1、2020-2021 学年学年成都市蓉城名校联盟高二上成都市蓉城名校联盟高二上期末数学试卷（文科）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题）. 1命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命 题中真命题的个数为（ ） A0 B2 C3 D4 2袋中装有大小和材质均相同的红球 4 个，黄球 2 个，白球 1 个，从中随机取出一个球，记事件A为“取 出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是（ ） A不互斥但对立 B不互斥也不对立 C互斥且对立 D互斥但不对立 3命题“x2，x 2+x6”的否定是（ ） A
2、x2，x 2+x6 Bx02，x0 2+x 06 Cx2，x 2+x6 Dx02，x0 2+x 06 4平面内有两个定点A、B和一个动点M，|AB|5，|MA|+|MB|a（a为常数）若p表示“a6”，q表 示“点M的轨迹是椭圆”则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若方程x 2+y2+2x4ay5a0 表示圆，则下列四个数中 a不能取的是（ ） A1 B2 C1 D2 6某校高二年级有 980 名同学，编号为 1 到 980，采用系统抽样的方法从中抽出 49 人，已知被抽出的编号 中有一个为 22，则下列编号中没有被抽中的是（ ） A82
3、 B202 C372 D562 7圆M：（x+2） 2+y216 与圆 N：（x4） 2+（y+8）236 的位置关系为（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 8从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字为偶数”，事件B为“抽 取的数字为 3 的倍数”，则事件A+B发生的概率为（ ） A B C D 9已知抛物线x 22ay 的焦点在直线 3x+2y60 上，则a（ ） A3 B4 C6 D2 10 把点M随机投入长为5， 宽为4的矩形ABCD内， 则点M与矩形ABCD四边的距离均不小于1的概率为 （ ） A B C D 11已知曲线y与直线xmy+5 只
4、有一个交点，则实数m的值为（ ） A B C D 12已知椭圆M：+1 的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作y轴的平行线交椭圆M于A、B两点，O 为坐标原点，双曲线N以F1、F2为顶点，以直线OA、OB为渐近线，则双曲线N的焦距为（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题）. 13执行如图所示的程序框图，输出的s的值是 14为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系，有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平 均市场价格的情况，得到如表中的数据： 商品猪存栏量（千万头） 2.5 2.6 3.1 3.2 3.6 猪肉平均市场价格 （元/千克） 70 68 52 49 36 根据这组数据
5、，得到了该省猪肉的平均市场价格y（元/千克）关于商品猪存栏量x（千万头）的线性回 归方程为 31x+ ，则 15已知抛物线y 25x 上一点Q（m，n）到焦点的距离为，则m+|n| 16已知圆C：（x2） 2+（y5）24 的圆心为 C，T为直线x2y20 上的动点，过点T作圆C的切 线，切点为M，则的最小值为 三、解答题（共 6 小题）. 17（10 分）已知命题p：x1，2，2 xm0，命题 q：方程1 表示双曲线 （1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题pq为真，且pq为假，求实数m的取值范围 18（12 分）已知圆C经过点（2，5），（5，2），（2，1） （1）求圆
6、C的方程； （2）设点P（x，y）在圆C上运动，求（x+2） 2+（y+1）2的最大值与最小值 19（12 分）2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都市举行，成都市某大学为了解该校大学生每 天的体育锻炼情况， 在全体大学生中随机抽取了 200 名学生， 对他们每天的体育锻炼时间 （单位： 分钟） 进行统计，由此得到频率分布直方图（如图） （1）求t的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数； （3）若要从每天体育锻炼时间在40，50），50，60）的两组学生中，采用分层抽样的方法选取 5 人了 解他们的锻炼方式，再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿
7、者，求抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内 的概率 20（12 分）已知椭圆C：1（ab0）的左焦点为F，点F到直线x+y+10 的距离为，点 P是椭圆上的一动点，|PF|的最大值为 2+2 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为T（1，1），求直线l的方程 21（12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到点（0，2）的距离与到直线y2 的距离相等 （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）经过点（0，3）作任一直线l与轨迹E相交于A、B两点，过A点作直线y3 的垂线，垂足为C 点，求证：B、O、C三点共线 22（12 分）已知椭圆C：1（ab0）
8、的右焦点为（，0），点P（2，1）在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l是圆M：x 2+y21 的一条切线，且直线 l与椭圆C相交于点M、N，求MON面积的最大值 参考答案参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命 题中真命题的个数为（ ） A0 B2 C3 D4 解：命题“若两条直线平行，则这两条直线在同一个平面内”为真命题，故逆否命题为真命题， 逆命题：若两条直线在同一个平面内，则这两条直线平行为假命题，故否命题为假， 原命题、否命题、逆否命题，这四个命题中真命题的个数 2 故选：B 2袋
9、中装有大小和材质均相同的红球 4 个，黄球 2 个，白球 1 个，从中随机取出一个球，记事件A为“取 出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，则下列关于事件A和事件B的关系说法正确的是（ ） A不互斥但对立 B不互斥也不对立 C互斥且对立 D互斥但不对立 解：取出一个球不能即是红球又是黄球， 故A与B不能同时发生，A，B互斥， 又因为袋中还有白球， 故A与B互斥但不对立， 故选：D 3命题“x2，x 2+x6”的否定是（ ） Ax2，x 2+x6 Bx02，x0 2+x 06 Cx2，x 2+x6 Dx02，x0 2+x 06 解：因为命题是：“x2，x 2+x6”， 所以它的否定是：x02，
10、x0 2+x 06 故选：B 4平面内有两个定点A、B和一个动点M，|AB|5，|MA|+|MB|a（a为常数）若p表示“a6”，q表 示“点M的轨迹是椭圆”则p是q的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：因为|AB|5，且|MA|+|MB|a（a为常数）， 所以要使点M的轨迹为椭圆，则a5， 所以“a6”是“点M的轨迹是椭圆”的充分不必要条件 故选：A 5若方程x 2+y2+2x4ay5a0 表示圆，则下列四个数中 a不能取的是（ ） A1 B2 C1 D2 解：方程x 2+y2+2x4ay5a0 表示圆，即方程（x+1）2+（y2a）24a2+
11、5a+1 表示圆， 4a 2+5a+10 恒成立，a1，或 a， 故选：A 6某校高二年级有 980 名同学，编号为 1 到 980，采用系统抽样的方法从中抽出 49 人，已知被抽出的编号 中有一个为 22，则下列编号中没有被抽中的是（ ） A82 B202 C372 D562 解：间隔为20， 又 120+222， 故首次抽到的号码是 002 号，以后每隔 20 个号抽到一个学生， 82420+2，2021020+2，3721820+12，5622820+2， 则 372 没有被抽中， 故选：C 7圆M：（x+2） 2+y216 与圆 N：（x4） 2+（y+8）236 的位置关系为（ ）
12、A外离 B外切 C相交 D内切 解：根据题意，圆M：（x+2） 2+y216，其圆心 M为（2，0），半径R4， 圆N：（x4） 2+（y+8）236，其圆心 M为（4，8），半径R6， 圆心距|MN|10，有|MN|R+r， 两圆外切， 故选：B 8从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字为偶数”，事件B为“抽 取的数字为 3 的倍数”，则事件A+B发生的概率为（ ） A B C D 解：从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中随机抽取一个，记事件A为“抽取的数字为偶数”， 事件B为“抽取的数字为 3 的倍数”， 基本事件总数n7， A+B包含的基
13、本事件有 2，3，4，6，共 4 个， 事件A+B发生的概率为P 故选：D 9已知抛物线x 22ay 的焦点在直线 3x+2y60 上，则a（ ） A3 B4 C6 D2 解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为：（0，）， 代入直线方程：30+260，解得a6， 故选：C 10 把点M随机投入长为5， 宽为4的矩形ABCD内， 则点M与矩形ABCD四边的距离均不小于1的概率为 （ ） A B C D 解：把点M随机投入长为 5，宽为 4 的矩形ABCD内， 则点M与矩形ABCD四边的距离均不小于 1 的区域是： 以矩形ABCD的中心为中心，且长为 3，宽为 2 的小矩形， 点M与矩形ABCD
14、四边的距离均不小于 1 的概率为： P 故选：A 11已知曲线y与直线xmy+5 只有一个交点，则实数m的值为（ ） A B C D 解：由y，得x 2+y29（y0） 将xmy+5 代入x 2+y29（y0）中，可得（m2+1）y2+10my+160， 曲线y与直线xmy+5 只有一个交点， 100m 264（m2+1）0， ， 9x 20，x3，3， 当时，xmy+55 与x3，3矛盾， 故选：B 12已知椭圆M：+1 的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作y轴的平行线交椭圆M于A、B两点，O 为坐标原点，双曲线N以F1、F2为顶点，以直线OA、OB为渐近线，则双曲线N的焦距为（ ） A
15、B C D 解：由椭圆M：+1，得a 24，b23， 则c，F1（1，0），F2（1，0）， 把x1 代入+1，得y，得A（1，），B（1，）， ， 则双曲线N的渐近线方程为y， 又F1、F2为双曲线N的顶点，双曲线的实半轴长为 1， 则双曲线的虚半轴长为，双曲线N的半焦距， 双曲线N的焦距为 故选：C 二、填空题（共 4 小题）. 13执行如图所示的程序框图，输出的s的值是 122 解：模拟程序的运行，可得 i1，s1 执行循环体，s2，i2 不满足条件i5，执行循环体，s5，i3 不满足条件i5，执行循环体，s14，i4 不满足条件i5，执行循环体，s41，i5 不满足条件i5，执行循环体
16、，s122，i6 此时，满足条件i5，退出循环，输出s的值为 122 故答案为：122 14为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系，有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平 均市场价格的情况，得到如表中的数据： 商品猪存栏量（千万头） 2.5 2.6 3.1 3.2 3.6 猪肉平均市场价格 （元/千 克） 70 68 52 49 36 根据这组数据，得到了该省猪肉的平均市场价格y（元/千克）关于商品猪存栏量x（千万头）的线性回 归方程为 31x+ ，则 148 解：根据表中数据，计算 （2.5+2.6+3.1+3.2+3.6）3， （70+68+52+49+36）55， 代入线性回归
17、方程 31x+ 中， 得 +31 55+313148 故答案为：148 15已知抛物线y 25x 上一点Q（m，n）到焦点的距离为，则m+|n| 10 解：抛物线y 25x 上一点Q（m，n），可得：n 25m， 可得准线方程为x，焦点F（，0）， 由抛物线的性质到焦点的距离为， 可得|QF|m+，所以m5， 所以|n|5， m+|n|10， 故答案为：10 16已知圆C：（x2） 2+（y5）24 的圆心为 C，T为直线x2y20 上的动点，过点T作圆C的切 线，切点为M，则的最小值为 16 解：由已知，圆心坐标是（2，5），半径是 2，如图， ， 又M是切点，在方向上的投影就是线段CM代表
18、的数量，故4 是个定值， 故当CT取到最小值时，取到最小值，即CT是圆心到直线的垂线段时取到最小值 又直线x2y20，故圆到直线的距离是， 所以的最小值是， 故答案为：16 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10 分）已知命题p：x1，2，2 xm0，命题 q：方程1 表示双曲线 （1）若命题q为假命题，求实数m的取值范围； （2）若命题pq为真，且pq为假，求实数m的取值范围 解：（1）因为命题q为假命题，则q为真命题， 所以（4m）（m+2）0，解得m4 或m2， 故实数m的取值范围为m|m4 或m2； （2）命题p：x1，2，2
19、xm0， 即m2 x对x1，2恒成立，只需 m（2 x） min， 所以m2； 因为命题pq为真，且pq为假， 所以p、q一真一假， 则有或， 解得实数m的取值范围为m|m4 或2m2 18（12 分）已知圆C经过点（2，5），（5，2），（2，1） （1）求圆C的方程； （2）设点P（x，y）在圆C上运动，求（x+2） 2+（y+1）2的最大值与最小值 解：（1）圆C经过点（2，5），（5，2），（2，1）， 设圆C的方程为 x 2+y2+dx+ey+f0，把 ABC三点的坐标代入，可得 ， 求得，可得圆C的方程为 x 2+y24x4y10，即 （x2）2+（y2）29， 表示以C（2，2）
20、为圆心，半径等于 3 的圆 （2）由题意可得C（2，2）， 而（x+2） 2+（y+1）2的表示圆上的点 P到点M（2，1）的距离的平方， CM5， 故（x+2） 2+（y+1）2的最大值为（CM+3）264， （x+2） 2+（y+1）2的最小值为（CM3）24 19（12 分）2021 年第 31 届世界大学生夏季运动会将在成都市举行，成都市某大学为了解该校大学生每 天的体育锻炼情况， 在全体大学生中随机抽取了 200 名学生， 对他们每天的体育锻炼时间 （单位： 分钟） 进行统计，由此得到频率分布直方图（如图） （1）求t的值； （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的
21、平均数； （3）若要从每天体育锻炼时间在40，50），50，60）的两组学生中，采用分层抽样的方法选取 5 人了 解他们的锻炼方式，再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿者，求抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内 的概率 解：（1）由频率分布直方图得： （t+4t+6t+4t+3t+2t）101， 解得t0.005 （2）根据频率分布直方图，估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数为： 350.00510+450.0210+550.0310+650.0210+750.01510+850.011060 （3）要从每天体育锻炼时间在40，50），50，60）的两组学生中， 用分层抽样的方法选取
22、5 人了解他们的锻炼方式， 则从每天体育锻炼时间在40，50）的学生中抽取：52 人， 从每天体育锻炼时间在50，60）的学生中抽取：53 人， 再从这 5 人中随机抽取 2 人做志愿者， 基本事件总数n10， 抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内包含的基本事件个数m4， 抽取的 2 人每天体育锻炼时间在同一组内的概率P 20（12 分）已知椭圆C：1（ab0）的左焦点为F，点F到直线x+y+10 的距离为，点 P是椭圆上的一动点，|PF|的最大值为 2+2 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为T（1，1），求直线l的方程 解：（1）设椭圆C的左焦
23、点F（c，0）， 由题意可得，解得a，c2，则b 2a2c24 椭圆C的方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， 两式作差可得：， 即，可知直线l的斜率为， 则直线l的方程为y1（x+1），即x2y+30 21（12 分）已知在平面直角坐标系xOy中，动点P到点（0，2）的距离与到直线y2 的距离相等 （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）经过点（0，3）作任一直线l与轨迹E相交于A、B两点，过A点作直线y3 的垂线，垂足为C 点，求证：B、O、C三点共线 【解答】（1）解：由抛物线的定义，可知动点P的轨迹是以（0，2）为焦点，以y2 为准线的抛物 线， 则抛物线方程x 2
24、8y； （2）证明：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）， 依题意得， 由直线l与轨迹E相交于A、B两点，可得直线l的斜率存在，设直线方程为ykx+3， 联立，得x 28kx240， 可得x1+x28k，x1x224， 由题意得，C（x1，3）， ， kOBkOC，即B、O、C三点共线 22（12 分）已知椭圆C：1（ab0）的右焦点为（，0），点P（2，1）在椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）直线l是圆M：x 2+y21 的一条切线，且直线 l与椭圆C相交于点M、N，求MON面积的最大值 解：（1）由题意可得，解得a 26，b23 椭圆C的方程为； （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1， 此时O到MN的距离为 1，|MN|，； 当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx+m， 由，得m 2k2+1 联立，得（1+2k 2）x2+4kmx+2m260 ， O到MN的距离d1 令t1+2k 2（t1），则 SOMN， 当，即k时， 综上，MON面积的最大值为
