1、2020-2021 学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市七县市高二（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1倾斜角为的直线的方程可以是（ ） Ax10 By10 Cxy0 Dx+y20 2直线 l1：ax4y+20 与直线 l2：xay10 平行，则 a 的值为（ ） Aa2 Ba2 Ca2 Da1 3圆 x2+y2+2ax20 的圆心坐标和半径长依次为（ ） A ，a B，a C，|a| D，|a| 4“nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5
2、已知直线 a，b，平面 ，下列命题（ ） 若 ab，a，则 b；若 ，a，则 a； 若 a，a，则 ；若 a，则 a 其中真命题是（ ） A B C D 6如图，三棱台 ABCA1B1C1的下底面是正三角形，且 ABBB1，B1C1BB1，则二面角 ABB1C 的大 小是（ ） A30 B45 C60 D90 7圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（ ） A B C D 8椭圆 26 的短轴长为（ ） A10 B12 C24 D26 9一动圆与两圆 x2+y24，（x4）2+y21 都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ） A抛物线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 10一个
3、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 B8 C12 D14 11已知实数 x，y 满足 x|x|+1，则|x+y4|的取值范围是（ ） A B C D 12如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，将DAE，EBF，FCD 分别沿 DE，EF，FD 折起，使得 A，B，C 三点重合于点 A，若点 G 及四面体 ADEF 的四个顶点都在同一个球 面上，则以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题）小题）. 13已知点 A（1，1），直线 l：x2y+20，则点 A 到
4、直线 l 的距离是 ；过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程是 14 椭圆的焦点 F1 ， F2的坐标是 ； 以 F1， F2为焦点， 且离心率 的双曲线方程是 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 ；面对角线 BC1与体对 角面 ACC1A1所成角的大小是 16设 F1、F2为双曲线左、右焦点，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1AF2，且AF1F230， 则 b 17设动点 P 在直线 x+y20 上，若在圆 O：x2+y23 上存在点 M，使得OPM60，则点 P 横坐标 的取值范围是 18假设太阳光线垂直于平面 ，在阳光下任意转动单位立方
5、体，则它在平面 上的投影面面积的最大值 是 三、解答题（共三、解答题（共 4 小题）小题）. 19已知抛物线 C：y22px 上的点 A（2，m）（m0）到准线的距离为 4 （1）求 p，m 的值； （2）已知 O 为原点，点 B 在抛物线 C 上，若AOB 的面积为 8，求点 B 的坐标 20如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AB，ADDC试证明： （1）AB1面 BC1D； （2）AB1BC1 21在底面是菱形的四棱锥 SABCD 中，已知 ABAS，BS4，过 D 作侧面 SAB 的垂线，垂足 O 恰为棱 BS 的中点 （1）证明在棱 AD 上存在一点 E，使得 OE侧面 SB
6、C，并求 DE 的长； （2）求二面角 BSCD 的平面角的余弦值 22椭圆 E：的离心率为，焦距为 2 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 G（m，n）是椭圆 E 上的动点，过原点 O 作圆 G：（xm）2+（yn）2的两条斜率存在的 切线分别与椭圆 E 交于点 A，B，求|OA|+|OB|的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1倾斜角为的直线的方程可以是（ ） Ax10 By10 Cxy0 Dx+y20 解：由于倾斜角为的直线和 x 轴垂直， 故选：A 2直线 l1：ax4y+20 与直线 l2：xay10 平行，则 a 的值为（ ） Aa2
7、 Ba2 Ca2 Da1 解：直线 l1：ax4y+20 与直线 l2：xay10 平行， ，求得 a2， 故选：B 3圆 x2+y2+2ax20 的圆心坐标和半径长依次为（ ） A ，a B，a C，|a| D，|a| 解：根据题意，圆 x2+y2+2ax20，即（x+a）2+（ya）2a2， 其圆心为（a，a），半径 r|a|， 故选：D 4“nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若 nm0，则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 n0 且 m0， 所以“
8、nm0”是“方程表示焦点在 y 轴上的双曲线”充分不必要条件 故选：A 5已知直线 a，b，平面 ，下列命题（ ） 若 ab，a，则 b；若 ，a，则 a； 若 a，a，则 ；若 a，则 a 其中真命题是（ ） A B C D 解：若 ab，a，由线面垂直的性质定理可得 b，故正确； 若 ，a，由线面垂直和面面平行的性质可得 a，故正确； 若 a，可得过 a 的平面 与 的交线 b 平行于 a， 由 a，可得 b，又 b，则 ，故正确； 若 a， 可得 a 或 a，故错误 故选：A 6如图，三棱台 ABCA1B1C1的下底面是正三角形，且 ABBB1，B1C1BB1，则二面角 ABB1C 的大
9、 小是（ ） A30 B45 C60 D90 解：根据棱台的几何性质可知，A1B1AB，B1C1BC， 因为 ABBB1，B1C1BB1， 则 B1BCC1四点共面， 所以 BB1BC， 则ABC 即为二面角 ABB1C 的平面角， ABC 为等边三角形，故ABC60 故选：C 7圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（ ） A B C D 解：设球的直径为 2R，则圆锥的底面半径为 R，母线长为 2R， 因为圆锥的额侧面展开图是扇形， 故扇形的半径为母线长 2R，扇形的弧长就是圆锥的底面周长为 2R， 故扇形的面积为， 即圆锥的侧面积为 2R2， 所以圆锥的表面积为
10、2R2+R23R2， 球的表面积为 4R2， 所以圆锥与球的表面积之比是 故选：C 8椭圆 26 的短轴长为（ ） A10 B12 C24 D26 解：因为椭圆26， 故其焦点为（3，4）和（3，4），且 2a26， 故 2c10， a13，c5， b12， 短轴长为 2b24， 故选：C 9一动圆与两圆 x2+y24，（x4）2+y21 都外切，则动圆圆心的轨迹是（ ） A抛物线 B椭圆 C双曲线 D双曲线的一支 解：设动圆的圆心为 P，半径为 r， 而圆 x2+y24 的圆心为 O（0，0），半径为 2； 圆（x4）2+y21 的圆心为 F（2，0），半径为 1 依题意得|PF|1+r，|
11、PO|2+r， 则|PO|PF|（2+r）（1+r）1|FO|2， 所以点 P 的轨迹是双曲线的一支 故选：D 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 B8 C12 D14 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示： 故 V 故选：C 11已知实数 x，y 满足 x|x|+1，则|x+y4|的取值范围是（ ） A B C D 解：因为实数 x，y 满足 x|x|+1， 当 x0，y0 时，方程为，图象为椭圆在第一象限的部分， 当 x0，y0 时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分， 当 x0，y0 时，方程为，图象为双曲线在第一象限的部分，
12、 当 x0，y0 时，方程为，图象不存在， 在同一坐标系中作出函数的图象如图所示， 根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线都是， 令 zx+y4，即直线为 y与渐近线平行， 当 z 最大时，为图中的情况，即直线与椭圆相切， 联立方程组，可得， 当直线与椭圆相切时，则有， 解得， 又因为椭圆的图象只有第一象限的部分， 故， 当 z 最小时，恰在图中的位置，且取不到这个最小值， 此时 y，故 z4， 综上可得，z 的取值范围为， 所以|z|的取值范围为，即|x+y4|的取值范围是 故选：B 12如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，将DAE，EBF，FCD
13、 分别沿 DE，EF，FD 折起，使得 A，B，C 三点重合于点 A，若点 G 及四面体 ADEF 的四个顶点都在同一个球 面上，则以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为（ ） A B C D 解：因为 ADAE，BEBF，FCDC， 所以折叠以后可以让 AEF 作为三棱锥的底面，DA为三棱锥的高， 则 ADAE，AEAF，AFAD， 所以 AD，AE，AF 两两垂直， 将三棱锥放入以 AD，AE，AF 为相邻三条棱的长方体中， 则三棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线， 因为 AD4，AE2，AF2， 所以外接球的半径 R， 在DEF 中，cosDEF， 所以 sinDE
14、F， DEF 外接圆的半径为 r，则有， 所以， 故球心 O 到DEF 外心的距离为， 所以以DEF 为底面的三棱锥 GDEF 的高 h 的最大值为 故选：A 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，小题，1315 题每空题每空 3 分，分，1618 题每空题每空 4 分，共分，共 30 分）分） 13已知点 A（1，1），直线 l：x2y+20，则点 A 到直线 l 的距离是 ；过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程是 2x+y10 解：已知点 A（1，1），直线 l：x2y+20， 则点 A 到直线 l 的距离是 d； 点 A 为（1，1），垂直于直线 l 的直线方程斜率为2， 故
15、过点 A 且垂直于直线 l 的直线方程为 y+12（x1）， 即 2x+y10 14椭圆的焦点 F1，F2的坐标是 （5，0） ；以 F1，F2为焦点，且离心率 的双曲线方 程是 解：由椭圆的方程可得：a249，b224，所以 c， 故椭圆的焦点坐标为（5，0）； 在双曲线中，由已知可得 c5，且离心率 e， 所以 a4，则 b2c2a225169， 故双曲线的方程为：， 故答案为：（5，0）， 15在正方体 ABCDA1B1C1D1中，棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 45 ；面对角线 BC1与体 对角面 ACC1A1所成角的大小是 30 解：设正方体的棱长为 2， 在正方体 AB
16、CDA1B1C1D1中，棱 AA1BB1， 则B1BC 即为棱 AA1与面对角线 BC1所成的角， 在 RtB1BC 中， ， 所以B1BC45， 故棱 AA1与面对角线 BC1所成角的大小是 45； 连结 AC 与 BD 交于点 O，则 BOAC， 又 A1A平面 ABCD，BO平面 ABCD， 所以 BOAA1，又 AA1，AC 是体对角面 ACC1A1内两条相交直线， 所以 BO平面 ACC1A1， 则BC1O 即为面对角线 BC1与体对角面 ACC1A1所成的角， 在 RtBOC1中， ， 所以 sinBC1O， 故面对角线 BC1与体对角面 ACC1A1所成的角为 30 16设 F1
17、、F2为双曲线左、右焦点，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1AF2，且AF1F230， 则 b 解：可设 A 在双曲线的右支上，|AF1|m，|AF2|n， 在直角三角形 AF1F2中，AF1F230，|F1F2|2 ， 可得 m2，n2 ， 由双曲线的定义可得 mn22， 即 2 24， 解得 b12+8， 故答案为：12+8 17设动点 P 在直线 x+y20 上，若在圆 O：x2+y23 上存在点 M，使得OPM60，则点 P 横坐标 的取值范围是 0，2 解：如图， 动点 P 在直线 x+y20 上，当 PM 与圆相切时，OPM 最大， |OM|，OPM60，|OP|2，设 P（x，
18、y）， 则|OP|，把 y2x 代入，可得 x2+（2x）24， 即 x22x0，解得 x0 或 x2 点 P 横坐标的取值范围是0，2 故答案为：0，2 18假设太阳光线垂直于平面 ，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面 上的投影面面积的最大值 是 解：设正方体为 ABCDABCD投影最大时候，是投影面 与平面 ABC 平行， 三个面的投影为三个全等的菱形， 其对角线为， 即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形， 如图所示， 所以投影的面积2SABC2a 故答案是： 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 4 小题，共小题，共 54 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答应写
19、出文字说明，证明过程或演算步骤） 19已知抛物线 C：y22px 上的点 A（2，m）（m0）到准线的距离为 4 （1）求 p，m 的值； （2）已知 O 为原点，点 B 在抛物线 C 上，若AOB 的面积为 8，求点 B 的坐标 解：（1）由抛物线的方程可得准线方程 x， 依抛物线的性质得，所以 p4， 将 A（2，m）代入 y28x，得 m4 所以 p，m 的值分别为 4，4； （2）设 B（2t2，4t），直线 OA 的方程为 2xy0， 则点 B 到直线 OA 的距离，又， 由题意得，解得 t1 或 t2， 所以点 B 的坐标是（2，4）或（8，8） 20如图，在正三棱柱 ABCA1B
20、1C1中，若 AB，ADDC试证明： （1）AB1面 BC1D； （2）AB1BC1 【解答】证明：（1）连 B1C 交 BC1于点 E，连 DE， 则在AB1C 中，D，E 是中点， 所以 AB1DE， 又 AB1平面 BC1D， 所以 AB1面 BC1D； （2）方法一：取 BC 中点 F，连 AF，B1F，由正三棱柱的性质知 AF侧面 BCC1B1， 所以 AFBC1， 在侧面 BCC1B1中，F 是中点，则 RtBB1C1RtFBB1， 所以 BC1B1F， 由知 BC1面 AB1F，所以 BC1AB1 方法二：在正三棱柱中，由于， 可得， 所以， ， 所以，AB1BC1 21在底面是
21、菱形的四棱锥 SABCD 中，已知 ABAS，BS4，过 D 作侧面 SAB 的垂线，垂足 O 恰为棱 BS 的中点 （1）证明在棱 AD 上存在一点 E，使得 OE侧面 SBC，并求 DE 的长； （2）求二面角 BSCD 的平面角的余弦值 解：（1）连接 AO， ABAS，O 是 BS 的中点，BSAO， DO面 ABS，DOBS， 又 AODOO，AO、DO平面 AOD，BS平面 AOD， 过 O 作 OEAD 于 E，则 OEBC， OE平面 AOD，BSOE， 又 BCBSB，BC、BS平面 SBC， OE面 SBC， 在 RtAOD 中，AO1，DO2， SAODAODO ADEO
22、， EO， DE （2）以 O 为原点，OA，OB，OD 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A（1，0，0），B（0，2，0），S（0，2，0），D（0，0，2）， （1，0，2）， 由（1）知， E ， EO平面 SBC， 平面 SBC 的一个法向量， 设平面 SCD 的一个法向量是，则，即， 令 y1，则 x2，z1， ， 由图可知，二面角 BSCD 所成的角为钝角， 故二面角 BSCD 的平面角的余弦值为 22椭圆 E：的离心率为，焦距为 2 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 G（m，n）是椭圆 E 上的动点，过原点 O 作圆 G：（xm）2+（yn）2的两条斜率存在的 切线分别与椭圆 E 交于点 A，B，求|OA|+|OB|的最大值 解：（1），所以，b1， 所以椭圆 E 的标准方程为 （2）设圆的切线 OA（OB）的方程为 ykx， 则， 整理得（34m2）k2+8mnk+34n20，其两根 k1，k2满足 这里 k1kOA，k2kOB，且 设 A（x1，kx1），B（x2，kx2），则 ， 这里， 所以， 由得 k1k2， 则， 所以，当且仅当|OA|OB|时取等号 即
