1、2020-2021 学年第一学期期末考试卷学年第一学期期末考试卷 高二理科数学高二理科数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹 清晰。 3请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸试题卷上的答题无效。 4保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，刮纸刀。 5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题：共选择题：共 l2
2、小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的。 1命题“xR ， 2 4cos0 xx”的否定为 AxR ， 2 4cos0 xx BxR ， 2 4cos0 xx CxR ， 2 4cos0 xx DxR ， 2 4cos0 xx 2若直线 1:2 540lxy与 2 l互相平行，且 2 l过点2,1，则直线 2 l的方程为 A52120 xy B2510 xy C5280 xy D2590 xy 3双曲线 22 :1 1615 xy C的焦点到渐近线的距离为 A1 B15
3、 C4 D31 4已知空间任意一点 和不共线的三点 A，B，C，若, ,ODmOAnOBpOC m n pR，则“A， B，C，D 四点共面”是“ 3 2 m ， 1 2 n ，1p ”的 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若圆 22 1: 2440Cxyxy，圆 22 2: 61020Cxyxy，则 1 C， 2 C的公切线条数为 A1 B2 C3 D4 6设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，现有如下命题： 若m，/mn，则n； 若m，/mn，/ /n，则； 若m，n，mn，则； 则正确命题的个数为 A0 B1 C2 D3 7下图中小正方形
4、的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 A 61 2 B 63 2 C 45 2 D 47 2 8已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为 F，过点 F 且斜率为 2 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，若 10MN ，则p A2 B3 C4 D5 9圆 22 :2C xy2 关于直线250 xy对称的圆的方程为 A 22 242xy B 22 242xy C 22 462xy D 22 462xy 10 如图所示， 在四面体 ABCD 中，ABC为等边三角形，1AB ， 1 2 CD ，60ACD，ABCD， 则BD A 3 2 B 7 2 C 5 2 D 3
5、 2 11已知正三棱柱 111 ABCABC，的体积为16 3，底面积为4 3，则三棱柱 111 ABCABC的外接球表 面积为 A112 3 B 56 3 C 224 3 D28 12已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F， 12 21,2 ii M FM Fa i， 且 1 M， 2 F， 2 M三点共线，点 D 在线段 21 M F上，且 1121 FM DM M D 11121 22M FM FM D， 则双曲线 C 的渐近线方程为 A 2 2 yx B2yx C 3 2 yx D3yx 二二、填空题：共填空题：共 4 小题，每小题
6、小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分。分。 13命题“若0 x，则 22 0 xy”的逆否命题为_ 14若直线 1:3 0lxy与 2: 40lxy交于点 A，且2,0B，则AB _ 15已知直线:310lxy 与抛物线 2 :3C yx交于 M，N 两点，O 为坐标原点，则OMN的面积为 _ 16已知正方体 1111 ABCDABC D的体积为 8，点 E，F 分别是线段 CD，BC 的中点，平面过点 1 A，E， F 且与正方体 1111 ABCDABC D形成一个截面图形，现有如下说法： 截面图形是一个六边形； 若点 I 在正方形 11 CDDC内（含边界位置） ，且I 平面，则
7、点 I 的轨迹长度为 2 13 3 ； 截面图形的周长为2 132； 则说法正确命题的序号为_ 三三、解答题：共解答题：共 6 小题，满分小题，满分 70 分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 17 （10 分） 已知圆台上、下底面的底面积分别为16，81，且母线长为 13 （1）求圆台的高； （2）求圆台的侧面积 18 （12 分） 如图所示，直棱柱 1111 ABCDABC D中，四边形 ABCD 为菱形，点 E 是线段 1 CC的中点 （1）求证： 1/ / AC平面 BDE； （2）求证： 1 BDAE 19 （12 分） 已知圆 C
8、 过点2, 3，0, 3，0, 1，点 A 在直线:40l kxy上 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 A 能够作直线 1 l， 2 l与圆 C 相切，切点分别为 M，N，若90MAN，求 k 的取值范围 20 （12 分） 已知命题:2,px ， 2 21290 xmx；命题 q：方程 22 1 2134 xy mm 表示焦点在 x 轴上 的椭圆 （1）若 q 为真，求实数 m 的取值范围； （2）若pq是假命题，pq是真命题，求实数 m 的取值范围 21 （12 分） 如图所示，四棱锥SABCD中，底面 ABCD 为矩形，SA平面 ABCD，45SDA，M，N， 分 别是 SA，AB，
9、SC 的中点，2ABAD （1）求直线 CM，BP 所成角的余弦值； （2）求直线 CN 与平面 DMN 所成角的正弦值 22 （12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 且过点 115 , 24 （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 M 到原点的距离为5，过点 M 的直线 1 l， 2 l与椭圆 C 均仅有弈公共点，分别记为 A，B， 求OAB面积的最大值 20202021 学年第一学期期末考试卷学年第一学期期末考试卷 高二理科数学参考答案高二理科数学参考答案 1 【答案】D 【解析】 全称命题的否定为特称命题， 故 “xR ， 2 4cos0 x
10、x” 的否定为 “xR ， 2 4cos0 xx” ， 故选 D 2 【答案】B 【解析】设直线 2:2 504lxy；将2,1 代入可得，1， 故直线 2:2 51=0lxy，故选 B 3 【答案】B 【解析】双曲线 22 :1 1615 xy C的焦点坐标为 31,0，渐近线方程为1540 xy， 故焦点到渐近线1540 xy的距离 3115 15 31 d ，故选 B 4 【答案】A 【解析】若 A，B，C，D 四点共面，则需1mnp， 故“A，B，C，D 四点共面”是“ 3 2 m ， 1 2 n ，1p ”的必要不充分条件，故选 A 5 【答案】B 【解析】依题意，圆 22 1: 1
11、29Cxy，圆心为1,2，半径为 3； 圆 22 2: 3536Cxy，圆心为3,5，半径为 6； 因为 12 49133,9CC ，故圆 1 C， 2 C相交，有 2 条公切线，故选 B 6 【答案】D 【解析】易知都正确，故选 D 7 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱拼接而成，故所求几何体的体积 11145 3 333 34 3222 V ，故选 C 8 【答案】C 【解析】方法一：设直线:2 2 p l yx ，联立 2 2, 2 2 ypx p yx ， 则 22 460 xpxp， 设 11 ,M x y， 22 ,N x y，故 12 3 2 p
12、xx， 故 12 5 10 2 p MNxxp，解得4p ，故选 C 方法二： 2 2 10 sin p MN Q（为直线 l 倾斜角） ， 2 4 tan2sin 5 ， 4p 9 【答案】A 【解析】设对称圆的方程为 22 +=2xayb，则 2, 50, 2 b a a b 解得 2 4 a b ， 故所求圆的方程为 22 2+4=2xy，故选 A 10 【答案】D 【解析】方法一：依题意， 2 2 BDBDBAACCD uuu ruuruuu ruuu r 222 3 222 2 BAACCDBA ACAC CDBA CD uuruuu ruuu ruur uuu ruuu r uuu
13、 ruur uuu r ，故选 D 方法二：1ACABQ， 1 2 CD ，60ACD， ADCD，CDAB，ABADA， CDBD， 3 1 2 BCBD 11 【答案】A 【解析】依题意， 1 16 3 4 4 3 AA ，而 2 3 4 3 4 AB ，解得4AB ， 记ABCV的中心为 ，则 24 3 2 3 33 AO ， 故 2 22 1 1628 4 233 AA RAO ， 故三棱柱 111 ABCABC的外接球表面积 2 28112 44 33 SR，故选 A 12 【答案】B 【解析】取 11 M F的中点 E，连接 DE， 2 DF， 由 11112 22MM FM DF
14、 uuuu ruuuu u ruuuu r ，可知四边形 12 M F DE为平行四边形； 又 1 M D为 112 FM F的角平分线，故四边形 21 M F DE为菱形， 又 21 / /DEM M故 D 为线段 21 M F的中点； 因为 211 / /DFM F，故 2 F为线段 21 M M的中点， 故 11221 M EEFEFF M； 而 12 M Mx轴，故 222 121112 FFM FM F， 故 22 2 442caa，故3 c e a ， 故双曲线 C 的渐近线方程为2yx ，故选 B 13 【答案】若 22 0 xy，则0 x 【解析】依题意，原命题的逆否命题为“若
15、 22 0 xy，则0 x” 14 【答案】10 【解析】联立 30, 40, xy xy 解得 1, 3, x y ，故1,3A， 则 22 1 20 310AB 15 【答案】 5 6 【解析】联立 2 3 , 31, yx xy ，则 2 10yy ，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 直线:310lxy 与 x 轴交于点 A，则 12 1yy， 12 1y y ， 故OMNV的面积 12 1115 14 2236 SOAyy 16 【答案】3 【解析】延长 EF，AD，交于点 ，连接 1 AP交 1 DD于点 G， 延长 EF，AB，交于点 Q，连接 1 AQ，交 1 BB
16、于点 H， 则五边形 1 EFHAG即为所求截面， 易知 G，H 分别是线段 1 DD和 1 BB的三等分点， 则 13 3 EGFH，即为点 I 的轨迹长度， 而 11 2 13 3 AGAH，则2EF ， 则五边形的周长为 132 13 2222 132 33 ，故对 17 【答案】见解析 【解析】 （1）依题意，圆台的上底面半径 1 4r ，下底面半径 2 9r ， 故圆台的高 2 2 139412h ； （2）圆台的侧面积4 139 13 169S 18 【答案】见解析 【解析】 （1）证明：如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OE； 因为 ，E 分别为线段 AC， 1 CC的
17、中点，故 1 / /OEAC， 而OE 平面 BDE， 1 AC 平面 BDE，故 1/ / AC平面 BDE； （2）证明：因为直棱柱 1111 ABCDABC D，故 1 CC 平面 ABCD， 又BD 平面 ABCD，所以 1 CCBD 因为 ABCD 是菱形，所以ACBD 又 1 ,ACCCC，AC 平面 11 ACC A， 1 CC 平面 11 ACC A， 所以BD 平面 11 ACC A 因为 1 AE 平面 11 ACC A，故 1 BDAE 19 【答案】见解析 【解析】 （1）设圆 C 的方程为 2222 040 xyDxEyFDEF， 则 13230 930 10 DEF
18、 EF EF ， 解得 2 4 3 D E F ，故圆 C 的方程为 22 122xy； （2）依题意，四边形 MANC 为正方形，所以2CA， 所以点 A 在以1, 2C为圆心，以 2 为半径的圆上 圆心 C 到直线:40l kxy的距离 2 2 1 k d k ， 故 2 2 2 1 k k ，故 2 22 1kk，两边同平方可得， 2 340kk，解得 4 3 k 或0k 20 【答案】见解析 【解析】 （1）若 q 为真，则 22 1 2143 xy mm ， 故 210 430 2143 m m mm ， 解得 3 1 4 m，故实数 m 的取值范围为 3 ,1 4 ； （2）若 p
19、 为真，则 2 21290 xmx， 故 2 2912xmx，则 9 212xm x ， 而 99 22 26 2xx xx ， 当且仅当 3 2 2 2 x 时等号成立； 故6 212m，故 2 2 m ； 若 p 真 q 假，则 3 1 4 2 2 mm m 或 ，则 2 2 m ， 若 p 假 q 真，则 3 1 4 2 2 m m ，则 3 1 4 m， 综上所述，实数 m 的取值范围为 23 ,1 24 21 【答案】见解析 【解析】 以A为原点， AB，AD，AS所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设2AD ， 则2 2AB ，2AS ， 故 2 2,2,0
20、C，0,0,1M， 2 2,0,0B， 2,1,1P， 2,0,0N，0,2,0D； （1）因为 2 2,2, 1MC uuu r ， 2,1,1BP uur ， 故直线 CM，BP 所成角的余弦值 3 13 cos 26 MC BP MCBP uuu r uur uuu ruur； （2）因为2, 2,0CN uuu r ，0, 2,1DM uuuu r ， 2,0, 1MN uuu r ， 设平面 DMN 的法向量, ,nx y z，则 0 0 n DM n MN uuuu r uuu r ， 取1x ，故 2 1,2 2 n ， 则直线 CN 与平面 DMN 所成角的正弦值 2 42 s
21、incos 21 CN n uuu r 22 【解析】 （1）依题意，得 22 222 115 1 416 3 2 ab abc c a ，解得 2 2 4 1 a b ， 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y （2）设点 11 ,A x y， 22 ,B x y，点 00 ,M x y在圆 22 5xy上运动； 设直线 MA，MB 的斜率分别为 1 k， 2 k 当直线 MA 的斜率存在时，设直线 MA 的方程为 111 ykxxy； 由 111 22 440 ykxxy xy ，消去 y 得 2 22 1111 111 1 1 48440kxkyk x xyk x 则 22 22
22、111 1111 1 644 1 444kyk xkyk x ， 令0 ，整理得， 222 1111 11 4210 xkx y ky ， 又 2 2 1 1 1 4 x y，所以 2 11 44xy， 2 2 1 1 1 4 x y 代入上式得 2 1 3 111 1 4220 4 x y kx y k，即 2 1 1 1 20 2 x y k ， 所以 1 1 1 11 2 24 x x k yy ， 故直线 MA 的方程为 1 1 1 4 1 x yxx y ，化简可得， 1 1 1 4 x x y y， 经检验，当直线 MA 的斜率不存在时， 直线 MA 的方程为2x或2x也满足 1
23、1 1 4 x x y y； 同理，直线 MB 的方程为 2 2 1 4 x x y y； 因为 00 ,M x y在直线 MA、MB 上， 故 10 10 1 4 x x y y， 20 20 1 4 x x y y， 故直线 AB 的方程为 0 0 1 4 x x y y； 当 0 0y ，直线 AB 的方程为 4 5 x 或 4 5 x ， 代入椭圆方程解得 2 5 AB ， 此时三角形面积 1244 2555 OAB S， 当0y ，联立 0 0 22 1, 4 44, x x y y xy ，消去 y， 得 222 000 35816 160yxx xy， 故 0 12 2 0 8
24、35 x xx y ， 2 0 12 2 0 16 16 35 y x x y ， 故 2 0 12 2 0 1 16 x ABxx y 2222 2 0000 0 222 2 00 0 644 35 16 162 5 31 155 1635 35 xyyy y yy y ； 又点 到直线 AB 的距离 222 000 44 165 31 d xyy ， 故 2 2 0 0 22 2 00 0 2 5 31 4 3114 23535 5 31 OAB y y S yy y V ， 令 2 0 31yt ，1,4t，则 2 44 1 4 4 OAB t S t t t V ， 当且仅当2t 时等号成立 则OABV的面积的最大值为 1
