1、2020-2021 学年山西省朔州市怀仁市高一（上）期末数学试卷学年山西省朔州市怀仁市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知全集 Ux|x|2，集合 Px|log2x1，则UP（ ） A（2，0 B（2，1 C（0，1） D1，2） 2下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是单调递增的是（ ） Aycosx Bye |x| Cyln|x| Dyx3 3非空数集 Aa1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为 E（A），即 E（A） 若非空数集 B 满足下列两个条件： BA； E（B）E（A），则称 B 为 A 的一个“保均值子集” 据
2、此，集合1，2，3，4，5的“保均值子集”有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 4以下四个命题中，正确的是（ ） A在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B C若 是第二象限的角，则 sin20 D第四象限的角可表示为 5已知实数 a，b 满足 2a3，3b2，则函数 f（x）ax+xb 的零点所在的区间是（ ） A（2，1） B（1，0） C（0，1） D（1，2） 6若 sin（），则 cos（ +2）（ ） A B C D 7函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 8 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的偶函数， 且在 （， 0） 上单调递增， 设 a
3、f （log45） ， cf（0.20.5），则 a，b，c 的大小关系（ ） Acba Bbac Cbca Dabc 9已知 2+5cos2cos，cos（2+），（0，），（，2），则 cos 的值为（ ） A B C D 10函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，|）的部分图象如图所示，为得到 的图象，可以将函数 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 11已知函数 在区间上是增函数， 且在区间（0，）上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ） A B C D 12已知函数 f（x）|log3（x1）|（）x
4、1 有 2 个不同的零点 x1、x2，则（ ） Ax1 x 21 Bx1 x 2x1+x2 Cx1 x 2x1+x2 Dx1 x 2x1+x2 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题）. 13已知，（0，），则 sin2 14已知函数，若 f（x）的最小值为 f（2），则实数 a 的取值范围是 15设 x1满足 2x+lnx3，x2满足 ln（1x）2x1，则 x1+x2 16 设 f （x） ， 方程 f （x） m 有四个不相等的实根 xi（i1， 2， 3， 4） ， 则 x1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 2 的取值范围为 三解答题三解答题 17已知函数 h（x）（m25m+1
5、）xm+1为幂函数，且为奇函数 （1）求 m 的值； （2）求函数在的值域 18（1）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点，求 的值； （2）求值 19已知函数 （1）求 f（x）的定义域与最小正周期及对称轴； （2）求函数 f（x）在上的值域； （3）讨论 f（x）在区间上的单调性 20 （1）已知函数 g（x）（a+1） x2+1（a0）的图象恒过定点 A，且点 A 又在函数 （x+a） 的图象上，求不等式 g（x）3 的解集； （2）已知1x1，求函数+2 的最大值和最小值 21已知函数是奇函数 （1）若函数，x（1，1），求； （2）在条件（1）下，若 g
6、（m）g（n），其中 m，n（1，1），试比较 m，n 的大小 （3）当时，不等式 f（x）+t24x+2t 恒成立，求 t 的取值范围 22某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形 ABCD 草坪如图所示，已知：AB120 米， 米， 拟在这块草坪内铺设三条小路 OE， EF 和 OF， 要求点 O 是 AB 的中点， 点 E 在边 BC 上， 且EOF90 （1）设BOE，试求OEF 的周长 l 关于 的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为 300 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总 费用 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选
7、择题（共 12 小题）小题）. 1已知全集 Ux|x|2，集合 Px|log2x1，则UP（ ） A（2，0 B（2，1 C（0，1） D1，2） 解：全集 Ux|x|2（2，2），集合 Px|log2x1（0，2） UP（2，0 故选：A 2下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是单调递增的是（ ） Aycosx Bye |x| Cyln|x| Dyx3 解：根据余弦函数的性质可知，ycosx 在（0，+）上不单调，不符合题意； 当 x0 时，ye|x|ex在（0，+）上单调递减，不符合题意； 当 x0 时，yln|x|lnx 在（0，+）上单调递增，且 yln|x|为偶函数，符合题意； y
8、x3为奇函数，不符合题意 故选：C 3非空数集 Aa1，a2，a3，an（nN*）中，所有元素的算术平均数记为 E（A），即 E（A） 若非空数集 B 满足下列两个条件： BA； E（B）E（A），则称 B 为 A 的一个“保均值子集” 据此，集合1，2，3，4，5的“保均值子集”有（ ） A5 个 B6 个 C7 个 D8 个 解：非空数集 A1，2，3，4，5中，所有元素的算术平均数 E（A）3， 集合 A 的“保均值子集”有：3，1，5，2，4，3，1，5，3，2，4，1，5，2，4，1，2， 3，4，5共 7 个； 故选：C 4以下四个命题中，正确的是（ ） A在定义域内，只有终边相同
9、的角的三角函数值才相等 B C若 是第二象限的角，则 sin20 D第四象限的角可表示为 解：对于 A：在定义域内，终边不相同的角的三角函数值可能相等，故 A 错误； 对于 B：，故 B 错误； 对于 C：若 是第二象限的角，所以 2（4k+，4k+2），则 sin20，故 C 正确； 对于 D 第四象限角可表示为：，故 D 错误； 故选：C 5已知实数 a，b 满足 2a3，3b2，则函数 f（x）ax+xb 的零点所在的区间是（ ） A（2，1） B（1，0） C（0，1） D（1，2） 解：实数 a，b 满足 2a3，3b2， alog231，0blog321， 函数 f（x）ax+xb
10、， f（x）（log23）x+xlog32 单调递增， f（0）1log320 f（1）log321log3210， 根据函数的零点判定定理得出函数 f（x）ax+xb 的零点所在的区间（1，0）， 故选：B 6若 sin（），则 cos（ +2）（ ） A B C D 解：cos（+）， cos2（+）2cos2（+）121 故选：D 7函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 解：函数的定义域为x|x0 且 x1， f（x）f（x），则函数为奇函数，图象关于原点对称， 当 x1 时，f（x）0，排除 B，C， 当 0 x1 时，ln|x|0，则 f（x）0，排除 A， 故选：D 8
11、 已知函数 f （x） 是定义在 R 上的偶函数， 且在 （， 0） 上单调递增， 设 af （log45） ， cf（0.20.5），则 a，b，c 的大小关系（ ） Acba Bbac Cbca Dabc 解：f（x）是定义在 R 上的偶函数，在（，0）上单调递增， f（x）在（0，+）上单调递减，且 bf（log23）， ，00.20.50.201， ， ，即 bac 故选：B 9已知 2+5cos2cos，cos（2+），（0，），（，2），则 cos 的值为（ ） A B C D 解：因为 2+5cos22+5（2cos21）cos， 整理可得：10cos2cos30， 解得 cos
12、，或， 又因为， 所以 cos，可得 sin， ， 可得 cos22cos21，sin22sincos ， 因为， 所以 2+（2，2+）， 故 sin（2+）， 所以 coscos（2+）2cos（2+）cos2+sin（2+）sin2（）+ 故选：B 10函数 f（x）Asin（x+） （其中 A0，|）的部分图象如图所示，为得到 的图象，可以将函数 f（x）的图象（ ） A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 解：由函数 f（x）Asin（x+）（其中 A0，|）的图象， 可得 A1，即 求得 2， f（）sin（2+）1， 即 sin（+
13、）1， +2k，kZ， 即 +2k，kZ， |， ， f（x）2sin（2x+）由图可知， ， 所以把 f（x）的图象向右平移个单位得到 g（x）的图象 故选：D 11已知函数 在区间上是增函数， 且在区间（0，）上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ） A B C D 解：知函数， sinx1+cos（x）， sinx（1+sinx）sin2x， sinx， 令（kZ），整理得 x（kZ）， 由于在区间（0，）上函数恰好取得一次最大值， 所以， 解得 令（kZ）， 解得（kZ）， 由于函数在区间上是增函数， 故，解得 综上所述： 故选：A 12已知函数 f（x）|log3（x1）|（）x
14、1 有 2 个不同的零点 x1、x2，则（ ） Ax1 x 21 Bx1 x 2x1+x2 Cx1 x 2x1+x2 Dx1 x 2x1+x2 解：f（x）|log3（x1）|（）x1 有两个零点 x1，x2， 即 y|log3（x1）|与 y3x+1 有两个交点 由题意 x0，分别画 y3x+1 和 y|log3（x1）|的图象， 发现在（1，2）和（2，+）有两个交点 不妨设 x1在（1，2）里 x2在（2，+）里， 那么 在（1，2）上有 1+3x1log3（x11）， 即13x1log3（x11） 在（2，+）上有 1+3x2log3（x21） 、相加有 3x23x1log3（x11）
15、（x21）， x2x1，3 x2 3 x1，即 3x2 3 x10， log3（x11）（x21）0， 0（x11）（x21）1，x1x2x1+x2， 故选：D 二填空题二填空题 13已知，（0，），则 sin2 解：，两边平方得：sin2+2sincos+cos21+sin2， sin2 故答案为： 14已知函数，若 f（x）的最小值为 f（2），则实数 a 的取值范围是 解：函数， 当 x1 时，则有， 当且仅当 x2 时取等号，此时 f（x）minf（2）4+a， 当 x1 时，f（x）x22ax+9（xa）2+9a2， 因为 f（x）的最小值为 f（2）4+a， 当 a1 时，则有 f
16、（1）122a+94+a，解得 1a2； 当 a1 时，则有 9a24+a，解得； 综上可得，实数 a 的取值范围是 故答案为： 15设 x1满足 2x+lnx3，x2满足 ln（1x）2x1，则 x1+x2 1 解：根据题意，2x1+lnx13，ln（1x2）2x21， 令 1x2t，则 2t+lnt3， f（x）2x+lnx 在（0，+）上单调递增， tx1， x1+x21 故答案为：1 16 设 f （x） ， 方程 f （x） m 有四个不相等的实根 xi（i1， 2， 3， 4） ， 则 x1 2+x 2 2+x 3 2+x 4 2 的取值范围为 （20，20.5） 解：2x4 时，
17、f（x）f（4x）， f（x）在（2，4）与（0，2）上的图象关于 x2 对称 做出图象如右：不防令 x1x2x3x4， 可得 x1+x4x2+x34，lnx1lnx2，x1x21 ， x12+x22+x32+x42 ，x2（1，2）， 令 则原式化为：， 其对称轴 t2，开口向上，故 h（t）在（2，）递增， 20h（t）20.5， x12+x22+x32+x42的取值范围是（20，20.5） 故答案为：（20，20.5） 三解答题三解答题 17已知函数 h（x）（m25m+1）xm+1为幂函数，且为奇函数 （1）求 m 的值； （2）求函数在的值域 解：（1）函数 h（x）（m25m+1）
18、xm+1为幂函数， m25m+11，解得 m0 或 5， 当 m0 时，h（x）x 是奇函数，符合题意， 当 m5 时，h（x）x6是偶函数，不符合题意， 所以 m 的值为 0 （2）由（1）可得 g（x）x+， 令 t，则 x， ，012x3， 0 ， g（t）+t （0）， g（t）在0，1上单调递增，在1，上单调递减， g（t）maxg（1）1， 又g（0），g（），g（t）min， 函数在的值域为，1 18（1）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点，求 的值； （2）求值 解：（1）由题意得：， ， ， ， ， （2） 19已知函数 （1）求 f（x）的定
19、义域与最小正周期及对称轴； （2）求函数 f（x）在上的值域； （3）讨论 f（x）在区间上的单调性 解：（1）， ，即函数的定义域为， 则 ， 则函数的周期，对称轴为； （2）， 当时， ， 函数 f（x）的值域为； （3）由， 得， 即函数的增区间为， 当 k0 时，增区间为， ，此时， 由， 得， 即函数的减区间为， 当 k1 时，减区间为， ，此时， 即在区间上，函数的减区间为，增区间为 20 （1）已知函数 g（x）（a+1） x2+1（a0）的图象恒过定点 A，且点 A 又在函数 （x+a） 的图象上，求不等式 g（x）3 的解集； （2）已知1x1，求函数+2 的最大值和最小值
20、解：（1）由题意知定点 A 的坐标为（2，2） 2，解得 a1 g（x）2x2+1 由 g（x）3 得，2x2+13 2x22， x21， x3 不等式 g（x）3 的解集为（3，+）； （2）由11 得x2，令 t，则t， y4t24t+24（t）2+1 当 t，即，x1 时，ymin1， 当 t，即，x2 时，ymax 21已知函数是奇函数 （1）若函数，x（1，1），求； （2）在条件（1）下，若 g（m）g（n），其中 m，n（1，1），试比较 m，n 的大小 （3）当时，不等式 f（x）+t24x+2t 恒成立，求 t 的取值范围 解：（1）f（x）为奇函数，f（x）+f（x）0，
21、， x2（a21）0 在给定定义域上恒成立，a21，a1，a1， 奇函数， ， （2）由（1）知， 下面考察函数的单调性 对于在（1，1）单调递增， 故在（1，1）单调递减； 设，则 y在单调递减， 故 y在（1，1）单调递减， ，在 x（1，1）单调递减， g（m）g（n），m，n（1，1），mn （3）不等式 f（x）+t24x+2t 恒成立，只需 ， 令 h（x）f（x）4x，则 h（x）， 则 h（x）在上单调递减， 32tt2，t3 或 t1， t 的取值范围为（，1）（3，+） 22某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形 ABCD 草坪如图所示，已知：AB120 米， 米
22、， 拟在这块草坪内铺设三条小路 OE， EF 和 OF， 要求点 O 是 AB 的中点， 点 E 在边 BC 上， 且EOF90 （1）设BOE，试求OEF 的周长 l 关于 的函数解析式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为 300 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总 费用 解：（1）由题意，在 RtBOE 中，OB60，B90，BOE， OE，RtAOF 中，OA60，A90，AFO，OF 又EOF90，EF， 所以 lOE+OF+EF+， 即 l 当点 F 在点 D 时，这时角 最小，求得此时 ； 当点 E 在 C 点时，这时角 最大，求得此时 故此函数的定义域为 （2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求OEF 的周长 l 的最小值即可 由（1）得，l， 设 sin+cost，则 sincos， l 由 ，得+，得t， t11， 从而+1+1，当 ，即 BE60 时，lmin120（+1）， 答：当 BEAF60 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 36 000（+1）元
