1、2020-2021 学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1 某校高三年级有学生 500 人， 为了调查某次考试数学成绩情况， 现将学生数学成绩按 001， 002， 003， ， 500 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号 为 003 号，则抽得第 3 组的编号是（ ） A013 B023 C033 D043 2已知向量的夹角为 30， ，则（ ） A B3 C D12 3设样本数据 x1，x2，x3，x9，x10的均值和方差分
2、别为 2 和 8，若 yi2xi+1（i1，2，3，9，10）， 则 y1，y2，y3，y9，y10的均值和方差分别为（ ） A3，32 B5， C3， D5，32 4ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 b4，c2， ABC 的面积为 2， 则 sin2A（ ） A B或 C D或 5若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（ ） A2 B3 C4 D5 6（1+x2）（2+x）4的展开式中 x4项的系数为（ ） A30 B35 C20 D25 7某单位举行学习强国挑战答题比赛，如图是甲、乙两名选手 10 次连续答题答对题数的茎叶图，则他们 答对题数的中位数
3、之和是（ ） A56 B57 C58 D59 8在对具有线性相关的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如表数据： x 4 6 8 10 12 y 1.3 1.9 3 3.9 4.9 由表中数据求得 y 关于 x 的回归直线方程，则（4，1.3），（6，1.9），（8，3），（10，3.9）这四个 样本点中，距离回归直线最近的点是（ ） A（4，1.3） B（6，1.9） C（8，3） D（10，3.9） 9易经是中国传统文化中的精髓如图是易经后天八卦图，每一卦由三根线组成（“”表示一根阳 线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目之和为 3 的概率是（ ） A B C
4、D 10 将底面各边边长均不相等的四棱锥SABCD的每一个面都染上一种颜色， 并使有公共边的两个面异色， 现有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ） A420 种 B360 种 C480 种 D320 种 11甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 8 小时，假定它们在同一昼夜时间段中随机地到达且期间无其它 轮船停靠，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A B C D 12在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，线段 CM 与 BN 交于点 O，动点 P 在BOC 内部活动（不 含边界），且，其中 、R，则 + 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（
5、共 4 小题）小题）. 13执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为 14某学校随机抽查了本校 20 个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得 数据，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是0，5），5，10），35，40，作出频率分布直方图如 图所示，则以各组中值为组平均值可估计这 20 个学生的每天平均锻炼时间为 分钟 15已知实数 x，y 满足，若 ax+2ay+30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 16现有学号分别为 1 号、2 号、3 号、9 号的 9 位同学依次站成一排，老师请他们从 1 号同学开始 依次从如图所示的装有标号为 1 至 9 号球的三个
6、圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的 一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能 的不同站法有 种（用数字作答） 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知向量， （1）若时，求 x 的值； （2）若向量 与向量 的夹角为锐角，求实数 x 的取值范围 18从包括 A，B 两人的 7 个人中选出 5 人排成一排 （1）若任意选 5 人，有多少种不同的排法？ （2）若 A，B 两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？ （3）若 A，B 两人都在内且
7、 A，B 不相邻，有多少种不同排法？ （4）若排头和排尾不允许站 A，正中间（第三位）不允许站 B，有多少种不同的排法？ 192020 年 4 月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五一消费黄金 周”系列活动，并发放亿元电子消费券活动过后，我们随机抽取了 50 人，对是否使用过电子消费券进 行调查，结果如表： 年龄 （单位：岁） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 抽取人数 2 10 13 12 10 3 使用过消费券的人数 1 9 13 8 6 1 若以“年龄 40 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 22 列联
8、表，并判断是否有 99%的把握认为使 用电子消费券与按照 40 岁为分界点的人的年龄有关 年龄低于 40 岁的人数 年龄不低于 40 岁的人数 合计 使用过消费券的人数 没有使用消费券的人数 合计 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中 na+b+c+d 20某市交警大队在辖区内开展“机动车不礼让行人整治行动”下表是该市一主干路口监控设备抓拍的 5 个月内“机动车驾驶员在斑马线前不礼让行人”行为统计数据： 月份 3 4 5 6 7
9、 斑马线前不礼让行人 的机动车驾驶员人数 170 140 125 115 100 （1） 请利用所给数据求该路口在斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方 程； （2）预测该路口 9 月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数； （3）预测经过整治后该路口到哪个月份开始可以使斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数不多于 50 人 参考公式： ， 21 某位病人为了维持身体的健康状态， 需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素 和 根据医学建议：病人每天微量元素 的摄入量应控制在300，330（单位：微克），微量元素 的摄入量应控制在250，280（单位
10、：微克）目前，市面上可供选择的营养液主要是 A 和 B已知 1 毫升营养液 A 中含微量元素 是 30 微克，含微量元素 是 10 微克，每毫升费用 5 元；1 毫升营养液 B 中含微量元素 是 15 微克，含微量元素 是 20 微克，每毫升费用 4 元 （1） 若该病人每天只吃单价较便宜的营养液 B， 判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议， 并说明理由； （2） 如果你是医生， 为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议， 且每天所需的费用最低， 应该推荐病人每天服用营养液 A 和营养液 B 各多少毫升？该病人每天所需的营养液最低费用是多少元？ 22某商场调研了一年来日销
11、售额的情况，日销售额 （万元）服从正态分布 N（10，4）为了增加营业 收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满 300 元可以参加 1 次游戏，游戏规则如下：有一张 共 10 格的方格子图，依次编号为第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 10 格，游戏开始时“跳子”在第 1 格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，若出现正面，则“跳子”前进 2 格（从第 k 格到第 k+2 格），若出现 反面，则“跳子”前进 1 格（从第 k 格到第 k+1 格），当“跳子”前进到第 9 格或者第 10 格时，游戏结 束“跳子”落在第 9 格可以得到 20 元奖券，“跳子”落在第 10 格可以得到 50 元奖券
12、 （1）根据调研情况计算该商场日销售额在 8 万元到 14 万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从 正态分布 N（，2），则 P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3 +3）0.9973） （2）记“跳子”前进到第 n 格（1n10）的概率为 Pn，证明：PnPn1（2n9）是等比数列； （3）求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1 某校高三年级有学生 500 人， 为了调查某次考试数学成绩情况， 现将学生数学成绩按 001， 002， 003， ， 500 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取
13、一个容量为 50 的样本（等距抽样），已知抽得第一组的编号 为 003 号，则抽得第 3 组的编号是（ ） A013 B023 C033 D043 解：由系统抽样原理知，样本容量为 50， 所以样本间隔为 5005010； 由第一组的编号为 003， 所以第 3 组的编号是 003+220023 故选：B 2已知向量的夹角为 30， ，则（ ） A B3 C D12 解：向量 与 的夹角为 30， ， 故选：C 3设样本数据 x1，x2，x3，x9，x10的均值和方差分别为 2 和 8，若 yi2xi+1（i1，2，3，9，10）， 则 y1，y2，y3，y9，y10的均值和方差分别为（ ）
14、A3，32 B5， C3， D5，32 解：设样本数据 xi的均值为 ，方差为 s2， 则新样本 yi2xi+1 的均值为 2 +122+15， 方差为 22s24832 故选：D 4ABC 的角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 b4，c2， ABC 的面积为 2， 则 sin2A（ ） A B或 C D或 解：b4，c2，ABC 的面积为 2，可得， ， A（0，）， ， ， sin2A或 故选：B 5若 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（ ） A2 B3 C4 D5 解：目标函数 z2x+y 转化为 y2x+z， 由 x，y 满足约束条件，画出可行域如图， 联
15、立，解得 A（1，1）， 由图可知，在点 A（1，1）处目标函数取得最大值为 3， 故选：B 6（1+x2）（2+x）4的展开式中 x4项的系数为（ ） A30 B35 C20 D25 解：展开式中含 x4项为： ， 故选：D 7某单位举行学习强国挑战答题比赛，如图是甲、乙两名选手 10 次连续答题答对题数的茎叶图，则他们 答对题数的中位数之和是（ ） A56 B57 C58 D59 解：由茎叶图中的数据，计算甲的中位数为（32+34）33， 乙的中位数为（23+27）25， 所以它们的中位数之和为 33+2558 故选：C 8在对具有线性相关的两个变量 x 和 y 进行统计分析时，得到如表数
16、据： x 4 6 8 10 12 y 1.3 1.9 3 3.9 4.9 由表中数据求得 y 关于 x 的回归直线方程，则（4，1.3），（6，1.9），（8，3），（10，3.9）这四个 样本点中，距离回归直线最近的点是（ ） A（4，1.3） B（6，1.9） C（8，3） D（10，3.9） 解： （4+6+8+10+12）8， （1.3+1.9+3+3.9+4.9）3，样本中心坐标（8，3）， 根据回归直线方程的性质可知，平均值点（8，3）在回归直线上，离回归直线最近 故选：C 9易经是中国传统文化中的精髓如图是易经后天八卦图，每一卦由三根线组成（“”表示一根阳 线，“”表示一根阴线）
17、，现从八卦中任取两卦，这两卦的阳线数目之和为 3 的概率是（ ） A B C D 解：从八卦中任取两卦，基本事件总数， 这两卦的阳线数目之和为 3 的基本事件有 1+3310 种， 这两卦的阳线数目之和为 3 的概率为 故选：A 10 将底面各边边长均不相等的四棱锥SABCD的每一个面都染上一种颜色， 并使有公共边的两个面异色， 现有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法有（ ） A420 种 B360 种 C480 种 D320 种 解：根据题意，先染底面 ABCD，有种； 再染四个侧面，有种； 所以，共有 584420 种不同的染色方法 故选：A 11甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 8
18、小时，假定它们在同一昼夜时间段中随机地到达且期间无其它 轮船停靠，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（ ） A B C D 解：设甲到达的时刻为 x，乙到达的时刻为 y， 则所有基本事件构成的平面区域为乙船到达时间甲船到达时间 （x，y）|0 x24，0y24， 设“这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待”为事件 A， 则事件 A 包含的基本事件构成的平面区域为 A（x，y）|0 x24，0y24，|xy|8， 如图中阴影部分所示 由几何概型概率公式得， 即这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为， 故选：A 12在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，线段 CM 与 BN 交于
19、点 O，动点 P 在BOC 内部活动（不 含边界），且，其中 、R，则 + 的取值范围是（ ） A B C D 解：若点 P 为交点 O 时， 若点 P 在线段 BO 上运动时，+1； 若点 P 在线段 BC 上运动时， ，； 若点P在 线段OC上运 动时， ，； 综上，由于不含边界， 另解：按照三点共线定理可知，当点 P 在直线 BN 上时，+1， 当点 P 在直线 BN 的下方且平行于直线 BN 的直线上时， 随着直线向下平行移动，+ 的值越来越大， 因为点 P 在BOC 内部活动（不含边界）上运动， 所以到达临界点 C 时 + 的值为上限值， 故选：D 二、填空题：本题共二、填空题：本题
20、共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为 161 解：由程序框图可知：输出的 x 的值为使不等式成立的最小整数， 解得 x160， 故输出的 x 的值为 161 故答案为：161 14某学校随机抽查了本校 20 个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得 数据，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是0，5），5，10），35，40，作出频率分布直方图如 图所示，则以各组中值为组平均值可估计这 20 个学生的每天平均锻炼时间为 22 分钟 解：由频率分布直方图可得： 平均值 5（2.50.01+7.
21、50.01+12.50.04+17.50.02+22.50.04+27.50.03+32.50.03+37.5 0.02）22， 故答案为：22 15 已知实数 x， y 满足， 若 ax+2ay+30 恒成立， 则实数 a 的取值范围是 解：实数 x，y 满足的可行域如图， 由 ax+2ay3，得 a（x+2）y3，x+20， ， 设点 A（2，3），可行域内动点 P（x，y）， 即，可得点 B（1，2）， 由图可知连线的斜率的最大值为， 可得 故答案为： 16现有学号分别为 1 号、2 号、3 号、9 号的 9 位同学依次站成一排，老师请他们从 1 号同学开始 依次从如图所示的装有标号为
22、1 至 9 号球的三个圆柱形容器中随意选择一个有球的容器并取出最上面的 一个球，再根据自己手中所拿球的号码，按照球号从小到大的顺序从左到右重新站成一排，则所有可能 的不同站法有 1680 种（用数字作答） 解：根据题意，先将 9 位同学看成 9 个排成一列的盒子，先从这 9 个不同的盒子中选出 3 个，并从左往 右依次放入 1、2、3 号球， 再从剩余的 6 个盒子中选出 3 个并从左往右依次放入 4、5、6 号球， 最后将 7、8、9 号球从左往右依次放入剩余的 3 个盒子， 共有种不同的站法， 故答案为：1680 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
23、骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知向量， （1）若时，求 x 的值； （2）若向量 与向量 的夹角为锐角，求实数 x 的取值范围 解：（1）向量， ， ，x22x80， 解得 x2 或 x4； （2）向量 与向量 的夹角为锐角， ，且向量 与向量 不共线， ，解得 x6，且， x 的取值范围为 18从包括 A，B 两人的 7 个人中选出 5 人排成一排 （1）若任意选 5 人，有多少种不同的排法？ （2）若 A，B 两人中有且只有一人在内，有多少种不同的排法？ （3）若 A，B 两人都在内且 A，B 不相邻，有多少种不同排法？ （4）若排头和排尾不允许站 A，正中间（第三位
24、）不允许站 B，有多少种不同的排法？ 解：（1）从 7 人中任选 5 人来排队共有种不同的排法； （2）先从 A，B 两人中任选 1 人有种不同的方法， 再从剩余的 5 人中任选 4 人有种不同的方法，再将选出的 5 人进行全排列， 共有种不同的排法， （3）因 A，B 都在内，所以只需从余下 5 人中选 3 人有种不同结果，A，B 不相邻， 使用插空法共有种不同排法， （4）第一类：所选 5 人无 A、B，有种不同排法； 第二类：所选 5 人有 A 无 B，有种不同排法； 第三类：所选 5 人无 A 有 B，有种不同排法； 第四类：所选 5 人有 A、B，若 A 排中间时，有种不同排法，若
25、A 不排中间时，有 种不同排法，共有 600 种不同排法； 综上，共有种 1560 不同排法 192020 年 4 月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五一消费黄金 周”系列活动，并发放亿元电子消费券活动过后，我们随机抽取了 50 人，对是否使用过电子消费券进 行调查，结果如表： 年龄 （单位：岁） 10，20） 20，30） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 抽取人数 2 10 13 12 10 3 使用过消费券的人数 1 9 13 8 6 1 若以“年龄 40 岁为分界点”，由以上统计数据完成下面 22 列联表，并判断是否有 99%的把
26、握认为使 用电子消费券与按照 40 岁为分界点的人的年龄有关 年龄低于 40 岁的人数 年龄不低于 40 岁的人数 合计 使用过消费券的人数 没有使用消费券的人数 合计 参考数据： P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ，其中 na+b+c+d 解：由以上统计数据填写下面 22 列联表，如下： 年龄低于 40 岁 的人数 年龄不低于 40 岁 的人数 合计 使用过消费券的人数 23 15 38 没有使用消费券的人数 2 10 12 合计 25 25
27、 50 根据公式计算， 有 99%的把握认为使用电子消费券与按照 40 岁为分界点的人的年龄有关 20某市交警大队在辖区内开展“机动车不礼让行人整治行动”下表是该市一主干路口监控设备抓拍的 5 个月内“机动车驾驶员在斑马线前不礼让行人”行为统计数据： 月份 3 4 5 6 7 斑马线前不礼让行人 的机动车驾驶员人数 170 140 125 115 100 （1） 请利用所给数据求该路口在斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数 y 与月份 x 之间的回归直线方 程； （2）预测该路口 9 月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数； （3）预测经过整治后该路口到哪个月份开始可以使斑马线前不礼让行人的
28、机动车驾驶员人数不多于 50 人 参考公式： ， 解：（1）由表中数据知： 5， 130， ，4 分 ，6 分 所求回归直线方程为7 分 （2）由（1）知，令 x9，则人9 分 （3）令，则 x10（xN+） xmin1011 分 答：（2）可预测该路口 9 月份斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数为 64 人； （3）预测经过整治后该路口到 10 月份开始， 可以使斑马线前不礼让行人的机动车驾驶员人数不多于 50 人12 分 21 某位病人为了维持身体的健康状态， 需要长期服用药物类营养液以补充食物难以提供的两种微量元素 和 根据医学建议：病人每天微量元素 的摄入量应控制在300，330（单
29、位：微克），微量元素 的摄入量应控制在250，280（单位：微克）目前，市面上可供选择的营养液主要是 A 和 B已知 1 毫升营养液 A 中含微量元素 是 30 微克，含微量元素 是 10 微克，每毫升费用 5 元；1 毫升营养液 B 中含微量元素 是 15 微克，含微量元素 是 20 微克，每毫升费用 4 元 （1） 若该病人每天只吃单价较便宜的营养液 B， 判断他的两种微量元素的摄入量能否同时符合医学建议， 并说明理由； （2） 如果你是医生， 为了使得该病人两种微量元素的摄入量同时符合医学建议， 且每天所需的费用最低， 应该推荐病人每天服用营养液 A 和营养液 B 各多少毫升？该病人每天
30、所需的营养液最低费用是多少元？ 解： （1）若该病人每天只吃单价较便宜的营养液 B，则为了将微量元素 的摄入量控制在250，280（单 位：微克），营养液 B 的服用量必须控制在12.5，14（单位：毫升），此时相应微量元素 的摄入量 在187.5，210（单位：微克），不符合医学建议； （2）设该病人每天需服用 x 毫升营养液 A，y 毫升营养液 B，则每天的营养液费用为 z5x+4y， 由题意 x，y 满足，即， 可行域如下图所示： 把 z5x+4y 变形为，得到斜率为，在 y 轴上截距为的一族平行直线 由图可以看出，当直线经过直线 2x+y20 和直线 x+2y25 的交点 M 时，截距
31、最小，此 时 z 最小 解方程组，得点 M 为（5，10）， zmin5x+4y55+41065 元 答：推荐病人每天服用 5 毫升营养液 A，服用 10 毫升营养液 B，既能符合医学建议又能使每天的营养液 费用最少，病人每天服用营养液的最低费用为 65 元 22某商场调研了一年来日销售额的情况，日销售额 （万元）服从正态分布 N（10，4）为了增加营业 收入，该商场开展“游戏赢奖券”促销活动，购物满 300 元可以参加 1 次游戏，游戏规则如下：有一张 共 10 格的方格子图，依次编号为第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 10 格，游戏开始时“跳子”在第 1 格，顾客抛掷一枚均匀的硬币，
32、若出现正面，则“跳子”前进 2 格（从第 k 格到第 k+2 格），若出现 反面，则“跳子”前进 1 格（从第 k 格到第 k+1 格），当“跳子”前进到第 9 格或者第 10 格时，游戏结 束“跳子”落在第 9 格可以得到 20 元奖券，“跳子”落在第 10 格可以得到 50 元奖券 （1）根据调研情况计算该商场日销售额在 8 万元到 14 万元之间的概率；（参考数据：若随机变量服从 正态分布 N（，2），则 P（+）0.6827，P（2+2）0.9545，P（3 +3）0.9973） （2）记“跳子”前进到第 n 格（1n10）的概率为 Pn，证明：PnPn1（2n9）是等比数列； （3）
33、求某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额的期望 解：（1）由 服从正态分布 N（10，4）可得： （2）证明：“跳子”开始在第 1 格为必然事件，P11， 第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第 2 格，其概率为，即 “跳子”前进到第 n（3n9）格的情况是下面两种，而且只有两种： “跳子”先到第 n2 格，又掷出正面，其概率为 “跳子”先到第 n1 格，又掷出反面，其概率为 ， ， ， PnPn10（2n9）， （3n9）， 当 2n9 时，数列PnPn1是等比数列，首项为，公比为 ； （3）设某一位顾客参加一次这样的游戏获得奖券金额为元，则的值可取 20 和 50， 由（2）可知（2n9） （2n9），P11 也适合， ， ， 的分布列为： 20 50 P 则的期望为（元）
