1、2020-2021 学年广西北流市九年级（上）期中数学试卷学年广西北流市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1如图是由两个全等的正三角形所组成的图案，其中既是中心对称又是轴对称图案的是（ ） A B C D 2在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ayx2 By3x+1 Cyax2+bx+c Dy 3抛物线 y3x22 的顶点坐标是（ ） A （0，0） B （2，0） C （2，0） D （0，2） 4平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A（m
2、，n） ，B（1，3） ，C（m， n） ，则点 D 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 5若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx20（a0）的一个根，则 20202a+2b 的值等于（ ） A2016 B2018 C2020 D2022 6将抛物线 yx22x+1 绕它的顶点旋转 180后的解析式是（ ） Ayx2+2x+1 Byx2+2x1 Cyx22x+1 Dyx22x1 7九年级 1 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了 850 份留 言如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A8
3、50 B850 Cx（x1）850 Dx（x+1）850 8用直接开平方法解方程（x+h）2k，方程必须满足的条件是（ ） Ak0 Bh0 Chk0 Dk0 9将函数 yx2+x 的图象向右平移 a（a0）个单位，得到函数 yx25x+6 的图象，则 a 的值（ ） A1 B2 C3 D4 10若一次函数 yax+b（a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，则抛物线 yax2+bx 的对称轴为 （ ） A直线 x1 B直线 x2 C直线 x1 D直线 x4 11已知二次函数 y13x2，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1
4、 12如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC2，BC 的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时 针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（ ） A2 B2 C1+ D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13已知 1 是关于 x 的方程：x2x+a0 的一个解，则 a 的值是 14点 A（3，y1） ，B（2，y2）在抛物线 yx25x 上，则 y1 y2 （填“” ， “”或“” ） 15已知二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，
5、0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x23x+m0 的两实数根是 16在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s5t2+2t，则当物体经过的路程 是 88 米时，该物体所经过的时间为 秒 17某商品进价为 25 元，当每件售价为 50 元时，每天能售出 100 件，经市场调查发现，每件售价每降低 1 元，则每天可多售出 5 件，店里每天的利润要达到 1500 元若设店主把该商品每件售价降低 x 元，求解 可列方程为 18如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴， 下列五个结论：abc0；2a+b0；
6、a+b+c0；a1其中正确的结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66 分）分） 19解方程：x212（x+1） 20已知关于 x 的一元二次方程 x22x+2m10 有两个实数根 x1，x2，且 m 为正整数 （1）求 m 的值； （2）求的值 21如图，在同格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，我们把小正方形的顶点做格点，ABC 的 三个顶点均在格点上 （1）ABC 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到A1B1C1，画出平移后的三角 形； （2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 A 的坐标为（4，3） ； （3）在（2
7、）的条件下，作出ABC 关于原点成中心对称的图形A2B2C2 22如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可 利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料， 设计一种砌法，使矩形花的面积为 150m2； 请设计一种砌法，使矩形花的面积最大 23如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处其身体（看成一点） 的路线是抛物线 yx2+3x+的一部分 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC2.75 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 3 米，问这次表演能否成 功？请说
8、明理由 24如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等， （1）求EAF 的度数； （2）在图中，连结 BD 分别交 AE、AF 于点 M、N，将ADN 绕点 A 顺时针旋转 90至ABH 位置， 连结 MH，得到图求证：MN2MB2+ND2； （3）在图中，若 AG12，BM3，直接写出 MN 的值 25某生物实验室需培育一群有益菌，现有 90 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 36000 个，其中每个 有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 （1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ （2）按照这样的分裂速度
9、，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 26如图，抛物线 y（x+1）2+k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ； （1）求抛物线的对称轴及 k 的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得|PBPC|的值最大？若存在，求出点 P 的坐标； （3）如果点 M 是抛物线在第三象限的一动点；当 M 点运动到何处时，M 点到 AC 的距离最大？求出此 时的最大距离及 M 的坐标 2020-2021 学年广西北流市九年级（上）期中数学试卷学年广西北流市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题）小题） 1如图是由两
10、个全等的正三角形所组成的图案，其中既是中心对称又是轴对称图案的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形故本选项正确 故选：D 2在下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ） Ayx2 By3x+1 Cyax2+bx+c Dy 【分析】利用二次函数定义可得答案 【解答】解：A、是二次函数，故此选项符合题意； B、是一次函数，故此选项不合题意； C、当
11、a0 时，不是二次函数，故此选项不合题意； D、是反比例函数，故此选项不合题意； 故选：A 3抛物线 y3x22 的顶点坐标是（ ） A （0，0） B （2，0） C （2，0） D （0，2） 【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标 【解答】解：抛物线 y3x22， 该抛物线的顶点坐标为（0，2） ， 故选：D 4平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别是 A（m，n） ，B（1，3） ，C（m， n） ，则点 D 的坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】由点的坐标特征得出点 A 和点 C 关于原点
12、对称，由平行四边形的性质得出 D 和 B 关于原点对 称，即可得出点 D 的坐标 【解答】解：A（m，n） ，C（m，n） ， 点 A 和点 C 关于原点对称， 四边形 ABCD 是平行四边形， D 和 B 关于原点对称， B（1，3） ， 点 D 的坐标是（1，3） ， 故选：C 5若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx20（a0）的一个根，则 20202a+2b 的值等于（ ） A2016 B2018 C2020 D2022 【分析】将 x1 代入方程得出 ab2，再整体代入计算可得 【解答】解：将 x1 代入方程，得：ab20， 则 ab2， 所以原式20202（ab） 20
13、2022 20204 2016， 故选：A 6将抛物线 yx22x+1 绕它的顶点旋转 180后的解析式是（ ） Ayx2+2x+1 Byx2+2x1 Cyx22x+1 Dyx22x1 【分析】先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转 180后的图象与原图 象开口相反，利用顶点式解析式写出即可 【解答】解：yx22x+1（x1）2， 抛物线 yx22x+1 的顶点坐标为（1，0） ， 抛物线 yx22x+1 绕顶点旋转 180后的图象的解析式为 y（x1）2x2+2x1， 即 yx2+2x1 故选：B 7九年级 1 班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪
14、念，全班学生共写了 850 份留 言如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A850 B850 Cx（x1）850 Dx（x+1）850 【分析】可设全班有 x 名学生，则每人写（x1）份留言，共写 x（x1）份留言，进而可列出方程即可 【解答】解：全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为： x（x1）850 故选：C 8用直接开平方法解方程（x+h）2k，方程必须满足的条件是（ ） Ak0 Bh0 Chk0 Dk0 【分析】根据一个数的平方是非负数，可得 k0 【解答】解：（x+h）20， k0 故选：A 9将函数 yx2+x 的图象向右平移 a（a0）个单位，得到函数 yx25
15、x+6 的图象，则 a 的值（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】把两个函数都化为顶点式，按照“左加右减，上加下减”的规律，则可求出 a 的值 【解答】解：yx2+x（x+）2， 顶点的横坐标为：； yx25x+6（x）2， 顶点的横坐标为：； a（）3 故选：C 10若一次函数 yax+b（a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ，则抛物线 yax2+bx 的对称轴为 （ ） A直线 x1 B直线 x2 C直线 x1 D直线 x4 【分析】先将（2，0）代入一次函数解析式 yax+b，得到2a+b0，即 b2a，再根据抛物线 y ax2+bx 的对称轴为直线 x即可求解 【解答】解：
16、一次函数 yax+b（a0）的图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， 2a+b0，即 b2a， 抛物线 yax2+bx 的对称轴为直线 x1 故选：C 11已知二次函数 y13x2，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1 【分析】抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值大小确定，绝对值越大，开口越小 【解答】解：|3|，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小， y1y3y2，故选 C 12如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC2，BC 的中点为 D将ABC 绕点 C 顺时 针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G，
17、连接 DG在旋转过程中，DG 的最大值是（ ） A2 B2 C1+ D3 【分析】解直角三角形求出 AB、BC，再求出 CD，连接 CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半求出 CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 再代入数据进行计算即可得解 【解答】解：ACB90，A30， AB4， BCACtan3022， BC 的中点为 D， CDBC21， 连接 CG， ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到FEC，EF 的中点为 G， CGEFAB42， 由三角形的三边关系得，CD+CGDG， D、C、G 三点共线时 DG 有最大
18、值， 此时 DGCD+CG1+23 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 13已知 1 是关于 x 的方程：x2x+a0 的一个解，则 a 的值是 0 【分析】把 x1 代入方程 x2x+a0，得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】解：x1 是方程 x2x+a0 的一个根， 121+a0， 解得 a0 故答案为：0 14点 A（3，y1） ，B（2，y2）在抛物线 yx25x 上，则 y1 y2 （填“” ， “”或“” ） 【分析】分别计算自变量为3、2 时的函数值，然后比较函数值的大小即可 【解答】解：当 x3 时，y1x25x24； 当 x2 时，y2x25x6； 2
19、46， y1y2 故答案为： 15已知二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方 程 x23x+m0 的两实数根是 x11，x22 【分析】关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 的两实数根就是二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图 象与 x 轴的两个交点的横坐标 【解答】解：二次函数的解析式是 yx23x+m（m 为常数） ， 该抛物线的对称轴是：x 又二次函数 yx23x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2，0） ， 关于 x 的一
20、元二次方程 x23x+m0 的两实数根分别是：x11，x22 故答案是：x11，x22 16在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t（秒）的关系式为 s5t2+2t，则当物体经过的路程 是 88 米时，该物体所经过的时间为 4 秒 【分析】根据题意，将 s88 米代入关系式得到关于 t 的一元二次方程，解方程即可得到结果 【解答】解：把 s88 代入 s5t2+2t 得： 5t2+2t88 解得 t14，t24.4（舍去） ， 即 t4 秒 故答案为：4 17某商品进价为 25 元，当每件售价为 50 元时，每天能售出 100 件，经市场调查发现，每件售价每降低 1 元，则每天可多售
21、出 5 件，店里每天的利润要达到 1500 元若设店主把该商品每件售价降低 x 元，求解 可列方程为 （25x）（100+5x）1500 【分析】利润售价进价，由每降价 1 元，每天可多卖出 5 件，可知每件售价降低 x 元，每天可多卖 出 5x 件，从而列出方程即可 【解答】解：原来售价为每件 50 元，进价为每件 25 元，利润为每件 25 元，又每件售价降价 x 元后，利 润为每件（25x）元 每降价1元， 每星期可多卖出5件， 所以每件售价降低x元， 每星期可多卖出5x件， 现在的销量为 （100+5x） 根据题意得： （25x）（100+5x）1500， 故答案为： （25x）（10
22、0+5x）1500 18如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（1，2）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴， 下列五个结论：abc0；2a+b0；a+b+c0；a1其中正确的结论的序号是 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线的开口向上，对称轴为 x0，与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， a0，b0，c0， abc0，错误； 对称轴为 x1，a0， 2a+b0，正确； 图象经过点（1，0） ， 当 x1 时，y
23、a+b+c0，正确 图象经过点（1，2）和（1，0） ， ab+c2，a+b+c0， a+c1， c0， a1，正确 故答案为 三解答题三解答题 19解方程：x212（x+1） 【分析】首先把 x21 化为（x+1） （x1） ，然后提取公因式（x+1） ，进而求出方程的解 【解答】解：x212（x+1） ， （x+1） （x1）2（x+1） ， （x+1） （x3）0， x11，x23 20已知关于 x 的一元二次方程 x22x+2m10 有两个实数根 x1，x2，且 m 为正整数 （1）求 m 的值； （2）求的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到224（2m1）0，再解不等式得到 m
24、 的范围，然后确定正 整数 m； （2）利用根与系数的关系得到 x1+x22，x1x21，再通分得到，然后利用整体代入 的方法计算 【解答】解： （1）根据题意得224（2m1）0， 解得 m1， 而 m 为正整数， 所以 m 的值为 1； （2）方程为 x22x+10， 根据题意得 x1+x22，x1x21， 所以2 21如图，在同格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，我们把小正方形的顶点做格点，ABC 的 三个顶点均在格点上 （1）ABC 先向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到A1B1C1，画出平移后的三角 形； （2）建立适当的平面直角坐标系，使得点 A 的
25、坐标为（4，3） ； （3）在（2）的条件下，作出ABC 关于原点成中心对称的图形A2B2C2 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1即可 （2）根据点 A 的坐标确定平面直角坐标系即可 （3）分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求 （2）如图，平面直角坐标系如图所示 （3）如图，A2B2C2即为所求 22如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围墙 MN 最长可 利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料， 设计一种砌法，使矩形花的面积为 150m2；
26、 请设计一种砌法，使矩形花的面积最大 【分析】 （1）设 AB 为 xm，则 BC 为（402x）m，根据三角形面积公式得到相应的一元二次方程，解方 程即可得到结果； （2）设 AB 为 xm，矩形花园的面积为 ym2，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶 点式，即可求得结果，注意求出的边长要符合题意 【解答】解： （1）设 AB 为 xm，则 BC 为（402x）m， x（402x）150， 解得，x15，x215， 当 x15 时 402x3025（不合题意，舍去） ， 当 x215 时 402x1025（符合题意） ， 答：当砌墙宽为 15 米，长为 30 米时，花园面积
27、为 150m2； （2）设 AB 为 xm，矩形花园的面积为 ym2， 则 yx（402x）2（x10）2+200， 20，故 y 有最大值， x10 时，此时 y 取得最大值， 402x2025，符合题意， 此时 y200， 即当砌墙的宽为 10m，长为 20m 时，矩形花园的面积最大 23如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处其身体（看成一点） 的路线是抛物线 yx2+3x+的一部分 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC2.75 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 3 米，问这次表演能否成 功？请说明理由 【分析】
28、（1）将二次函数化简为 y（x）2+5，即可解出 y最大的值 （2）当 x2.75 时代入二次函数解析式，可得点 B 的坐标在抛物线上 【解答】解： （1）将二次函数 yx2+3x+化成 y（x）2+5， 当 x时，y 有最大值，y最大值5， 因此，演员弹跳离地面的最大高度是 5 米； （2）能成功表演理由是： 当 x3 时，y32+33+2.75， 即点 B（3，2.75）在抛物线 yx2+3x+上， 因此，能表演成功 24如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E，F 分别在 BC，CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等， （1）求EAF 的度数； （2）在图中，连结 BD 分别交
29、 AE、AF 于点 M、N，将ADN 绕点 A 顺时针旋转 90至ABH 位置， 连结 MH，得到图求证：MN2MB2+ND2； （3）在图中，若 AG12，BM3，直接写出 MN 的值 【分析】 （1）如图，通过证明 RtABERtAGE 得到BAEGAE，证明 RtADFRtAGF 得 到GAFDAF，从而得到EAFBAD45； （2） 如图， 先利用正方形的性质得ADBABD45， 再利用旋转的性质得ABHADN45， HAN90，AHAN，BHDN，则HAM45，于是可根据“SAS”证明AHMANM，所以 MNMH，接着证明HBM90，然后根据勾股定理得到结论； （3）利用正方形的性质
30、得 BD12，设 MNx，则 DN9x，然后利用 MN2MB2+ND2得到 x2 （3）2+（9x）2，然后解方程求出 x 即可 【解答】 （1）解：如图， 四边形 ABCD 为正方形， BBAD90， AGEF， AGE90， 高 AG 与正方形的边长相等， AGABAD， 在 RtABE 和AGE 中 ， RtABERtAGE（HL） ， BAEGAE， 同理可得 RtADFRtAGF， GAFDAF， EAFBAD45； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形， ADBABD45， ADN 绕点 A 顺时针旋转 90至ABH 位置，如图， ABHADN45，HAN90，AHAN，BHDN
31、， EAF45， HAM45， 在AMH 和AMN 中 AHMANM， MNMH， HBMABH+ABD90， MH2MB2+HB2， MN2MB2+ND2； （3）解：ABAG12， BD12， 设 MNx，则 DN123x9x， 由（2）得，MN2MB2+ND2， x2（3）2+（9x）2，解得 x5， 即 MN 的长为 5 25某生物实验室需培育一群有益菌，现有 90 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 36000 个，其中每个 有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 （1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 【分
32、析】 （1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌，根据原有有益菌的个数及经过两轮培 植后有益菌的个数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮培植后有益菌的个数经过两轮培植后有益菌的个数（1+19） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌， 依题意，得：90（1+x）236000， 解得：x119，x221（不合题意，舍去） 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 19 个有益菌 （2）36000（1+19）720000（个） 答：按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有 720000 个有益菌 26如
33、图，抛物线 y（x+1）2+k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ； （1）求抛物线的对称轴及 k 的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得|PBPC|的值最大？若存在，求出点 P 的坐标； （3）如果点 M 是抛物线在第三象限的一动点；当 M 点运动到何处时，M 点到 AC 的距离最大？求出此 时的最大距离及 M 的坐标 【分析】 （1）根据抛物线解析式写出对称轴解析式即可，把点 C 的坐标代入抛物线解析式计算即可求出 k 值； （2）令 y0，解关于 x 的一元二次方程得到点 A、B 的坐标，再根据三角形的任意两边之差小于第三边 可知点 P、C、B
34、在同一直线上时，|PBPC|的值最大，然后利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，再 求解即可； （3）先求出直线 AC 的解析式，再根据平行线间的距离相等，过点 M 的直线与直线 AC 平行且与抛物线 只有一个交点时距离最大，然后联立抛物线与直线解析式，根据0 列式求出过点 M 的直线，即可得 到点 M 的坐标，再求出直线与 x 轴的交点，然后利用直线与 x 轴的夹角为 45，利用正弦值列式计算即 可求出最大距离 【解答】解： （1）抛物线 y（x+1）2+k 的对称轴为直线 x1， 把点 C（0，3）代入抛物线得， （0+1）2+k3， 解得 k4； （2）令 y0，则（x+1）240，
35、解得 x13，x21， 点 A（3，0） ，B（1，0） ， 由三角形的三边性质，|PBPC|BC， 当点 P、C、B 在同一直线上时，|PBPC|的值最大， 此时，设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 直线 BC 的解析式为 y3x3， 当 x1 时，y3（1）36， 抛物线对称轴上存在点 P（1，6） ，使得|PBPC|的值最大； （3）设直线 AC 的解析式为 ymx+n（m0） ， 则， 解得， 直线 AC 的解析式为 yx3， 过点 M 的直线与直线 AC 平行且与抛物线只有一个交点时距离最大， 此时，过点 M 的直线解析式设为 yx+b， 联立， 消掉 y 得，x2+3x3b0， 3241（3b）0， 解得 b， 过点 M 的直线解析式为，yx， 此时，x1x2， y1y2， 点 M 的坐标为（，） ， 设过点 M 的直线与 x 轴的交点为 D， 则由x0，得 x， AD3（）， A（3，0） ，C（0，3） ， OAOC， AOC 是等腰直角三角形， OAC45， MDAC， ODMOAC45， 直线 MD 与 AC 之间的距离， 即 M 点到 AC 的距离最大值为
