1、二元一次方程及方程组二元一次方程及方程组 （知识点总结（知识点总结+ +例题讲解）例题讲解） 一、二元一次方程及方程组有关概念：一、二元一次方程及方程组有关概念： 1.1.二元一次方程：二元一次方程： （1）概念：含有 2 2 个未知数(元)，并且未知项的次数都是 1 1 的整式方程，叫做二元一次方 程； （2）二元一次方程的一般形式： ax+by+c=0 ax+by+c=0 ；(a，b，c 为常数，且 a0，b0) ； （3）特点（必须满足以下三个条件）： 等号两边的式子都是整式； 有且只有两个未知数； 含有未知数的项的次数都是 1。 2.2.二元一次方程组：二元一次方程组： （1）概念：由
2、两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组； （2）特点：方程组中的同一个字母代表同一个量； （3）一般形式为： 111 222 = = a xb y c a xb y c ，其解一般写成 xm yn 的形式。 3.3.二元一次方程的解：二元一次方程的解： （1）概念：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个 解； （2）特点：一个二元一次方程有 无数无数 个解。 4.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的解： （1）概念：二元一次方程组的两个方程的公共解两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解； （使二元一次方程组两边的值相等的两个未知数的值） （2）特点：
3、一个二元一次方程组一般只有 1 1 组解。（也有无解和无数组解的情况） （3）检验：检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代 入方程组中的每个方程； 只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解； 如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解。 【例题【例题 1 1】（2020 秋龙岗区期末）下列方程组中不是二元一次方程组的是（ ） As + 1 = 3 2s t = 4 Bm + n = 3 2m n = 4 Cx = 3 y = 4 Dx + y = 3 2xy y = 4 【答案】D 【解析】二元一次方程满足的条件：为整式方程
4、；只含有 2 个未知数；未知数的项的次数是 1； 两个二元一次方程组合成二元一次方程组 解：由二元一次方程组的定义可知，方程组中不是二元一次方程组的是x + y = 3 2xy y = 4 故选：D 【变式练习【变式练习 1 1】（2020 秋禅城区期末）若x = a y = b是方程 2x3y+40 的解， 则 6a9b+5 【答案】-7 【解析】把 x 与 y 的值代入方程求出 a 与 b 的关系，变形代入原式计算即可得到结果 解：把x = a y = b代入方程 2x3y+40，可得：2a3b+40，2a3b4， 6a9b+53（2a3b）+57，故答案为：7 二、二元一次方程组的解法：
5、二、二元一次方程组的解法： 1.1.解二元一次方程组的方法：解二元一次方程组的方法： （1）思想：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想； （2）特点：二元一次方程组 消元 转化 一元一次 方程； （3）方法：有 代入消元代入消元 法和 加减消元加减消元 法两种。 2.2.代入法消元：代入法消元： （1）适用于有一个方程中某个未知数的系数为 1 或-1 的情况； （2）代入消元法的一般步骤： 变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用 含有另一个未知数的代数式表示出来； 代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解方程：解这个
6、一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程 组的解。 3.3.加减法消元：加减法消元： （1） 在方程两边同乘以一个数，将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反 数)，再将方程两边分别相减(或相加)； （2 2）加减消元法的一般步骤：）加减消元法的一般步骤： 变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数； 加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化 为一元一次方程； 解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方
7、程，求出另一个未知数的值，从 而得到方程组的解。 4.4.二元一次方程组的解：二元一次方程组的解： （1）有一组解：如方程组 1053 3 yx yx 的解为 2- 5 y x ； （2）有无数组解：如方程组 1222 6 yx yx 因为这两个方程实际上是一个方程，所以此类方程组有无数组解； （3）无解：如方程组 1022 4 yx yx 因为方程 2x+2y=10 化简后为 x+y=5，这与方程 x+y=4 相矛盾，所以此类方程组无解。 【例题【例题 2 2】（2020 秋法库县期末）解方程组2x y = 4 4x 5y = 23 【答案】x= 1 2，y=5. 【解析】方程组利用加减消元
8、法求出解即可 解：2x y = 4 4x 5y = 23， 2得：3y15，解得：y5， 把 y5 代入得：x= 1 2， 则方程组的解为x = 1 2 y = 5 【变式练习【变式练习 2 2】（2020 秋坪山区期末）解方程组3x + 2y = 19 2x y = 1 【答案】x=3，y=5. 【解析】方程组利用代入消元法求出解即可 解：3x + 2y = 19 2x y = 1 ， 由得：y2x1， 把代入得：3x+2（2x1）19，即 x3， 把 x3 代入得：y5， 则方程组的解为x = 3 y = 5 【例题【例题 3 3】（2020 春河口区期末）如果关于 x、y 的方程组2x
9、y = 3 k x + y = 2 + 2k的解满足 x2y 1，则 k 的值 【答案】2 3 【解析】将 k 看做已知数求出方程组的解，代入已知方程计算即可求出 k 的值 解：2x y = 3 k x + y = 2 + 2k， +得：3x5+k，解得：x= 5+k 3 ， 则 y2+2k 5+k 3 = 5 3k+ 1 3， 故 x2y= 5+k 3 2（5 3k+ 1 3）3k+11， 解得：k= 2 3故答案为： 2 3 【变式练习【变式练习 3 3】（2020 秋惠来县期末）若关于 x，y 的二元一次方程组x + 2y = 5k + 1 x y = 2k 5 的解 满足 x+y7，则
10、 k 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】把 k 看做已知数表示出方程组的解，代入 x+y7 求出 k 的值即可 解：x + 2y = 5k + 1 x y = 2k 5 ， 得：3y3k+6，即 yk+2， 把 yk+2 代入得：x3k3， 代入 x+y7 得：3k3+k+27， 解得：k2，故选：B 三、二元一次方程组的实际应用：三、二元一次方程组的实际应用： 1.1.列二元一次方程组解应用题思路：列二元一次方程组解应用题思路： 审题找出 相等关系相等关系 列出二元一次方程组解二元一次方程组写出答案； 2.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：列二元一次方程组解应用
11、题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； （2）找：找出应用题中的相等关系； （3）设：设未知数(一般求什么，就设什么)； （4）列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列的方程组，求出未知数的值； （6）验：检验所得未知数的值是否符合实际意义及题意； （7）答：写出答案(包括单位名称)。 3.注意： （1）找出相等关系，将“未知”转化为“已知”； （2）有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足： 方程两边表示的是同类量； 同类量的单位要统一； 方程两边的数值要相等。 【例题【例题 4 4】（2020江西）放学后，小贤和小艺来到学校
12、附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔 记本，这种笔芯每盒 10 支，如果整盒买比单支买每支可优惠 0.5 元小贤要买 3 支笔芯，2 本笔记本需花 费 19 元；小艺要买 7 支笔芯，1 本笔记本需花费 26 元 （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格； （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为 3 元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小 贤还剩 2 元钱他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明 【答案】（1）笔记本的单价为 5 元，单独购买一支笔芯的价格为 3 元； （2）见解析。 【解析】（1）设笔记本的单价为 x 元，单独购买一支笔芯的价
13、格为 y 元，根据“小贤要买 3 支笔芯，2 本笔记本需花费 19 元；小艺要买 7 支笔芯，1 本笔记本需花费 26 元”，即可 得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）合买笔芯，分合算与单算两种情况考虑，合算：先求两人带的总钱数，再求出两人合 在一起买文具所需费用，由二者的差大于 2 个小工艺品所需钱数，进而可得出他们合在一 起购买笔芯（合算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品；单算：根据合买笔芯一支 节省 0.5 元可求出小贤及小艺购买完文具后剩余钱数，将其与 3 元比较后即可得出他们合 在一起购买笔芯（单算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品 【解答】解：（1
14、）设笔记本的单价为 x 元，单独购买一支笔芯的价格为 y 元， 依题意，得：2x + 3y = 19 x + 7y = 26 ， 解得：x = 5 y = 3 答：笔记本的单价为 5 元，单独购买一支笔芯的价格为 3 元 （2）（方法一）合买笔芯，合算， 小贤和小艺带的总钱数为 19+2+2647（元） 两人合在一起购买所需费用为 5（2+1）+（30.5）1040（元） 47407（元），326（元），76， 他们合在一起购买笔芯（合算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品； （方法二）合买笔芯，单算， 小贤购买完文具后剩余钱数为 0.53+23.5（元），3.53； 小艺购买完文具后剩余钱
15、数为 0.573.5（元），3.53 他们合在一起购买笔芯（单算），既买到各自的文具，又都买到小工艺品 【变式练习【变式练习 4 4】(2020重庆 A 卷)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”为优选品 种，提高产量，某农业科技小组对 A，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究去年 A，B 两个 品种各种植了 10 亩收获后 A，B 两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B 的平均亩产量比 A 的 平均亩产量高 100 kg，A，B 两个品种全部售出后总收入为 21600 元 (1)请求出 A，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？ (2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在 A
16、，B 种植亩数不变的情况下，预计 A，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%由于 B 品种深受市场的欢迎， 预 计每千克价格将在去年的基础上上涨 a%，而 A 品种的售价不变A，B 两个品种全部售出后 总收入将在去年的基础上增加 20 % 9 a求 a 的值 【答案】（1）A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克； （2）a 的值为 10。 【解析】(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和 y 千克；根据题意列方程组即可 得到结论；(2)根据题意列方程即可得到结论 解：(1)设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x 千克和
17、 y 千克； 根据题意得： 100 102.4()21600 yx xy ，解得： 400 500 x y ， 答：A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 400 千克和 500 千克； (2) 20 2.4400 10(1%)2.4(1%)500 10(12 %)21600(1%) 9 aaaa， 解得：a=10， 答：a 的值为 10。 【例题【例题 5 5】 （2019 秋天桥区期末）已知 2a x+yb3与1 2a 2bxy是同类项，则（x+y） （xy） 【答案】6 【解析】根据同类项定义列出方程组即可求解 解：2a x+yb3与1 2a 2bxy是同类项， x + y = 2 x y = 3 则（x+y）（xy）236故答案为 6 【变式练习【变式练习 5 5】（2020宿迁二模）若a + b + 3 +|2ab|0，则（ba） 2015 【答案】-1 【解析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，代入原式计算即可 得到结果 解：a + b + 3 +|2ab|0， a + b = 3 2a b = 0 ，解得：a = 1 b = 2， 则原式1，故答案为：1
