1、 广东省广东省 2021 届高三数学八省联考考前模拟仿真模拟卷届高三数学八省联考考前模拟仿真模拟卷 一、单选题(本题共 8 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1 已知集合14AxNx， 2 560BxR xx ， 2 9Cx x ， 则( )ABC （ ） A2,3 B 3,2,3 C 3,3 D 3,2,3,4 2设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则 1 2 z z （ ） A1i B 34 55 i C 4 1 5 i D 4 1 3 i 3命题 p： “3 5m”是命题q： “曲线 22 1 35 xy mm ”表示双曲线”的（ ） A充要
2、条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4设0,0,lg2ab是lg4a与lg2b的等差中项，则 21 ab 的最小值为（ ） A2 2 B3 C9 D3 2 5已知 1 sin3cos 33 ，则sin 2 6 的值为（ ） A 1 3 B 1 3 C 7 9 D 7 9 6函数 sin2 ( ) xx x f x ee 在 , 的大致图象是（ ） A B C D 7将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中 项，即满足 AC AB BC AC 51 2 0.618，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的 黄金分割
3、点图中在ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在ABC内任取一 点M，则点M落在 APQ内的概率为（ ） A 51 2 B52 C 51 4 D 52 2 8已知抛物线 2 1: 20Cypx p的焦点为F，准线与x轴的交点为E，线段EF被双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 顶点三等分，且两曲线 1 C， 2 C的交点连线过曲线 1 C的焦点F，则双曲 线 2 C的离心率为（ ） A 2 B 3 2 2 C 11 3 D 22 2 二、多选题本题共 4 小题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9 甲乙两名射击运动员在某次测试中各射击 20 次， 两人测试
4、成绩的条形图如图所示， 则 （ ） A甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数 B甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数 C甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数 D甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差 10若函数 22 ( )3sin23sincosf xxxx在 , a a 上为增函数，则（ ） A实数a的取值范围为 0, 6 B实数a的取值范围为 0, 3 C点 ,2 12 为曲线 ( )yf x 的对称中心 D直线 3 x 为曲线( )yf x的对称轴 11如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，线段 11 B D上有两
5、个动点E，F，且 1 2 EF ， 则下列结论中正确的是（ ） A异面直线AEBF所成角为定值 B ACBF CAEF的面积与BEF的面积相等 D三棱锥ABEF的体积为定值 12定义在R上的函数 f x满足： 1f xfx， 04f ，则关于不等式 3 xx e f xe 的表述正确的为（ ） A解集为0, B解集为 ,03,U C在 2 2 , 上有解 D在 2 2 , 上恒成立 三、填空题本题共 4 小题 13 已知非零向量a、b满足3| 4|ba， 若( 4)ba b ， 则a、b夹角的大小为_ 14若函数 ( )f x 满足 3 (2) 2 x f x x ，则 ( )f x 在1,)
6、上的值域为_. 15已知 ,M N是过抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点F的直线l与抛物线C的交点，O是坐标 原点，且满足MFFN=3，3 OMN SMN，则p的值为_. 16 记数列 n a的前n项和为 n S， 已知 1 1 10 2 nn nana ， 且 1 3 2 a 若对任意的 * nN， 都有 2 n n S m ，则实数m的取值范围为_ 四、解答题本大题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在sinsin4 sinsinbA aBcAB， 2 cos22 3sin32 2 C C ， (3 )sinsinsinabAbBcC，这三个条件中任选一个，补充
7、到下面的问题中，并解决该问题. 已知ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边， 1+ 3 sinsin 4 AB ，2c ， _， 求角C及ABC的面积S. 18设数列 n a n b的前n项和分别为 n S n T ，且 2 1 (37 ) 2 n Snn，2(1) nn Tb * ()nN， （1）求数列 n a n b的通项公式； （2）令 nnn cab ，求 n c的前n项和 n U. 19 如图， 四棱锥PABCD，PD 平面ABCD，/AD BC，ABBC， 1,2ABBCPDAD （1）求证：平面PAC 上平面PCD （2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值 2
8、02020 年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为 掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了 3 日上午 9:2010:40 这 一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有 600 辆车通过该收费站点，它们通过该 收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段 9:209:40 记作20,40)、 9:4010:00 记作40,60)，10:0010:20 记作60,80)，10:2010:40 记作80,100)，例如：10 点 04 分，记作时刻 64. （）估计这 600 辆车在 9:2010:40 时间内通过该收费站点
9、的时刻的平均值（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表） ； （）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这 600 辆车中抽取 10 辆，再从这 10 辆车随机抽取 4 辆，设抽到的 4 辆车中，在 9:2010:00 之间通过的车辆数为X，求X的分布 列； （）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布 2 ,N ，其中 可用3日数据中的600辆车在9:2010:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替， 2 用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如 4 日全天共有 1000 辆车通过该收费站点，估计在 9:4610:40 之间通过的车辆数
10、（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布 2 ,N ，则 ()0.6827PT ， (22 )0.9545PT ， (33 )0.9973PT . 21已知点 (1,0)F ，直线L：1x，P为平面上的动点，过点P作直线L的垂线，垂足为Q， 且QP QFFP FQ. （1）求点P的轨迹C的方程. （2）是否存在正数m，对于过点 ( ,0)M m 且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0FA FB ？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 22已知函数 ln2f xaxxa aR （1）讨论函数 f x的单调性； （2）若0 4 e a，求证： x e f xx x .
11、 参考答案 1B 解：由题意化简集合得： 1,2,3,4A ，23Bxx，3,3C 所以 2,3AB ， 所以( )2,3 3,3 3,2,3ABC . 2B 因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i， 所以 2 1 2 z2i(2i)34 z2i555 i . 3A 曲线 22 1 35 xy mm 表示双曲线， 可得3 50mm，解得35m, 命题 p： “3 5m”是命题q： “曲线 22 1 35 xy mm ”表示双曲线”的充要条件, 4C 解：0,0,lg2abQ是lg4a与lg2b的等差中项， 2 2lg 2lg4lg2 ,lg2lg2 baa b
12、 ， 即 2 22 a b ，即21a b ， 则 21212222 (2)5529 abab ab ababbaba ， 当且仅当 22ab ba ，即 1 3 ab时取等号. 5D 因为 1313 sin3cossincos3cossincos 32222 1 sinsincos 32663 ， 所以 2 2 17 sin 2sin2cos 22cos121 6236393 ， 6A 因为 sin2 ( ) xx x f x ee ，所以 2sin2sin xxxx xx fxf x eeee ，所以 ( )f x 为 , 上的奇 函数，其图象关于原点对称，故 C、D 不正确； 当 (0,
13、 )x 时，sin0 x ，所以 ( )0f x ，故 B 不正确; 7B 由几何概型公式知， 所求概率为 5151 1 22 52 APQ ABC BCBC S PQBQBP SBCBCBC . 8D 抛物线 2 2ypx的焦点为(,0) 2 p F，准线方程为 2 p x ，(,0) 2 p E ， |EFp ， 因为线段EF被双曲线 22 2 22 :1(0,0) xy Cab ab 顶点三等分，所以2 3 p a ，即6pa， 因为两曲线 1 C， 2 C的交点连线过曲线 1 C的焦点F，所以两个交点为(,) 2 p p、(,) 2 p p， 将(,) 2 p p代入双曲线 22 22
14、 1 xy ab 得 22 22 1 4 pp ab ， 所以 22 22 3636 1 4 aa ab ，所以 2 2 36 91 a b ，所以 2 2 9 2 b a ， 所以双曲线 2 C的离心率 2222 222 9 11 2 ccabb e aaaa 22 2 . 9AD 由图可得甲运动员测试成绩中3次7环，8次8环，5次9环，4次10环， 所以甲运动员测试成绩的中位数为8，众数为8， 平均数为 3 78 85 94 10 8.5 20 ， 方差 2222 (78.5)3(8 8.5)8(98.5)5(108.5)419 2020 ； 乙运动员测试成绩中4次7环，7次8环，4次9环
15、，5次10环， 所以乙运动员测试成绩的中位数为8，众数为8， 平均数为 4 77 84 95 10 8.5 20 ， 方差 2222 (78.5)4(8 8.5)7(98.5)4(108.5)523 2020 ， 故选项 A 正确，B 不正确，C 不正确，D 正确， 10ACD 由题意，函数 222 ( )3sin23sincos3sin22sin1f xxxxxx 3sin2cos222sin 22 6 xxx ， 令2 262 x ，可得 2 63 x ，所以0 6 a ，所以 A 正确，B 不正确； 令 12 x ，可得()2sin 222 12126 f ， 所以点 ,2 12 为曲线
16、 ( )yf x 的对称中心，所以 C 正确； 令 3 x ，可得()2sin 224 336 f ，所以 3 x 为曲线( )yf x的对称轴，所以 D 正确. 11BD 解：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系. 则 (1A ，0，0)， (1B ，1，0)，设 (E a，a，1)， 则 2 ( 2 F a ， 2 2 a ，1)， 其中 2 01 2 a剟， (1, ,1)AEaa， 22 (1,1,1) 22 BFaa， 222 2 (21)(1)1 2 cos, | | 2 (1)12(1)1 2 aa AE BF AE BF AEBF aaa 取0a时， 42 cos, 4
17、22 AE BF ， 取 2 1 2 a 时， 1 cos, 32 AE BF ， 421 4 2232 ，异面直线AE、BF所成角不是定值，故A错误； 由正方体的结构特征可知， 1 DDAC ，BDAC，又 1 BDDDD ， AC平面 11 BDD B，则ACBF ，故B正确； B到 11 B D的距离为 1 1BB ，A到 11 B D的距离大于上下底面中心的连线，则A到 11 B D的距离大 于 1， AEF的面积大于BEF的面积，故C错误； A到平面 11 BDD B的距离为 2 2 ，BEF的面积为定值，三棱锥ABEF的体积为定值，故D 正确 故选：BD 12AC 令 1 x g
18、xef x ，xR，则 1 x gxef xfx ， 1f xfx， 0g x 恒成立，即 g x在R上单调递增. 04f， 0 0013gef . 不等式 3 xx e f xe可化为 13 x efx ，等价于 0g xg， 0 x，即不等式式 3 xx e f xe的解集为0,， 则在 2 2 , 上有解，故选项AC正确. 13 1 arccos 3 因为( 4)bab ，所以( 4)0bab ， 所以 2 40a bb，即 22 11 | 44 a bbb， 所以cos , | | a b a b ab 2 1 | 1 4 3 3 | | 4 b bb ， 1 ,arccos 3 a
19、b. 14(1,2 解： 2 1 (2) 2 x f x x ， 11 ( )1 x f x xx ， 又1x， f x在1,)单调递减， 由 11 12f ， 1( )2f x ， 函数( )f x的值域为(1,2. 158 解：不妨设直线MN的斜率0k ，过 ,M N作抛物线准线的垂线，垂足分别为,G H， 过N作NKMG于K， 由MFFN=3，得3MFFN，3MGNH， 1 22 2 MKNHNFMN， 223 2 NKMNMKMN， 由 13 28 OMNOMFONF SSSOFNKp MN， 又3 OMN SMN， 所以 3 3 8 p MNMN， 8p . 161, 依题意， 1
20、1 10 2 nn nana ，则 21 1 120 2 nn nana ， 两式相减，可得 21 20 nnn aaa ，所以 n a为等差数列， 由 1 1 10 2 nn nana ，得 21 1 20 2 aa，又 1 3 2 a ，解得 2 5 2 a ， 所以 21 1daa ，则 3(1) 22 n n n Sn ，所以 2 1 2 22 n nn Snn . 令 2 1 2 = 22 n n nn Snn b ， 2 1 2 3 2 nn n n bb ， 当2n时， 1 0 nn bb + - 故答案为：1, 17 选sinsin4 sinsinbA aBcAB， 因为sin
21、sin4 sinsinbA aBcAB， 所以由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB， 即2sinsin4sinsinsinBACAB，所以 1 sin 2 C ， 因为0,C，所以 6 C 或 5 6 C . 若 5 6 C ，由 1+ 3 sinsin 4 AB ， 而 6 A ， 6 B ，从而 1 sinsin 4 AB ，矛盾，舍去. 故 6 C ， 接下来求ABC的面积S. 法一：设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C ， 2 sin4sinaRAA，2 sin4sinbRBB， 16sinsin4(13)
22、abAB， 111 sin4(13)13 222 ABC SabC . 法二：由（1）得 3 cos 2 C ，即 3 coscossinsin 2 ABAB ， 1+ 3 sinsin 4 AB ， 13 coscos 4 AB ， 1 cos()coscossinsin 2 ABABAB， 5 5 (,) 66 AB ， 3 AB或 3 BA， 当 3 AB时，又 5 6 AB， 7 12 A， 4 B ， 由正弦定理得 2sin sin 4 2 2 sin sin 6 cB b C ， 1172123 sin2 22sin2 2()13 22122222 ABC SbcA ， 当 3 B
23、A时，同理可得13 ABC S ， 故ABC的面积为13. 选 2 cos22 3sin32 2 C C ， 因为 2 cos22 3sin32 2 C C ， 所以 2 2cos13(1 cos)320CC ，即 2 2cos3cos30CC ， (2cos3)(cos3)0CC， 所以 3 cos 2 C 或cos3C （舍） ， 因为0,C，所以 6 C . 以下同解法同， 选(3 )sinsinsinabAbBcC， 由(3 )sinsinsinabAbBcC及正弦定理得 22 3ab abc ， 即 222 3abcab， 由余弦定理得 222 3 cos 22 abc C ab ，
24、 0C， 6 C， 18 （1）由 2 1 (37 ) 2 n Snn得 11 5aS ， 当2n时， 2 2 1 11 (37 )3171 22 nnn aSSnnnn 32n， 当1n 时， 1 325a 也适合， 故 32 n an . 由 2(1) nn Tb 得 111 2(1)bTb ，得 1 2b ， 当2n时， 11 2(1)2(1) nnnnn bTTbb ，得 1 2 nn bb ， 又 1 2b ，所以 1 2 n n b b ，所以数列 n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以 1 2 22 nn n b . 综上所述： 32 n an ，2n n b . （2）
25、(32) 2 n nnn ca bn， 所以 123 5 28 211 2(32) 2n n Un ， 所以 2341 25 28 211 2(32) 2n n Un ， 所以 231 25 23(222 )(32) 2 nn nn UUn ， 所以 231 43(2222 )(32) 2 nn n Un 1 2(1 2 ) 43(32) 2 1 2 n n n ( 62) 22 n n ， 所以 1 (31) 22 n n Un . 19 （1）证明：/AD BC，ABBC，1,2ABBCAD 2AC ， 2CD ， 222 ACCDAD，ACCD， PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，
26、PDAC，又CDPDD AC 平面PCD，又AC 平面PAC，平面PAC 平面PCD （2）以 ,AB AD为 , x y轴，过A平行DP的直线为z轴，建立空间直角坐标系A xyz ， 则 (0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),ABCD(0,2,1)P ， (0,2,1)AP ，(1,0,0)AB ，设平面PAB的一个法向量为( , , )mx y z， 则 20 0 m APyz m ABx ，取 1y ，则(0,1, 2)m ， 由（1）知平面PCD的一个法向量为(1,1,0)AC ， 110 cos, 1025 AC m AC m AC m ， 由图可得平面P
27、AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为 10 10 20 （）这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点的时刻的平均值为： (30 0.00550 0.01570 0.02090 0.010) 2064 ，即 1004 （）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在 10:00 前通过的车辆 数就是位于时间分组中在 20，60 这一区间内的车辆数， 即(0.005 0.015) 20 104 ， 所以X的可能的取值为 0，1，2，3，4. 所以 4 6 4 10 1 0 14 C P X C ， 31 64 4 10 8 1 21 C C P X C ，
28、22 64 4 10 3 2 7 C C P X C ， 13 64 4 10 4 3 35 C C P X C ， 4 4 4 10 1 4 210 C P X C . 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 （）由（1）得 64 ， 22222 (30 64)0.1 (50 64)0.3 (70 64)0.4(90 64)0.2324 车辆 所以18， 估计在 9:4610:40 之间通过的车辆数也就是在 46，100 通过的车辆数， 由 2 64,18TN ，得 ()(22 ) (64 18642 18)0.8186 22 PTP
29、T PT ， 所以估计在在 9:4610:40 之间通过的车辆数为1000 0.8186819. 21 （1）设P的坐标为( , ) x y，则( 1, )Qy ， 可得(1,0)QPx，(2,)QFy， (1, )FPxy，( 2, ) FQy， QP QFFP FQ， 2 (1) 2(1) ( 2)xxy ，化简得 2 4yx， 即动点P的轨迹C的方程为： 2 4yx； （2）设直线l的方程为x tym ， 过点 ( ,0)M m(0)m 的直线l与曲线C的交点为 11 ,A x y， 22 ,B x y， 联立 2 4 xtym yx ，消去x，得 2 440ytym（*） ， 则 1
30、y， 2 y是方程（*）的两根， 2 160tm ，且 12 12 4 4 yyt yym ， 又 11 1,FAxy， 22 1,FBxy， 由 0FA FB ，可得 1212 110 xxy y， 即 1 21212 10 x xxxy y ， 由于 22 12 12 44 yy x x ，代入不等式可得： 2222 1212 12 10 4444 yyyy y y ， 化简得： 2 2 12 121212 1 210 164 y y y yyyy y ， 由式，化简不等式得 22 614mmt ， 对任意实数t，不等式 2 40t 恒成立， 不等式对于一切t恒成立等价于 2 610mm
31、， 解之得3 2 2 3 2 2m ， 由此可得：存在正数m，对于过点 ( ,0)M m ，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 0FA FB 且m的取值范围是 32 2,32 2 . 22 （1）函数 f x的定义域是0,， 1 aax fx xx ， 当0a时， 0fx 在0,上恒成立， 故函数 f x在0,上单调递增； 当 0a 时，0a ，令 0fx，得0 xa； 令 0fx ，得x a ， 故函数 f x在0, a上单调递减，在 , a上单调递增. （2）证明：要证明 ex f xx x ， 即证 e ln2 x ax x ，即证 2 ln2exax xx . 设 2 0 x
32、e g xx x ，则 3 2 exx gx x ， 当02x时， 0g x ； 当 2x 时， 0g x， 所以 g x在0,2上单调递减，在2,上单调递增， 所以2x是 g x的极小值点，也是最小值点， 且 2 min 2 4 e g xg. 令 ln2 0 ax h xx x ， 则 1 22 lnlne ln1 ax ax h x xx 当 1 0ex 时， 0h x； 当 1 ex 时， 0h x， 所以 h x在 1 0,e 上单调递增，在 1 e , 上单调递减， 所以 1 ex 是 h x的极大值点，也是最大值点，且 1 max eeh xha ， 所以 2 ee ee 44 h xag x ， 故 ex f xx x 成立.
