1、2020-2021 学年宁夏固原市隆德县高二（上）期末数学试卷（理科）学年宁夏固原市隆德县高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中（ ） A真命题与假命题的个数相同 B真命题的个数一定是奇数 C真命题的个数一定是偶数 D真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2若命题“pq”为假，则（ ） Apq 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 p、q 的真假 3已知 a 是实数，则“a1”是“a2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 4下列命题：有一个 x
2、使 x2+2x+10 成立；当 x 取全体实数时，方程 x2+2x+10 成立；对任意的 x 都有 x2+2x+10 不成立；存在 x 使 x2+2x+10 成立 其中是全称命题的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D0 个 5双曲线 9x2y281 的渐近线方程为（ ） A By3x C Dy9x 6已知| |1，| |，且（ ）和 垂直，则 与 的夹角为（ ） A60 B30 C45 D135 7若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 10，焦距为 6，则椭圆的方程（ ） A+ 1 B+ 1 C+1 或 +1 D以上都不对 8抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是（ ）
3、A B C1 D 9已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A + B+ C + D 10设 （x，4，3）， （3，2，z），且 ，则 xz 等于（ ） A4 B9 C9 D 11设平面 内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是 （ ） A（1，2，5） B（1，1，1） C（1，1，1） D（1，1，1） 12若“1x3”是“（xa）x（a+4）0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，1 B0，1 C（，12，+） D（，1）（0，+） 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13抛物线的焦点到准线的距离是 14已知
4、正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 AA1、BB1的中点，求 CM 与 D1N 所成角的余 弦值 15已知方程表示双曲线，则 的取值范围为 16已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若由向量确定的点 P 与 A， B，C 共面，那么 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知椭圆的中心在坐标原点， 长轴在 x 轴上， 离心率为， 其长轴长为 12 F1、 F2为椭圆的左右焦点， 过 F2的直线与椭圆交于 P、Q 两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）求PQF1
5、的周长 18已知 （1）若，求实数 m 的值： （2）若 m2，求的值 19在三棱锥 PABC 中，已知 PC平面 ABC，ABBCCAPC，求二面角 BAPC 的余弦值 20已知曲线 C 的方程为 y24x，直线 l 过定点 P（2，1），斜率为 k （1）若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点，求实数 k 的值； （2）在（1）的条件下，求直线 l 的方程 21如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC1平面 CDB1 22在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0，），（0，）的距离之和
6、为 4，设点 P 的轨迹为 C，直 线 ykx+1 与 A 交于 A，B 两点 （1）写出 C 的方程； （2）若，求 k 的值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中（ ） A真命题与假命题的个数相同 B真命题的个数一定是奇数 C真命题的个数一定是偶数 D真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 解：互为逆否命题的命题逻辑值相同， 一个命题与它们的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中， 原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否， 所以真命题的个数可能为 0，2，4，一定是偶数， 故选：C 2若命题“pq
7、”为假，则（ ） Apq 为假 Bq 假 Cq 真 D不能判断 p、q 的真假 解：若命题“pq”为假，则 p，q 至少有一个为假，则不能判断 p、q 的真假， 故选：D 3已知 a 是实数，则“a1”是“a2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既不充分也不必要条件 D充要条件 解：由（2，+）（1，+）， 得“a1”是“a2”的必要不充分条件， 故选：B 4下列命题：有一个 x 使 x2+2x+10 成立；当 x 取全体实数时，方程 x2+2x+10 成立；对任意的 x 都有 x2+2x+10 不成立；存在 x 使 x2+2x+10 成立 其中是全称命题的有（ ） A1 个 B
8、2 个 C3 个 D0 个 解：对于，有一个 x 使 x2+2x+10 成立，是特称命题，不是全称命题，所以不是； 对于，当 x 取全体实数时，方程 x2+2x+10 成立，由定义知，是全称命题，所以是； 对于，对任意的 x 都有 x2+2x+10 不成立，由定义知，是全称命题，所以是； 对于，存在 x 使 x2+2x+10 成立，是特称命题，不是全称命题，所以不是； 故选：B 5双曲线 9x2y281 的渐近线方程为（ ） A By3x C Dy9x 解：双曲线 2x23y21 即 ， a3，b9，焦点在 x 轴上， 故渐近线方程为 yx3x， 故选：B 6已知| |1，| |，且（ ）和
9、垂直，则 与 的夹角为（ ） A60 B30 C45 D135 解：设向量 与 的夹角为 ，0180， （ ）和 垂直， （ ）0， 11cos0， 解得 cos，45 故选：C 7若椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 10，焦距为 6，则椭圆的方程（ ） A+ 1 B+ 1 C+1 或 +1 D以上都不对 解：椭圆的对称轴是坐标轴，长轴长为 10，焦距为 6， 可得 a5，c3，则 b4，所以椭圆方程为+1 或+1 故选：C 8抛物线 y24x 的焦点到双曲线 x21 的渐近线的距离是（ ） A B C1 D 解：抛物线方程为 y24x 2p4，可得1，抛物线的焦点 F（1，0） 又双曲线的方程
10、为 a21 且 b23，可得 a1 且 b ， 双曲线的渐近线方程为 y，即 yx， 化成一般式得： 因此，抛物线 y24x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d 故选：B 9已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A + B+ C + D 解：空间向量， +，故 A 错误； +，故 B 正确； +，故 C 错误； +，故 D 错误 故选：B 10设 （x，4，3）， （3，2，z），且 ，则 xz 等于（ ） A4 B9 C9 D 解：， 由 则存在实数 使 即（x，4，3）（3，2，z） 即 解得 2 故 x6，z 故 xz9 故选：B 11设平面 内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（1，
11、1，2），则下列向量中是平面的法向量的是 （ ） A（1，2，5） B（1，1，1） C（1，1，1） D（1，1，1） 解：（1，1，1）（1，2，1）1+210，（1，1，1）（1，1，2）1+120， 向量（1，11）是此平面的法向量 故选：B 12若“1x3”是“（xa）x（a+4）0”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，1 B0，1 C（，12，+） D（，1）（0，+） 解：因为（xa）x（a+4）0，所以 axa+4， 而“1x3”是“（xa）x（a+4）0”的充分不必要条件， 所以，即1a1 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小
12、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13抛物线的焦点到准线的距离是 5 解：抛物线的标准方程为：y210 x， 所以 p5， 所以抛物线的焦点到准线的距离是 5 故答案为：5 14已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，M、N 分别为 AA1、BB1的中点，求 CM 与 D1N 所成角的余 弦值 解：如图，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，0），C（2，2，0），M（0，0，1），N（2，0，1）， D1（0，2，2） （2，2，1），（2，2，1） cos， 异面直线所成的角范围为（0， CM 与 D1N 所成角的余弦值为 故答案为 15已知方程表示双曲线，则 的取值
13、范围为 （，2）（1，+） 解：由题意知（2+）（1+）0， 解得 1 或 2 故 的范围是 1 或 2 故答案为：（，2）（1，+） 16已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若由向量确定的点 P 与 A， B，C 共面，那么 解：由题意 A，B，C 三点不共线，点 O 是平面 ABC 外一点， 若由向量确定的点 P 与 A，B，C 共面， 解得 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 已知椭圆的中心在坐标原点， 长轴在 x 轴上， 离心率为， 其长轴长为 12 F1、 F
14、2为椭圆的左右焦点， 过 F2的直线与椭圆交于 P、Q 两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）求PQF1的周长 解：（1）由已知可得：， 解得 a6，b3， 所以椭圆的方程为： （2）由椭圆的定义可得： |PF1|+|PF2|2a12，且|QF1|+|QF2|2a12， 所以三角形 PQF1的周长为|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|24 18已知 （1）若，求实数 m 的值： （2）若 m2，求的值 解：（1）因为， 所以 +2 3 （6，3，73m）（6，3，1）， 所以 73m1，解得 m2 （2）若 m2，则 （0，0，2）， + （2，0，5）， 所以（2，3，1）（2，0
15、，5）9 19在三棱锥 PABC 中，已知 PC平面 ABC，ABBCCAPC，求二面角 BAPC 的余弦值 解：在三棱锥 PABC 中，已知 PC平面 ABC，设 ABBCCAPC2， 取 AC 的中点 D，连接 BD，取 PA 的中点 E，取 AE 的中点 F， 则：BDAC，又已知 PC平面 ABC， 所以：PCBD 所以：BD平面 PAC BDPA DFPA 所以：PA平面 BDF 所以：BFD 是二面角 BAPC 的平面角 解得：BD，DF，BF 利用余弦定理： 所以：二面角 BAPC 的余弦值为 20已知曲线 C 的方程为 y24x，直线 l 过定点 P（2，1），斜率为 k （1
16、）若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点，求实数 k 的值； （2）在（1）的条件下，求直线 l 的方程 解：（1）当 k0 时，直线 l 的方程为 y1，此时直线与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点， 当 k0 时，设直线 l 的方程为：y1k（x+2）， 联立方程，消去 x 整理可得：ky24y+4+8k0， 因为曲线 C 与直线 l 只有一个公共点， 则164k（4+8k）0，解得 k1 或， 综上，曲线 C 与直线 l 只有一个公共点实数 k 的取值集合为0，1，； （2）当 k0 时，直线 l 的方程为：y1， 当 k1 时，直线 l 的方程为：y1（x+2），即 x+y+10，
17、 当 k时，直线 l 的方程为：y1（x+2），即 x2y+40 21如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点 D 是 AB 的中点 （1）求证：ACBC1； （2）求证：AC1平面 CDB1 【解答】（本题满分为 14 分） 解：（1）ABCA1B1C1为直三棱柱， CC1平面 ABC，AC平面 ABC， CC1AC AC3，BC4，AB5， AB2AC2+BC2， ACCB 又 C1CCBC， AC平面 C1CB1B，又 BC1平面 C1CB1B， ACBC1 （2）设 CB1BC1E， C1CBB1为平行四边形， E 为 C1B 的中点 又 D 为 A
18、B 中点， AC1DE DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1， AC1平面 CDB1 22在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（0，），（0，）的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为 C，直 线 ykx+1 与 A 交于 A，B 两点 （1）写出 C 的方程； （2）若，求 k 的值 解：（1）设 P（x，y），由椭圆定义可知， 点 P 的轨迹 C 是以（0，），（0，）为焦点，长半轴为 2 的椭圆 它的短半轴 b1， 故曲线 C 的方程为 x2+1 （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 其坐标满足， 消去 y 并整理得（k2+4）x2+2kx30， 故 x1+x2 ，x1x2 ， 若，即 x1x2+y1y20 而 y1y2k2x1x2+k（x1+x2）+1， 于是 x1x2+y1y2 +10， 化简得4k2+10，所以 k
