1、2020-2021 学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目符合题目 要求的要求的.请将选择题的答案用请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上. 1下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A B C D 2下列各数：，0，0.2020020002，其中，无理数的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 3由四舍
2、五入法得到的近似数 3.01104精确到（ ） A百位 B百分位 C万位 D万分位 4下列计算正确的是（ ） A1+23 B C236 D2 5 如图， 已知 AECF， AFDCEB， 那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ADFCBE 的是 （ ） AAC BADCB CBEDF DADBC 6等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，那么该三角形的周长为（ ） A12 B15 C10 D12 或 15 7如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的ABC 三个顶点 A，B，C 处，现要建一个牛奶供应站 P， 且该供奶站 P 到三小区 A，B，C 的距离相等，则该供奶站 P 的位置应选在（ ） AA
3、BC 三边的垂直平分线的交点 BABC 三个内角平分线的交点 CABC 三条中线的交点 DABC 三条高所在直线的交点 8将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（ABC） ，BC 为折痕，若 142，则2 的度数为（ ） A48 B58 C60 D69 9如图，AOB60，点 P 在边 OA 上，OP22，点 M、N 在边 OB 上（M 在 N 的左侧） ，且 PMPN， 若 MN4，则 OM 的长为（ ） A7 B8 C9 D11 10如图，在ABC 中，ACB90，分别以点 A，B 为圆心，大于AB 长为半径作弧，两弧交于点 M， N，作直线 MN 分别交 AB
4、，AC 于点 D，E，连接 CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ） AAE2CE BBCEBDE CBECBDC DBE 平分CBD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填写在答题卡相应位置上把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11的平方根是 12若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 13若与最简二次根式 3是同类二次根式，则 a 14计算： 15如图，ABC 中，C90，AB10，AD 平分BAC，若 CD3，则ABD 的面积为 16如图，在ABC 中，ABAC，A120，BC12cm，AB 的垂直平分线交 BC
5、 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为 17如图，四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 P，ABC+ADC180，BD 平分ABC，ADCD， 过 D 作 DEBC 于 E，若 AB5，BC12，则 CE 18如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC40，则 CAP 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过 程、推演步
6、骤或文字说明程、推演步骤或文字说明. 19 （6 分）求下列各等式中 x 的值： （1）3x20； （2）2（x+1）3+160 20 （12 分）计算： （1）+（）2； （2） （）； （3） （21）2（+） （） 21 （5 分）已知与（x+y3）2互为相反数，求 xy 的算术平方根 22 （6 分）已知 a3，b3，求下列各式的值 （1）a2b2； （2）a2ab+b2 23 （6 分）已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DEDF 24 （6 分）如图所示，由每一个边长均为 1 的小正方形构成的正方形网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均在
7、格点上（小正方形的顶点为格点） ，利用网格画图 （保留必要的画图痕迹） （1）在直线 AC 上找一点 P，使得点 P 到点 B，C 的距离相等； （2）在图中找一点 O，使得 OAOBOC； （3）在（1） （2）小题的基础上，请在 AB 上确定一点 M，使得两线段 MP，MO 的长度之和 MP+MO 的 值最小 25 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 AC 的中点 （1）利用尺规作图：作DAC 的平分线 AM，连接 BE 并延长交 AM 于点 F； （保留作图痕迹，并根据题 意在图中标明相应字母，不写作法） （2）在第（1）小题基础上，试判断线段 A
8、F 与线段 BC 有何关系，并说明理由 26 （8 分）如图，在ABC 中，ABC2C，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，过 B 作 BFAD，垂 足为 F，延长 BF 交 AC 于点 E （1）求证：ABE 为等腰三角形； （2）已知 AC14，BD5，求 AB 的长 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC6，BC6，CD 平分ACB 交斜 边 AB 于点 D，动点 P 从点 C 出发，沿折线 CAAD 向终点 D 运动 （1）点 P 在 CA 上运动的过程中，当 CP 时，CPD 与CBD 的面积相等； （直接写出答案） （2）点 P 在折线 CAA
9、D 上运动的过程中，若CPD 是等腰三角形，求CPD 的度数； （3）若点 E 是斜边 AB 的中点，当动点 P 在 CA 上运动时，线段 CD 所在直线上存在另一动点 M，使两 线段 MP、ME 的长度之和，即 MP+ME 的值最小，则此时 CP 的长度 （直接写出答案） 28 （10 分）如图 1 所示，在边长为 6cm 的等边ABC 中，动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动设点 P 的运动时间为 t（s） ，t0 （1）当 t 时，PAC 是直角三角形； （2）如图 2，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，且动点 P，Q
10、均以 1cm/s 的速度同时 出发那么当 t 取何值时，PAQ 是直角三角形？请说明理由； （3）如图 3，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动，且动点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出 发，当点 P 到达终点 B 时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ 交 AC 于点 D，过点 P 作 PEAC 于 E试 问线段 DE 的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出 DE 的长度 2020-2021 学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷学年江苏省苏州市昆山市、太仓市八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本
11、大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是.符合题目符合题目 要求的要求的.请将选择题的答案用请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上铅笔涂在答题卡相应位置上. 1下列交通标志图形中，轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B 2下列各数：，0，0.2020
12、020002，其中，无理数的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答】解：2，0，0.2020020002，这些都是有理数， 无理数有 ，共有 2 个， 故选：A 3由四舍五入法得到的近似数 3.01104精确到（ ） A百位 B百分位 C万位 D万分位 【分析】根据近似数的精确度解答 【解答】解：近似数 3.0110430100，精确到百位， 故选：A 4下列计算正确的是（ ） A1+23 B C236 D
13、2 【分析】根据二次根式加减运算和乘除运算法则计算即可 【解答】解：A1 与 2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C2312，此选项错误； D2，此选项正确； 故选：D 5 如图， 已知 AECF， AFDCEB， 那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ADFCBE 的是 （ ） AAC BADCB CBEDF DADBC 【分析】求出 AFCE，再根据全等三角形的判定定理判断即可 【解答】解：AECF， AE+EFCF+EF， AFCE， A、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误； B、根据 ADCB，AFC
14、E，AFDCEB 不能推出ADFCBE，错误，故本选项正确； C、在ADF 和CBE 中 ADFCBE（SAS） ，正确，故本选项错误； D、ADBC， AC， 在ADF 和CBE 中 ADFCBE（ASA） ，正确，故本选项错误； 故选：B 6等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，那么该三角形的周长为（ ） A12 B15 C10 D12 或 15 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条 边长为 3 和 6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否 组成三角形 【解答】解：当等腰三角形的腰为 3 时，三边
15、为 3，3，6，3+36，三边关系不成立， 当等腰三角形的腰为 6 时，三边为 3，6，6，三边关系成立，周长为 3+6+615 故选：B 7如图所示，三个居民小区分别座落在地图中的ABC 三个顶点 A，B，C 处，现要建一个牛奶供应站 P， 且该供奶站 P 到三小区 A，B，C 的距离相等，则该供奶站 P 的位置应选在（ ） AABC 三边的垂直平分线的交点 BABC 三个内角平分线的交点 CABC 三条中线的交点 DABC 三条高所在直线的交点 【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定 P 点的位置 【解答】解：点 P 到点 A，B，C 的距离相等， 点 P 为 AB、BC、AC 的垂直平分
16、线的交点 故选：A 8将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（ABC） ，BC 为折痕，若 142，则2 的度数为（ ） A48 B58 C60 D69 【分析】根据平行线的性质，可以得到14，45，再根据142和折叠的性质，即可得到 2 的度数，本题得以解决 【解答】解：如右图所示， 长方形的两条长边平行，142， 1442，45， 542， 由折叠的性质可知，23， 2+3+5180， 269， 故选：D 9如图，AOB60，点 P 在边 OA 上，OP22，点 M、N 在边 OB 上（M 在 N 的左侧） ，且 PMPN， 若 MN4，则 OM 的长为（ ）
17、A7 B8 C9 D11 【分析】过 P 点作 PCOB，垂足为 C，根据含 30角的直角三角形的性质可求解 OC 的长，再利用等 腰三角形的性质可求解 MC 的长，进而求解 OM 的长 【解答】解：过 P 点作 PCOB，垂足为 C， AOB60， OPC90AOB30， OP22， OCOP11， PMPN，MN4， MCMN2， OMOCMC1129 故选：C 10如图，在ABC 中，ACB90，分别以点 A，B 为圆心，大于AB 长为半径作弧，两弧交于点 M， N，作直线 MN 分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 CD，BE，下列结论中一定正确的是（ ） AAE2CE BBCEBD
18、E CBECBDC DBE 平分CBD 【分析】利用基本作图可判断 DE 垂直平分 AB，则根据线段垂直平分线的性质得到 AEBE，ADBD， 再利用直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质可证明BDC2A，根据等腰三角形的性质 和三角形外角性质可证明BEC2A，从而得到BECBDC，于是可对 C 选项进行判断；由于只 有当A30时， AEBE2CE， BCEBDE， BE 平分CBD， 这样可对 A、 B、 D 选项进行判断 【解答】解：由作法得 DE 垂直平分 AB， AEBE，ADBD， D 点为 RtABC 的斜边 AB 上的中线， DADC， AACD， BDCA+ACD2A，
19、EAEB， AABE， BECA+ABE2A， BECBDC，所以 C 选项的结论正确； 只有当A30时， AEBE2CE， BCEBDE， BE 平分CBD， 所以 A、 B、 D 选项不一定成立 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.把答案直接填写在答题卡相应位置上把答案直接填写在答题卡相应位置上. 11的平方根是 【分析】直接根据正数的平方根的意义解答即可 【解答】解：的平方根是 故答案为： 12若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】根据被开方数是非负数列不等式求解即可 【解答】解：根据题意得，2x3
20、0， 解得 x 故答案为：x 13若与最简二次根式 3是同类二次根式，则 a 【分析】根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案 【解答】解：2， 342a， a， 故答案为： 14计算： 1 【分析】判断 1 和的大小，根据二次根式的性质化简即可 【解答】解：1， 10， 1， 故答案为：1 15如图，ABC 中，C90，AB10，AD 平分BAC，若 CD3，则ABD 的面积为 15 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD，再利用三角 形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E， C90，AD
21、平分BAC， DECD3， ABD 的面积ABDE10315 故答案为：15 16如图，在ABC 中，ABAC，A120，BC12cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为 4cm 【分析】根据等边对等角的性质可得BC，再根据三角形内角和定理求出BC30，连接 AN， AM， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AMBM， 根据轴对称性可得BAM 30，从而得到CAM90，然后利用 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 BM 长，同理可得 出 CN 的长，根据 MNBCCNBM 即可
22、得出结论 【解答】解：ABAC， BC， A120， BC30， 连接 AM，AN， ME 是 AB 的垂直平分线， AMBM，BAMB30， CAMBACBAM1203090， CM2AM2BM， 3BMBC12cm， BM4cm， 同理可得，CN4， MNBCCNBM12444（cm） 故答案为：4cm 17如图，四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 P，ABC+ADC180，BD 平分ABC，ADCD， 过 D 作 DEBC 于 E，若 AB5，BC12，则 CE 【分析】由角平分线的性质得出 DEDF，证明 RtADFRtCDE（HL） ，得出 CEAF，证明 Rt BDFR
23、tBDE（HL） ，得出 BEBF，则可得出结论 【解答】解：过点 D 作 DFAB，交 BA 的延长线于点 F， BD 平分ABC，DFAB，DEBC， DEDF， 在 RtADF 和 RtCDE 中， ， RtADFRtCDE（HL） ， CEAF， 在 RtBDF 和 RtBDE 中， ， RtBDFRtBDE（HL） ， BEBF， BCBE+CE，BFAB+AF， BCAB+2CE， AB5，BC12， CE 故答案为： 18如图，ABC 的外角ACD 的平分线 CP 与内角ABC 平分线 BP 交于点 P，若BPC40，则 CAP 50 【分析】根据外角与内角性质得出BAC 的度数
24、，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定， 得出CAPFAP，即可得出答案 【解答】解：延长 BA，作 PNBD，PFBA，PMAC， 设PCDx， CP 平分ACD， ACPPCDx，PMPN， BP 平分ABC， ABPPBC，PFPN， PFPM， BPC40， ABPPBCPCDBPC（x40）， BACACDABC2x（x40）（x40）80， CAF100， 在 RtPFA 和 RtPMA 中， ， RtPFARtPMA（HL） ， FAPPAC50 故答案为：50 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 10 小题，共小题，共 76 分分.把解答过程写在答题卡相应位置上，
25、解答时应写出必要的计算过把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过 程、推演步骤或文字说明程、推演步骤或文字说明. 19 （6 分）求下列各等式中 x 的值： （1）3x20； （2）2（x+1）3+160 【分析】 （1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程整理后，利用立方根定义开方即可求出解 【解答】解： （1）方程整理得：x2， 开方得：x； （2）方程整理得： （x+1）38， 开立方得：x+12， 解得：x3 20 （12 分）计算： （1）+（）2； （2） （）； （3） （21）2（+） （） 【分析】 （1）利用算术平方根的定义和立方根的定义计
26、算； （2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式计算 【解答】解： （1）原式342 3； （2）原式 42 ； （3）原式124+1（32） 1341 124 21 （5 分）已知与（x+y3）2互为相反数，求 xy 的算术平方根 【分析】根据一对相反数的和为 0 得出+（x+y3） 20， 再根据非负数的性质求出 x、y 的值， 即可求得结果 【解答】解：与（x+y3）2互为相反数， +（x+y3）20， ，解得 xy， xy 的算术平方根为 22 （6 分）已知 a3，b3，求下列各式的值 （1）a2b2； （2）a2ab+b2 【分析】
27、 （1）将 a、b 的值代入 a2b2（a+b） （ab）计算即可； （2）将 a、b 的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可 【解答】解： （1）当 a3，b3时， a2b2（a+b） （ab） （33） （3+3+） 26 12； （2）原式（3）2（3） （3）+（3）2 96+2（29）+9+6+2 29 23 （6 分）已知，如图，ABAC，BDCD，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，求证：DEDF 【分析】连接 AD，利用“边边边”证明ABD 和ACD 全等，然后根据全等三角形对应角相等可得 BADCAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可 【解答】
28、证明：如图，连接 AD， 在ABD 和ACD 中， ， ABDACD（SSS） ， BADCAD， 又DEAB，DFAC， DEDF 24 （6 分）如图所示，由每一个边长均为 1 的小正方形构成的正方形网格中，ABC 的顶点 A，B，C 均在 格点上（小正方形的顶点为格点） ，利用网格画图 （保留必要的画图痕迹） （1）在直线 AC 上找一点 P，使得点 P 到点 B，C 的距离相等； （2）在图中找一点 O，使得 OAOBOC； （3）在（1） （2）小题的基础上，请在 AB 上确定一点 M，使得两线段 MP，MO 的长度之和 MP+MO 的 值最小 【分析】 （1）取格点 O，J，作直线
29、 OJ 交 AVC 于点 P，点 P 即为所求 （2）ABC 三边垂直平分线的交点 O，即为所求 （3）作点 P 关于直线 AB 的对称点 P，连接 OP交 AB 于点 M，点 M 即为所求 【解答】解： （1）如图，点 P，即为所求 （2）如图，点 O 即为所求 （3）如图，点 M 即为所求 25 （7 分）如图，在ABC 中，ABAC，D 是 BA 延长线上一点，E 是 AC 的中点 （1）利用尺规作图：作DAC 的平分线 AM，连接 BE 并延长交 AM 于点 F； （保留作图痕迹，并根据题 意在图中标明相应字母，不写作法） （2）在第（1）小题基础上，试判断线段 AF 与线段 BC 有
30、何关系，并说明理由 【分析】 （1）先利用基本作图作 AM 平分DAC，然后延长 BE 交 AM 于 F 点； （2）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质证明CAFC，从而得到 AFBC，然后证明AEF CEB 得到 AFBC 【解答】解： （1）如图，AF 为所作； （2）AFBC，AFBC 理由如下：ABAC， ABCC， AF 平分DAC， DAFCAF， DACABC+C，即DAF+CAFABC+C， CAFC， AFBC， E 是 AC 的中点， AECE， 在AEF 和CEB 中 ， AEFCEB（ASA） ， AFBC 26 （8 分）如图，在ABC 中，ABC2C，BAC 的平
31、分线 AD 交 BC 于点 D，过 B 作 BFAD，垂 足为 F，延长 BF 交 AC 于点 E （1）求证：ABE 为等腰三角形； （2）已知 AC14，BD5，求 AB 的长 【分析】 （1）由垂直的定义得到AFEAFB90，由角平分线的定义得到EAFBAF，根据三 角形的内角和得到AEFABF，得到 AEAB，于是得到结论； （2）连接 DE，根据等腰三角形的性质得到 AD 垂直平分 BE，得到 BDED，由等腰三角形的性质得到 DEFDBF，等量代换得到AEDABD，于是得到结论 【解答】 （1）证明：BEAD， AFEAFB90， 又AD 平分BAC， EAFBAF， 又在AEF
32、和ABF 中 AFE+EAF+AEF180，AFB+BAF+ABF180 AEFABF， AEAB， ABE 为等腰三角形； （2）解：连接 DE， AEAB，AD 平分BAC， AD 垂直平分 BE， BDED， DEFDBF， AEFABF， AEDABD， 又ABC2C， AED2C， 又CED 中，AEDC+EDC， CEDC， ECED， CEBD ABAEACCEACBD1459 27 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，A30，AC6，BC6，CD 平分ACB 交斜 边 AB 于点 D，动点 P 从点 C 出发，沿折线 CAAD 向终点 D 运动 （1）点 P 在
33、CA 上运动的过程中，当 CP 6 时，CPD 与CBD 的面积相等； （直接写出答案） （2）点 P 在折线 CAAD 上运动的过程中，若CPD 是等腰三角形，求CPD 的度数； （3）若点 E 是斜边 AB 的中点，当动点 P 在 CA 上运动时，线段 CD 所在直线上存在另一动点 M，使两 线段 MP、ME 的长度之和，即 MP+ME 的值最小，则此时 CP 的长度 3 （直接写出答案） 【分析】 （1）当 CP6 时，证PCDBCD（SAS） ，即可得出结论； （2） 由 （1） 得： PCD45， 分两种情况： 点 P 在 AC 上， 若 PCPD， 则PDCPCD45， 则CPD9
34、0；若 DPDC 时，CPDPCD45，若 CPCD，则CPDCDP67.5； 点 P 在 AD 上时，存在 DPDC，则CPDPCD，求出CDP105，由三角形内角和定理得 CPD37.5即可； （3）当 M 在 CD 上，且 MPAC 时，MP 最小，作 MPBC 于 P，则 MPAC，证PCMPCM （AAS） ，得 MPMP，CPCP，当点 E、M、P三点共线时，MP+ME 的值最小，则 EPAC，由平行 线的性质得BEPA30，由直角三角形的性质得 BEAB6，BPBE3，求出 CPCP BCBP3 即可 【解答】解： （1）当 CP6 时，CPD 与CBD 的面积相等，理由如下：
35、BC6， CPBC， CD 平分ACB， PCDBCDACB45， 在PCD 和BCD 中， ， PCDBCD（SAS） ， CPD 与CBD 的面积相等， 故答案为：6； （2）由（1）得：PCD45， 分两种情况： 点 P 在 AC 上，如图 1 所示： 若 PCPD，则PDCPCD45， CPD180454590； 若 DPDC 时，则CPDPCD45， 若 CPCD， CPDCDP（18045）67.5； 点 P 在 AD 上时，如图 2 所示： 存在 DPDC， CPDPCD， ACB90，A30， B60， CDPBCD+B45+60105， CPD（180105）37.5； 综上
36、所述，CPD 的度数为 45或 90或 67.5或 37.5； （3）当 M 在 CD 上，且 MPAC 时，MP 最小，作 MPBC 于 P，如图 3 所示： 则 MPAC， CD 平分ACB， PCMPCM， 又MPCMPC90，CMCM， PCMPCM（AAS） ， MPMP，CPCP， 当点 E、M、P三点共线时，MP+ME 的值最小， 则 EPAC， BEPA30， ACB90，A30，BC6， AB2BC12， 点 E 是斜边 AB 的中点， BEAB6， BPBE3， CPCPBCBP3， 故答案为：3 28 （10 分）如图 1 所示，在边长为 6cm 的等边ABC 中，动点
37、P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动设点 P 的运动时间为 t（s） ，t0 （1）当 t 3s 时，PAC 是直角三角形； （2）如图 2，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，且动点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时 出发那么当 t 取何值时，PAQ 是直角三角形？请说明理由； （3）如图 3，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动，且动点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出 发，当点 P 到达终点 B 时，点 Q 也随之停止运动，连接 PQ 交 AC 于点 D，过点 P 作 PEAC 于 E试 问线段 DE
38、 的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出 DE 的长度 【分析】 （1）先由等边三角形的性质得 ABBCAC6，A60，再由题意得APC90，则 ACP30，然后由直角三角形的性质得 APAC3，即可得出答案； （2）分两种情况：当APQ90时，则AQP30，由直角三角形的性质得 AQ2AP，由题意 得出方程，解方程即可； 当AQP90时，则APQ30，由直角三角形的性质得 AP2AQ，由题意得出方程，解方程即 可； （3）过点 Q 作 QFAC，交 AC 的延长线于 F，先证APECQF（AAS） ，得 AECF，PEQF，再 证PDEQDF（AAS） ，得 DEDFEF，进
39、而得出答案 【解答】解： （1）ABC 是等边三角形， ABBCAC6，ABACB60， 若PAC 是直角三角形，则APC90， ACP30， APAC3， t313（s） ， 故答案为：3s； （2）分两种情况： 当APQ90时，如图 21 所示： 则AQP90A30， AQ2AP， 由题意可得：APBQt，则 AQ6t， 6t2t， 解得：t2； 当AQP90时，如图 22 所示： 则APQ90A30， AP2AQ， t2（6t） ， 解得：t4； 综上，当 t 为 2s 或 4s 时，PAQ 是直角三角形； （3）线段 DE 的长度不变化，理由如下： 过点 Q 作 QFAC，交 AC 的延长线于 F，如图 3 所示： PEAC，QFAC， AEPDEPCFQ90， QCFACB60， AQCF， 又APCQ， APECQF（AAS） ， AECF，PEQF， 又PDEQDF， PDEQDF（AAS） ， DEDFEF， EFCE+CF，ACCE+AE， EFAC6， DEEF3， 即线段 DE 的长度不变，为定值 3
