1、2020-2021 学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷学年辽宁省抚顺市六校高三（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 A4，2，1，0，1，2，4，Bx|x2x20，则 AB（ ） A4，2，4 B4，2，1，2，4 C4，2，4 D4，2，1，2，4 2若复数 z 满足|z+i|1，则复数 z 在复平面内的点的轨迹为（ ） A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 3函数的定义域是（ ） A2，+） B2，1）（1，+） C（1，+） D2，1） 4已知向量，且的夹角为 60，若 ，则 k（ ） A2 B1 C D 5已知双曲线的右焦点为 F，A，B
2、是双曲线 C 的一条渐近线上关于原点对 称的两点，且|AB|4b，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 6我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形 （如图） 如果内部小正方形的内切圆面积为， 外部大正方形的外接圆半径为， 直角三角形中较大的锐角为 ，那么 tan（ ） A B C D 7已知 a，b 都是正实数，则“”是“”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 8已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f（x），且对任意实数 x 都有 f（x）+f（x）1
3、， 则不等式 exf（x）ex1 的解集为（ ） A（，0） B（0，+） C（，1） D（1，+） 二、选择题（共二、选择题（共 4 小题）小题）. 9已知椭圆的离心率是，则 m 的值可能是（ ） A3 B6 C D27 10在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损 失.20112020 年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 11已知
4、函数 f（x）是定义在12a，a+1上的偶函数当 0 xa+1 时，若 f（log2m） 1，则（ ） Aa2 Ba3 Cm 的值可能是 4 Dm 的值可能是 6 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 在棱 DD1上，且 2DEED1，F 是线段 BB1上一动点，则下 列结论正确的有（ ） AEFAC B存在一点 F，使得 AEC1F C三棱锥 D1AEF 的体积与点 F 的位置无关 D直线 AA1，与平面 AEF 所成角的正弦值的最小值为 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13在（x3）5的展开式中，含 x3的项的系数等于 14将一个斜边长为 4 的等腰直角
5、三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积 为 15已知 a0，b0，且 a+b3，则的最小值是 162020 年 10 月 11 日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排 A，B，C，D，E，F 六名工作人 员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工作人员，其中 A，B 安排到同一区市县工 作，D，E 不能安排在同一区市具工作，则不同的分配方法总数为 种 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题）小题）. 17设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且成等差数列 （1）证明：数列an是等比数列； （2）求数列anan+1的前 n 项和 Tn 18第 31
6、 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日29 日在成都举行，成都某机构随机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）： 打乒乓球 人次 天气状况 0，100 100，200 200，300 晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1）若用样本顿率作为总体概率，随机调查本市 4 天，设这 4 天中阴天的天数为随机变量 X，求 X 的分 布列和数学期望 （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的 22 列联表，判断是 否有 99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该
7、市当天的天气有关 人次200 人次200 天气好 天气不好 参考公式：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 19在如图所示的四棱锥 PABCD 中，BCAD，ABAD，AB4，BCAD3，PAPB，E，F 分别 为 PA，AD 的中点，平面 PAB平面 ABCD （1）证明：EF平面 PCD （2）若 PA2，求二面角 ECFA 的余弦值 20在且 2sin2B3sinAsinC，（sinAsinC） 2sin2BsinAsinC，ABC 的面积 这三个条件中任选一个，补充到下面
8、问题中，并作答 问题：在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且_ （1）求 sinB； （2）若 a2c，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 21已知动点 M 到点 F（3，0）的距离比它到直线 l：x+50 的距离小 2 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程 （2）过点 F 作斜率为 k（k0）的直线 l与轨迹 E 交于点 A，B，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N， 证明：为定值 22已知函数 f（x）alnxx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式 f（x）（e1）xex对 x1，+）恒成立，求 a 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题（
9、共一、选择题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 A4，2，1，0，1，2，4，Bx|x2x20，则 AB（ ） A4，2，4 B4，2，1，2，4 C4，2，4 D4，2，1，2，4 解：A4，2，1，0，1，2，4，Bx|x1 或 x2， AB4，2，1，2，4 故选：B 2若复数 z 满足|z+i|1，则复数 z 在复平面内的点的轨迹为（ ） A直线 B椭圆 C圆 D抛物线 解：设复数 zx+yi（x，yR）， 由题意可得|x+（y+1）i|1， 则 x2+（y+1）21， 故复数 z 在复平面内的点的轨迹为圆 故选：C 3函数的定义域是（ ） A2，+） B2，1）（1，+） C（1，
10、+） D2，1） 解：由题意可得， 解得2x1 或 x1 即函数的定义域为2，1）（1，+）， 故选：B 4已知向量，且的夹角为 60，若 ，则 k（ ） A2 B1 C D 解：由题意可得 因为的夹角为 60， 所以 因为， 所以 所以 2k40， 解得 k2 故选：A 5已知双曲线的右焦点为 F，A，B 是双曲线 C 的一条渐近线上关于原点对 称的两点，且|AB|4b，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D2 解：由双曲线，则其渐近线方程为， 因为 A，B 是双曲线 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点， 所以|AO|BO|FO|c，所以 2c4b， 所以 c2b2，所以 3c24
11、a2， 所以 e， 故选：A 6我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形 （如图） 如果内部小正方形的内切圆面积为， 外部大正方形的外接圆半径为， 直角三角形中较大的锐角为 ，那么 tan（ ） A B C D 解：D 由题意可知小正方形的边长为 1，大正方形的边长为 5， 设直角三角形短的直角边为 x，则长的直角边为 x+1， 由勾股定理得 x2+（x+1）225， 解得 x3， 所以， 则 故选：D 7已知 a，b 都是正实数，则“”是“”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 解
12、：由，得 ab，则ab， 从而 3a3b，即 ； 由，得 ab， 因为 a0，b0， 所以， 所以 即 故“”是“”的充要条件 故选：A 8已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f（x），且对任意实数 x 都有 f（x）+f（x）1， 则不等式 exf（x）ex1 的解集为（ ） A（，0） B（0，+） C（，1） D（1，+） 解：设 g（x）exf（x）1，则 g（x）exf（x）+exf（x）ex 因为 f（x）+f（x）1，所以 exf（x）+exf（x）ex， 即 exf（x）+exf（x）ex0，故 g（x）在 R 上单调递增 因为 f（x）是定义在 R 上的奇
13、函数，所以 f（0）0， 所以 g（0）1，不等式 exf（x）ex1， 即 g（x）g（0），则 x0 故选：B 二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9已知椭圆的离心率是，则 m 的值可能是（ ） A3 B6 C D27 解：当 0m9 时， 则，解得 m6； 当 m9 时， 则， 解得 故选：BC 10在新冠疫情的持续影响下，
14、全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损 失.20112020 年每年上半年的票房走势如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年 C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 解：由图知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，故 A 错误； 自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 3 年，故 B 错误； 2017 年上半年的票房收入增速最大，故 C 错误； 2020 年上半年的票房收入增速最小，
15、故 D 正确 故选：ABC 11已知函数 f（x）是定义在12a，a+1上的偶函数当 0 xa+1 时，若 f（log2m） 1，则（ ） Aa2 Ba3 Cm 的值可能是 4 Dm 的值可能是 6 解：由题意可得 12a+a+10，则 a2，故 A 正确，B 错误； 因为 f（x）是偶函数，所以 f（2）f（2）1 当 x0，3时，单调递增 因为 f（x）是偶函数，所以当 x3，0时，f（x）单调递减 因为 f（log2m）1，所以 f（|log2m|）f（2） 所以，解得或 4m8，故 C 错误，D 正确 故选：AD 12如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 在棱 DD1上，
16、且 2DEED1，F 是线段 BB1上一动点，则下 列结论正确的有（ ） AEFAC B存在一点 F，使得 AEC1F C三棱锥 D1AEF 的体积与点 F 的位置无关 D直线 AA1，与平面 AEF 所成角的正弦值的最小值为 解：如图，连接 BD，可得 BDAC，BDBB1，则 AC平面 BDEF，所以 ACEF，故 A 正确； 在 AA1上取一点 H，使得 HA12AH，连接 EC1，EH，HB1， 由 2DEED1，可得 EHB1C1，EHB1C1 ， 四边形 B1C1EH 为平行四边形，则 C1EB1H，C1EB1H 若 BF2B1F，易证四边形 AHB1F 为平行四边形， 则 AFB
17、1H，AFB1H， 从而 AFC1E，AFC1E， 故四边形 AEC1F 为平行四边形， 于是 AEC1F，故 B 正确； 设 ABa，三棱锥 D1AEF 的体积与三棱锥 FAD1E 的体积相等， 则， 即三棱锥 D1AEF 的体积与正方体的棱长有关，与点 F 的位置无关，故 C 正确； 以 C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C1xyz， 设 AB3，则 A（3，3，3），A1（3，3，0），E（3，0，2），F（0，3，t）， 从而 设平面 AEF 的法向量，则， 令 z3，得， 从而， 即直线 AA1与平面 AEF 所成角的正弦值为 ， 因为 0t3， 所以 10（t3）2+101
18、9， 所以， 即直线 AA1与平面 AEF 所成角的正弦值的最大值为 ，故 D 错误 故选：ABC 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13在（x3）5的展开式中，含 x3的项的系数等于 90 解：在（x3）5的展开式中，通项公式为 Tr+1 x5 r （3）r 令 5r3，解得 r2， 含 x3的项的系数等于 （3）r90， 故答案为 90 14将一个斜边长为 4 的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积 为 解：等腰直角三角形的斜边长为
19、4，直角边长为 2， 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径 r，母线长 l4， 则其表面积为， 故答案为： 15已知 a0，b0，且 a+b3，则的最小值是 2+4 解：已知 a0，b0，且 a+b3，可得（a+b）1， 则（a+b）（）（12+）（+12）2+4 当且仅当时，等号成立 故的最小值是 2+4 故答案为：2+4 162020 年 10 月 11 日，全国第七次人口普查拉开帷幕，某统计部门安排 A，B，C，D，E，F 六名工作人 员到四个不同的区市具开展工作，每个地方至少需安排一名工作人员，其中 A，B 安排到同一区市县工 作，D，E 不能安排在同一区市具工作，则不同的分配方
20、法总数为 216 种 解：第一步，将 6 名工作人员分成 4 组，要求 A，B 同一组，D，E 不在同一组， 若分为 3，1，1，1 的四组，A，B 必须在 3 人组，有种分组方法， 若分为 2，2，1，1 的四组，A，B 必须在两人组，有种分组方法， 则一共有 5+49 种分组方法； 第二步，将分好的四组全排列，分配到四个区市县，有种 故总的分配方法有 924216 种， 故答案为：216 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17设数列an的前 n 项和为 Sn，a11，
21、且成等差数列 （1）证明：数列an是等比数列； （2）求数列anan+1的前 n 项和 Tn 【解答】证明：（1）成等差数列， 3an2Sn+a1， 当 n2 时，3an12Sn1+a1， 则 3an3an12an，即 an3an1，即 a11，数列an是以 1 为首项，3 为公比的等比数列； 解：（2）由（1）可得， 则， 则， 故 18第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2021 年 8 月 18 日29 日在成都举行，成都某机构随机走访调查 80 天中的天气状况和当天到体育馆打乒乓球人次，整理数据如表（单位：天）： 打乒乓球 人次 天气状况 0，100 100，200 200，300
22、晴天 2 13 20 阴天 4 6 10 雨天 6 4 5 雪天 8 2 0 （1）若用样本顿率作为总体概率，随机调查本市 4 天，设这 4 天中阴天的天数为随机变量 X，求 X 的分 布列和数学期望 （2）假设阴天和晴天称为“天气好”雨天和雪天称为“天气不好”完成下面的 22 列联表，判断是 否有 99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 人次200 人次200 天气好 天气不好 参考公式：，其中 na+b+c+d 参考数据： P（K2k0） 0.10 0.05 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 解：（1）由题意可知随机变
23、量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4 设一天为阴天的概率为 P，则， 故， ， ， ， ， 则 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由题意可得的 22 列联表： 人次200 人次200 天气好 25 30 天气不好 20 5 则 因为 8.3356.635， 所以有 99%的把握认为一天中到体育馆打乒乓球的人次与该市当天的天气有关 19在如图所示的四棱锥 PABCD 中，BCAD，ABAD，AB4，BCAD3，PAPB，E，F 分别 为 PA，AD 的中点，平面 PAB平面 ABCD （1）证明：EF平面 PCD （2）若 PA2，求二面角 ECFA 的余弦值 【解答
24、】（1）证明：因为 E，F 分别为 PA，AD 的中点， 所以 EFPD， 因为 PD平面 PCD，EF平面 PCD， 所以 EF平面 PCD （2）解：取 AB 的中点 O，连接 OP 因为 PAPB， 所以 OPAB， 因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB， 所以 OP平面 ABCD 过点 O 在平面 ABCD 内作 AB 的垂线 l， 则 PO，AB，l 两两垂直 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 因为， 所以 E（1，0，1），F（2，3，0），C（2，3，0）， 设平面 CEF 的法向量为， 所以，即， 可取， 显然平面 CAF
25、的一个法向量为， 因为，且二面角 ECFA 为锐二面角， 所以二面角 ECFA 余弦值为 20在且 2sin2B3sinAsinC，（sinAsinC） 2sin2BsinAsinC，ABC 的面积 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答 问题：在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且_ （1）求 sinB； （2）若 a2c，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 解：（1）若选， 2sin2B3sinAsinC， 2b23ac ， a2+c2+2ac3b2， ， 0B， 若选， （sinAsinC）2sin2BsinAsinC， （ac）2b2ac，b2a2+c
26、2ac， ， ， 故 若选， ， ， b2a2+c22accosB， a2+c2b22acosB， ， ，故 （2）ABC 的面积为， ac8，a2c， c2，a4， b2a2+c22accosB， ， 即， 故ABC 的周长为 21已知动点 M 到点 F（3，0）的距离比它到直线 l：x+50 的距离小 2 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程 （2）过点 F 作斜率为 k（k0）的直线 l与轨迹 E 交于点 A，B，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N， 证明：为定值 解：（1）由题意知，动点 M 到点 F（3，0）的距离与到直线 l1：x+30 距离相等， 由抛物线的定义知，动点
27、M 的轨迹 E 是以 F（3，0）为焦点，以直线 l1：x+30 为准线的抛物线 所以点 M 的轨迹 E 的方程为 y212x （2）证明：设直线 l：xty+3， 联立，得 y212ty360 设 A（x1，y1），B（x2，y2），G 为线段 AB 的中点， 则，所以 G（6t2+3，6t）， 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为 y6tt（x6t23），则 N（6t2+9，0） 所以|FN|6t2+936t2+6， ， 所以为定值 22已知函数 f（x）alnxx （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若不等式 f（x）（e1）xex对 x1，+）恒成立，求 a 的取值范围 解：（1
28、）函数 f（x）alnxx 的定义域为（0，+）， 且 若 a0，则当 0 xa 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，a）上单调递增， 当 xa 时，f（x）0，函数 f（x）在（a，+）上单调递减， 若 a0，函数 f（x）在（0，+）上单调递减， 综上：当 a0 时，函数 f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减， 当 a0 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递减 （2）不等式 f（x）（e1）xex在1，+）上恒成立， 即 alnx+exex0 恒成立， 设 g（x）alnx+exex， ， 令 h（x）g（x）， 则 当 a0 时，g（x）0 恒成立， 所以 f（x）单调递增， 所以 g（x）g（1）0， 即 a0 符合题意， 当 a0 时，h（x）0 恒成立， 所以 g（x）单调递增， 又因为 g（1）a0， ， 所以存在 x0（1，ln（ea），使得 g（x0）0， 且当 x（1，x0）时，g（x）0， 即 g（x）在（1，x0）上单调递减， 所以 g（x0）g（1）0，即 a0 不符合题意 综上，a 的取值范围为0，+）
