1、2020-2021 学年山东省临沂市临沭县九年级（上）期中数学试卷学年山东省临沂市临沭县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共 14 个小题，共计 42 分） 1下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B （x+1）22（x+1） C30 D （x+1）2x21 2民族图案是数学文化中的一块瑰宝下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 3下列对一元二次方程 x2+x30 根的情况的判断，正确的是（ ） A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根 C有且只有一个实数根 D没有实数根 4已知 m 是方程 x22x20200 的一个根，
2、则式子2m2+4m 的值等于（ ） A2020 B4040 C4040 D4039 5抛物线 yx2+2x 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （2，0） D （1，0） 6如图，PA 切O 于点 A，若P25，则AOP 的度数为（ ） A75 B65 C55 D45 7O 半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0） ，点 P 的坐标为（3，4） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O 外 D点 P 在O 上或外 8如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在 BC 边上
3、，且 ABCB，则C的度数为（ ） A18 B20 C24 D28 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，若点 A（4，y1） ，B（1，y2）是图象上的两点，则 y1 与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能确定 10关于二次函数 y2x2+4x1，下列说法不正确的是（ ） A图象与 y 轴的交点坐标为（0，1） B图象的对称轴在 y 轴的左侧 C当 x0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 D函数的最小值为3 11如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E， F，则下列结论不一定
4、成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 12如图，在等腰ABC 中，ABAC2，BC8，按下列步骤作图： 以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH； 分别以点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O； 以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆 则O 的半径为（ ） A2 B10 C4 D5 13关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk
5、0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 14在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 RtOAB 向右上方平移，得到 RtOAB，且点 O，A落在抛物线的对称轴上，点 B落 在抛物线上，则直线 AB的表达式为（ ） Ayx Byx+1 Cyx+ Dyx+2 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 15把方程 2x21x（x+3）化成一般形式是 16请写出一个开口向下，顶点在 x 轴上的二次函数解析式 17如图，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到AED，若线段 AC4，则
6、CD 18已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、B 两点，若 A 的坐标是（1，0） ，则 B 的坐标是 19 已知 AB 为O 的直径且长为 2r， C 为O 上异于 A， B 的点， 若 AD 与过点 C 的O 的切线互相垂直， 垂足为 D若等腰三角形 AOC 的顶角为 120 度，则 CDr，若AOC 为正三角形，则 CD r，若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，则 CDr，无论点 C 在何处，将ADC 沿 AC 折叠，点 D 一定落在直径 AB 上，其中正确结论的序号为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 7 个小题，共计个小题，共计 63 分）分） 20解下列方程：
7、 （1）x22x350； （2）2x2x150 21如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，点 B，点 O 均为格点（每个小正方 形的顶点叫做格点） （1）作点 A 关于点 O 的对称点 A1； （2）连接 A1B，将线段 A1B 绕点 A1顺时针旋转 90得点 B 对应点 B1，画出旋转后的线段 A1B1； （3）连接 AB1，求出四边形 ABA1B1的面积 22如图，某小区有一块长为 22.5m，宽为 18m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们 的面积之和为 270m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ 23某超市经
8、销一种商品，成本价为 50 元/千克规定每千克售价不低于成本价，且不高于 85 元，经市场 调查发现，该种商品每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下 表所示： 售价 x（元/千克） 50 60 70 销售量 y（千克） 120 100 80 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 1600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24如图，点 D 是等边三角形 ABC 外接圆的上一点（与点 A，C 不重合） ，CEAD 交 BD 于点 E
9、 （1）求证：CDE 是等边三角形； （2）求证：ADBE； （3）如果 AD2，CD4，求 AC 的长 25阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x2+b1x+c1（a10，a1、b1、c1是常数）与 ya2x2+b2x+c2（a20，a2、b2、c2 是常数）满足 a1+a20，b1b2，c1+c20，则称这两个函数互为“旋转函数” 求函数 y2x23x+1 的 旋转函数，小明是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a12，b13，c11，根据 a1+a20，b1 b2，c1+c20，求出 a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转
10、函数 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 yx24x+3 的旋转函数 （2）若函数 y5x2+（m+1）x+n 与 y5x2nx3 互为旋转函数，求（m+n）2020的值 （3）已知函数 y2（x1） （x+3）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原 点的对称点分别是 A1、B1、C1，试证明：经过点 A1、B1、C1的二次函数与 y2（x1） （x+3）互为“旋 转函数” 26如图，在正方形 ABCD 中，EAF45，EAF 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或 它们的延长线）于点 E、FAGEF 于点 G （1）当EAF
11、 绕点 A 旋转到 BEDF 时，请你写出线段 AG 与 AB 的数量关系，并证明 （2）当EAF 绕点 A 旋转到 BEDF 时，问（1）中线段 AG 与 AB 的数量关系还成立吗？若成立，给 出证明，若不成立，说明理由 2020-2021 学年山东省临沂市临沭县九年级（上）期中数学试卷学年山东省临沂市临沭县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 14 小题）小题） 1下列关于 x 的方程是一元二次方程的是（ ） Aax2+bx+c0 B （x+1）22（x+1） C30 D （x+1）2x21 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是
12、 2 的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程有 三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是 2； （3）是整式方程 【解答】解：A、ax2+bx+c0，当 a0 时，不是一元二次方程，故本选项不合题意； B、 （x+1）22（x+1）是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，中分母含有字母，不是整式方程，故本选项符合题意； D、 （x+1）2x21，方程化简后二次项系数为 0，不是一元二次方程，故本选项不合题意； 故选：B 2民族图案是数学文化中的一块瑰宝下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各
13、图形分析判断即可得解 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意； C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：C 3下列对一元二次方程 x2+x30 根的情况的判断，正确的是（ ） A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根 C有且只有一个实数根 D没有实数根 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出130，进而即可得出方程 x2+x30 有两个 不相等的实数根 【解答】解：a1，b1，c3， b24ac124（1）（3）130，
14、方程 x2+x30 有两个不相等的实数根 故选：A 4已知 m 是方程 x22x20200 的一个根，则式子2m2+4m 的值等于（ ） A2020 B4040 C4040 D4039 【分析】根据 m 是方程 x22x20200 的一个根，把 m 代入，得到一个关于 m 的一元二次方程，得到 m2m+1，再把它代入要求的式子即可得出答案 【解答】解：m 是方程 x22x20200 的一个根， m22m20200， m22m2020， 2m2+4m2（m22m）4040； 故选：B 5抛物线 yx2+2x 的顶点坐标是（ ） A （1，1） B （1，1） C （2，0） D （1，0） 【分
15、析】把抛物线解析式化为顶点式可求得答案 【解答】解： yx2+2x（x+1）21， 抛物线顶点坐标为（1，1） ， 故选：B 6如图，PA 切O 于点 A，若P25，则AOP 的度数为（ ） A75 B65 C55 D45 【分析】连接 OA，如图，根据切线的性质得 OAPA，然后利用互余计算AOP 的度数 【解答】解：连接 OA，如图， PA 切O 于点 A， OAPA， PAO90， AOP90P902565 故选：B 7O 半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0） ，点 P 的坐标为（3，4） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在O 内 B点 P 在O 上 C点 P 在O
16、外 D点 P 在O 上或外 【分析】本题先由勾股定理求得点 P 到圆心 O 的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判 断出点 P 与O 的位置关系 当 dr 时，点在圆外； 当 dr 时，点在圆上； 当 dr 时，点在圆内 【解答】解：点 P 的坐标为（3，4） ， 由勾股定理得，点 P 到圆心 O 的距离5， 点 P 在O 上，故选 B 8如图，在ABC 中，BAC108，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC若点 B恰好落在 BC 边上，且 ABCB，则C的度数为（ ） A18 B20 C24 D28 【分析】 由旋转的性质可得CC， ABAB， 由等腰三角形的性质可得C
17、CAB， BABB， 由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解 【解答】解：ABCB， CCAB， ABBC+CAB2C， 将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转得到ABC， CC，ABAB， BABB2C， B+C+CAB180， 3C180108， C24， CC24， 故选：C 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，若点 A（4，y1） ，B（1，y2）是图象上的两点，则 y1 与 y2的大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能确定 【分析】根据二次函数图象的增减性即可解答 【解答】解：由图象可知，抛物线对称轴为 x3，开口方向向下， 对于开口向下的函数
18、，x 距离对称轴越近，y 值越大， |4（3）|1（3）|， y1y2 故选：A 10关于二次函数 y2x2+4x1，下列说法不正确的是（ ） A图象与 y 轴的交点坐标为（0，1） B图象的对称轴在 y 轴的左侧 C当 x0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 D函数的最小值为3 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题 【解答】解：二次函数 y2x2+4x1， 当 x0 时，y1，即图象与 y 轴的交点坐标为（0，1） ，故选项 A 正确； 该函数的对称轴是直线 x1，即图象的对称轴在 y 轴的左侧，故选项 B 正确； 当 x1
19、时，y 的值随 x 值的增大而减小，故选项 C 不正确； 该函数的最小值为3，故选项 D 正确； 故选：C 11如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，且 BC 平分ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E， F，则下列结论不一定成立的是（ ） AOCBD BADOC CCEFBED DAFFD 【分析】 由圆周角定理和角平分线得出ADB90， OBCDBC， 由等腰三角形的性质得出OCB OBC，得出DBCOCB，证出 OCBD，选项 A 成立； 由平行线的性质得出 ADOC，选项 B 成立； 由垂径定理得出 AFFD，选项 D 成立； CEF 和BED 中，没有相等的边，C
20、EF 与BED 不全等，选项 C 不成立，即可得出答案 【解答】解：AB 是O 的直径，BC 平分ABD， ADB90，OBCDBC， ADBD， OBOC， OCBOBC， DBCOCB， OCBD，选项 A 成立； ADOC，选项 B 成立； AFFD，选项 D 成立； CEF 和BED 中，没有相等的边， CEF 与BED 不全等，选项 C 不成立； 故选：C 12如图，在等腰ABC 中，ABAC2，BC8，按下列步骤作图： 以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH； 分别以
21、点 A，B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O； 以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆 则O 的半径为（ ） A2 B10 C4 D5 【分析】如图，设 OA 交 BC 于 T解直角三角形求出 AT，再在 RtOCT 中，利用勾股定理构建方程即 可解决问题 【解答】解：如图，设 OA 交 BC 于 T半径为 r， ABAC2，AO 平分BAC， AOBC，BTTC4， AT2， 在 RtOCT 中，则有 r2（r2）2+42， 解得 r5， 故选：D 13关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围
22、是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且（2）24（k+1）0，然后求 出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）0， 解得 k0 且 k1 故选：D 14在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B，连接 AB，将 RtOAB 向右上方平移，得到 RtOAB，且点 O，A落在抛物线的对称轴上，点 B落 在抛物线上，则直线 AB的表达式为（ ） Ayx Byx+1 Cyx+ Dyx+2 【分析】求得 A、
23、B 的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出 A（1，n） ，则 B（4，n+3） ，把 B （4，n+3）代入抛物线解析式求得 n，即可求得 A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 AB的表达式 【解答】解：如图，抛物线 yx22x3 与 y 轴交于点 A，与 x 轴正半轴交于点 B， 令 y0，解得 x1 或 3， 令 x0，求得 y3， B（3，0） ，A（0，3） ， 抛物线 yx22x3 的对称轴为直线 x1， A的横坐标为 1， 设 A（1，n） ，则 B（4，n+3） ， 点 B落在抛物线上， n+31683，解得 n2， A（1，2） ，B（4，5） ， 设直线 AB的表达
24、式为 ykx+b， ， 解得 直线 AB的表达式为 yx+1， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 15把方程 2x21x（x+3）化成一般形式是 x23x10 【分析】直接去括号，进而移项合并同类项进而得出答案 【解答】解：2x21x（x+3） 2x21x2+3x， 则 2x2x23x10， 故 x23x10 故答案为：x23x10 16请写出一个开口向下，顶点在 x 轴上的二次函数解析式 y2（x+1）2 【分析】开口向下，顶点在 x 轴上的函数是 ya（xh）2（a0）的形式，举一例即可 【解答】解：开口向下，即 a0，顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0，即 k0，例
25、如 y2（x+1） 2 （答 案不唯一） 故答案为 y2（x+1）2 17如图，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到AED，若线段 AC4，则 CD 4 【分析】根据旋转的性质可得 ACAD，CAD60，然后判断出ACD 是等边三角形，再根据等边 三角形的三条边都相等可得 ACADCD4 【解答】解：ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到AED， ACAD，CAD60， ACD 是等边三角形， ACADCD4， 故答案为：4 18 已知抛物线 yx24x+m 与 x 轴交于 A、 B 两点， 若 A 的坐标是 （1， 0） ， 则 B 的坐标是 （5， 0） 【分析】首先求出抛物线的对称轴
26、方程，然后根据点 A 和点 B 关于对称轴对称，即可求出点 B 的坐标 【解答】解：yx24x+m， 抛物线的对称轴方程为 x2， 点 A（1，0）和点 B 关于对称轴 x2 对称， 点 B 的坐标为（5，0） ， 故答案为（5，0） 19 已知 AB 为O 的直径且长为 2r， C 为O 上异于 A， B 的点， 若 AD 与过点 C 的O 的切线互相垂直， 垂足为 D若等腰三角形 AOC 的顶角为 120 度，则 CDr，若AOC 为正三角形，则 CD r，若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，则 CDr，无论点 C 在何处，将ADC 沿 AC 折叠，点 D 一定落在直径 AB 上，其
27、中正确结论的序号为 【分析】过点 O 作 OEAC，垂足为 E，求出CAD30，得到 CDAC，再根据直径 ABAC， 即可判断；过点 A 作 AEOC，垂足为 E，证明四边形 AECD 为矩形，即可判断；画出图形，证明 四边形 AOCD 为矩形，即可判断；过点 C 作 CEAO，垂足为 E，证明ADCAEC，从而说明 AC 垂直平分 DE，得到点 D 和点 E 关于 AC 对称，即可判断 【解答】解：如图 1， AOC120， CAOACO30， CD 和圆 O 相切，ADCD， OCD90，ADCO， ACD60，CAD30， CDAC， C 为O 上异于 A，B 的点， ACAB， CD
28、r，故错误； 如图 2，过点 A 作 AEOC，垂足为 E， 若AOC 为正三角形， AOCOAC60，ACOCOAr， OAE30， OEAO，AEAOr， 四边形 AECD 为矩形， CDAEr，故正确； 若等腰三角形 AOC 的对称轴经过点 D，如图 3， ADCD，而ADC90， DACDCA45，又OCD90， ACOCAO45 DAO90， 四边形 AOCD 为矩形， CDAOr，故正确； 如图 4，过点 C 作 CEAO，垂足为 E，连接 DE， OCCD，ADCD， OCAD， CADACO， OCOA， ACOCAO， CADCAO， CDCE， 在ADC 和AEC 中， A
29、DCAEC90，CDCE，ACAC， ADCAEC（HL） ， ADAE， AC 垂直平分 DE，则点 D 和点 E 关于 AC 对称， 即点 D 一定落在直径上，故正确 故正确的序号为：， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 20解下列方程： （1）x22x350； （2）2x2x150 【分析】 （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可 【解答】解： （1）x22x350， （x7） （x+5）0， 则 x70 或 x+50， 解得 x17，x25； （2）2x2x150， a2，b1，c15， b24ac（1）242（15）1210， ， x13， 2
30、1如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，点 B，点 O 均为格点（每个小正方 形的顶点叫做格点） （1）作点 A 关于点 O 的对称点 A1； （2）连接 A1B，将线段 A1B 绕点 A1顺时针旋转 90得点 B 对应点 B1，画出旋转后的线段 A1B1； （3）连接 AB1，求出四边形 ABA1B1的面积 【分析】 （1）依据中心对称的性质，即可得到点 A 关于点 O 的对称点 A1； （2）依据线段 A1B 绕点 A1顺时针旋转 90得点 B 对应点 B1，即可得出旋转后的线段 A1B1； （2）依据割补法进行计算，即可得到四边形 ABA1B1的面积 【解答】解
31、： （1）如图所示，点 A1即为所求； （2）如图所示，线段 A1B1即为所求； （3）如图，连接 BB1，过点 A 作 AEBB1，过点 A1作 A1FBB1，则 四边形 ABA1B1的面积+82+8424 22如图，某小区有一块长为 22.5m，宽为 18m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们 的面积之和为 270m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ 【分析】设人行通道的宽度为 x 米，则两块矩形绿地合在一起长为（22.53x）m，宽为（182x）m， 根据两块绿地的面积之和为 270m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值
32、即可得出结论 【解答】解：设人行通道的宽度为 x 米，则两块矩形绿地合在一起长为（22.53x）m，宽为（182x） m， 依题意得： （22.53x） （182x）270， 整理得：2x233x+450， 解得：x11.5，x215， 当 x15 时，22.53x22.50，不合题意，舍去 答：人行通道的宽度为 1.5 米 23某超市经销一种商品，成本价为 50 元/千克规定每千克售价不低于成本价，且不高于 85 元，经市场 调查发现，该种商品每天销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下 表所示： 售价 x（元/千克） 50 60 70 销售量 y（千克）
33、120 100 80 （1）求 y（千克）与 x（元/千克）之间的函数表达式； （2）为保证某天获得 1600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】 （1）待定系数法求解可得； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论； （3）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况 【解答】解： （1）设 ykx+b， 将（50，120） 、 （60，100）代入上式，得， ， 解得， y2x+220（50 x85） ； （2）为保证获得 1600 元的销售利润， 则该天的销售单价
34、x 应满足： （x50） （2x+220）1600， 解得：x90 或 x70， 50 x85， x70； 答：当销售单价定位 70 元时，销售利润为 1600 元； （3）设销售利润为 W 元， 根据题意得 W（x50） （2x+220）2x2+320 x110002（x80）2+1800， 当 x80 时，销售利润最大，最大值为 1800 元， 答：当销售单价定为 80 元时，可使当天的销售利润最大，最大利润是 1800 元 24如图，点 D 是等边三角形 ABC 外接圆的上一点（与点 A，C 不重合） ，CEAD 交 BD 于点 E （1）求证：CDE 是等边三角形； （2）求证：ADB
35、E； （3）如果 AD2，CD4，求 AC 的长 【分析】 （1）证明ADBACB60，而 CEAD，进而求解； （2）证明BCEACD（SAS） ，即可求解； （3）CDFABC60，则DCF30，故 DFCD2，进而求解 【解答】 （1）证明：ABC 为等边三角形， BACACB60， BDCBAC60，ADBACB60， CEAD， DECADB60， DCEDECBDC60， CDE 为等边三角形； （2）证明：ABC 和CDE 为等边三角形， BCAC，CECD， BCE+ACEACD+ACE60， BCEACD， 在BCE 和ACB 中， ， BCEACD（SAS） ， BEAD；
36、 （3）解：过点 C 作 CFAD 于 F， CDFABC60， DCF30， DFCD2， AF4， CF2CD2DF2422212， AC 25阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数 ya1x2+b1x+c1（a10，a1、b1、c1是常数）与 ya2x2+b2x+c2（a20，a2、b2、c2 是常数）满足 a1+a20，b1b2，c1+c20，则称这两个函数互为“旋转函数” 求函数 y2x23x+1 的 旋转函数，小明是这样思考的，由函数 y2x23x+1 可知，a12，b13，c11，根据 a1+a20，b1 b2，c1+c20，求出
37、a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数 请思考小明的方法解决下面问题： （1）写出函数 yx24x+3 的旋转函数 （2）若函数 y5x2+（m+1）x+n 与 y5x2nx3 互为旋转函数，求（m+n）2020的值 （3）已知函数 y2（x1） （x+3）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、B、C 关于原 点的对称点分别是 A1、B1、C1，试证明：经过点 A1、B1、C1的二次函数与 y2（x1） （x+3）互为“旋 转函数” 【分析】 （1）由二次函数的解析式可得出 a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出 a2，b2，c2 的值，此问得解；
38、（2） 由函数 y5x2+ （m+1） x+n 与 y5x2nx3 互为 “旋转函数” ， 可求出 m， n 的值， 将其代入 （m+n） 2020 即可求出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A，B，C 的坐标，结合对称的性质可求出点 A1，B1， C1的坐标，由点 A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点 A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数 的解析式可找出 a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由 a1+a20，b1b2，c1+c20 可证出经过点 A1，B1， C1的二次函数与函数 y2（x1） （x+3）互为“旋转函数” 【解答】解： （1）由函数 y
39、x24x+3 知，a11，b14，c13， a1+a20，b1b2，c1+c20， a21，b24，c23， yx24x3； （2）根据题意得：， 解得 （m+n）2020（4+3）20201； （3）证明：化简 y2（x1） （x+3）得 y2x2+4x6， 则 A、B、C 三点的坐标分别为 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，6） ， A、B、C 三点关于原点对称的点坐标分别为 A1（1，0） ，B1（3，0） ，C1（0，6） ， 经过 A1、B1、C1三点的函数解析式为 y2x2+4x+6， y2x2+4x+6 与原函数 y2（x1） （x+3）是旋转函数 26如图，在正方形 AB
40、CD 中，EAF45，EAF 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或 它们的延长线）于点 E、FAGEF 于点 G （1）当EAF 绕点 A 旋转到 BEDF 时，请你写出线段 AG 与 AB 的数量关系，并证明 （2）当EAF 绕点 A 旋转到 BEDF 时，问（1）中线段 AG 与 AB 的数量关系还成立吗？若成立，给 出证明，若不成立，说明理由 【分析】 （1）结论 AGAB证明ABEAGE（ASA） ，可得结论 ABAG （2）成立延长 CB 至 M，使 BMDF证明AMEAFE（SAS） ，推出 MEEF，再利用面积法， 可得结论 【解答】解； （1）结论 AGAB 理由：如图中， ABAD，BD，BEDF， ABEADF（SAS） ， BAEDAF，AEAF， AGEF，EAF45， BAEEAG22.5， AEAE，BAGE90， ABEAGE（ASA） ， ABAG 故答案为 AGAB （2）成立 证明：如图中，延长 CB 至 M，使 BMDF ABAD，BMDF，ABMD90， ABMADF（SAS） ， AMAF，BAMDAF， EAF45， BAE+DAF45， BAE+BAM45， 即EAMEAF， 又 AEAE，AMAF， AMEAFE（SAS） ， MEEF， ， ABAG
