMCM，EMBC， BECEAE2， DE 为 AB 的垂直平分线， DNAB， NE， DE+ 28
39、 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 AB： ykx+3k （k0） 交 x 轴于点 B， 交 y 轴于点 A， AB3 （1）求点 A 的坐标； （2）点 C 为 x 轴正半轴上一点，BAOACO，点 M 为线段 AC 上一动点，设 M 的纵坐标为 a（a 0） ，请用含 a 的代数式表示点 M 到 y 轴的距离 d； （3）在（2）的条件下，过点 M 作 MNAB 交 x 轴于点 N，连接 BM，AN，当ABM 为等腰三角形时， 求AMN 的面积 【分析】 （1）用 k 表示出 OA，OB，利用勾股定理构建方程求解即可 （2）如图 1 中，过点 C 作ACB 的角平分线交 AB
40、于 H利用全等三角形的性质证明 CACB，由此构 建方程求解即可 （3）在（2）的条件下，ACBC，因为 MNAB，推出 AMBN，SAMNSBMN，分两种情形：当 AB BM 时，过点 B 作 BGAC 于 G，当 ABAM 时，分别求出直线 MN 的解析式，构建方程组即可解 决问题 【解答】解： （1）由题意，直线直线 AB：ykx+3k（k0）交 x 轴于点 B（3，0） ，交 y 轴于点 A（0， 3k） ， 在 RtAOB 中，AB2OA2+OB2， 32+（3k）2（3）2， k3 或3（舍弃） ， AO9， A（0，9） （2）如图 1 中，过点 C 作ACB 的角平分线交 AB
41、 于 H BCHACB， BAOACO， BCHBAO， BAO+ABC90， BCH+ABO90， CHBCHA90， CHCH，HCBHCA， ACHBCH（ASA） ， CACB， 设 C（m，0） ，则 BCm+3，AC， m+3， m12， C（12，0） ， 直线 AC 的解析式为 yx+9， M 的纵坐标为 a（a0） ，点 M 横坐标为 d， ad+9， da+12 （3）在（2）的条件下，ACBC， MNAB， AMBN，SAMNSBMN， 当 ABBM 时，过点 B 作 BGAC 于 G， AGMG， AOBBGA，ABCBAC，ABBA， ABOBAG（AAS） ， BOAG3， BNAM2AG6， N（3，0） ， MNAB， 直线 MN：y3x+b 过点 N（3，0） ， b9， 直线 MN 的表达式为 y3x9， 由，解得， M（，） ， SAMNSBMNBNyM6 当 ABAM 时，N（3+3，0） 直线 MN 的表达式为 y3x+99， 由，解得， M（，） ， SAMNSBMNBNyM3
