1、2020 北京各区高三二模数学分类汇编 排列组合与二项式定理、概率与统计 排列组合与二项式定理 1.（2020昌平高三二模）在的展开式中，的系数为 （A） （B） （C） （D） 2.（2020房山高三二模）李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、 丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次已知5月1日李明分别去了这四家超市配 送，那么整个5月他不用去配送的天数是 （A）12 （B）13 （C）14 （D）15 3.（2020海淀二模）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距 离.某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个
2、座椅之间的距离超过一米，为了保 证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例 如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“”表示就座人员）.根据该公司要求， 该会议室最多可容纳的就座人数为 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 4.（2020朝阳高三二模）在 6 1 x x （+ ）的展开式中，常数项为 （用数字作答） 5. （2020西城高三（下）6 月模拟）在 6 1 5x的展开式中,x的系数为 . 6（2020密云高三二模）在的展开式中，常数项为_.（用数字作答） 概率与统计 7.（2020海淀二模）（本小题共 14 分） 为了推进分级诊疗，实现“基层
3、首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自 2016 年起全 面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为 2000 万，从 1 岁到 101 岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图 1 所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000 名年满 18 周岁的居民，各年龄段被访者签约率如 图 2 所示. （）估计该地区年龄在 7180 岁且已签约家庭医生的居民人数； （）若以图 2 中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区 年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率； （）据统计，该地
4、区被访者的签约率约为 44%. 为把该地区年满 18 周岁居民的签约率提高到 55%以上，应着 重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释. 8（2020西城高三二模）（本小题满分 14 分） 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽 率，并按发芽率分为 8 组：0.486,0.536)，0.536,0.586)，0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率 分布直方图 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636 的种子定为“B 级”，发芽率
5、低于0.636的种子定为“C 级” （）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为 20 元、15 元、10 元某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分 布列和数学期望； 年龄（单位：岁） 1 图 O21 31415161718191101111 0.018 0.021 0.016 频率 组距 0.015 0.010 0.004 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.0025 0.0005 0.008 0.005 3
6、0.3 37.1 55.7 61.770.0 75.8 2图 O1830 20 40 60 80 315051606170718081以上 年龄段 %签约率（ ） （）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的 种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变 大了还是变小了？（结论不需要证明） 9.（2020东城高三二模）（本小题 14 分） 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者， 下表记录了,A B C D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据
7、模糊，记为, a b. 项目 计划招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D 160 200 甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知 1 (0) 40 P, 1 (4) 10 P. （）求甲同学至多获得三个项目招募的概率； （）求a，b的值； （）假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目D，试判断E如何变化(结论不要求证明). 10.（2020朝阳高三二模）(本小题 14 分) 近年来，随着 5G 网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟.为了尽快在实际生活中应用无人驾 驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进
8、行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试.某机构调查了部分企业参与 测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程(单位:万公里)将这些汽车分为 4 组: 5,6 , 6,7 , 7,8 , 8,9并整理得到如下的频率分布直方图: (I)求a的值; (II)该机构用分层抽样的方法，从上述 4 组无人驾驶汽车中随机抽取了 10 辆作为样本.从样本中行驶里程不小 于 7 万公里的无人驾驶汽车中随机抽取 2 辆，其中有 X 辆汽车行驶里程不小于 8 万公里，求X的分布列和 数学期望; (III)设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0 .若用分层抽样的方法从上述 4 组无人驾驶 汽车中随机抽取
9、 10 辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1 ;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车 中随机抽取 10 辆作为样本，其行驶里程的平均数为 2 .有同学认为 0102 ，你认为正确吗?说 明理由. 11. （2020西城高三（下）6 月模拟）(本小题满分 14 分) 随着科技的进步,视频会议系统的前景愈加广阔.其中,小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计,小 型视频会议软件下载量前 6 名的依次为, ,A B C D E F.在实际中,存在很多软件下载后但并未使用的情况.为 此,某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查,统计得到这 6 款软件的下载量 W(单位:人次)与使用量 U(单
10、位:人次),数据用柱状图表示如下: 定义软件的使用率 W U t ,当0.9t 时,称该款软件为“有效下载软件”，调查公司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率. ()在这 6 款软件中任取 1 款,求该款软件是“有效下载软件”的概率; ()从这 6 款软件中随机抽取 4 款,记其中“有效下载软件”的数量为X,求X的分布列与数学期望; ()将()中概率值记为%x.对于市场上所有小型视频会议软件,能否认为这些软件中大约有%x的软件为 “有效下载软件”?说明理由. 12.（2020昌平高三二模）（本小题 14 分） 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作
11、要求，各校以教师线上指 导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动.为了 解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了 100 名学生，获得了他们一天中用于居家自 主学习和锻炼身体的总时间分别在（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制 成频率分布直方图（如图）. （）由图中数据求的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼 身体的总时间在的概率； （）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的 100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时 间在和的人中任选 3 人，求其中在的人数的分布列
12、和数学期望； （III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该天居家自主学 习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论） 13. （2020丰台高三二模）（本小题共 14 分） 为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为 了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了 10 所学校，10 所学 校的参与人数如下： （）现从这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行调查.求选出的 2 所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人的概 率； （）现有一名旱地冰壶
13、教练在这 10 所学校中随机选取 2 所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人 数在 30 人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望； （）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这 3 个动作进行技术指导. 规定：这 3 个动作中至少有 2 个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学 3 个动作中每个动作达 到“优”的概率为 0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达 到“优”的概率发生了变化？请说明理由. 14.（2020房山高三二模）（本小题 14 分） “十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园
14、，该公园每天分别在10时，12时，14时， 16时公布实时在园人数下表记录了10月1日至7日的实时在园人数： 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 10时在园人数 11526 18005 19682 8284 13830 10101 6663 12时在园人数 26518 37089 42931 16845 34017 23168 14800 14时在园人数 37322 38045 40631 20711 36558 24706 15125 16时在园人数 27306 29687 30638 16181 20821 16169 10866 通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量（同一时段在
15、园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40% 以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人 （）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率； （）从10月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求 X 的分布列和数学期望； （）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大？ （只需写出结论） 15.（2020密云高三二模）（本小题满分 14 分） 某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示： （）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称
16、为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人， 求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制规定：消费金额为 2000 元、2700 元和 3200 元的消费 者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员预计去年消费金额在、 内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次 性预先缴清相应等级的消费金额 该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案： 方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励其中，普通会 员、
17、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励 500 元、600 元和元 方案 2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱 子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球 的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励如果每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位 银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立） 以方案 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由 2020 北京各区高三二模数学分
18、类汇编排列组合与二项式定理、 概率与统计参考答案 1.C 2.B 3.C 4.15 5.30 6.20 7.（本小题共 14 分） 解: （）由图 1 可知，该地区居民中年龄在 7180 岁的频率为0.004 10=4%. 由图 2 可知，样本中年龄在 7180 岁居民家庭医生的签约率为 70.0%， 因为该地区居民人数约为 2000 万， 所以该地区年龄在 7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为20004%70.0%=56（万人）. （）由题意，从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为 7 10 . 设 i A表示事件“从该地区年龄在 7180 岁居民中随
19、机抽取两人，其中第i个人已签约家庭医生”（1,2i ）， 则 7 () 10 i P A ， 73 ()1 1010 i P A （1,2i ）. 设事件C为“从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人,这两人中恰有 1 人已签约家庭医生”， 则 1221 CA AA A. 所以 1212 733721 ( )() ()() () 1010101050 P CP A P AP A P A. 所以这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为 21 50 . （）应着重提高年龄在 3150 岁居民的签约率. 理由如下： 依题意，该地区年满 18 周岁居民签约率从44%提高到55%以上，需至少提升
20、11%； 年龄在 3150 岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大； 年龄在 3150 岁居民的医生签约率较低，约为37.1%； 该地区年满 18 周岁居民的人数在该地区的占比约为： 0.008+0.005 0.7) 10=0.8851-(； 所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至55%，可将该地区年满 18 周岁居民签约率提升 37% (1 37.1%)0.88537% 62.9%23%，大于11%. 8（本小题满分 14 分） 解：（）设事件M为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，1 分 由图表，得(0.4 1.24.06
21、.04.4 1.20.4) 0.051a， 解得2.4a . 2 分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.22.4) 0.050.2， 3 分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件， 所以事件M的概率()1 0.20.8P M . 5 分 （） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4) 0.050.3， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.06.0) 0.050.5， 恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.22.4) 0.0
22、50.2. 7 分 随机变量X的可能取值有20，25，30，35，40， 且(20)0.2 0.20.04P X ， (25)0.2 0.50.5 0.20.2P X ， (30)0.5 0.50.3 0.20.2 0.30.37P X ， (35)0.3 0.50.5 0.30.3P X ， (40)0.3 0.30.09P X . 9 分 所以X的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 10 分 故X的数学期望()20 0.0425 0.230 0.3735 0.340 0.0931E X . 11 分 （）与旧的发芽率数据的方差相比
23、，技术改进后发芽率数据的方差变大了. 14 分 9.（本小题 14 分） 解：因为 1 (0) 40 P， 所以60a ，且80b. 设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知， 501 ( ) 1002 P A ； 设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知， 60 ( )P B a ； 设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知， 80 ( )P C b ； 设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知， 1604 () 2005 P D ； （）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“4”是对立的， 所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 19 1(4)1 1010
24、P .4 分 （）由题意可知， 1608041 (0)()(1) (1) (1) (1) 2540 PP ABCD ab ； 1 60 80 41 (4)() 2510 PP ABCD ab ； 解得120a ，160b .12 分 （）E变大.14 分 10.（本小题 14 分） 解：（）由题意知，1 (0.1 0.20.4)1a，所以0.3a 3 分 （）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车， 则行驶里程在7,8)这一组的无人驾驶汽车有 4 104 10 辆， 行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有 3 103 10 辆 由题意可知，X的所有可能取值为0，
25、1，2 2 4 2 7 2 (0) 7 C P X C ， 11 43 2 7 4 (1) 7 C C P X C ， 2 3 2 7 1 (2) 7 C P X C 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的数学期望 2416 ()012 7777 E X11 分 （）这种说法不正确理由如下： 由于样本具有随机性，故 1 ， 2 是随机变量，受抽样结果影响 因此有可能 1 更接近 0 ，也有可能 2 更接近 0 ， 所以 0102 | |不恒成立 所以这种说法不正确14 分 11（本小题满分 14 分） 解：（）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率
26、， ，. 所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”.2 分 记事件为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件”，3 分 则事件的概率.4 分 （）随机变量的可能取值为 2，3，4.5 分 则，.8 分 所以随机变量的分布列为： 2 3 4 9 分 所以随机变量的数学期望.10 分 （）不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.12 分 理由如下： 若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总 体. 用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取. 但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排
27、名前 6 名”的软件，不是 从所有软件中随机抽取 6 款作为样本. 故不能认为大约有的软件为“有效下载软件”.14 分 12.（本小题满分 14 分） 解：（）因为， 所以. .2 分 因为， 所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在的学生有人. .3 分 所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概 率为. .5 分 （）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别有 5 人和 3 人. .6 分 所以的所有可能取值为 0,1,2,3. .7 分 ， , ，. .9 分 所以的分布列为 所以的期望. .11 分 （III）样本中的 100
28、名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在. 13（本小题共 14 分） 解：（）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过 40 人”为事件S， 参与越野滑轮人数超过 40 人的学校共 4 所，随机选择 2 所学校共 2 4 6C 种， 所以 2 4 2 10 4 3 2 2 ( ) 10 9 15 2 C P S C . 4 分 （）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所. 02 46 2 10 1 (0) 3 CC P X C ， 11 46 2 10 8 (1) 15 CC P X C ， 20 46 2 10 2 (2) 15 CC P X C .
29、 X的分布列为： X 0 1 2 P 1 3 8 15 2 15 1824 ()012 315155 E X . 11 分 （）答案不唯一 答案示例 1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： 2233 33 0.10.90.10 028CC+. 指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核 达到“优”的概率发生了变化 答案示例 2：无法确定理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为： 2233 33 0.10.90.10 028CC+. 虽然概率非常小，但是也可能发生， 所以，无法确定总考核
30、达到“优”的概率发生了变化14 分 14.（本小题 14 分） （）由题意知，若舒适度为“舒适”，则在园人数不大于 40 83.2 100 万， 所以10月1日至7日中下午14时舒适度为“舒适”的天数为3天，因此甲同学从10月1日至7日中随机选1天 的下午14时去该景区游览，遇上“舒适”的概率为 3 7 （）这记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，则X的可能取值为0,1,2 10月1日至7日中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有3天，则 2 4 2 7 2 (0) 7 C P X C 11 43 2 7 4 (1) 7 C C P X C 2 3 2 7 1 (2) 7 C
31、 P X C X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的期望 2416 012 7777 EX （）从10月2日开始连续三天的在园人数的方差最大 15. （本小题满分 14 分） （）解：记“在抽取的 2 人中至少有 1 位消费者在去年的消费超过 4000 元”为事件 A. 由图可知，去年消费金额在内的有 8 人，在内的有 4 人， 消费金额超过 3200 元的“健身达人”共有 8+4=12（人）， 从这 12 人中抽取 2 人，共有种不同方法， 其中抽取的 2 人中至少含有 1 位消费者在去年的消费超过 4000 元，共有种不同方法 所以， （）解：方案 1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”， 则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为 ， 按照方案 1 奖励的总金额为 （元） 方案 2 设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金， 则的可能取值为 0，200，300 由题意，每摸球 1 次，摸到红球的概率为， 所以， ， 所以的分布列为： 数学期望为（元）， 按照方案 2 奖励的总金额为 （元）， 因为由，所以施行方案 2 投资较少
