1、2020-2021 学年四川省成都市简阳市简城学区九年级（上）期中数学试卷学年四川省成都市简阳市简城学区九年级（上）期中数学试卷 A 卷卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）. 1一元二次方程3x2+40 的一次项系数是（ ） A3 B0 C3 D4 2关于 x 的方程（a3）x2+x+2a10 是一元二次方程的条件是（ ） Aa0 Ba3 Ca Da3 3下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A对角线互相平分 B对角线相等 C对角线互相垂直 D一条对角线平分一组对角 4甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是（ ） A1 B C D 5若关于 x
2、 的一元二次方程的两个根为 x11，x22，则这个方程是（ ） Ax2+3x20 Bx23x+20 Cx22x+30 Dx2+3x+20 6已知 2x+4y0，且 x0，则 y 与 x 的比是（ ） A B C2 D2 7已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ） A7 B10 C11 D10 或 11 8如图，ABC 中，AD 是中线，BC8，BDAC，则线段 AC 的长为（ ） A4 B4 C6 D4 9如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当
3、ABBC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当ABC90时，它是矩形 D当 ACBD 时，它是正方形 10下列说法中，正确的有（ ） 对角线互相平分且相等的四边形是菱形； 一元二次方程 x23x40 的根是 x14，x21； 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； 所有的菱形都相似； 一道单项选择题有 4 个选项，选对的概率是 50% A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，共分，共 16 分）分）. 11一元二次方程 x26x60 配方后化为 12菱形的对角线长分别为 24 和 10，则此菱形的周长为 ，面积为 13已知关于 x 的方程（2a1
4、）x28x+60 没有实数根，则 a 的最小整数值是 14如图，已知矩形 ABCD 中，AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上 的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 三、解答题（共三、解答题（共 54 分）分）. 15解下列方程 （1）2x24x30； （2） （x1） （x+2）70 16如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，且 CECD，过点 E 作 EFAC 交 AD 于点 F， 连接 BE （1）求证：DFAE； （2）当 AB2 时，求 AF 的值 17一个盒子里有标号分别为 1，2，3
5、，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相同 （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回 盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若两次摸到小球的标号数字同为 奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢请用列表法或画树状 图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平 18已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2满足
6、x12+x22x1x216，求 a 的值 19某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长为 24m，宽为 12m，在温室内，沿前侧内墙保留 2m 宽 的空地，其它三侧内墙各保留等宽的通道当通道的宽为多少时，蔬菜种植区域的面积是 210m2？ 20.如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E （1）求证：AGCG； （2）求证：AG2GEGF； （3）如果 DC2CGCF，求证： B 卷卷 一填空题（每小题一填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 21若0，且 a+b2c3，则 a 22已知关于 x 的一元二次方程
7、 x2mx+2m10 的两根 x1，x2满足，则 m 23已知线段 AB2，经过点 B 作 BDAB，使 BDAB；连接 DA，在 DA 上截取 DEDB；在 AB 上截 取 ACAE，则 BC 24如图，矩形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，边 OA 在 y 轴上，A 点坐标为（0，2） ，点 D 是线段 OC 上的一 个动点，连结 AD，以 AD 为边作矩形 ADEF，使边 EF 过点 B，连接 OF，当点 D 与点 C 重合时，所作 矩形 ADEF 的面积为 6在点 D 的运动过程中，当线段 OF 有最小值时，直线 OF 的解析式为 25如图，在正方形 ABCD 中，AD8，点 E
8、是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EFED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 的中点，则 FM ， 二、解答题（共二、解答题（共 30 分）分） 26某商店购进一批单价为 20 元的节能灯，如果以单价 30 元出售，那么一个月内能售出 400 个根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 10 个，设节能灯的 销售单价提高 x 元 （1）一个月内商店要获得利润 6000 元，并且能尽可能多卖出以推广节能灯的使用，那么节能灯的销
9、售 单价应为多少元？ （2）当销售单价为多少元时，该商店一个月内获得的利润最大？最大利润是多少元？ 27天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图 1， 在等边ABC 中， 点 P 是边 BC 上任意一点， 连接 AP， 以 AP 为边作等边APQ， 连接 CQ求证：BPCQ； （2） 变式探究： 如图 2， 在等腰ABC 中， ABBC， 点 P 是边 BC 上任意一点， 以 AP 为腰作等腰APQ， 使 APPQ，APQABC，连接 CQ判断ABC 和ACQ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC 中，点 P
10、是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是 正方形 APEF 的中心，连接 CQ若正方形 APEF 的边长为 6，CQ2，求正方形 ADBC 的边长 28如图，四边形 AOBC 为矩形，点 B 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，点 D 在 BC 边上，现将矩形 AOBC 沿 OD 所在直线折叠，B 点恰好落在 AC 边上的点 E 处 （1）求证：AEOCDE； （2）若CED30，CD 求点 D、E 的坐标； 点 P、Q 分别为 OE、OB 上任意一点，求DPQ 周长的最小值以及周长最小时对应的点 P 的坐标； 若点 Q 是点 D 关于 y 轴的对称点，点 M 是 x 轴上
11、一点，平面内是否存在点 N，使得四边形 AQMN 为 矩形，若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年四川省成都市简阳市简城学区九年级（上）期中数学试卷学年四川省成都市简阳市简城学区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1一元二次方程3x2+40 的一次项系数是（ ） A3 B0 C3 D4 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0） 在一般形式中 ax2叫二次 项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项
12、 【解答】解：一元二次方程3x2+40 的一次项系数是 0 故选：B 2关于 x 的方程（a3）x2+x+2a10 是一元二次方程的条件是（ ） Aa0 Ba3 Ca Da3 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案 【解答】解：由关于 x 的方程（a3）x2+x+2a10 是一元二次方程，得 a30 解得 a3， 故选：B 3下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A对角线互相平分 B对角线相等 C对角
13、线互相垂直 D一条对角线平分一组对角 【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分 【解答】解：因为菱形的对角线垂直且互相平分，正方形的对角线垂直相等且互相平分 所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的 故选：B 4甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是（ ） A1 B C D 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解：有左，左；右，左；左，右；右，右四种情况 所以都迈出左腿的概率是， 故选：D 5若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x11，x22，则这个方程是（ ） Ax2+3x20 Bx23x+20 Cx22x+30 Dx2+3x
14、+20 【分析】解决此题可用验算法，因为两实数根的和是 1+23，两实数根的积是 122解题时检验两 根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可 【解答】解：两个根为 x11，x22 则两根的和是 3，积是 2 A、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项不正确； B、两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C、两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确； D、两根之和等于3，两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选：B 6已知 2x+4y0，且 x0，则 y 与 x 的比是（ ） A B C2 D2 【分析】直接利用已知将原式变形进而得出 y 与 x 的比 【解
15、答】解：2x+4y0，且 x0， 2x4y， 故选：A 7已知 3 是关于 x 的方程 x2（m+1）x+2m0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ） A7 B10 C11 D10 或 11 【分析】把 x3 代入已知方程求得 m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰ABC 的两条 边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可 【解答】解：把 x3 代入方程得 93（m+1）+2m0， 解得 m6， 则原方程为 x27x+120， 解得 x13，x24， 因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长， 当ABC
16、的腰为 4，底边为 3 时，则ABC 的周长为 4+4+311； 当ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则ABC 的周长为 3+3+410 综上所述，该ABC 的周长为 10 或 11 故选：D 8如图，ABC 中，AD 是中线，BC8，BDAC，则线段 AC 的长为（ ） A4 B4 C6 D4 【分析】 根据 AD 是中线， 得出 CD4， 再根据 AA 证出CBACAD， 得出， 求出 AC 即可 【解答】解：BC8， CD4， 在CBA 和CAD 中， BDAC，CC， CBACAD， ， AC2CDBC4832， AC4； 故选：B 9如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结
17、论中不正确的是（ ） A当 ABBC 时，它是菱形 B当 ACBD 时，它是菱形 C当ABC90时，它是矩形 D当 ACBD 时，它是正方形 【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的 平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形 【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形 ABCD 是平行四边形，当 ABBC 时， 它是菱形，故 A 选项正确； B、四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD，四边形 ABCD 是菱形，故 B 选项正确； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故 C 选项正确； D、根据对角线相等的平行四边形
18、是矩形可知当 ACBD 时，它是矩形，不是正方形，故 D 选项错误； 综上所述，符合题意是 D 选项； 故选：D 10下列说法中，正确的有（ ） 对角线互相平分且相等的四边形是菱形； 一元二次方程 x23x40 的根是 x14，x21； 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； 所有的菱形都相似； 一道单项选择题有 4 个选项，选对的概率是 50% A B C D 【分析】依据中点四边形，矩形的判定，概率的计算公式以及一元二次方程的解法进行判断，即可得出 结论 【解答】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故说法错误； 一元二次方程 x23x40 的根是 x14，x21，故说
19、法正确； 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，故说法正确； 所有的菱形都不一定相似，所有的正方形都相似，故说法错误； 一道单项选择题有 4 个选项，选对的概率是 25%，故说法错误 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11一元二次方程 x26x60 配方后化为 （x3）215 【分析】利用配方法求解即可 【解答】解：x26x6， x26x+96+9，即（x3）215， 故答案为： （x3）215 12菱形的对角线长分别为 24 和 10，则此菱形的周长为 52 ，面积为 120 【分析】已知菱形的两条对角线的长，即可计算菱形的面积，菱形对角线互相垂直平分，
20、根据勾股定理 即可计算菱形的边长，即可解题 【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，所以 AO5，BO12， AB13， 故菱形的周长为 41352， 菱形的面积为2410120 故答案为：52、120 13已知关于 x 的方程（2a1）x28x+60 没有实数根，则 a 的最小整数值是 2 【分析】根据判别式的意义得到 2a10 且（8）24（2a1）60，再解两不等式得到 a ，然后找出此范围内的最小整数即可 【解答】解：根据题意得 2a10 且（8）24（2a1）60， 解得 a， 所以 a 的最小整数值为 2 故答案为 2 14如图，已知矩形 ABCD 中，AB1，在 BC 上取一点 E，
21、沿 AE 将ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上 的 F 点若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD 【分析】根据折叠的性质得到 ABAF1，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可 【解答】解：由折叠的性质可知，ABAF1， 矩形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ，即， 整理得，AD2AD10， AD， 由题意得，AD， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 15解下列方程 （1）2x24x30； （2） （x1） （x+2）70 【分析】 （1）利用配方法求解可得答案； （2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可 【解答】解： （1）2x24x3
22、， x22x， 则 x22x+1+1，即（x1）2， x1， x1，x2； （2）方程整理，得：x2+x720， （x8） （x+9）0， x80 或 x+90， 解得 x18，x29 16如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 AC 上一点，且 CECD，过点 E 作 EFAC 交 AD 于点 F， 连接 BE （1）求证：DFAE； （2）当 AB2 时，求 AF 的值 【分析】 （1）连接 CF，根据“HL”证明 RtCDF 和 RtCEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DFEF，根据正方形的对角线平分一组对角可得EAF45，求出AEF 是等腰直角三角形，再根据 等腰直角三
23、角形的性质可得 AEEF，然后等量代换即可得证； （2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出 AC，然后求出 AE，过点 E 作 EHAB 于 H，判断出 AEH 是等腰直角三角形， 然后求出 EHAHAE， 再求出 BH， 然后利用勾股定理列式计算即可得解 【解答】 （1）证明：如图，连接 CF， 在 RtCDF 和 RtCEF 中， RtCDFRtCEF（HL） ， DFEF， AC 是正方形 ABCD 的对角线， EAF45， AEF 是等腰直角三角形， AEEF， DFAE； （2）解：AB2， ACAB2， CECD， AE22， 过点 E 作 EHAB 于 H， 则AEH 是等腰直角
24、三角形， EHAHAE（22）2， AEEH22， AFAE42 17一个盒子里有标号分别为 1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相同 （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回 盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若两次摸到小球的标号数字同为 奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢请用列表法或画树状 图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平 【分析】 （1）直接利用概率公式进而得出答案； （2）画出树
25、状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况 数，即可求出所求的概率 【解答】解： （1）1，2，3，4，5，6 六个小球， 摸到标号数字为奇数的小球的概率为：； （2）画树状图： 如图所示，共有 36 种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有 18 种， 摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有 18 种， P（甲），P（乙）， 这个游戏对甲、乙两人是公平的 18已知关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）若 a 为正整数，求 a 的值； （2）若 x1，x2满足 x12+x22x1x
26、216，求 a 的值 【分析】 （1）根据关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根，得到 2（a1）24（a2a2）0，于是得到结论； （2）根据 x1+x22（a1） ，x1x2a2a2，代入 x12+x22x1x216，解方程即可得到结论 【解答】解： （1）关于 x 的一元二次方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根， 2（a1）24（a2a2）0， 解得：a3， a 为正整数， a1，2； （2）x1+x22（a1） ，x1x2a2a2， x12+x22x1x216， （x1+x2）23x1x216， 2（a1）23（a2a2）16，
27、 解得：a11，a26， a3， a1 19某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长为 24m，宽为 12m，在温室内，沿前侧内墙保留 2m 宽 的空地，其它三侧内墙各保留等宽的通道当通道的宽为多少时，蔬菜种植区域的面积是 210m2？ 【分析】设通道的宽为 xm，则蔬菜种植区域为长（242x）m，宽（122x）m 的矩形，根据矩形的 面积公式结合蔬菜种植区域的面积是 210m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得 出结论 【解答】解：设通道的宽为 xm，则蔬菜种植区域为长（242x）m，宽（122x）m 的矩形， 依题意，得： （242x） （122x）210， 整理，
28、得：x228x+270， 解得：x11，x227（不合题意，舍去） 答：当通道的宽为 1m 时，蔬菜种植区域的面积是 210m2 20.如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E （1）求证：AGCG； （2）求证：AG2GEGF； （3）如果 DC2CGCF，求证： 【分析】 （1）由菱形性质知 ADCD、ADBCDB，据此证ADGCDG 可得； （2）由ADGCDG 知EAGDCG，由 ABCD 知FDCG，从而得EAGF，据此即 可证AEGFGA 得； （3） ，先判断出CGDFGB，得出，进而得出，由此得出，再判断
29、出 ，即可得出结论 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ADCD，ADBCDB， 在ADG 与CDG 中， ， ADGCDG（SAS） ， AGCG； （2）ADGCDG， EAGDCG， 又ABCD， FDCG， EAGF， AGEAGE， AEGFGA， ， AG2GEGF； （3）ABCD， CGDFGB， ， ， ， DC2CGCF， ， ABCD， ， B 卷卷 一填空题（共一填空题（共 5 小题）小题） 21若0，且 a+b2c3，则 a 6 【分析】直接利用已知条件0，用同一未知数表示出 a，b，c，进而计算得出答案 【解答】解：0，且 a+b2c3， 设
30、 a6x，b5x，c4x， 则 6x+5x8x3， 解得：x1， 故 a6 故答案为：6 22已知关于 x 的一元二次方程 x2mx+2m10 的两根 x1，x2满足，则 m 2 【分析】由根与系数的关系可用 m 表示出 x1+x2和 x1x2的值，利用条件可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的值，再代入方程进行判断求解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2mx+2m10 的两根是 x1、x2， x1+x2m，x1x22m1， x12+x22（x1+x2）22x1x2m22（2m1） ， x12+x2214， m22（2m1）14，解得 m6 或 m2， 当 m6 时，方程为 x26x
31、+110，此时（6）2411364480，不合题意，舍去， m2， 故答案为：2 23已知线段 AB2，经过点 B 作 BDAB，使 BDAB；连接 DA，在 DA 上截取 DEDB；在 AB 上截 取 ACAE，则 BC 3 【分析】利用 BDAB 可得 BD1，由勾股定理得：AD，根据 ACAEADDE，于是得到结 论 【解答】解：AB2，BDAB， BD1， 由勾股定理得：AD， DEBD1， ACAEADDE1 BCABAC3， 故答案为：3 24如图，矩形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，边 OA 在 y 轴上，A 点坐标为（0，2） ，点 D 是线段 OC 上的一 个动点，连结
32、 AD，以 AD 为边作矩形 ADEF，使边 EF 过点 B，连接 OF，当点 D 与点 C 重合时，所作 矩形ADEF的面积为6 在点D的运动过程中， 当线段OF有最小值时， 直线OF的解析式为 y 【分析】先根据点 D 与点 C 重合时求出矩形的长和宽，再根据相似三角形求出 OF 的最小值，再求出 F 的横纵坐标，最后得出一次函数的表达式 【解答】解：当点 D 与点 C 重合时，如图，过 F 作 FGy 轴于 G，取 AB 的中点 J，连接 AJ，OJ AFB90， 点 F 在以 J 为圆心，JA 为半径的圆弧上运动， 点 C 在线段 OC 上运动， 观察图形可知，当点 C 与 D 重合时
33、，OF 的值最小， SABC3， S矩形AOCB6， A 点坐标为（0，2） ， OA2， 2OC6 OC3， FAD90 易得FGAAOC ， AC， AF， ， AG，FG 点 F 的横坐标为：，纵坐标为 设 OF 解析式为 ykx 求得 k，故函数的解析式为 y 故答案为：y 25如图，在正方形 ABCD 中，AD8，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EFED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 的中点，则 FM ， 【分析】证明AGFCGD，得出，求出 AF
34、4，由勾股定理求出 DF4，则可求出 FM； 先判断出点 A，D，E，F 四点共圆，进而得出EDF45，进而求出 DEEF，再判断出 GM DE，得出FPGFED，进而求出 PF，再判断出MPNDEN，求出 EN，即可得出结 论 【解答】解：将EFG 沿 EF 翻折，得到EFM， FGFM， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD， AGFCGD， ， 点 F 是 AB 的中点， AFCD， ， AD8， AF4， DF4， FMFG； AC 是正方形 ABCD 的对角线， CAD45， EFDE， DEF90BAD， BAD+DEF180， 点 A，D，E，F 四点共圆， DFEDAC45，
35、 EDF45， DEEFDF2， 连接 GM，交 EF 于 P， 由折叠知，PGPM，GMEF， DEEF， GMDE， FPGFED， ， PFEF， PEEFPF， GMDE， MPNDEN， ， ， ENPE， 在 RtDEN 中， 故答案为：； 二解答题（共二解答题（共 3 小题）小题） 26某商店购进一批单价为 20 元的节能灯，如果以单价 30 元出售，那么一个月内能售出 400 个根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售量相应减少 10 个，设节能灯的 销售单价提高 x 元 （1）一个月内商店要获得利润 6000 元，并且能尽可能多卖出以推广
36、节能灯的使用，那么节能灯的销售 单价应为多少元？ （2）当销售单价为多少元时，该商店一个月内获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设销售单价为 x 元，根据题意列出方程求解即可； （2）设销售利润为 y 元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题 【解答】解： （1）根据题意，得： （10+x） （40010 x）6000， 解得：x110，x220， 尽可能多卖出以推广节能灯的使用， x 取 10， 节能灯的销售单价应为 30+1040 元； （2）设销售利润为 y 元，根据题意得：y（10+x） （40010 x） 10（x15）2+6250， 100， x15 时，
37、售价为 30+1545 时，y 有最大值，最大值为 6250， 所以，销售单价为 45 元，才能在半一月内获得最大利润 6250 元 27天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1） 问题发现： 如图 1， 在等边ABC 中， 点 P 是边 BC 上任意一点， 连接 AP， 以 AP 为边作等边APQ， 连接 CQ求证：BPCQ； （2） 变式探究： 如图 2， 在等腰ABC 中， ABBC， 点 P 是边 BC 上任意一点， 以 AP 为腰作等腰APQ， 使 APPQ，APQABC，连接 CQ判断ABC 和ACQ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3
38、，在正方形 ADBC 中，点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q 是 正方形 APEF 的中心，连接 CQ若正方形 APEF 的边长为 6，CQ2，求正方形 ADBC 的边长 【分析】 （1）问题发现易证 ABAC，APAQ，BAPCAQ，由 SAS 证得BAPCAQ，即可得 出结论； （2）变式探究由等腰三角形的性质得出BAC（180ABC） ，PAQ（180APQ） ， 由APQABC，得出BACPAQ，证得BACPAQ，得出，易证BAPCAQ， 则BAPCAQ，得出ABCACQ； （3）解决问题连接 AB、AQ，由正方形的性质得出，BAC45，PAQ45， 易证
39、BAPCAQ， 由， 得出ABPACQ， 则， 求出 BPCQ4， 设 PCx，则 BCAC4+x，在 RtAPC 中，AP2AC2+PC2，代入求出 x2+，即可得出结果 【解答】 （1）问题发现： 证明：ABC 与APQ 都是等边三角形， ABAC，APAQ，BACPAQ60， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， 在BAP 和CAQ 中， BAPCAQ（SAS） ， BPCQ； （2）变式探究： 解：ABC 和ACQ 的数量关系为：ABCACQ；理由如下： 在等腰ABC 中，ABBC， BAC（180ABC） ， 在等腰APQ 中，APPQ， PAQ（180APQ） ， APQ
40、ABC， BACPAQ， BACPAQ， ， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， BAPCAQ， ABCACQ； （3）解决问题： 解：连接 AB、AQ，如图 3 所示： 四边形 ADBC 是正方形， ，BAC45， Q 是正方形 APEF 的中心， ，PAQ45， BAP+PACPAC+CAQ， BAPCAQ， ， ABPACQ， ， CQ2， BPCQ4， 设 PCx，则 BCAC4+x， 在 RtAPC 中，AP2AC2+PC2， 即 62（4+x）2+x2， 解得：x2， x0， x2+， 正方形 ADBC 的边长4+x42+2+ 28如图，四边形 AOBC 为矩形，点 B
41、 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，点 D 在 BC 边上，现将矩形 AOBC 沿 OD 所在直线折叠，B 点恰好落在 AC 边上的点 E 处 （1）求证：AEOCDE； （2）若CED30，CD 求点 D、E 的坐标； 点 P、Q 分别为 OE、OB 上任意一点，求DPQ 周长的最小值以及周长最小时对应的点 P 的坐标； 若点 Q 是点 D 关于 y 轴的对称点，点 M 是 x 轴上一点，平面内是否存在点 N，使得四边形 AQMN 为 矩形，若存在，直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可 （2）解直角三角形求出 DE，EC，B
42、D，BC，再利用相似三角形的性质求出 AE，即可解决问题 利用轴对称的性质，解决最短问题，构建一次函数确定交点坐标即可 构建一次函数求出点 M 的坐标，再利用平移变换的性质求出点 N 的坐标即可 【解答】解： （1）如图 1 中，四边形 OACB 是矩形， OAECOBD90， 由翻折可知，OEDOBD90，DEDB， AEO+CED90，CED+CDE90， AEOCDE， AEOCDE （2）C90，CED30，CD， DEDB2CD2，ECCD3， OABCCD+BD3 AEOCDE， ， ， AE3，ACAE+EC6， E（3，3） ，D（6，2） 如图 1 中，延长 DB 到 G，使
43、得 BGBD，延长 DE 交 y 轴于 H，连接 GH 交 OE 于 P，交 OB 于 Q 由可知，AEEC， EAHC90，AEHCED， AEHCED（ASA） ， DEEH， OEDH， D，H 关于 OE 对称， OBDG，BDBG， D，G 关于 OB 对称， PHPD，QDDG， 此时PQD 的周长最小，最小值为线段 GH 的长， 由题意，G（6，2） ，H（0，4） ， HG12， PDQ 的周长的最小值为 12， 直线 GH 的解析式为 yx+4，直线 OE 的解析式为 yx， 由，解得， P（2，2） 如图 2 中，由题意 Q（6，2） ，A（0，3） 直线 AQ 的解析式为 yx+3， QMAQ， 直线 QM 的解析式为 y2x10， M（5，0） ， 点 Q 向左平移 6 个单位，再向上平移个单位得到 A，MNQA，MNQA， N（1，）
