1、2020-2021 学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+2x C （a2+1）x20 Dx2+y21 2如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 3一元二次方程 x26x3，用配方法变形可得（ ） A （x+3）23 B （x3）23 C （x+3）212 D （x3）212 4在一个不透明的袋子中装有若干个红球和 2 个白球，每个球除颜
2、色外都相同，任意摸出一个球，记录颜 色后放回，共进行了 200 次操作，其中白球出现了 51 次，由此估计红球的个数为（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 5如图，两条直线被三条平行线所截，AB4，BC6，DF9，则 DE 的长为（ ） A3.2 B3.6 C4 D4.2 6线段 AB 的长是 10，点 C 是 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则 AC 的长为（ ） A5 B C153 D55 7函数 ykx+k 与 y（k0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A B C D 8如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为 375 平方米的矩形临时仓库，仓库一边
3、靠墙， 另三边用总长为55米的栅栏围成， 若设榣栏AB的长为x米， 则下列各方程中， 符合题意的是 （ ） Ax（55x）375 Bx（552x）375 Cx（552x）375 Dx（55x）375 9如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 和 AC 边上的点，DEBC，AD3BD，四边形 BDEC 的面积是 28，则ABC 的面积为（ ） A61 B62 C63 D64 10已知点 A（1，y1） 、B（2，y2） 、C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的关系 是（ ） Ay2y1y3 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy3y2y1 11如图，EB 为驾驶员的
4、盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为 1.6 米，车头 FACD 近似看成一 个矩形，且满足 3FD2FA，若盲区 EB 的长度是 6 米，则车宽 FA 的长度为（ ）米 A B C D2 12如图，矩形 ABCD 中，BEF90，点 E 是 AD 中点，则的值为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13若，则 14关于 x 的方程 x2+4xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 15如图，OAB 和OCD 位似，位似中心是原点 O，B 点坐标是（6，2） ，OAB 和
5、OCD 的相似比为 2：1，则点 D 的坐标为 16如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面 1.5 米，他将 3 米长的标杆竖直放 置在身前 3 米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为 15 米，则旗杆和标杆之间距离 CE 长 米 17如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是线段 AC 上的动点，BC4，AB8， 当ABC 和AED 相似时，AE 的长为 18一次函数 ykx+2 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（1，a） ，点 O 为坐标原点，射线 OA 交 反比例函数 y的图象于点 B，若，
6、则 m 的值为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或演算步骤）分请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19解方程： （1）x24x30； （2）2x（x1）x1 20如图，已知ABCACD，AC6，AD4，CD2AD，求 BD 和 BC 的长 21 2020 年 10 月 8 日， 济南轨道交通 2 号线地质条件最为复杂、 盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通 至 此，2 号线全部 38 个单线盾构区间全部贯通 （1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择 A 闸口通过的概率为 ； （2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘
7、客选择不同闸口通过的概率 22 2020 年 3 月， 新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制， 但在全球却开始持续蔓延， 这是对人类的考验， 将对全球造成巨大影响 世界卫生组织提出：如果 1 人传播 10 人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺 炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者” 如果某地区有 1 人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假 设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有 81 人成为新冠肺炎病毒的携带者 （1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数； （2）若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？ 23如图，矩形
8、ABCD 中 AB2，AD4，动点 F 在线段 CD 上运动（不与端点重合） ，过点 D 作 AF 的垂 线，交线段 BC 于点 E （1）证明：ADFDCE； （2）当 CF1 时，求 EC 的长 24定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程” 例如 x2 4 和（x2） （x+3）0 有且只有一个相同的实数根 x2，所以这两个方程为“同伴方程” （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ； （只填写序号即可） （x1）29；x2+4x+40；（x+4） （x2）0 （2）关于 x 的一元二次方程 x22x0 与 x2+3x+m10 为“同伴方
9、程” ，求 m 的值； （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）同时满足 a+b+c0 和 ab+c0，且与（x+2） （x n）0 互为“同伴方程” ，求 n 的值 25如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在正比例函数 yx（x0）的图象上，反比例函数 y （x0）的图象经过点 A，点 P 是 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，与正比例函数 yx（x 0）的图象交于点 C，点 B 是线段 CP 与反比例函数的交点，连接 AP、AB （1）求该反比例函数的表达式； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集； （3）若 SABP1，求 B 点坐标
10、； （4） 点 Q 是 A 点右侧双曲线上一动点， 是否存在APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由 26在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起如图 1 所示，C90，点 A 与 点 D 重合，点 B 与点 E 重合，CAkCB （1）操作发现：当 k1 时，将DCE 绕点 C 顺时针旋转 90，发现此情况下线段 BE 和线段 AD 存在 特殊的数量和位置关系：数量关系： ；位置关系： ； （请直接写出答案） （2）问题产生：当 k1 时，如图 2，将DCE 绕点 C 顺时针旋转 （090） ，连接 BE、AD， 在此情
11、况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明； （3）问题延伸：将（2）中的条件“k1”调整为“k2” ，如图 3，其它条件不变： 求此条件下线段 BE 和线段 AD 数量关系和位置关系； 在旋转过程中，当 E 点恰好落在线段 AB 上时，若 BC1，求点 C 到直线 AD 的距离 2020-2021 学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 Bx2+2x C （a2+1）x20 D
12、x2+y21 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 【解答】解：A、当 a0 时，ax2+bx+c0 是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、a2+10，故（a2+1）x20 是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C 2如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从上面看所得到的图形即可 【解答】解：从几何体上面看，2 排，上面 3 个，下面 1 个，左边 2 个正方形 故选：D 3一元二次方程 x26x3，用配方法变形可得（ ） A （x+3）23
13、 B （x3）23 C （x+3）212 D （x3）212 【分析】把方程两边加上 9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可 【解答】解：x26x3， x26x+912， （x3）212 故选：D 4在一个不透明的袋子中装有若干个红球和 2 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜 色后放回，共进行了 200 次操作，其中白球出现了 51 次，由此估计红球的个数为（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 【分析】设红球有 x 个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案 【解答】解：设红球有 x 个， 根据题意得：， 解得：x6， 经检验：x6 是分式方程的解， 即红球
14、有 6 个， 故选：B 5如图，两条直线被三条平行线所截，AB4，BC6，DF9，则 DE 的长为（ ） A3.2 B3.6 C4 D4.2 【分析】根据平行线分线段成比例代入计算即可解答 【解答】解：ADBECF， ， ， DF9， DE， 故选：B 6线段 AB 的长是 10，点 C 是 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则 AC 的长为（ ） A5 B C153 D55 【分析】根据黄金分割的定义得 ACAB，即可得出答案 【解答】解：点 C 是 AB 的黄金分割点，AB10， ACAB1055， 故选：D 7函数 ykx+k 与 y（k0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A B
15、 C D 【分析】分两种情况讨论，当 k0 时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出 k0 时，一 次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案 【解答】解：当 k0 时，ykx+k 过一、二、三象限；y（k0）过一、三象限； 当 k0 时，ykx+k 过二、三、四象象限；y（k0）过二、四象限 观察图形可知，只有 B 选项符合题意 故选：B 8如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为 375 平方米的矩形临时仓库，仓库一边 靠墙， 另三边用总长为55米的栅栏围成， 若设榣栏AB的长为x米， 则下列各方程中， 符合题意的是 （ ） Ax（55x）375 Bx（55
16、2x）375 Cx（552x）375 Dx（55x）375 【分析】设榣栏 AB 的长为 x 米，根据 AD+AB+BC55 且 ADBC 可得 ADBC米，再由长方 形的面积公式可得答案 【解答】解：设榣栏 AB 的长为 x 米，则 ADBC米， 根据题意可得，x （55x）375， 故选：A 9如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB 和 AC 边上的点，DEBC，AD3BD，四边形 BDEC 的面积是 28，则ABC 的面积为（ ） A61 B62 C63 D64 【分析】先求出，再求出ADE 和ABC 相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求 出ADE 的面积，再求解即可
17、 【解答】解：AD3BD， ， ， DEBC， ADEABC， ， 四边形 BDEC 的面积是 28， ABC 的面积， 故选：D 10已知点 A（1，y1） 、B（2，y2） 、C（3，y3）都在反比例函数 y的图象上，则 y1、y2、y3的关系 是（ ） Ay2y1y3 By2y3y1 Cy3y1y2 Dy3y2y1 【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及 函数的增减性解答 【解答】解：在反比例函数 y中，k10， 此函数图象在一、三象限， 210， 点 A（1，y1） ，B（2，y2）在第三象限， y1y20， 30， C（3，y3
18、）点在第一象限， y30， y1，y2，y3的大小关系为 y3y2y1 故选：D 11如图，EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为 1.6 米，车头 FACD 近似看成一 个矩形，且满足 3FD2FA，若盲区 EB 的长度是 6 米，则车宽 FA 的长度为（ ）米 A B C D2 【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可 【解答】解：如图，过点 P 作 PMBE，垂足为 M，交 AF 于点 N，则 PM1.6， 设 FAx 米，由 3FD2FA 得，FDxMN， 四边形 ACDF 是矩形， AFCD， PAFPBE， ， 即， PNx
19、， PN+MNPM， x+x1.6， 解得，x， 故选：B 12如图，矩形 ABCD 中，BEF90，点 E 是 AD 中点，则的值为（ ） A B C D 【分析】由矩形的性质及BEF90可推得AD90，AEBEFD，进而判定ABE DEF，根据相似三角形的性质得出比例式，设 AEa，用含 a 的式子分别表示出 FC 和 BC，然后计算 即可 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， AD90， 又BEF90， AEB+FED90，FED+EFD90， AEBEFD， ABEDEF， ， 设 AEa， 点 E 是 AD 中点， AEDEa， ， ， ABa，DFa， FCDCDFABDFaaa
20、， BCAD2AE2a， ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13若，则 【分析】根据比例的性质即可得到结论 【解答】解：， ； 故答案为： 14关于 x 的方程 x2+4xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k4 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的 取值范围 【解答】解：关于 x 的方程 x2+4xk0 有两个不相等的实数根， 4241（k）0， 解得：k4 故答案为 k4 15如图，OAB 和OCD 位似，位似中心是原点 O，B 点坐标是（6，2） ，OAB 和OCD 的相似比为 2：1，则点
21、 D 的坐标为 （3，1） 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标 【解答】解：OAB 和OCD 位似，位似中心是原点 O，OAB 和OCD 的相似比为 2：1，B 点坐 标是（6，2） ， 点 D 的坐标为： （6，2）即（3，1） 故答案为： （3，1） 16如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面 1.5 米，他将 3 米长的标杆竖直放 置在身前 3 米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为 15 米，则旗杆和标杆之间距离 CE 长 24 米 【分析】如图，延长 FB 交 EA 的延长线于 T，设 TAx 米，ECy 米利
22、用相似三角形是性质分别求出 x，y 即可 【解答】解：如图，延长 FB 交 EA 的延长线于 T，设 TAx 米，ECy 米 由题意，AB1.5 米，ACCD3 米，EF15 米 ABCD， TABTCD， ， ， 解得 x3， 经检验 x3 是分式方程的解， CDEF， TCDTEF， ， ， y24， 经检验 y24 是分式方程的解， EC24（米） ， 故答案为：24 17如图，在 RtABC 中，C90，点 D 是 AB 的中点，点 E 是线段 AC 上的动点，BC4，AB8， 当ABC 和AED 相似时，AE 的长为 2或 【分析】利用勾股定理列式求出 AB，根据线段中点的定义求出
23、AD，根据翻折的性质可得ADEA DE，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可 【解答】解：C90，AB8，BC4， AC4， D 为 AB 的中点， ADAB4， 以 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似， 若ADEABC，则， 即， 解得 AE2， 若AEDABC，则， 即， 解得 AE， 综上所述，AE 的长为 2或 故答案为：2或 18一次函数 ykx+2 的图象与反比例函数 y的图象交于点 A（1，a） ，点 O 为坐标原点，射线 OA 交 反比例函数 y的图象于点 B，若，则 m 的值为 4 【分析】求出点 A（1，1） ，则 OA，则 OA 的表达
24、式为 yx，若，则 OB2，设点 B（t， t） ，则 OBt2，解得 t2，故点 B（2，2） ，即可求解 【解答】解：将点 A 的坐标代入一次函数和反比例函数表达式得：，解得， 故点 A（1，1） ，则 OA， 则 OA 的表达式为 yx， 若，则 OB2， 设点 B（t，t） ， 则 OBt2，解得 t2， 故点 B（2，2） ， 将点 B 的坐标代入 y得：2， 解得 m4， 故答案为 4 三解答题三解答题 19解方程： （1）x24x30； （2）2x（x1）x1 【分析】 （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）x24x3， x24x+43+4
25、，即（x2）27， 则 x2， x12+，x22； （2）2x（x1）（x1）0， （x1） （2x1）0， 则 x10 或 2x10， 解得 x11，x20.5 20如图，已知ABCACD，AC6，AD4，CD2AD，求 BD 和 BC 的长 【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可 【解答】解：AD4，CD2AD， CD8， ABCACD， ，即， 解得，AB9，BC12， BDABAD5 21 2020 年 10 月 8 日， 济南轨道交通 2 号线地质条件最为复杂、 盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通 至 此，2 号线全部 38 个单线盾构区间全部贯通 （1）一名乘客通过此
26、地铁闸口时，选择 A 闸口通过的概率为 ； （2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率 【分析】 （1）直接根据概率公式求解即可； （2） 根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公 式即可得出答案 【解答】解： （1）有 A、B、C 三个闸口， 一名乘客通过此地铁闸口时，选择 A 闸口通过的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 共有 9 种等情况数，其中两名乘客选择不同闸口通过的有 6 种， 则两名乘客选择不同闸口通过的概率是 22 2020 年 3 月， 新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，
27、但在全球却开始持续蔓延， 这是对人类的考验， 将对全球造成巨大影响 世界卫生组织提出：如果 1 人传播 10 人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺 炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者” 如果某地区有 1 人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假 设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有 81 人成为新冠肺炎病毒的携带者 （1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数； （2）若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？ 【分析】 （1）设每人每轮传染 x 人，根据经过两轮传染后共有 81 人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得 出关
28、于 x 的一元二次方程，解之即可得出 x 的值，将其正值与 10 比较后即可得出结论； （2） 根据经过 3 轮传染后病毒携带者的人数经过两轮传染后病毒携带者的人数 （1+每人每轮传染的 人数） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每人每轮传染 x 人， 依题意，得：1+x+（1+x） x81， 解得：x18，x210（不合题意，舍去） ， 810， 最初的这名病毒携带者不是“超级传播者” ； （2）81（1+8）729（人） ， 答：若不加以控制传染渠道，经过 3 轮传染，共有 729 人成为新冠肺炎病毒的携带者 23如图，矩形 ABCD 中 AB2，AD4，动点 F 在线段 CD 上运动
29、（不与端点重合） ，过点 D 作 AF 的垂 线，交线段 BC 于点 E （1）证明：ADFDCE； （2）当 CF1 时，求 EC 的长 【分析】 （1）根据相似三角形的判定得出ADFDCE 即可； （2）根据相似三角形的性质解答即可 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是矩形， DCAB2，ADCBCD90 又AFDE， ADFDCE90，DAFEDC90DFA， ADFDCE； （2）ADFDCE， ， CF1，CDAB2， DFCDCF1， AD4，CD2， ， CE 24定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程” 例如 x2 4 和（x2）
30、 （x+3）0 有且只有一个相同的实数根 x2，所以这两个方程为“同伴方程” （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ； （只填写序号即可） （x1）29；x2+4x+40；（x+4） （x2）0 （2）关于 x 的一元二次方程 x22x0 与 x2+3x+m10 为“同伴方程” ，求 m 的值； （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）同时满足 a+b+c0 和 ab+c0，且与（x+2） （x n）0 互为“同伴方程” ，求 n 的值 【分析】 （1）利用题中的新定义判断即可； （2）根据题中的新定义列出有关于 m 的方程，求出方程的解即可得到 m 的值； （
31、3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出 n 的值 【解答】解： （1）（x1）29 解得：x14，x22， x2+4x+40， 解得：x1x22， （x+4） （x2）0， 解得 x14，x22 所以，属于“同伴方程”的有 故答案是：； （2）一元二次方程 x22x0 的解为 x10，x22， 当相同的根是 x0 时，则 m10，解得 m1； 当相同的根是 x2 时，则 4+6+m10，解得 m9； 综上，m 的值为 1 或9； （3）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）同时满足 a+b+c0 和 ab+c0， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）
32、的两个根是 x21，x21； （x+2） （xn）0 的两个根是 x12，x2n， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）与（x+2） （xn）0 互为“同伴方程” ， n1 或1 25如图，在平面直角坐标系中，点 A（2，m）在正比例函数 yx（x0）的图象上，反比例函数 y （x0）的图象经过点 A，点 P 是 x 轴正半轴上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，与正比例函数 yx（x 0）的图象交于点 C，点 B 是线段 CP 与反比例函数的交点，连接 AP、AB （1）求该反比例函数的表达式； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集； （3）若 SABP1，求 B
33、 点坐标； （4） 点 Q 是 A 点右侧双曲线上一动点， 是否存在APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出点 Q 坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）观察图象即可求解； （3）SABPBP（xBxA）|2m|1，即可求解； （4）证明AMPPNQ（AAS） ，则 AMPN，PMQN，即 n2且 tn3，即可求解 【解答】解： （1）当 x2 时，yx3，故点 A（2，3） ， 将点 A 的坐标代入反比例函数表达式得：3，解得 k6， 故反比例函数表达式为 y； （2）观察图象，请直接写出当 x0 时，x的解集为 0 x2； （3）设点
34、 B（m，） ， 则 SABPBP（xBxA）|（m2）|1， 解得 m3 或 1.5（舍弃） ， 故点 B 的坐标为（3，2） ； （4）存在，理由： 设点 Q 的坐标为（t，） ，点 P（n，0） ， APQ 为以 P 为直角顶点的等腰直角三角形，故 APQP，APQ90， 过点 A、Q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N， APM+QPN90，QPN+PQN90， APMPQN， AMPPNQ90，APQP， AMPPNQ（AAS） ， AMPN，PMQN，即 n2且 tn3， 解得 t6， 故点 Q（6，1） 26在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起如图 1
35、 所示，C90，点 A 与 点 D 重合，点 B 与点 E 重合，CAkCB （1）操作发现：当 k1 时，将DCE 绕点 C 顺时针旋转 90，发现此情况下线段 BE 和线段 AD 存在 特殊的数量和位置关系：数量关系： 相等 ；位置关系： 垂直 ； （请直接写出答案） （2）问题产生：当 k1 时，如图 2，将DCE 绕点 C 顺时针旋转 （090） ，连接 BE、AD， 在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明； （3）问题延伸：将（2）中的条件“k1”调整为“k2” ，如图 3，其它条件不变： 求此条件下线段 BE 和线段 AD 数量关系和位置关系； 在旋转过程中，当
36、 E 点恰好落在线段 AB 上时，若 BC1，求点 C 到直线 AD 的距离 【分析】 （1）将DCE 绕点 C 顺时针旋转 90时，此时ABD 为等腰直角三角形，即可求解； （2）证明BCEACD（SAS） ，则ADCBEC，BEAD，而BEC+HEC180，则ADC+ HEC180，即可求解； （3）证明BCEACD，则，ADCBEC，进而求解；证明BMCDNC，则 ，进而求解 【解答】解： （1）将DCE 绕点 C 顺时针旋转 90时，此时ABD 为等腰直角三角形， 故 BEAD 且 BEAD， 故答案为：相等，垂直； （2）延长 DA、BE 交于点 H， 由题意知，CBCACECD，B
37、CAECD90， BCE+ECAACD+ECA90， BCEACD， 在CBE 和 ACD 中，BCAC，BCEACD，ECDC， BCEACD（SAS） ， ADCBEC，BEAD， BEC+HEC180， ADC+HEC180， 在四边形 HECD 中，ECD90， H90，即 BEAD； 故（1）的结论成立； （3）如图 2，连接 AD 交 BE 的延长线于点 H， 由题意知：，BCA+ECD90， BCE+ECAACD+EAC90， BCEACD， BCEACD， ，ADCBEC， BEC+HEC180， ADC+HEC180， 在四边形 HECD 中，ECD90， BHD90，即 BEAD， 故 BEAD 且 BEAD； 如图 3，过点 C 作 CMAB 于点 M，作 CNAD 于点 N， 由知，BBECCAD， BMCCND90， BMCDNC， ， 由三角形 ABC 的面积得：BCACCMAB，则 CM， 故 CN， 即点 C 到直线 AD 的距离为
