1、第第 5 章章 二次函数二次函数 单元检测试题单元检测试题 （满分 120 分；时间：90 分钟） 一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计 30 分 ， ） 1. 下列函数是二次函数的是( ) A. = + 1 B. = 2+ 1 C. = 2+ 1 D. = 2 2. 下列函数关系中是二次函数的是( ) A.正三角形面积与边长的关系 B.在进价一定时，单件利润与单件售价之间的关系 C.矩形面积一定时，长与宽的关系 D.月(30天)工作总量与单日工作量之间的关系 3. 如果将抛物线 = 2+ 2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. = ( 1)2+ 2
2、 B. = ( + 1)2+ 2 C. = 2+ 1 D. = 2+ 3 4. 一小球从某一高空由静止开始下落（不计阻力） ，设下落的时间为()，下落的高度为 ()，已知与的函数关系式为 = 1 2 2（其中为正常数） ，则函数图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数 = 2+ + ( 0)的图象如图所示，现有下列结论： 0 2 4 0 0，则其中正确结论的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6. 关于的二次函数 = ( 1)2+ 2，下列说法中正确的是（ ） A.图象与轴的交点坐标为(0,2) B.当 0时，随的增大而减小 C.当 1时，随的增大而增大 7.
3、 抛物线 = 32 6 + 4的顶点坐标是( ) A.(1,1) B.(1,1) C.(1,2) D.(1,2) 8. 二次函数 = 2+ + 的图象如图所示，下列几个结论： 对称轴为直线 = 2；当 0时，随的增大而增大； 当 0时， 4；函数解析式为 = 2+ 4 其中正确的结论有（ ） A. B. C. D. 9. 如图是抛物线2+ + ( 0)的部分图象，其顶点坐标为(1,5)且与轴的一个 交点在(3,0)和(4,0)之间， 则下列结论： + 0； 2 + 0； 2 4 0； 一元二次方程2+ + 5有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.
4、 二次函数2+ + ( 0)的部分图象如图所示，图象过点(1,0)，对称轴为 直线2， 下列结论： 4 + 09 + 3； 8 + 7 + 2 0若点(3,1)， 点(2,2)， 点(8,3)在该函数图象上， 则1 3 2若方程( 1)( 5)3的 两根为1和2，且1 2，则1 5 0的解集是什么？ 23. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线状，如图，当球离抛出地的水平距离为20时， 达到最大高度为10，记当球离抛出地的水平距离为，对应高度为，则与的关系式 24. 已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米） ，围成中 间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长为米，面积
5、为平方米，则关于的函数 解析式为_，自变量的取值范围为_.(请写出求解过程） 25. 如图，抛物线 = 2+ + 与轴交于(1,0)，(3,0)两点 (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； (3)设(1)中的抛物线上有一个动点，当点在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 = 8，并求出此时点的坐标 26. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本 价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担王宏按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月销售量（件）
6、与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数： = 10 + 400 （1）王宏在开始创业的第一个月将销售单价定为18元，那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元？ （2）设王宏获得的利润为（元） ，当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）若物价部门规定，这种节能灯销售单价不得高于24元如果王宏想要每月获得的利润 不低于2000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、一、 选择题选择题 （本题共计（本题共计 10 小题小题 ，每题，每题 3 分分 ，共计，共计 30 分分 ） 1. 【答案】 B 【解答】 解：、 = + 1是一次函数，故此
7、选项错误； 、 = 2+ 1是二次函数，故此选项正确； 、 = 2+ 1 分母中含有未知数不是二次函数，故此选项错误； 、 = 2， 0时是二次函数，故此选项错误. 故选. 2. 【答案】 A 【解答】 解：，关系式为： = 3 4 2，故本选项正确； 、关系式为： = ，故本选项错误； 、关系式为： = ，故本选项错误； 、关系式为： = 30，故本选项错误. 故选 3. 【答案】 C 【解答】 解： 抛物线 = 2+ 2向下平移1个单位， 抛物线的解析式为 = 2+ 2 1，即 = 2+ 1 故选 4. 【答案】 C 【解答】 解： = 1 2 2（其中为正常数）为二次函数，其图象为抛物线
8、， 1 2 0， 抛物线开口向上， 0， = 1 2 2（其中为正常数）的图象只是抛物线在第一象限的部分 故选 5. 【答案】 B 【解答】 解： 抛物线开口相下， 0， 0， 抛物线与轴的交点在轴上方， 0， 0，所以错误； 对称轴为直线 = 2 = 1， = 2，抛物线与轴另一交点坐标为(1,0)， 当 = 2时， 0，即4 2 + 0， 2 2 + 0，即 0，所以正确 故选 6. 【答案】 C 【解答】 解：当 = 0时， = (0 1)2+ 2 = 1 + 2 = 1，所以图象与轴的交点坐标为(0,1)，故 选项错误； 由抛物线的顶点式可知对称轴为 = 1，开口向下， 当 1时，随的
9、增大而减小，故选项、错误；选项正确； 故选 7. 【答案】 A 【解答】 解： 抛物线 = 32 6 + 4 = 3( 1)2+ 1， 抛物线 = 32 6 + 4的顶点坐标是：(1,1). 故选. 8. 【答案】 D 【解答】 解：根据图象可以得到以下信息，抛物线开口向下， 与轴交于(0,0)(4,0)两点坐标， 对称轴为 = 2故正确； 当 2时，随的增大而减小；故错误； 根据图象，当 0时， 4；故此选项正确； 根据顶点坐标为(2,4)，即可求出解析式为： = 2+ 4， 故此选项正确； 故正确的有： 故选 9. 【答案】 C 【解答】 解：由图象可知，当 = 1时， 0 + 0，故正确
10、； 抛物线的对称轴为 = 2 = 1 = 2，即2 + = 0，故正确； ：抛物线与轴有两个交点， = 2 4 0，故正确； 抛物线的顶点坐标为(1,5) 直线 = 5与抛物线只有一个交点， 一元二次方程2+ + = 5有两个相等的实数根，故错误 故选： 10. 【答案】 B 【解答】 由对称轴可知： = 2 = 2， 4 + 0，故正确； 由图可知：3时， 0， 9 3 + 0， 即9 + 3，故错误； 令1，0， + 0， 4， 5， 8 + 7 + 2 8 28 10 30 由开口可知： 0，故正确； 由抛物线的对称性可知：点关于直线2的对称点为(4,3)， 4 3 2， 3 1 2 故
11、错误； 由题意可知：(1,0)关于直线2的对称点为(5,0)， 二次函数2+ + ( + 1)( 5)， 令3， 直线3与抛物线( + 1)( 5)的交点的横坐标分别为1，2， 1 5 2 故正确； 二、二、 填空题填空题 （本题共计（本题共计 10 小题小题 ，每题，每题 3 分分 ，共计，共计 30 分分 ） 11. 【答案】 = 2( 5)2+ 3 【解答】 解：把抛物线 = 2( 2)2+ 5向右平移3个单位，得： = 2( 2 3)2+ 5，即 = 2( 5)2+ 5； 再向下平移2个单位，得： = 2( 5)2+ 5 2，即 = 2( 5)2+ 3 故答案为 = 2( 5)2+ 3
12、 12. 【答案】 = 1 2 ( 4)2 5 【解答】 解： = 1 2 2 4 + 3 = 1 2( 2 8 + 16) 8 + 3 = 1 2( 4) 2 5 故本题答案为： = 1 2( 4) 2 5 13. 【答案】 5 4, 7 8 【解答】 解： = 22 5 + 4 = 2(2 5 2) + 4 = 2( 5 4) 2 2 25 16 + 4 = 2( 5 4) 2 + 7 8， = 5 4， = 7 8 故答案为 5 4， 7 8 14. 【答案】 2,2 【解答】 解： = ( 1)2+ ( 3)2， = 2 2 + 1 + 2 6 + 9， = 22 8 + 10， =
13、2( 2)2+ 2， 所以，当 = 2时，函数有最小值2 故答案为：2，2 15. 【答案】 = 42 2 【解答】 解：将点(1,2)代入解析式 = 2 2得， 2 = 2， 解得， = 4， 所以函数解析式为 = 42 2 故答案为 = 42 2 16. 【答案】 （1） （3） （2） 【解答】 二次函数的图象 17. 【答案】 9 4 【解答】 解： = 6 42= 4( 3 4) 2 + 9 4， 汽车刹车后到停下来前进了9 4， 故答案为：9 4 18. 【答案】 13 2 【解答】 解： 抛物线 = ( + 3 2) 2 + （，为常数） ， 对称轴为直线 = 3 2， 点和点关
14、于直线 = 3 2对称，且点( 1 2,0)， 点(3 1 2,0)， = 3 1 2 点和点关于 = 3 2对称，且点(0,)， 点(2,)， = 3， 线段与线段的长度和为13 2 故答案为：13 2 . 19. 【答案】 3 【解答】 当0时，2 2 30，解得11，23，则抛物线2 2 3与轴的交点坐 标为(1,0)，(3,0)， 2 2 3( 1)2 4，抛物线2 2 3的顶点坐标为(1,4)， 对于函数|2 2 3|，当 3时，函数2 2 3；当1 3时， (2 2 3)( 1)2+ 4，顶点坐标为(1,4)， 如图， 所以函数|2 2 3|的图象与直线4有3个交点 20. 【答案
15、】 125 16 【解答】 解：如图，连接， = 5 (5 ：抛物线 = 2+ + 经过坐标原点，与，轴的另一个交点为 = 0 25 + 5 + = 0解得 = 5 = 0 抛物线的解析式为 = 2+ 5 顶点(5 2, 25 4 ) 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积的和就是 的面积， 阴影部分的面积为1 2 5 2 25 4 = 125 16 故答案为：125 16 三、三、 解答题解答题 （本题共计（本题共计 6 小题小题 ，每题，每题 10 分分 ，共计，共计 60 分分 ） 21. 【答案】 解：(1) 此抛物线的顶点坐标为(1,4)， 设此抛物线的解析式为 = ( + 1)2+
16、 4， 又因此抛物线过点(2， 5)， 5 = ( + 1)2+ 4， 解得 = 1, 此抛物线的解析式为： = ( + 1)2+ 4. (2) 抛物线的解析式为 = ( + 1)2+ 4, 令 = 0, 得：0 = （ + 1） 2 + 4, 1= 3,2= 1, 抛物线与 x 轴的交点坐标为(3,0)，(1,0)， 又因点在点的左侧， 故点的坐标为(3,0)，点的坐标为(1,0). 3, = ( 2)2+ 4 【解答】 解：(1) 此抛物线的顶点坐标为(1,4)， 设此抛物线的解析式为 = ( + 1)2+ 4， 又因此抛物线过点(2， 5)， 5 = ( + 1)2+ 4， 解得 = 1
17、, 此抛物线的解析式为： = ( + 1)2+ 4. (2) 抛物线的解析式为 = ( + 1)2+ 4, 令 = 0, 得：0 = （ + 1） 2 + 4, 1= 3,2= 1, 抛物线与 x 轴的交点坐标为(3,0)，(1,0)， 又因点在点的左侧， 故点的坐标为(3,0)，点的坐标为(1,0). (3) 抛物线与轴的交点的坐标为(3,0)，原点的坐标为(0,0)， 当函数图像向右平移经过原点，且点与原点重合， 此抛物线向右平移3个单位， 根据平移的规律：左加右减， 所以此时图像的函数解析式为 = （ 2） 2 + 4, 故答案为：3； = ( 2)2+ 4. 22. 【答案】 解： （
18、1）由图象知函数经过点(3,0)，(1,0)，(0,2)， 设函数的解析式为： = 2+ + ， 9 3 + = 0 + + = 0 = 2 ， 解得： = 2 3 = 4 3 = 2 ， 解析式为 = 2 3 2 + 4 3 2； （2） = 2 3 2 4 3 2 = = 2 3( + 1) 2 8 3， 故对称轴为 = 1，顶点坐标为(1, 8 3)； （3）当 0的解集是 1 【解答】 解： （1）由图象知函数经过点(3,0)，(1,0)，(0,2)， 设函数的解析式为： = 2+ + ， 9 3 + = 0 + + = 0 = 2 ， 解得： = 2 3 = 4 3 = 2 ， 解析
19、式为 = 2 3 2 + 4 3 2； （2） = 2 3 2 4 3 2 = = 2 3( + 1) 2 8 3， 故对称轴为 = 1，顶点坐标为(1, 8 3)； （3）当 0的解集是 1 23. 【答案】 解：由题意可得出：抛物线过(0,0)(20,10)点， 故设解析式为： = ( 20)2+ 10， 将(0,0)代入得出：0 = 400 + 10， 解得： = 1 40， 则关于的函数解析式为： = 1 40( 20) 2 + 10 【解答】 解：由题意可得出：抛物线过(0,0)(20,10)点， 故设解析式为： = ( 20)2+ 10， 将(0,0)代入得出：0 = 400 +
20、10， 解得： = 1 40， 则关于的函数解析式为： = 1 40( 20) 2 + 10 24. 【答案】 = 32+ 24,14 3 0 14 3 8. 故答案为： = 32+ 24；14 3 8. 25. 【答案】 解：(1) 抛物线 = 2+ + 与轴交于(1,0)，(3,0)两点， 方程2+ + = 0的两根为 = 1或 = 3， 1 + 3 = ， 1 3 = ， = 2， = 3， 二次函数解析式是 = 2 2 3 (2) = 2 2 3 = ( 1)2 4， 抛物线的对称轴 = 1，顶点坐标(1,4) (3)设的纵坐标为|. = 8， 1 2 | = 8. = 3 + 1 =
21、 4， | = 4， = 4， 把= 4代入解析式得，4 = 2 2 3， 解得， = 1 22， 把= 4代入解析式得，4 = 2 2 3， 解得， = 1， 点在该抛物线上滑动到(1 + 22,4)或(1 22,4)或(1,4)时，满足= 8 【解答】 解：(1) 抛物线 = 2+ + 与轴交于(1,0)，(3,0)两点， 方程2+ + = 0的两根为 = 1或 = 3， 1 + 3 = ， 1 3 = ， = 2， = 3， 二次函数解析式是 = 2 2 3 (2) = 2 2 3 = ( 1)2 4， 抛物线的对称轴 = 1，顶点坐标(1,4) (3)设的纵坐标为|. = 8， 1 2
22、 | = 8. = 3 + 1 = 4， | = 4， = 4， 把= 4代入解析式得，4 = 2 2 3， 解得， = 1 22， 把= 4代入解析式得，4 = 2 2 3， 解得， = 1， 点在该抛物线上滑动到(1 + 22,4)或(1 22,4)或(1,4)时，满足= 8 26. 【答案】 解： （1）当 = 18时， = 10 + 400 = 10 18 + 400 = 220， 220 (12 10) = 220 2 = 440元 即政府这个月为他承担的总差价为440元 （2）依题意得， = ( 10)(10 + 400) = 102+ 500 4000 = 10( 25)2+ 2
23、250 = 10 0， 当 = 25时，有最大值2250元 即当销售单价定为25元时，每月可获得最大利润2250元 （3）由题意得：102+ 500 4000 = 2000， 解得：1= 20，2= 30 = 10 0，抛物线开口向下， 当20 30时，2250 2000 又 24， 当20 24时， 2000 当 = 24时，政府每个月为他承担的总差价最小， = 24 10 + 400 = 160， 160 2 = 320， 政府每个月为他承担的总差价最小值320元 即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为320元 【解答】 解： （1）当 = 18时， = 10 + 400
24、 = 10 18 + 400 = 220， 220 (12 10) = 220 2 = 440元 即政府这个月为他承担的总差价为440元 （2）依题意得， = ( 10)(10 + 400) = 102+ 500 4000 = 10( 25)2+ 2250 = 10 0， 当 = 25时，有最大值2250元 即当销售单价定为25元时，每月可获得最大利润2250元 （3）由题意得：102+ 500 4000 = 2000， 解得：1= 20，2= 30 = 10 0，抛物线开口向下， 当20 30时，2250 2000 又 24， 当20 24时， 2000 当 = 24时，政府每个月为他承担的总差价最小， = 24 10 + 400 = 160， 160 2 = 320， 政府每个月为他承担的总差价最小值320元 即销售单价定为24元时，政府每个月为他承担的总差价最少为320元
