1、2020 年宁夏中卫市中宁县中考数学三模试卷年宁夏中卫市中宁县中考数学三模试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的）的） 1下列运算一定正确的是（ ） A3a+3a6a2 B （a+b） （ab）a2b2 C （a3）4a7 Da2a3a6 2如图所示的几何体的左视图为（ ） A B C D 3某种病毒近似于球体，它的半径约为 0.000000005 米，用科学记数法表示为（ ） A5108 B5109 C510 8 D510 9 4已
2、知关于 x 的方程 x24x+c+10 有两个相等的实数根，则常数 c 的值为（ ） A1 B0 C1 D3 5将一副三角板（A30）按如图所示方式摆放，使得 ABEF，则1 等于（ ） A75 B90 C105 D115 6如图，在ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD若B40， C36，则DAC 的度数是（ ） A70 B44 C34 D24 7如图，圆锥体的高 h2cm，底面圆半径 r2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2 A12 B8 C4 D （4+4） 8已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则直线 yax+b 与反比
3、例函数 y在同一坐标 系内的大致图象为（ ） A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9分解因式：ax49ay2 10点 P 在第二象限内，并且到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为 11若的值为零，则 x 的值是 12如图，正六边形内接于O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 13如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 m（结果保留根号） 14
4、一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 15如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 BF6cm，且 tanBAF， 则折痕 AE 长是 16 如图， 在平面直角坐标系中， 边长为 1 的正方形 OA1B1C1上， 以它的对角线 OB1为边作正方形 OB1B2C2， 再以正方形的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3， 以此类推、 则正方形 OB2019B2020C2020的顶点 B2020 的坐标是 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 36 分）分
5、） 17 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a2+ 18 （6 分）解不等式组 19 （6 分）如图在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ，B（4，1） ，C（3， 3） （正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度） （1）作出ABC 向左平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的A1B1C1； （2）以坐标原点 O 为位似中心，相似比为 2，在第二象限内将ABC 放大，放大后得到A2B2C2作出 A2B2C2； （3）以坐标原点 O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转 90，得到A3B3C3，作出A3B3C3 20 （6 分）阅读对学生
6、的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取 了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0t0.5 9 0.18 B 0.5t1 a 0.3 C 1t1.5 12 0.24 D 1.5t2 10 b E 2t2.5 4 0.08 合计 1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中的 a ，b ； （2）将频数分布直方图补全； （3）E 组的 4 人中，有 1 名男生和 3 名女生，该校计划在 E 组学生中随机选出两人向全校同学作读书心 得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是 1 名男
7、生和 1 名女生的概率 21 （6 分）如图，在ABC 中，过点 C 作 CDAB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形 （2）若 GB3，BC6，BF，求 AB 的长 22 （6 分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销某药店准备购进一批口罩，已知 1 个 A 型口罩 和 3 个 B 型口罩共需 26 元；3 个 A 型口罩和 2 个 B 型口罩共需 29 元 （1）求一个 A 型口罩和一个 B 型口罩的售价各是多少元？ （2）药店准备购进这两种型号的口罩共 50 个，其中
8、A 型口罩数量不少于 35 个，且不多于 B 型口罩的 3 倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？ 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 道题，其中道题，其中 23、24 题每题题每题 8 分，分，25、26 题每题题每题 10 分，共分，共 36 分）分） 23 （8 分）如图，已知 AB 为O 的直径，点 E 在O 上，EAB 的平分线交O 于点 C，过点 C 作 AE 的垂线，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线交于点 P （1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 tanP，AD6，求线段 AE 的长 24 （8 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y
9、 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y（x0）相交于点 P， PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 25 （10 分） 【问题情境】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 上一点，过 点 D 且垂直于 DE 的直线交 AC 于点 F易知：BECF （不需要证明） 【探索发现】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中
10、点，连结 CD，点 E 为 CB 的延长线上 一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 的延长线于点 F 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由 【类比迁移】 如图，在等边ABC 中，AB4，点 D 是 AB 中点，点 E 是射线 AC 上一点（不与点 A、C 重合） ，将 射线 DE 绕点 D 逆时针旋转 60交 BC 于点 F当 CF2CE 时，CE 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交 于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x1 （1）求抛物线的解析式； （2）点
11、 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值； （3） 在点 M 运动过程中， 是否存在某一时刻 t， 使MBN 为直角三角形？若存在， 求出 t 值； 若不存在， 请说明理由 2020 年宁夏中卫市中宁县中考数学三模试卷年宁夏中卫市中宁县中考数学三模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共
12、 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求 的）的） 1下列运算一定正确的是（ ） A3a+3a6a2 B （a+b） （ab）a2b2 C （a3）4a7 Da2a3a6 【分析】分别根据合并同类项法则，平方差公式，幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断 即可 【解答】解：A、3a+3a6a，故本选项不合题意； B、 （a+b） （ab）a2b2，故本选项符合题意； C、 （a3）4a12，故本选项不合题意； D、a2a3a5，故本选项不合题意 故选：B 2如图所示的几何体
13、的左视图为（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左面看易得左视图为： 故选：D 3某种病毒近似于球体，它的半径约为 0.000000005 米，用科学记数法表示为（ ） A5108 B5109 C510 8 D510 9 【分析】绝对值小于 1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000000005510 9 故选：D 4已知关于 x 的方程 x24x+c+10 有两个相等
14、的实数根，则常数 c 的值为（ ） A1 B0 C1 D3 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 c 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：方程 x24x+c+10 有两个相等的实数根， （4）24（c+1）124c0， 解得：c3 故选：D 5将一副三角板（A30）按如图所示方式摆放，使得 ABEF，则1 等于（ ） A75 B90 C105 D115 【分析】依据 ABEF，即可得BDEE45，再根据A30，可得B60，利用三角形外 角性质，即可得到1BDE+B105 【解答】解：ABEF， BDEE45， 又A30， B60， 1BDE+B45+60105， 故选
15、：C 6如图，在ABC 中，以点 B 为圆心，以 BA 长为半径画弧交边 BC 于点 D，连接 AD若B40， C36，则DAC 的度数是（ ） A70 B44 C34 D24 【分析】由 ABBD，B40得到ADB70，再根据三角形的外角的性质即可得到结论 【解答】解：ABBD，B40， ADB70， C36， DACADBC34 故选：C 7如图，圆锥体的高 h2cm，底面圆半径 r2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2 A12 B8 C4 D （4+4） 【分析】表面积底面积+侧面积底面半径 2+底面周长母线长2 【解答】解：底面圆的半径为 2，则底面周长4， 底面半径为 2cm、高为
16、2cm， 圆锥的母线长为 4cm， 侧面面积448； 底面积为4， 全面积为：8+412cm2 故选：A 8已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则直线 yax+b 与反比例函数 y在同一坐标 系内的大致图象为（ ） A B C D 【分析】本题形数结合，根据二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象位置，可判断 a、b、c 的符号；再由 一次函数 yax+b，反比例函数 y中的系数符号，判断图象的位置经历：图象位置系数符号 图象位置 【解答】解：二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象开口向下，a0； 与 y 轴交于正半轴，c0； 对称轴 x0，故 b0； 于是直线 ya
17、x+b 过二、三、四象限，反比例函数 y过二、四象限故选 B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9分解因式：ax49ay2 a（x2+3y） （x23y） 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】解：原式a（x49y2）a（x2+3y） （x23y） ， 故答案为：a（x2+3y） （x23y） 10点 P 在第二象限内，并且到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，则点 P 的坐标为 （3，2） 【分析】应先判断出点 P 的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断其具体坐标 【解答】解：点 P 在第二
18、象限内， 点的横坐标小于 0，纵坐标大于 0， 点到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3， 点的横坐标是3，纵坐标是 2 则点 P 的坐标为（3，2） 故答案填（3，2） 11若的值为零，则 x 的值是 3 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于 0，分母不为 0 可得：|x|30 且 x+30，解可得答案 【解答】解：的值为零， |x|30 且 x+30， 解得 x3 故答案是：3 12如图，正六边形内接于O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是 【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得 结论 【解答】解：如图所示：连接
19、 OA， 正六边形内接于O， OAB，OBC 都是等边三角形， AOBOBC60， OABC， SABCSOBC， S阴S扇形OBC， 则飞镖落在阴影部分的概率是； 故答案为： 13如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是 40 m（结果保留根号） 【分析】利用等腰直角三角形的性质得出 ABAD，再利用锐角三角函数关系得出答案 【解答】解：由题意可得：BDA45， 则 ABAD120m， 又CAD30， 在 RtADC 中， tanCADtan30， 解得：CD40（
20、m） ， 故答案为：40 14一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 x2 【分析】不等式组 kx+bx+a 的解是一次函数 y2x+a 的图象在 y1kx+b 下方的部分对应的 x 的取值范 围，据此即可解答 【解答】解：由图象得：不等式组 kx+bx+a 的解集是 x2 故答案为：x2 15如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 BF6cm，且 tanBAF， 则折痕 AE 长是 5cm 【分析】先由折叠的性质得 AFAD，EFDE，由矩形的性质得 AFADBC，DCAB，BC D90，再由锐角三角函数定
21、义的 AB8，由勾股定理得 AF10（cm） ，则 ADBC10（cm） ，CF BCBF4 （cm） ， 设 EFDExcm， 则 CEDCDEABDE （8x） cm， 然后在 RtEFC 中， 由勾股定理得出方程，即可解决问题 【解答】解：由折叠的性质得：AFAD，EFDE， 四边形 ABCD 为矩形， AFADBC，DCAB，BCD90， tanBAF， ， AB8， 由勾股定理得：AF10（cm） ， ADBC10（cm） ， CFBCBF1064（cm） ， 设 EFDExcm， CEDCDEABDE（8x）cm， 在 RtEFC 中，由勾股定理得：x242+（8x）2， 解得：x
22、5， DE5cm， 在 RtADE 中，由勾股定理得：AE5（cm） ， 故答案为：5cm 16 如图， 在平面直角坐标系中， 边长为 1 的正方形 OA1B1C1上， 以它的对角线 OB1为边作正方形 OB1B2C2， 再以正方形的对角线 OB2为边作正方形 OB2B3C3， 以此类推、 则正方形 OB2019B2020C2020的顶点 B2020 的坐标是 （21010，0） 【分析】首先先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律， 然后根据规律计算出点 B2020的坐标 【解答】解：正方形 OA1B1C1的边长为 1， OB1， O
23、B22 B2（0，2） ， 同理可知 B3（2，2） ，B4（4，0） ，B5（4，4） ，B6（0，8） ，B7（8，8） ， B9（16，16） ，B10（0，32） 由规律可以发现，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为 原来的倍， 20208252+4， B2020（21010，0） 故答案为： （21010，0） 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 36 分）分） 17 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 a2+ 【分析】 根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子， 然后将 a 的
24、值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） ， 当 a2+时，原式 18 （6 分）解不等式组 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式得，x4， 解不等式得，x2， 因此，原不等式组的解集为4x2 19 （6 分）如图在平面直角坐标系内，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ，B（4，1） ，C（3， 3） （正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度） （1）作出ABC 向左平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到的A1B1C1； （2）以坐标原点 O 为
25、位似中心，相似比为 2，在第二象限内将ABC 放大，放大后得到A2B2C2作出 A2B2C2； （3）以坐标原点 O 为旋转中心，将ABC 逆时针旋转 90，得到A3B3C3，作出A3B3C3 【分析】 （1）利用点平移的坐标变换规律写出 A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）把 A、B、C 点的横纵坐标够乘以2 得到 A2、B2、C2的坐标，然后描点即可； （3）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B、C 的对应点 A3、B3、C3即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1为所作； （2）如图，A2B2C2为所作； （3）如图，A3B3C3为所作 20 （6 分）阅读对学生的成长有着
26、深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取 了若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表 组别 时间（小时） 频数（人数） 频率 A 0t0.5 9 0.18 B 0.5t1 a 0.3 C 1t1.5 12 0.24 D 1.5t2 10 b E 2t2.5 4 0.08 合计 1 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中的 a 15 ，b 0.20 ； （2）将频数分布直方图补全； （3）E 组的 4 人中，有 1 名男生和 3 名女生，该校计划在 E 组学生中随机选出两人向全校同学作读书心 得报告，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是 1
27、 名男生和 1 名女生的概率 【分析】 （1）由“A 组”的频数为 9，频率为 0.18，可求出调查人数，进而求出 a、b 的值； （2）根据各组的频数看补全条形统计图； （3）列表法表示所有可能出现的结果情况，再得出 1 男 1 女的结果情况，最后求出相应的概率 【解答】解： （1）90.1850（人） ， a5091210415（人） ， b10500.20， 故答案为：15，0.20； （2）补全条形统计图如图所示： （3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 12 种等可能出现的情况，其中 1 男 1 女的有 6 种， 所以抽取的两名学生刚好是 1 名男生和 1 名女生的概率
28、为 21 （6 分）如图，在ABC 中，过点 C 作 CDAB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，交 CB 的延长线于点 G，连接 AD，CF （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形 （2）若 GB3，BC6，BF，求 AB 的长 【分析】 （1）由 E 是 AC 的中点知 AECE，由 ABCD 知AFECDE，据此根据“AAS”即可证 AEFCED，从而得 AFCD，结合 ABCD 即可得证； （2）证GBFGCD 得，据此求得 CD，由 AFCD 及 ABAF+BF 可得答案 【解答】解： （1）E 是 AC 的中点， AECE， ABCD， AFECDE
29、， 在AEF 和CED 中， ， AEFCED（AAS） ， AFCD， 又 ABCD，即 AFCD， 四边形 AFCD 是平行四边形； （2）ABCD， GBFGCD， ，即， 解得：CD， 四边形 AFCD 是平行四边形， AFCD， ABAF+BF+6 22 （6 分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销某药店准备购进一批口罩，已知 1 个 A 型口罩 和 3 个 B 型口罩共需 26 元；3 个 A 型口罩和 2 个 B 型口罩共需 29 元 （1）求一个 A 型口罩和一个 B 型口罩的售价各是多少元？ （2）药店准备购进这两种型号的口罩共 50 个，其中 A 型口罩数量不少于 3
30、5 个，且不多于 B 型口罩的 3 倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？ 【分析】 （1）设一个 A 型口罩的售价是 a 元，一个 B 型口罩的售价是 b 元，根据： “1 个 A 型口罩和 3 个 B 型口罩共需 26 元；3 个 A 型口罩和 2 个 B 型口罩共需 29 元”列方程组求解即可； （2）设 A 型口罩 x 个，根据“A 型口罩数量不少于 35 个，且不多于 B 型口罩的 3 倍”确定 x 的取值范 围，然后得到有关总费用和 A 型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可 【解答】解： （1）设一个 A 型口罩的售价是 a 元，一个 B 型口罩的售价是 b 元，依题
31、意有： ， 解得： 答：一个 A 型口罩的售价是 5 元，一个 B 型口罩的售价是 7 元 （2）设 A 型口罩 x 个，依题意有： ， 解得 35x37.5， x 为整数， x35，36，37 方案如下： 方 案 A 型口 罩 B 型口 罩 一 35 15 二 36 14 三 37 13 设购买口罩需要 y 元，则 y5x+7（50 x）2x+350，k20， y 随 x 增大而减小， x37 时，y 的值最小 答：有 3 种购买方案，其中方案三最省钱 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 道题，其中道题，其中 23、24 题每题题每题 8 分，分，25、26 题每题题每题 10 分，共
32、分，共 36 分）分） 23 （8 分）如图，已知 AB 为O 的直径，点 E 在O 上，EAB 的平分线交O 于点 C，过点 C 作 AE 的垂线，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线交于点 P （1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 tanP，AD6，求线段 AE 的长 【分析】 （1）结论：PC 是O 的切线只要证明 OCAD，推出OCPD90，即可 （2）由 OCAD，推出，即，解得 r，由 BEPD，AEABsinABEABsin P，由此即可计算 【解答】解： （1）结论：PC 是O 的切线 理由：连接 OC AC 平分EAB， EACCAB， 又CA
33、BACO， EACOCA， OCAD， ADPD， OCPD90， PC 是O 的切线 （2）连接 BE在 RtADP 中，ADP90，AD6，tanP， PD8，AP10，设半径为 r， OCAD， ，即， 解得 r， AB 是直径， AEBD90， BEPD， AEABsinABEABsinP 24 （8 分）如图，直线 yax+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y（x0）相交于点 P， PCx 轴于点 C，且 PC2，点 A 的坐标为（2，0） （1）求双曲线的解析式； （2）若点 Q 为双曲线上点 P 右侧的一点，且 QHx 轴于 H，当以点 Q、C、H 为顶点
34、的三角形与AOB 相似时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）把 A 坐标代入直线解析式求出 a 的值，确定出直线解析式，把 y2 代入直线解析式求出 x 的值，确定出 P 坐标，代入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设 Q（a，b） ，代入反比例解析式得到 b，分两种情况考虑：当QCHBAO 时；当QCH ABO 时，由相似得比例求出 a 的值，进而确定出 b 的值，即可得出 Q 坐标 【解答】解： （1）把 A（2，0）代入 yax+1 中，求得 a， yx+1， 由 PC2，把 y2 代入 yx+1 中，得 x2，即 P（2，2） ， 把 P 代入 y得：k4，
35、则双曲线解析式为 y； （2）设 Q（m，n） ， Q（m，n）在 y上， n， 当QCHBAO 时，可得，即， m22n，即 m2， 整理得：m22m80， 解得：m4 或 m2（舍去） ， Q（4，1） ； 当QCHABO 时，可得，即， 整理得：2m4， 解得：m1+或 m1（舍） ， Q（1+，22） 综上，Q（4，1）或 Q（1+，22） 25 （10 分） 【问题情境】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 上一点，过 点 D 且垂直于 DE 的直线交 AC 于点 F易知：BECF （不需要证明） 【探索发现】 如图，
36、在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点，连结 CD，点 E 为 CB 的延长线上 一点，过点 E 且垂直于 DE 的直线交 AC 的延长线于点 F 【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由 【类比迁移】 如图，在等边ABC 中，AB4，点 D 是 AB 中点，点 E 是射线 AC 上一点（不与点 A、C 重合） ，将 射线 DE 绕点 D 逆时针旋转 60交 BC 于点 F当 CF2CE 时，CE 3或1+ 【分析】 【问题情境】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【探索发现】 根据线段的中点的定义得到 CDBD， 求得DBCDCB45
37、， 得到CDFBDE， 推出 CFBE； 【类比迁移】 根据等边三角形的性质得到AB60， 求得BDFAED， 设 CEx， 则 CF2x， 当点 E 在线段 AC 上时，如图，当点 E 在 AC 的延长线上时，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解： 【问题情境】证明：在 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 D 为 AB 中点， CDAB，CDBDADAB，BCDB45， BDC90， EDF90， CDFBDE， 在BDE 与CDF 中， BDECDF（ASA） ， BECF； 【探索发现】成立， 理由： 在 RtABC 中，D 为 AB 中点， CDBD， 又ACBC， DC
38、AB， DBCDCB45， DEDF， EDF90， EDB+BDFCDF+BDF90， CDFBDE， ADFCDE， AFCE， CFBE； 【类比迁移】ABC 是等边三角形， AB60， FDE60， BDF120ADE，AED120ADE， BDFAED， ADEBDF， ， 点 D 为 AB 中点，AB4， ADBD2，ACBC4， CF2CE， 设 CEx，则 CF2x， 当点 E 在线段 AC 上时， AE4x，BF42x， ， 解得：x3，x3+（不合题意，舍去） ， CE3， 如图，当点 E 在 AC 的延长线上时， AE4+x，BF42x， ， 解得：x1+， （负值舍去）
39、 ， CE1+ 综上所述，CE3或1+， 故答案为：3或1+ 26 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交 于 A、B 两点，点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x1 （1）求抛物线的解析式； （2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发， 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动， 设MBN 的面积为 S，点 M 运动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S
40、的最大值； （3） 在点 M 运动过程中， 是否存在某一时刻 t， 使MBN 为直角三角形？若存在， 求出 t 值； 若不存在， 请说明理由 【分析】 （1）把点 A、B、C 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a、b、c 的解析式，通过解方 程组求得它们的值； （2）设运动时间为 t 秒利用三角形的面积公式列出 SMBN与 t 的函数关系式 SMBN（t1）2+ 利用二次函数的图象性质进行解答； （3）根据余弦函数，可得关于 t 的方程，解方程，可得答案 【解答】解： （1）点 B 坐标为（4，0） ，抛物线的对称轴方程为 x1 A（2，0） ， 把点 A（2，0） 、B（4，0） 、
41、点 C（0，3） ，分别代入 yax2+bx+c（a0） ，得 ， 解得 ， 所以该抛物线的解析式为：yx2+x+3； （2）设运动时间为 t 秒，则 AM3t，BNt MB63t 由题意得，点 C 的坐标为（0，3） 在 RtBOC 中，BC5 如图 1，过点 N 作 NHAB 于点 H NHCO， BHNBOC， ，即， HNt SMBNMBHN（63t） tt2+t（t1）2+， 当MBN 存在时，0t2， 当 t1 时， SMBN最大 答：运动 1 秒使MBN 的面积最大，最大面积是； （3）如图 2， 在 RtOBC 中，cosB 设运动时间为 t 秒，则 AM3t，BNt MB63t 当MNB90时，cosB，即， 化简，得 17t24，解得 t， 当BMN90时，cosB （在图 2 中，当BMN90时，cosB） 化简，得 19t30，解得 t， 综上所述：t或 t时，MBN 为直角三角形
