1、2020-2021 学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1方程 x22x0 的根是（ ） Ax1x20 Bx1x22 Cx10，x22 Dx10，x22 2抛物线 yx24x+3 与 y 轴交点坐标为（ ） A （3，0） B （0，1） C （2，1） D （0，3） 3在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多 次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在 15%和
2、35%，则口袋中白色球的个数可能 是（ ） A6 个 B14 个 C20 个 D40 个 4如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，DE 为ABC 的中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ） A2 B3 C4 D6 5如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 都在O 上若155，则2 的大小为（ ） A55 B45 C35 D25 6如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m） ，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正切值是，则 m 的值为（ ） A5 B4 C3 D 7 如图， O 与正六边形 OABCDE 的边 OA、 OE 分别交于点 F、 G， 点 M 为
3、劣弧 FG 的中点 若 FM2， 则O 的半径为（ ） A2 B C2 D2 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y（x+3）2+k 经过坐标原点 O，与 x 轴的另一个交点为 A过 抛物线的顶点 B 分别作 BCx 轴于点 C、BDy 轴于点 D，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A18 B12 C9 D6 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9计算：tan245+1 10若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k0 无实数根，则 k 的取值范围是 11如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若A60，则C 的大小为 12如
4、图，在ABCD 中，点 E 在边 AD 上，AE：AD2：3，BE 与 AC 交于点 F若 AC20，则 AF 的长 为 13圆心角为 90的扇形如图所示，过的中点 C 作 CDOA、CEOB，垂足分别为点 D、E若半径 OA2，则图中阴影部分图形的面积和为 14在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+5 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+5t 0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15解方程：x24x30 16有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有 3 个球，
5、分别标有数字 0，2，3；乙袋中有 2 个球，分别标有数 字 1，4，这 5 个球除所标数字不同外其余均相同从甲、乙两袋中各随机摸出 1 个球用画树状图（或 列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是 4 的概率 17图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点线段 AB 的端点均在格点上只 用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹 （1）在图中画出线段 AB 的中点 C； （2）在图中画出线段 AB 上的一点 D，使 AD：BD4：5 18如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 处的仰角为 45、底部 C 处的俯角为 63，此时航拍 无人机
6、 A 处与该建筑物的水平距离 AD 为 80 米求该建筑物的高度 BC（精确到 1 米） 参考数据：sin630.89，cos630.45，tan631.96 19在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx 经过点 A（2，4）和点 B（6，0） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 （2）直接写出它的开口方向、顶点坐标 （3）点（x1，y1） 、 （x2，y2）均在此抛物线上，若 x1x24，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 20 （8 分）如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的O 与底边 AB 交于点 D，过点 D 作 DEAC， 垂足为点 E （1）求证：DE
7、为O 的切线； （2）若 BC4，A30，求的长 （结果保留 ） 21 （8 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加 工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本 10 元，试销阶段每袋的销售价 x （元）与该土特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 （1）若日销售量 y（袋）是每袋的销售价 x（元）的一次函数，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为 w（元） ； 求 w 与 x 之间的函数关系式； 要使这种土
8、特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 22 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y（x1）22 与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧） ，第一象限内的点 C 在该抛物线上 （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）若ABC 的面积为 12，求点 C 坐标； （3）在（2）问的条件下，直线 ymx+n 经过点 A、C当（x1）22mx+n 时，直接写出 x 的取 值范围 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，AC6，点 P 从点 B 出发，以每秒 5 个单位 长度的速度沿 BC 向点 C 运动，同
9、时点 M 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动， 过点 P 作 PQAB 于点 Q，以 PQ、MQ 为邻边作矩形 PQMN，当点 P 到达点 C 时，整个运动停止设 点 P 的运动时间为 t（t0）秒 （1）求 BC 的长； （2）用含 t 的代数式表示线段 QM 的长； （3）设矩形 PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为 S（S0） ，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连结 QN，当 QN 与ABC 的一边平行时，直接写出 t 的值 24 （12 分）在平面直角坐标系中，将函数 yx22mx+4m（m 为常数）的图象记为 G，图象 G 的最低点为
10、P（x0，y0） （1）当 m0 时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象 G （2）当 y01 时，求 m 的值 （3）求 y0的最大值 （4）当 m0，且当图象 G 与 x 轴有两个交点时，左边交点的横坐标为 x1，直接写出 x1的取值范围 2020-2021 学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1方程 x22x0 的根是（ ） Ax1x20 Bx1x22 Cx10，x22
11、Dx10，x22 【分析】直接利用因式分解法将方程变形进而求出答案 【解答】解：x22x0 x（x2）0， 解得：x10，x22 故选：C 2抛物线 yx24x+3 与 y 轴交点坐标为（ ） A （3，0） B （0，1） C （2，1） D （0，3） 【分析】令 x0，求出 y 的值即可 【解答】解：令 x0，则 y3， 抛物线 yx24x+3 与 y 轴交点坐标为（0，3） 故选：D 3在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多 次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在 15%和 35%，则口袋中白色球的个数可能 是（
12、） A6 个 B14 个 C20 个 D40 个 【分析】先由频率之和为 1 计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数，即可求出 答案 【解答】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15%和 35%， 摸到白球的频率为 115%35%50%， 故口袋中白色球的个数可能是 4050%20（个） 故选：C 4如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，DE 为ABC 的中位线，则四边形 BCED 的面积为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】过点 D 作 DFBC 于点 F根据边长为 4 的等边ABC 中，DE 为中位线，得出 DF，再 利用梯形的面积公式求出四边形 BCED 的面积
13、 【解答】解：过点 D 作 DFBC 于点 F ABC 是边长为 4 的等边三角形， ABBCAC4，B60， 又DE 为中位线， DEBC2，BDAB2，DEBC， DFBDsinB2， 四边形 BCED 的面积为：DF（DE+BC）（2+4）3 故选：B 5如图，AB 是O 的直径，点 C、D、E 都在O 上若155，则2 的大小为（ ） A55 B45 C35 D25 【分析】连接 OE，如图，先利用圆周角定理得到AOE21110，则利用邻补角计算出BOE 70，然后再利用圆周角定理计算2 的度数 【解答】解：连接 OE，如图， AOE21255110， BOE180AOE1801107
14、0， BOE22， 27035 故选：C 6如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是（3，m） ，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正切值是，则 m 的值为（ ） A5 B4 C3 D 【分析】如图，过点 P 作 PHx 轴于 H根据正切函数的定义求解即可 【解答】解：如图，过点 P 作 PHx 轴于 H 在 RtOPH 中，tan， P（3，m） ， OH3，PHm， ， m4， 故选：B 7 如图， O 与正六边形 OABCDE 的边 OA、 OE 分别交于点 F、 G， 点 M 为劣弧 FG 的中点 若 FM2， 则O 的半径为（ ） A2 B C2 D2 【分析】连接
15、 OM，根据正六边形 OABCDE 和点 M 为劣弧 FG 的中点，可得OFM 是等边三角形，进 而可得O 的半径 【解答】解：如图，连接 OM， 正六边形 OABCDE， FOG120， 点 M 为劣弧 FG 的中点， FOM60，OMOF， OFM 是等边三角形， OMOFFM2 则O 的半径为 2 故选：C 8如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y（x+3）2+k 经过坐标原点 O，与 x 轴的另一个交点为 A过 抛物线的顶点 B 分别作 BCx 轴于点 C、BDy 轴于点 D，则图中阴影部分图形的面积和为（ ） A18 B12 C9 D6 【分析】先把原点坐标代入解析式，求出 k 的值，
16、得到 B 点坐标，然后利用抛物线的对称性得到图中阴 影部分图形的面积和S矩形OCBD，从而根据矩形面积公式计算即可 【解答】解：把（0，0）代入 y（x+3）2+k，得（0+3）2+k0， 解得 k6， 抛物线解析式为 y（x+3）2+6， B 点坐标为（3，6） ， BCx 轴于 C， 图中阴影部分图形的面积和S矩形OCBD3618 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9计算：tan245+1 2 【分析】把 tan451 代入原式计算即可 【解答】解：tan245+1 12+1 1+1 2 故答案为 2 10若
17、关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k0 无实数根，则 k 的取值范围是 k1 【分析】根据判别式的意义得到224k0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得b24ac224k0， 解得 k1 故答案为：k1 11如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若A60，则C 的大小为 120 【分析】根据圆内接四边形的性质得到A+C180，然后把A 的度数代入计算即可 【解答】解：根据题意得A+C180， 所以C18060120 故答案为：120 12如图，在ABCD 中，点 E 在边 AD 上，AE：AD2：3，BE 与 AC 交于点 F若 AC20，则 AF 的长 为 8 【分析】由平行四边形的
18、性质可得 ADBC，ADBC，可证AEFCBF，可得，即可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， AEFCBF， ， AE：AD2：3， ， ， 又AC20， AF8， 故答案为：8 13圆心角为 90的扇形如图所示，过的中点 C 作 CDOA、CEOB，垂足分别为点 D、E若半径 OA2，则图中阴影部分图形的面积和为 2 【分析】根据矩形的判定定理得到四边形 CDOE 是矩形，连接 OC，根据全等三角形的性质得到 OD OE，得到矩形 CDOE 是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论 【解答】解：CDOA，CEOB， CDOCEOAOB90， 四边
19、形 CDOE 是矩形， 连接 OC， 点 C 是弧 AB 的中点， AOCBOC， 在COD 与COE 中， ， CODCOE（AAS） ， ODOE， 矩形 CDOE 是正方形， OCOA2， OE， 图中阴影部分的面积2 故答案为：2 14在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+5 的对称轴为直线 x1若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+5t 0（t 为实数）在1x4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围为 4t13 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为 yx22x+5，将一元二次方程 x2+bx+5t0 的实数根可 以看做 yx22x+5 与函数 yt 的有交点，再由1x4 的
20、范围确定 y 的取值范围即可求解 【解答】解：yx2+bx+5 的对称轴为直线 x1， b2， yx22x+5， 一元二次方程 x2+bx+5t0 的实数根可以看做 yx22x+5 与函数 yt 的有交点， 方程在1x4 的范围内有实数根， 当 x1 时，y8； 当 x4 时，y13； 函数 yx22x+5 在 x1 时有最小值 4； 4t13 故答案为 4t13 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15解方程：x24x30 【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化 为常数 【解答】解：移项得 x2
21、4x3， 配方得 x24x+43+4， 即（x2）2， 开方得 x2， x12+，x22 16有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有 3 个球，分别标有数字 0，2，3；乙袋中有 2 个球，分别标有数 字 1，4，这 5 个球除所标数字不同外其余均相同从甲、乙两袋中各随机摸出 1 个球用画树状图（或 列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是 4 的概率 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数和摸出的两个球上数字之和是 4 的情况数，然后利 用概率公式即可求解 【解答】解：根据题意得： 甲袋 乙袋 0 2 3 1 1 3 4 4 4 6 7 共有 6 种等可能的情况数，其中摸出的两个球上数字
22、之和是 4 的有 2 种， 摸出的两个球上数字之和是 4 的概率是 故答案为： 17图、图均是 66 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点线段 AB 的端点均在格点上只 用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹 （1）在图中画出线段 AB 的中点 C； （2）在图中画出线段 AB 上的一点 D，使 AD：BD4：5 【分析】 （1）取格点 M，N，连接 MN 交 AB 于点 C，点 C 即为所求作 （2）取格点 J，K，连接 JK 交 AB 于点 D，点 D 即为所求作 【解答】解： （1）如图，点 C 即为所求作 （2）如图，点 D 即为所求作 18如图，航
23、拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 处的仰角为 45、底部 C 处的俯角为 63，此时航拍 无人机 A 处与该建筑物的水平距离 AD 为 80 米求该建筑物的高度 BC（精确到 1 米） 参考数据：sin630.89，cos630.45，tan631.96 【分析】根据题意可得 BDAD80（米） ，再根据锐角三角函数求解即可 【解答】解：在ADB 中，ADB90，BAD45， BDAD80（米） ， 在ACD 中，ADC90， CDADtan63801.96156.8（米） ， BCBD+CD80+156.8236.8237（米） ， 答：该建筑物的高度 BC 约为 237 米 19在
24、平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx 经过点 A（2，4）和点 B（6，0） （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式 （2）直接写出它的开口方向、顶点坐标 （3）点（x1，y1） 、 （x2，y2）均在此抛物线上，若 x1x24，则 y1 y2（填“” 、 “”或“” ） 【分析】 （1）把 A 点和 B 点坐标代入 yax2+bx 中得到关于 a、b 的方程组，然后解方程组求出 a、b 即 可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解 （3）根据二次函数的性质求解即可 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx 经过点 A（2，4）和点 B（6，0） ， 解得
25、 这条抛物线所对应的二次函数的表达式为 （2）因为，该抛物线开口向下 顶点坐标为（3，） （3）x1x24，对称轴为 x3，a y1y2 故答案为： 20 （8 分）如图，在ABC 中，ACBC，以 BC 为直径的O 与底边 AB 交于点 D，过点 D 作 DEAC， 垂足为点 E （1）求证：DE 为O 的切线； （2）若 BC4，A30，求的长 （结果保留 ） 【分析】（1） 连接 OD， 由平行线的判定定理可得 ODAC， 利用平行线的性质得ODEDEA90， 可得 DE 为O 的切线； （2）求出DOC60，由弧长公式可得出答案 【解答】 （1）证明：连接 OD， ODOB， ODBB
26、， ACBC， AB， ODBA， ODAC， ODEDEA90， DE 为O 的切线； （2）解：BC4， OB2， BA30， DOC60， 的长为 21 （8 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加 工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种土特产每袋成本 10 元，试销阶段每袋的销售价 x （元）与该土特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 （1）若日销售量 y（袋）是每袋的销售价 x（元）的一次函数，求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同
27、，设每日销售土特产的利润为 w（元） ； 求 w 与 x 之间的函数关系式； 要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系 式即可； （2）利用每件利润总销量总利润，进而求出二次函数最值即可 【解答】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 y kx+b 得 ，解得， 故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：yx+40； （2）依题意，设利润为 w 元，得 w（x10） （x+40）x2+
28、50 x400； wx2+50 x400（x25）2+225； 10 当 x25 时，w 取得最大值，最大值为 225 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元 22 （9 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y（x1）22 与 x 轴交于点 A 和点 B（点 A 在点 B 的左侧） ，第一象限内的点 C 在该抛物线上 （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）若ABC 的面积为 12，求点 C 坐标； （3）在（2）问的条件下，直线 ymx+n 经过点 A、C当（x1）22mx+n 时，直接写出 x 的取 值范围 【分析】 （1）
29、令 y0，然后解方程即可求得； （2）根据三角形 ABC 的面积求得 C 的纵坐标，代入解析式即可求得 C 的坐标； （3）根据图象即可求得 【解答】解： （1）令 y0，则（x1）220， 解得 x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ； （2）A（1，0） ，B（3，0） ， AB4， SABCAByC12， yC12， 解得 yC6， （x1）226， 解得 x15，x23（不符题意，舍去） ， C（5，6） ； （3）由图象可知，当（x1）22mx+n 时，x 的取值范围是 x1 或 x5， 23 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AB10，AC6，点 P 从点
30、 B 出发，以每秒 5 个单位 长度的速度沿 BC 向点 C 运动，同时点 M 从点 A 出发，以每秒 6 个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动， 过点 P 作 PQAB 于点 Q，以 PQ、MQ 为邻边作矩形 PQMN，当点 P 到达点 C 时，整个运动停止设 点 P 的运动时间为 t（t0）秒 （1）求 BC 的长； （2）用含 t 的代数式表示线段 QM 的长； （3）设矩形 PQMN 与ABC 重叠部分图形的面积为 S（S0） ，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连结 QN，当 QN 与ABC 的一边平行时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）由勾股定理可求出答案； （2）
31、分两种情况讨论，当 0t1 时，MQABAMBQ，当 1t时，MQAM+BQAB，则可 得出答案； （3）分两种情况讨论，由面积公式可求出答案； （4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求出答案 【解答】解： （1）ACB90，AC6，AB10， BC8， （2）sinB，BP5t， ， PQ3t， 在 RtPQB 中，BQ4t， 当点 M 与点 Q 相遇，104t+6t， t1， 当 0t1 时，MQABAMBQ， MQ104t6t1010t， 当 1t时，MQAM+BQAB， MQ4t+6t1010t10， 综上所述：当 QM 的长度为 1010t 或 10t10； （3）当 0t1 时，S
32、3t（1010t）30t2+30t； 当 1t时，如图， 四边形 PQMN 是矩形， PNQM10t10，PQ3t，PNAB， BNPE， tanBtanNPE， ， NE（10t10）， S3t（10t10）（10t10）（）； （4）点 Q 在 AB 上，QN 不可能平行于 AB， QN 平行于ABC 的一边时可分两种情况： 如图，若 NQBC， BMQN， tanBtanMQN， ， ， t， 如图，若 NQAC， ABQN， tanAtanBQN， ， ， t 综上所述：当 ts 或s 时，QN 与ABC 的一边平行 24 （12 分）在平面直角坐标系中，将函数 yx22mx+4m（m
33、 为常数）的图象记为 G，图象 G 的最低点为 P（x0，y0） （1）当 m0 时，写出这个函数的表达式，并在所给坐标系中画出对应的图象 G （2）当 y01 时，求 m 的值 （3）求 y0的最大值 （4）当 m0，且当图象 G 与 x 轴有两个交点时，左边交点的横坐标为 x1，直接写出 x1的取值范围 【分析】 （1）当 m0 时，解析式为 yx2，画出函数图象即可； （2）把解析式化成顶点式，令顶点纵坐标为1，解关于 m 的方程即可求得 （3）把 y0m2+4m 化成顶点式，即可求得结果； （4）求得抛物线与 x 轴有一个交点时的 m 的取值，再根据当 y0的最大值时 m 的值，即可解决问题 【解答】解： （1）当 m0 时，这个函数的表达式为 yx2， 图象如下： （2）yx22mx+4m（xm）2m2+4m， y01 时，m2+4m1 m12+，m22 （3）y0m2+4m（m2）2+4， 当 m2 时，y0的最大值是 4 ； （4）当抛物线顶点在 x 轴上时，m2+4m0， m4 或 0（舍弃） ， y0m2+4m（m2）2+4，当 m2 时，y 的最大值是 4， 观察图象可知，当图象 G 与 x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为 x1，则 x1的取值范围是 2x1 4，
