1、2020-2021 学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1下列说法中，当 k0 时，反比例函数 y的函数值 y 随 x 的增大而减小；反比例函数 y，当 x1 时，0y1；相似三角形的面积比等于相似比； 两个等腰三角形一定相似；一元二次方 程 x2+5x10，有两个不等实数根其中正确的有（ ）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2若双曲线的图象经过第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） A B C D不存在 3直线 yax+b 与双曲线 y的图象，如图所示
2、，则（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 4下列方程中，是一元二次方程的是（ ） Ax2+0 Bax2+bx+c0 C （x1） （x2）1 D3x22xy5y20 5如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两根分别为 x12，x21，那么 p，q 的值分别是（ ） A3，2 B3，2 C2，3 D2，3 6 若 P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B， C 的一点， 过点 P 作直线截ABC， 截得的三角形与原ABC 相似， 满足这样条件的直线有（ ）条 A1 B2 C3 D4 7如图，DEBC，DFAC，则下列比例式中正确的是
3、（ ） A B C D 8反比例函数 y（a0，a 为常数）和 y在第一象限内的图象如图所示，点 M 在 y的图象上， MCx 轴于点 C，交 y的图象于点 A；MDy 轴于点 D，交 y的图象于点 B，当点 M 在 y的 图象上运动时，以下结论： SODBSOCA； 四边形 OAMB 的面积不变； 当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9已知反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ，则 k 10如图是三个反比例函数 y，y，y在 x 轴上方的图
4、象，由此观察得到 k1，k2，k3的大小 关系为 11若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 20206m2+9m 的值为 12某种商品原价是 100 元，经两次降价后的价格是 85 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的 百分率为 x，可列方程为 13今年上半年，新冠病毒席卷全世界已知某种病毒的直径为 21.7 微米（1 毫米1000 微米） ，用科学记 数法表示这种病毒的直径为 米 14已知实数 a、b 满足等式 a22a10，b22b10，则的值是 15 在平行四边形ABCD中， 点E在直线AD上， AD3AE， 连接CE交BD于点F， 则EF： FC的值为 16如图，P 为线
5、段 AB 上一点，AD 与 BC 交于点 E，CPDAB，BC 交 PD 于点 F，AD 交 PC 于 点 G，则图中相似三角形有 对 三、解方程（共三、解方程（共 2 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分）分） 17解方程：2x25x+30 18m（m+8）25 四、 （共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 19等腰ABC 中，BC8，AB、AC 的长是关于 x 的方程 x210 x+m0 的两根，求 m 的值 20如图，DEBC，且 DBAE，若 AB5，AC10，求 AE 的长 五、 （共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 21以长为 2 的线段为边作正方
6、形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上，如图所示 （1）求 AM、DM 的长； （2）求证：AM2ADDM 22 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 若每件商品的售价为 x 元，则可卖出（35010 x）件， 但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120% 若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润 （不计 其他成本） ，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 六、 （共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 23如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点已知反比例函
7、数 y（k0）的图象经过点 A（2，m） ，过 点 A 作 ABx 轴于点 B，且AOB 的面积为 （1）求 k 和 m 的值； （2）点 C（x，y）在反比例函数 y的图象上，求当 1x3 时函数值 y 的取值范围 24如图，在ABC 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从 点 B 开始沿 BC 向 C 点以 4cm/s 的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒钟PBQ 与 ABC 相似？ 七、 （共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 25如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCAC
8、B90，E 为 AB 的中点 （1）求证：AC2ABAD； （2）求证：CEAD； （3）若 AD4，AB6， 求的值； 求 DE 的长 26如图，AOB90，ABx 轴，OB2，双曲线 y，经过点 B，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使 点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，若 AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O （1）求点 B 坐标及双曲线解析式 （2）判断点 C 是否在双曲线上，请说明理由 （3） 在 y 轴上是否存在一点 P， 使PBD 的周长最小， 若存在， 求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 2020-2021 学年湖南省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷学年湖南
9、省常德市澧县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1下列说法中，当 k0 时，反比例函数 y的函数值 y 随 x 的增大而减小；反比例函数 y，当 x1 时，0y1；相似三角形的面积比等于相似比； 两个等腰三角形一定相似；一元二次方 程 x2+5x10，有两个不等实数根其中正确的有（ ）个 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】分别按照反比例函数的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的不同分类及一元二次方程的实 数根与判别式的关系可得答案 【解答】解：当 k0 时，反比例函数 y为图象位于第一象限，其函数值 y 随
10、x 的增大而减小，故 正确； 反比例函数 y，图象位于第一象限，其函数值 y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y1，当 x1 时，0y1，故正确； 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故错误； 两个等腰三角形不一定相似，比如等腰钝角三角形和等腰直角三角形，故错误； x2+5x10， x2+5x+100， b24ac 524110 2540 150， 一元二次方程 x2+5x10 没有实数根 故错误 综上，正确的有 故选：B 2若双曲线的图象经过第二、四象限，则 k 的取值范围是（ ） A B C D不存在 【分析】先根据反比例函数的图象经过第二、四象限得到关于 k 的不等式，求出 k 的取
11、值范围即可 【解答】解：双曲线 y的图象经过第二、四象限， 2k10， k 故选：B 3直线 yax+b 与双曲线 y的图象，如图所示，则（ ） Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0 【分析】根据一次函数和反比例函数图象和系数的关系即可求得0，b0，c0 【解答】解：直线 yax+b 经过一二四象限， a0，b0， 双曲线 y在一三象限， c0， 故选：C 4下列方程中，是一元二次方程的是（ ） Ax2+0 Bax2+bx+c0 C （x1） （x2）1 D3x22xy5y20 【分析】根据一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式
12、方程叫做一元二次方 程，一般形式是 ax2+bx+c0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件进行解答 【解答】解：A、不是关于 x 的一元二次方程，故此选项错误； B、a0 时不是一元二次方程，故此选项错误； C、是一元二次方程，故此选项正确； D、不是一元二次方程，故此选项错误； 故选：C 5如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两根分别为 x12，x21，那么 p，q 的值分别是（ ） A3，2 B3，2 C2，3 D2，3 【分析】根据根与系数的关系，即可求得 p、q 的值 【解答】解：由题意，得：x1+x2p，x1x2q； p（x1+x2）3，qx1x22； 故选：A 6
13、若 P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B， C 的一点， 过点 P 作直线截ABC， 截得的三角形与原ABC 相似， 满足这样条件的直线有（ ）条 A1 B2 C3 D4 【分析】过点 P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就 可以 【解答】解：由于ABC 是直角三角形， 过 P 点作直线截ABC，则截得的三角形与ABC 有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与 RtABC 相似， 过点 P 可作 AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共 3 条直线 故选：C 7如图，DEBC，DFAC，则下列比例式中正确的是（ ） A B C
14、D 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理分别分析得出答案 【解答】解：DEBC， ，故选项 A 错误； DFAC， ，可得选项 C 错误； 可得：，故选项 B 错误， ，故选项 D 正确 故选：D 8反比例函数 y（a0，a 为常数）和 y在第一象限内的图象如图所示，点 M 在 y的图象上， MCx 轴于点 C，交 y的图象于点 A；MDy 轴于点 D，交 y的图象于点 B，当点 M 在 y的 图象上运动时，以下结论： SODBSOCA； 四边形 OAMB 的面积不变； 当点 A 是 MC 的中点时，则点 B 是 MD 的中点 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由反
15、比例系数的几何意义可得答案； 由四边形 OAMB 的面积矩形 OCMD 面积（三角形 ODB 面积+面积三角形 OCA） ，解答可知； 连接 OM，点 A 是 MC 的中点可得OAM 和OAC 的面积相等，根据ODM 的面积OCM 的面 积、ODB 与OCA 的面积相等解答可得 【解答】解：由于 A、B 在同一反比例函数 y图象上，则ODB 与OCA 的面积相等，都为2 1，正确； 由于矩形 OCMD、三角形 ODB、三角形 OCA 为定值，则四边形 MAOB 的面积不会发生变化，正确； 连接 OM，点 A 是 MC 的中点， 则OAM 和OAC 的面积相等， ODM 的面积OCM 的面积，O
16、DB 与OCA 的面积相等， OBM 与OAM 的面积相等， OBD 和OBM 面积相等， 点 B 一定是 MD 的中点正确； 故选：D 二填空题（共二填空题（共 8 小题）小题） 9已知反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ，则 k 2 【分析】直接把点 A（1，2）代入 y求出 k 的值即可 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点 A（1，2） ， 2， 解得 k2 故答案为：2 10如图是三个反比例函数 y，y，y在 x 轴上方的图象，由此观察得到 k1，k2，k3的大小 关系为 k1k2k3 【分析】本题考查反比例函数与的图象特点 【解答】解：读图可知：三个反比例函数 y的图象在第
17、二象限；故 k10；y，y在第一 象限；且 y的图象距原点较远，故有：k1k2k3；综合可得：k1k2k3故填 k1k2k3 11若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 20206m2+9m 的值为 2017 【分析】 利用一元二次方程解的定义得到 2m23m1， 再把 20206m2+9m 变形为 20203 （2m23m） ， 然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：m 是方程 2x23x10 的一个根， 2m23m10， 即 2m23m1， 20206m2+9m20203（2m23m）2020312017 故答案为 2017 12某种商品原价是 100 元，经两次降价后的价格是 8
18、5 元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的 百分率为 x，可列方程为 100（1x）285 【分析】易得第一次降价后的价格为：100（1x） ，那么第二次降价后的价格为：100（1x）（1 x） ，那么相应的等量关系为：原价（1降低的百分率）2第二次降价后的价格，把相关数值代入 即可 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为 100（1x）285， 故答案为：100（1x）285 13今年上半年，新冠病毒席卷全世界已知某种病毒的直径为 21.7 微米（1 毫米1000 微米） ，用科学记 数法表示这种病毒的直径为 2.1710 5 米 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科
19、学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定 【解答】解：21.7 微米10000002.1710 5 米； 故答案为：2.1710 5 14已知实数 a、b 满足等式 a22a10，b22b10，则的值是 2 或6 【分析】实数 a、b 满足等式 a22a10，b22b10，当 ab 时，a，b 可能是方程 x22x1 0 的同一个根，两数相等； 当 ab 时，由根与系数的关系，得 a+b2，ab1，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的 式子，代入两根之和与两根之积，求得代
20、数式的值 【解答】解： （1）当 ab 时，原式1+12 （2）当 ab 时，可以把 a，b 看作是方程 x22x10 的两个根 由根与系数的关系，得 a+b2，ab1 6 故本题答案为：2 或6 15 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在直线 AD 上， AD3AE， 连接 CE 交 BD 于点 F， 则 EF： FC 的值为 2： 3 或 4：3 【分析】分两种情况进行讨论：E 在线段 AD 上；E 在线段 DA 的延长线上，分别根据相似三角形的对应 边成比例进行计算求解即可 【解答】解：分两种情况： 如图所示，当 E 在线段 AD 上时， AD3AE， DEADBC， 即， DEBC
21、， DEFBCF， EF：FCDE：BC2：3； 如图所示，当 E 在线段 DA 的延长线上时， AD3AE， DEADBC， 即， DEBC， DEFBCF， EF：FCDE：BC4：3， 故答案为：2：3 或 4：3 16如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于点 E，CPDAB，BC 交 PD 于点 F，AD 交 PC 于 点 G，则图中相似三角形有 3 对 【分析】 先根据条件证明PCFBCP， 利用相似三角形的性质： 对应角相等， 再证明APDPGD， 进而证明APGBFP 再证明时注意图形中隐含的相等的角 【解答】解：CPDB，CC， PCFBCP CPDA，DD， A
22、PDPGD CPDAB，APGB+C，BFPCPD+C APGBFP， APGBFP 则图中相似三角形有 3 对， 故答案为：3 三解答题三解答题 17解方程：2x25x+30 【分析】将方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一 个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解：方程 2x25x+30， 因式分解得： （2x3） （x1）0， 可得：2x30 或 x10， 解得：x1，x21 18m（m+8）25 【分析】首先把左边的式子展开，利用配方法配成完全平方式直接开平方即可 【解答】解：m（m+8）25 m2+8
23、m25， m2+8m+4225+42， （m+4）241， m+4， m14+，m24 19等腰ABC 中，BC8，AB、AC 的长是关于 x 的方程 x210 x+m0 的两根，求 m 的值 【分析】等腰ABC 中，BC 可能是方程的腰也可能是方程的底边，应分两种情况进行讨论 当 BC 是底边时， ABAC， 则方程 x210 x+m0 有两个相等的实根， 即0， 即可得到关于 m 的方程， 求得 m 的值； 当 BC 是腰时，则方程一定有一个解是 x8，根据一元二次方程的根与系数的关系即可求得另一边即底 边，与 m 的值 【解答】解：在方程 x210 x+m0 中，x1+x210， 当这两
24、边是等腰三角形的腰时，有 x1x25， x1x225m， 当有两边的长都为 8 时，有 8+x210， x22， mx1x22816， m25 或 16 20如图，DEBC，且 DBAE，若 AB5，AC10，求 AE 的长 【分析】根据平行线分线段成比例，代入计算即可解答 【解答】解：DEBC， ， DBAE，AB5，AC10， ， 解得：AE 21以长为 2 的线段为边作正方形 ABCD，取 AB 的中点 P，连接 PD，在 BA 的延长线上取点 F，使 PF PD，以 AF 为边作正方形 AMEF，点 M 在 AD 上，如图所示 （1）求 AM、DM 的长； （2）求证：AM2ADDM
25、【分析】 （1）由勾股定理求 PD，根据 AMAFPFPAPDPA，DMADAM 求解； （2）由（1）计算的数据进行证明 【解答】 （1）解：在 RtAPD 中，PAAB1，AD2， PD， AMAFPFPAPDPA1， DMADAM2（1）3； （2）证明：AM2（1）262，ADDM2（3）62， AM2ADDM 22 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品 若每件商品的售价为 x 元，则可卖出（35010 x）件， 但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的 120% 若该商店计划从这批商品中获取 400 元利润 （不计 其他成本） ，问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 【
26、分析】由销售问题的数量关系总利润单件利润数量建立方程求出其解即可 【解答】解：根据题意，得 （x21） （350 x）400 整理，得 x256x+7750 解得 x125，x231 因为 21120%25.2，即售价不能超过 25.2 元，所以 x31 不合题意，应舍去 故 x25，从而卖出 3501025100 件， 答：需要卖出 100 件商品，每件售价是 25 元 23如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点已知反比例函数 y（k0）的图象经过点 A（2，m） ，过 点 A 作 ABx 轴于点 B，且AOB 的面积为 （1）求 k 和 m 的值； （2）点 C（x，y）在反比例函数 y的图
27、象上，求当 1x3 时函数值 y 的取值范围 【分析】 （1）根据三角形的面积公式先得到 m 的值，然后把点 A 的坐标代入 y，可求出 k 的值； （2）先分别求出 x1 和 3 时，y 的值，再根据反比例函数的性质求解 【解答】解： （1）A（2，m） ， OB2，ABm， SAOBOBAB2m， m； 点 A 的坐标为（2，） ， 把 A（2，）代入 y，得， k1； （2）当 x1 时，y1；当 x3 时，y， 又反比例函数 y在 x0 时，y 随 x 的增大而减小， 当 1x3 时，y 的取值范围为y1 24如图，在ABC 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB
28、 向 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从 点 B 开始沿 BC 向 C 点以 4cm/s 的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒钟PBQ 与 ABC 相似？ 【分析】 设在开始运动后第 x 秒， BPQ 与BAC 相似，由题意表示出 AP， PB， BQ，分两种情况考虑： 当BPQC，BB 时，PBQCBA；当BPQA，BB 时，BPQBAC，分 别由相似得比例，列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可得到结果 【解答】解：设在开始运动后第 x 秒，BPQ 与BAC 相似， 由题意得：AP2xcm，PB（82x）cm，BQ4x， 分两种情况考虑： 当B
29、PQC，BB 时，PBQCBA， ， 即 解得：x0.8， 当 x0.8 秒时，BPQ 与BAC 相似； 当BPQA，BB 时，BPQBAC， ，即， 解得：x2， 当 x2 秒时，BPQ 与BAC 相似 综上，当 x0.8 秒或 2 秒时，BPQ 与BAC 相似 25如图，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ADCACB90，E 为 AB 的中点 （1）求证：AC2ABAD； （2）求证：CEAD； （3）若 AD4，AB6， 求的值； 求 DE 的长 【分析】 （1）证明DCACBA，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可知 ECEAEB，推出DA
30、CEACACE 即可证明； （3）由 ADCE，可得，则可求出答案； 证得 AD2+CD2ADAB求出 CD28，由勾股定理可得出答案 【解答】 （1）证明：AC 平分DAB， DACCAB， ADCACB90， DCACBA， ， AC2ABAD （2）证明：ACB90，AEEB， CEAEEB， EACECA， DACCAE， DACACE， ADEC （3）解：CEAB3，ADCE， ， ； ADC90， AD2+CD2AC2 AC2ADAB， AD2+CD2ADAB AD4，AB6， CD28， CD ACB90，E 为 AB 的中点， AEBECE3 CEAD， ADC+DCE180
31、 DCE180ADC90 DE 26如图，AOB90，ABx 轴，OB2，双曲线 y，经过点 B，将AOB 绕点 B 逆时针旋转，使 点 O 的对应点 D 落在 x 轴正半轴上，若 AB 的对应线段 CB 恰好经过点 O （1）求点 B 坐标及双曲线解析式 （2）判断点 C 是否在双曲线上，请说明理由 （3） 在 y 轴上是否存在一点 P， 使PBD 的周长最小， 若存在， 求点 P 的坐标； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）先求得BOD 是等边三角形，即可求得 B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线的 解析式； （2）求得 OBOC，即可求得 C 的坐标，根据 C 的坐标即可判
32、定点 C 是否在双曲线上； （3）作点 B 关于 y 轴的对称点 B（1，） ，连接 BD 交 y 轴于点 P，先求出 BD 的解析式，即可求 解 【解答】解： （1）ABx 轴， ABOBOD， ABOCBD， BODOBD， OBBD， BODBDO， BOD 是等边三角形， BOD60， B（1，） ， 双曲线 y经过点 B， k1， 双曲线的解析式为 y； （2）ABO60，AOB90， A30， AB2OB， ABBC， BC2OB， OCOB， C（1，） ， 1（）， 点 C 在双曲线上； （3）PBD 的周长BD+PB+PD，且 BD 是定值， 当 PB+PD 取最小值时，PBD 有最小值， 如图，作点 B 关于 y 轴的对称点 B（1，） ，连接 BD 交 y 轴于点 P， B（1，） ， OB2， BOD 是等边三角形， BOOD2， 点 D（2，0） ， 设直线 BD 解析式为 ykx+b， ， ， yx+， 当 x0 时，y， 点 P（0，）
