浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上期末数学试卷(含答案解析)

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1、2020-2021 学年浙江省杭州市七县市高二(上)期末数学试卷学年浙江省杭州市七县市高二(上)期末数学试卷 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1倾斜角为的直线的方程可以是( ) Ax10 By10 Cxy0 Dx+y20 2直线 l1:ax4y+20 与直线 l2:xay10 平行,则 a 的值为( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da1 3圆 x2+y2+2ax20 的圆心坐标和半径长依次为( ) A ,a B,a C,|a| D,|a| 4“nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5

2、已知直线 a,b,平面 ,下列命题( ) 若 ab,a,则 b;若 ,a,则 a; 若 a,a,则 ;若 a,则 a 其中真命题是( ) A B C D 6如图,三棱台 ABCA1B1C1的下底面是正三角形,且 ABBB1,B1C1BB1,则二面角 ABB1C 的大 小是( ) A30 B45 C60 D90 7圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径,则圆锥与球的表面积之比是( ) A B C D 8椭圆 26 的短轴长为( ) A10 B12 C24 D26 9一动圆与两圆 x2+y24,(x4)2+y21 都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A抛物线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 10一个

3、几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A4 B8 C12 D14 11已知实数 x,y 满足 x|x|+1,则|x+y4|的取值范围是( ) A B C D 12如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,将DAE,EBF,FCD 分别沿 DE,EF,FD 折起,使得 A,B,C 三点重合于点 A,若点 G 及四面体 ADEF 的四个顶点都在同一个球 面上,则以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 6 小题)小题). 13已知点 A(1,1),直线 l:x2y+20,则点 A 到

4、直线 l 的距离是 ;过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程是 14 椭圆的焦点 F1 , F2的坐标是 ; 以 F1, F2为焦点, 且离心率 的双曲线方程是 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 ;面对角线 BC1与体对 角面 ACC1A1所成角的大小是 16设 F1、F2为双曲线左、右焦点,点 A 在双曲线 C 上,若 AF1AF2,且AF1F230, 则 b 17设动点 P 在直线 x+y20 上,若在圆 O:x2+y23 上存在点 M,使得OPM60,则点 P 横坐标 的取值范围是 18假设太阳光线垂直于平面 ,在阳光下任意转动单位立方

5、体,则它在平面 上的投影面面积的最大值 是 三、解答题(共三、解答题(共 4 小题)小题). 19已知抛物线 C:y22px 上的点 A(2,m)(m0)到准线的距离为 4 (1)求 p,m 的值; (2)已知 O 为原点,点 B 在抛物线 C 上,若AOB 的面积为 8,求点 B 的坐标 20如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1中,若 AB,ADDC试证明: (1)AB1面 BC1D; (2)AB1BC1 21在底面是菱形的四棱锥 SABCD 中,已知 ABAS,BS4,过 D 作侧面 SAB 的垂线,垂足 O 恰为棱 BS 的中点 (1)证明在棱 AD 上存在一点 E,使得 OE侧面 SB

6、C,并求 DE 的长; (2)求二面角 BSCD 的平面角的余弦值 22椭圆 E:的离心率为,焦距为 2 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设 G(m,n)是椭圆 E 上的动点,过原点 O 作圆 G:(xm)2+(yn)2的两条斜率存在的 切线分别与椭圆 E 交于点 A,B,求|OA|+|OB|的最大值 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1倾斜角为的直线的方程可以是( ) Ax10 By10 Cxy0 Dx+y20 解:由于倾斜角为的直线和 x 轴垂直, 故选:A 2直线 l1:ax4y+20 与直线 l2:xay10 平行,则 a 的值为( ) Aa2

7、 Ba2 Ca2 Da1 解:直线 l1:ax4y+20 与直线 l2:xay10 平行, ,求得 a2, 故选:B 3圆 x2+y2+2ax20 的圆心坐标和半径长依次为( ) A ,a B,a C,|a| D,|a| 解:根据题意,圆 x2+y2+2ax20,即(x+a)2+(ya)2a2, 其圆心为(a,a),半径 r|a|, 故选:D 4“nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:若 nm0,则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线, 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 n0 且 m0, 所以“

8、nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”充分不必要条件 故选:A 5已知直线 a,b,平面 ,下列命题( ) 若 ab,a,则 b;若 ,a,则 a; 若 a,a,则 ;若 a,则 a 其中真命题是( ) A B C D 解:若 ab,a,由线面垂直的性质定理可得 b,故正确; 若 ,a,由线面垂直和面面平行的性质可得 a,故正确; 若 a,可得过 a 的平面 与 的交线 b 平行于 a, 由 a,可得 b,又 b,则 ,故正确; 若 a, 可得 a 或 a,故错误 故选:A 6如图,三棱台 ABCA1B1C1的下底面是正三角形,且 ABBB1,B1C1BB1,则二面角 ABB1C 的大

9、 小是( ) A30 B45 C60 D90 解:根据棱台的几何性质可知,A1B1AB,B1C1BC, 因为 ABBB1,B1C1BB1, 则 B1BCC1四点共面, 所以 BB1BC, 则ABC 即为二面角 ABB1C 的平面角, ABC 为等边三角形,故ABC60 故选:C 7圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径,则圆锥与球的表面积之比是( ) A B C D 解:设球的直径为 2R,则圆锥的底面半径为 R,母线长为 2R, 因为圆锥的额侧面展开图是扇形, 故扇形的半径为母线长 2R,扇形的弧长就是圆锥的底面周长为 2R, 故扇形的面积为, 即圆锥的侧面积为 2R2, 所以圆锥的表面积为

10、2R2+R23R2, 球的表面积为 4R2, 所以圆锥与球的表面积之比是 故选:C 8椭圆 26 的短轴长为( ) A10 B12 C24 D26 解:因为椭圆26, 故其焦点为(3,4)和(3,4),且 2a26, 故 2c10, a13,c5, b12, 短轴长为 2b24, 故选:C 9一动圆与两圆 x2+y24,(x4)2+y21 都外切,则动圆圆心的轨迹是( ) A抛物线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 解:设动圆的圆心为 P,半径为 r, 而圆 x2+y24 的圆心为 O(0,0),半径为 2; 圆(x4)2+y21 的圆心为 F(2,0),半径为 1 依题意得|PF|1+r,|

11、PO|2+r, 则|PO|PF|(2+r)(1+r)1|FO|2, 所以点 P 的轨迹是双曲线的一支 故选:D 10一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A4 B8 C12 D14 解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为四棱锥体, 如图所示: 故 V 故选:C 11已知实数 x,y 满足 x|x|+1,则|x+y4|的取值范围是( ) A B C D 解:因为实数 x,y 满足 x|x|+1, 当 x0,y0 时,方程为,图象为椭圆在第一象限的部分, 当 x0,y0 时,方程为,图象为双曲线在第一象限的部分, 当 x0,y0 时,方程为,图象为双曲线在第一象限的部分,

12、 当 x0,y0 时,方程为,图象不存在, 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示, 根据双曲线的方程可得,两条双曲线的渐近线都是, 令 zx+y4,即直线为 y与渐近线平行, 当 z 最大时,为图中的情况,即直线与椭圆相切, 联立方程组,可得, 当直线与椭圆相切时,则有, 解得, 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分, 故, 当 z 最小时,恰在图中的位置,且取不到这个最小值, 此时 y,故 z4, 综上可得,z 的取值范围为, 所以|z|的取值范围为,即|x+y4|的取值范围是 故选:B 12如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,将DAE,EBF,FCD

13、 分别沿 DE,EF,FD 折起,使得 A,B,C 三点重合于点 A,若点 G 及四面体 ADEF 的四个顶点都在同一个球 面上,则以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为( ) A B C D 解:因为 ADAE,BEBF,FCDC, 所以折叠以后可以让 AEF 作为三棱锥的底面,DA为三棱锥的高, 则 ADAE,AEAF,AFAD, 所以 AD,AE,AF 两两垂直, 将三棱锥放入以 AD,AE,AF 为相邻三条棱的长方体中, 则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线, 因为 AD4,AE2,AF2, 所以外接球的半径 R, 在DEF 中,cosDEF, 所以 sinDE

14、F, DEF 外接圆的半径为 r,则有, 所以, 故球心 O 到DEF 外心的距离为, 所以以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为 故选:A 二、填空题(本题有二、填空题(本题有 6 小题,小题,1315 题每空题每空 3 分,分,1618 题每空题每空 4 分,共分,共 30 分)分) 13已知点 A(1,1),直线 l:x2y+20,则点 A 到直线 l 的距离是 ;过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程是 2x+y10 解:已知点 A(1,1),直线 l:x2y+20, 则点 A 到直线 l 的距离是 d; 点 A 为(1,1),垂直于直线 l 的直线方程斜率为2, 故

15、过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程为 y+12(x1), 即 2x+y10 14椭圆的焦点 F1,F2的坐标是 (5,0) ;以 F1,F2为焦点,且离心率 的双曲线方 程是 解:由椭圆的方程可得:a249,b224,所以 c, 故椭圆的焦点坐标为(5,0); 在双曲线中,由已知可得 c5,且离心率 e, 所以 a4,则 b2c2a225169, 故双曲线的方程为:, 故答案为:(5,0), 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中,棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 45 ;面对角线 BC1与体 对角面 ACC1A1所成角的大小是 30 解:设正方体的棱长为 2, 在正方体 AB

16、CDA1B1C1D1中,棱 AA1BB1, 则B1BC 即为棱 AA1与面对角线 BC1所成的角, 在 RtB1BC 中, , 所以B1BC45, 故棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 45; 连结 AC 与 BD 交于点 O,则 BOAC, 又 A1A平面 ABCD,BO平面 ABCD, 所以 BOAA1,又 AA1,AC 是体对角面 ACC1A1内两条相交直线, 所以 BO平面 ACC1A1, 则BC1O 即为面对角线 BC1与体对角面 ACC1A1所成的角, 在 RtBOC1中, , 所以 sinBC1O, 故面对角线 BC1与体对角面 ACC1A1所成的角为 30 16设 F1

17、、F2为双曲线左、右焦点,点 A 在双曲线 C 上,若 AF1AF2,且AF1F230, 则 b 解:可设 A 在双曲线的右支上,|AF1|m,|AF2|n, 在直角三角形 AF1F2中,AF1F230,|F1F2|2 , 可得 m2,n2 , 由双曲线的定义可得 mn22, 即 2 24, 解得 b12+8, 故答案为:12+8 17设动点 P 在直线 x+y20 上,若在圆 O:x2+y23 上存在点 M,使得OPM60,则点 P 横坐标 的取值范围是 0,2 解:如图, 动点 P 在直线 x+y20 上,当 PM 与圆相切时,OPM 最大, |OM|,OPM60,|OP|2,设 P(x,

18、y), 则|OP|,把 y2x 代入,可得 x2+(2x)24, 即 x22x0,解得 x0 或 x2 点 P 横坐标的取值范围是0,2 故答案为:0,2 18假设太阳光线垂直于平面 ,在阳光下任意转动单位立方体,则它在平面 上的投影面面积的最大值 是 解:设正方体为 ABCDABCD投影最大时候,是投影面 与平面 ABC 平行, 三个面的投影为三个全等的菱形, 其对角线为, 即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形, 如图所示, 所以投影的面积2SABC2a 故答案是: 三、解答题(本题有三、解答题(本题有 4 小题,共小题,共 54 分分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)解答应写

19、出文字说明,证明过程或演算步骤) 19已知抛物线 C:y22px 上的点 A(2,m)(m0)到准线的距离为 4 (1)求 p,m 的值; (2)已知 O 为原点,点 B 在抛物线 C 上,若AOB 的面积为 8,求点 B 的坐标 解:(1)由抛物线的方程可得准线方程 x, 依抛物线的性质得,所以 p4, 将 A(2,m)代入 y28x,得 m4 所以 p,m 的值分别为 4,4; (2)设 B(2t2,4t),直线 OA 的方程为 2xy0, 则点 B 到直线 OA 的距离,又, 由题意得,解得 t1 或 t2, 所以点 B 的坐标是(2,4)或(8,8) 20如图,在正三棱柱 ABCA1B

20、1C1中,若 AB,ADDC试证明: (1)AB1面 BC1D; (2)AB1BC1 【解答】证明:(1)连 B1C 交 BC1于点 E,连 DE, 则在AB1C 中,D,E 是中点, 所以 AB1DE, 又 AB1平面 BC1D, 所以 AB1面 BC1D; (2)方法一:取 BC 中点 F,连 AF,B1F,由正三棱柱的性质知 AF侧面 BCC1B1, 所以 AFBC1, 在侧面 BCC1B1中,F 是中点,则 RtBB1C1RtFBB1, 所以 BC1B1F, 由知 BC1面 AB1F,所以 BC1AB1 方法二:在正三棱柱中,由于, 可得, 所以, , 所以,AB1BC1 21在底面是

21、菱形的四棱锥 SABCD 中,已知 ABAS,BS4,过 D 作侧面 SAB 的垂线,垂足 O 恰为棱 BS 的中点 (1)证明在棱 AD 上存在一点 E,使得 OE侧面 SBC,并求 DE 的长; (2)求二面角 BSCD 的平面角的余弦值 解:(1)连接 AO, ABAS,O 是 BS 的中点,BSAO, DO面 ABS,DOBS, 又 AODOO,AO、DO平面 AOD,BS平面 AOD, 过 O 作 OEAD 于 E,则 OEBC, OE平面 AOD,BSOE, 又 BCBSB,BC、BS平面 SBC, OE面 SBC, 在 RtAOD 中,AO1,DO2, SAODAODO ADEO

22、, EO, DE (2)以 O 为原点,OA,OB,OD 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(0,2,0),S(0,2,0),D(0,0,2), (1,0,2), 由(1)知, E , EO平面 SBC, 平面 SBC 的一个法向量, 设平面 SCD 的一个法向量是,则,即, 令 y1,则 x2,z1, , 由图可知,二面角 BSCD 所成的角为钝角, 故二面角 BSCD 的平面角的余弦值为 22椭圆 E:的离心率为,焦距为 2 (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设 G(m,n)是椭圆 E 上的动点,过原点 O 作圆 G:(xm)2+(yn)2的两条斜率存在的 切线分别与椭圆 E 交于点 A,B,求|OA|+|OB|的最大值 解:(1),所以,b1, 所以椭圆 E 的标准方程为 (2)设圆的切线 OA(OB)的方程为 ykx, 则, 整理得(34m2)k2+8mnk+34n20,其两根 k1,k2满足 这里 k1kOA,k2kOB,且 设 A(x1,kx1),B(x2,kx2),则 , 这里, 所以, 由得 k1k2, 则, 所以,当且仅当|OA|OB|时取等号 即

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