1、2020-2021 学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得 0 分）分） 1一元二次方程 x2+4x+50 的根的情况是（ ） A无实数根 B有一个实根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的
2、实数根 2如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay By Cy Dy 3如图，已知 ABCDEF，CF：AF3：5，DE6，BE 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 4如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法能判定四边形 ABCD 是菱形的是（ ） AACBD BBABD CABCD DADBC 5如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影 子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树的高度是（ ） A7m B6m C5m D4m 6点
3、 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若 x1x20 x3，则 y1，y2， y3的大小关系是（ ） Ay3y1y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3 7如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（2，2） 、B（3，1） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将 线段 AB 扩大为原来的 2 倍后得到线段 CD，则端点 C 的坐标分别为（ ） A （3，1） B （3，3） C （4，4） D （4，1） 8在同一坐标系中（水平方向是 x 轴） ，函数 y和 ykx+3 的图象大致是（ ） A B C D 9如图，在菱形 ABCD 中
4、，ABC80，E 是线段 BD 上一动点（点 E 不与点 B，D 重合） ，当ABE 是 等腰三角形时，DAE（ ） A30 B70 C30或 60 D40或 70 10如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE3ED，DFCF， 则的值是（ ） A B C2 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线 上，不必写出解答过程。不填、填错，一律得上，不必写出解答过程。不填、填错，一律得 0 分
5、）分） 11用配方法解关于 x 的一元二次方程 x24x30，配方后的方程可以是 12在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有 a 个白球和 3 个红球，若每次 将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳 定在 20%左右，则 a 的值约为 13已知 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，则当 AC BD 时，四边形 EFGH 是矩形 14菱形有一个内角为 120，较长的对角线长为 6，则它的面积为 15一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为 16如图，在四边形 ABCD 中，ACa，B
6、Db，且 ACBD 顺次连接四边形 ABCD 各边的中点，得到四 边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到 四边形 AnBnnDn下列结论正确的有 四边形 A2B2C2D2是矩形； 四边形 A4B4C4D4是菱形； 四边形 A5B5C5D5的周长是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 17 （6 分）解下列方程： （1） （y2） （y3）12； （2）2x2+3x10（请用配方法解
7、） 18 （6 分）如图，ABC 在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为 1，三个顶点的坐标分别 为 A（0，2） ，B（4，0） ，C（4，6） （1）画出ABC 向左平移 2 个单位长度得到的A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）以点 O 为位似中心，在第三象限画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 位似，且相似比为 1：2，直 接写出点 C2的坐标 19 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+1k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为负整数，求此时方程的根 20 （7 分）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 2，0，2
8、，0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上 放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙在抽一张卡片 （1）已知甲抽到的卡片是数字 2，则乙抽到卡片上的数字也是 2 的概率是 （2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画 树状图或列表的方法加以说明 21 （8 分）如图，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AD，AB 上的点，若 EFEC，且 EFEC （1）求证：AEDC； （2）已知 DC，求 BE 的长 22 （8 分）甲商品的进价为每件 20 元，商场确定其售价为每件 40 元 （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件
9、40 元进行两次调价，已知该商品现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时每月可销售 500 件，若 该商场希望该商品每月能盈利 10000 元， 且尽可能扩大销售量， 则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 23 （9 分）已知 A（4，2） 、B（n，4）两点是一次函数 ykx+b 和反比例函数 y图象的两个交点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）观察图象，直接写出不等式 kx+b0 的解集 24 （10 分）如图，在ABC 中，点 D 为边
10、 BC 上一点，且 ADAB，AEBC，垂足为点 E过点 D 作 DF AB，交边 AC 于点 F，连接 EF，EF2BDEC （1）求证：EDFEFC； （2）如果，求证：ABBD 25 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）求证：CEAD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 2020-2021
11、学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省朝阳市建平县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得 0 分）分） 1一元二次方程 x2+4x+50 的根的情况是（ ） A无实数根 B有一个实根 C有两个相等的实数根
12、 D有两个不相等的实数根 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：424540， 方程无实数根 故选：A 2如果等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） Ay By Cy Dy 【分析】利用三角形面积公式得出xy10，进而得出答案 【解答】解：等腰三角形的面积为 10，底边长为 x，底边上的高为 y， xy10， y 与 x 的函数关系式为：y 故选：C 3如图，已知 ABCDEF，CF：AF3：5，DE6，BE 的长为（ ） A4 B6 C8 D10 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，然后代
13、入已知条件即可得到 BE 的长 【解答】解：ABCDEF， ， 即， BE10， 故选：D 4如图，四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法能判定四边形 ABCD 是菱形的是（ ） AACBD BBABD CABCD DADBC 【分析】由菱形的判定定理即可得出结论 【解答】解：能判定四边形 ABCD 是菱形的是 ACBD，理由如下： 四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD， 平行四边形 ABCD 是菱形， 故选：A 5如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影 子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点距离相距 6m，与树相距 15m，则树
14、的高度是（ ） A7m B6m C5m D4m 【分析】此题中，竹竿、树以及经过竹竿顶端和树顶端的太阳光构成了一组相似三角形，利用相似三角 形的对应边成比例即可求得树的高度 【解答】解：如图； AD6m，AB21m，DE2m； 由于 DEBC，所以ADEABC，得： ，即 ， 解得：BC7m， 故树的高度为 7m 故选：A 6点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若 x1x20 x3，则 y1，y2， y3的大小关系是（ ） Ay3y1y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3 【分析】先根据反比例函数中 k 的符号判断出此函数图象所在象
15、限，再根据 x1x20 x3判断出 y1，y2，y3的大小关系即可 【解答】解：反比例函数中，k30， 此函数图象在二四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， x1x20 x3， y30，y30y1y2， y3y1y2 故选：A 7如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（2，2） 、B（3，1） ，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将 线段 AB 扩大为原来的 2 倍后得到线段 CD，则端点 C 的坐标分别为（ ） A （3，1） B （3，3） C （4，4） D （4，1） 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出 C 点坐标 【解答】解：以原点 O 为位
16、似中心，在第一象限内将线段 AB 扩大为原来的 2 倍后得到线段 CD， A 点与 C 点是对应点， C 点的对应点 A 的坐标为（2，2） ，位似比为：1：2， 点 C 的坐标为： （4，4） 故选：C 8在同一坐标系中（水平方向是 x 轴） ，函数 y和 ykx+3 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答 【解答】解：A、由函数 y的图象可知 k0 与 ykx+3 的图象 k0 一致，故 A 选项正确； B、因为 ykx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 B 选项错误； C、因为 ykx+3 的图象交 y 轴于正半轴，故 C 选项错误；
17、D、由函数 y的图象可知 k0 与 ykx+3 的图象 k0 矛盾，故 D 选项错误 故选：A 9如图，在菱形 ABCD 中，ABC80，E 是线段 BD 上一动点（点 E 不与点 B，D 重合） ，当ABE 是 等腰三角形时，DAE（ ） A30 B70 C30或 60 D40或 70 【分析】在菱形 ABCD 中，ABC80，根据菱形的性质得到ABDABC40，ADBC， 求得BAD180ABC100，当 AEBE 时，当 ABBE 时根据等腰三角形的性质即可得到结 论 【解答】解：在菱形 ABCD 中，ABC80， ABDABC40，ADBC， BAD180ABC100， ABE 是等腰
18、三角形， AEBE，或 ABBE， 当 AEBE 时， ABEBAE40， DAE1004060； 当 ABBE 时，BAEAEB（18040）70， DAE1007030， 综上所述，当ABE 是等腰三角形时，DAE30或 60， 故选：C 10如图，正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE3ED，DFCF， 则的值是（ ） A B C2 D 【分析】如图，延长 BC、AF，交于点 H，由正方形的性质及 DFCF 判定ADFHCF（AAS） ，从 而可得 CHAD；由 AE3ED，可设 DEx，从而可用 x 表示出正方形的边长；然后由 ADB
19、C 判定 AEGHBG，从而可得比例式，化简比例式即可得到答案 【解答】解：如图，延长 BC、AF，交于点 H， AE3ED， 设 DEx，则 AE3x， 四边形 ABCD 是正方形， ADBC4x，ADBC， DAFCHF，DFCH， 在ADFHCF 中， ， ADFHCF（AAS） ， CHAD4x， BHBC+CH8x， ADBC， AEGHBG， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线 上，不必写出解答过程。不填、填错，一律得
20、上，不必写出解答过程。不填、填错，一律得 0 分）分） 11用配方法解关于 x 的一元二次方程 x24x30，配方后的方程可以是 （x2）27 【分析】根据配方法即可求出答案 【解答】解：x24x3（x24x+4）43（x2）270 故答案为： （x2）27； 12在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有 a 个白球和 3 个红球，若每次 将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳 定在 20%左右，则 a 的值约为 12 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球 的频率稳
21、定在 20%左右得到比例关系，列出方程求解即可 【解答】解：由题意可得，100%20%， 解得 a12 经检验：a12 是原分式方程的解， 所以 a 的值约为 12， 故答案为：12 13已知 E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点，则当 AC BD 时，四边形 EFGH 是矩形 【分析】 由三角形中位线定理证中点四边形 EFGH 是平行四边形， 再证出HEF90， 即可得出结论 【解答】解：当 ACBD 时，四边形 EFGH 是矩形；理由如下： 连接 AC、BD，如图： E，F，G，H 分别是四边形 ABCD 各边的中点， EF 是ABC 的中位线，GH 是ACD 的中位线，EH
22、 是ABD 的中位线， EFAC，EFAC，GHAC，GHAC，EHBD， EFGH，EFGH， 四边形 MNPQ 是平行四边形， ACBD， EFEH， HEF90， 四边形 MNPQ 是矩形； 故答案为： 14菱形有一个内角为 120，较长的对角线长为 6，则它的面积为 18 【分析】由菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，BAD120，BD6，可求得BAC 的 度数，利用菱形的性质可求出ABO 的度数，进而得到 AO 的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一 半则可求得答案 【解答】解：菱形 ABCD 中，BAD120， BACBAD60，ACBD， ABO30， BD
23、6， BO3， 设 AOx，则 AB2x， 故 x2+（3）2（2x）2， 解得：x3， AO3， AC6， 菱形的面积66218 故答案为：18 15一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为 24 【分析】直接利用三视图得出圆柱的上下两底的面积，进而求出其体积 【解答】解：由三视图可得，这个圆柱的体积为：22624 故答案为：24 16如图，在四边形 ABCD 中，ACa，BDb，且 ACBD 顺次连接四边形 ABCD 各边的中点，得到四 边形 A1B1C1D1，再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点，得到四边形 A2B2C2D2，如此进行下去，得到 四边形 AnBn
24、nDn下列结论正确的有 四边形 A2B2C2D2是矩形； 四边形 A4B4C4D4是菱形； 四边形 A5B5C5D5的周长是 【分析】探究规律后发现当序号 n 是奇数时四边形是矩形，当序号 n 是偶数时四边形是菱形，再探究 n 是奇数时四边形的周长即可解决问题 【解答】解：根据中点四边形的定义，观察图象可知，四边形 AnBnnDn， 当序号 n 是奇数时四边形是矩形，当序号 n 是偶数时四边形是菱形， 所以四边形 A2B2C2D2是菱形，四边形 A4B4C4D4是菱形， 故错误，正确， 因为四边形四边形 A1B1C1D1的周长为 a+b，四边形 A3B3C3D3的周长为（a+b） ， 所以四边
25、形形 A5B5C5D5的周长是（a+b） ，故正确 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分分.解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 17 （6 分）解下列方程： （1） （y2） （y3）12； （2）2x2+3x10（请用配方法解） 【分析】 （1）根据因式分解法即可求出答案 （2）根据配方法即可求出答案 【解答】解： （1）（y2） （y3）12， y25y60， （y6） （y+1）0， y16 或 y21 （2）2x2+3x10， 2（x2+x）1， 2（x2+x+）1， 2（x+）
26、21， 2（x+）2， （x+）2， x x1或 x2 18 （6 分）如图，ABC 在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长均为 1，三个顶点的坐标分别 为 A（0，2） ，B（4，0） ，C（4，6） （1）画出ABC 向左平移 2 个单位长度得到的A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）以点 O 为位似中心，在第三象限画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC 位似，且相似比为 1：2，直 接写出点 C2的坐标 【分析】 （1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1C1即可 （2）分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所
27、求B1（2，0） （2）如图，A2B2C2即为所求C2（2，3） 19 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+1k0 有两个不相等的实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为负整数，求此时方程的根 【分析】 （1）要使方程有两个不相等的实数根，只需根的判别式大于 0 即可； （2）由 k 为负整数可得到 k 的值，代入原方程，然后解这个方程即可 【解答】解： （1）由题可得： （3）24（1k）0， 解得 k； （2）若 k 为负整数，则 k1， 此时原方程为 x23x+20， 解得 x11，x22 20 （7 分）有四张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 2，0，2，
28、0，如图，将卡片洗匀后，背面朝上 放置在桌面上，甲、乙两人进行如下游戏：甲先抽一张卡片不放回，乙在抽一张卡片 （1）已知甲抽到的卡片是数字 2，则乙抽到卡片上的数字也是 2 的概率是 （2）甲、乙约定：若甲抽到卡片上的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为这个游戏是否公平？用画 树状图或列表的方法加以说明 【分析】 （1）画树状图列出所有等可能结果，进而得出答案； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转 化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等 【解答】解： （1）画树状图得： ， 一共有 3 种可能，两人抽得数字都是
29、2 的有 1 种情况， 故两人抽得数字都是 2 的概率是：； 故答案为：； （2）这个游戏不公平， 理由： 如图：甲抽到卡片上的数字比乙大的有 4 种情况， 故甲获胜的概率为：，则乙获胜的概率为：， 故这个游戏不公平 21 （8 分）如图，E，F 分别是矩形 ABCD 的边 AD，AB 上的点，若 EFEC，且 EFEC （1）求证：AEDC； （2）已知 DC，求 BE 的长 【分析】 （1）根据矩形的性质和已知条件可证明AEFDCE，可证得 AEDC； （2）由（1）可知 AEDC，在 RtABE 中由勾股定理可求得 BE 的长 【解答】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AD90， 1+
30、290， EFEC， FEC90， 2+390， 13， 在AEF 和DCE 中， ， AEFDCE（AAS） ， AEDC； （2）解：由（1）得 AEDC， AEDC， 在矩形 ABCD 中，ABCD， 在 RtABE 中，AB2+AE2BE2，即（）2+（）2BE2， BE2 22 （8 分）甲商品的进价为每件 20 元，商场确定其售价为每件 40 元 （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件 40 元进行两次调价，已知该商品现价为每件 32.4 元若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，该商品每降价 0.2 元，即可多销售 10 件已知甲商品售价 40 元时
31、每月可销售 500 件，若 该商场希望该商品每月能盈利 10000 元， 且尽可能扩大销售量， 则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【分析】 （1）设调价百分率为 x，根据售价从原来每件 40 元经两次调价后调至每件 32.4 元，可列方程求 解 （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利 10000 元列出方程，求解即可 【解答】解： （1）设这种商品平均降价率是 x，依题意得：40（1x）232.4， 解得：x10.110%，x21.9（舍去） ； 答：这个降价率为 10%； （2）设降价 y 元，则多销售 y0.21050y 件， 根据题意得（4020y） （50
32、0+50y）10000， 解得：y0（舍去）或 y10， 答：该商品在原售价的基础上，再降低 10 元 23 （9 分）已知 A（4，2） 、B（n，4）两点是一次函数 ykx+b 和反比例函数 y图象的两个交点 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB 的面积； （3）观察图象，直接写出不等式 kx+b0 的解集 【分析】 （1）先把点 A 的坐标代入反比例函数解析式，即可得到 m8，再把点 B 的坐标代入反比例 函数解析式，即可求出 n2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先求出直线 yx2 与 x 轴交点 C 的坐标，然后利用 SAOBSAOC+SBOC进行计
33、算； （3）观察函数图象得到当 x4 或 0 x2 时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不 等式的解集 【解答】解： （1）把 A（4，2）代入 y，得 m2（4）8， 所以反比例函数解析式为 y， 把 B（n，4）代入 y，得4n8， 解得 n2， 把 A（4，2）和 B（2，4）代入 ykx+b，得 ， 解得， 所以一次函数的解析式为 yx2； （2）yx2 中，令 y0，则 x2， 即直线 yx2 与 x 轴交于点 C（2，0） ， SAOBSAOC+SBOC22+246； （3）由图可得，不等式 kx+b0 的解集为：x4 或 0 x2 24 （10 分）如图，在ABC 中
34、，点 D 为边 BC 上一点，且 ADAB，AEBC，垂足为点 E过点 D 作 DF AB，交边 AC 于点 F，连接 EF，EF2BDEC （1）求证：EDFEFC； （2）如果，求证：ABBD 【分析】 （1）利用“两边成比例且夹角相等”即可证得EDFEFC； （2）根据相似三角形的性质可得（）2，推出，即 EDAD，由此即可解决 问题； 【解答】证明： （1）ABAD，AEBC， BEEDDB； EF2BDEC， EF2EDEC，即得 ， 又FEDCEF， EDFEFC （2）ABAD， BADB， 又DFAB， FDCB， ADBFDC， ADB+ADFFDC+ADF，即得EDFADC
35、； EDFEFC， EFDC， EDFADC， （）2， ，即 EDAD； 又EDBEBD， BDAD， ABBD 25 （12 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，过点 C 的直线 MNAB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作 DEBC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE （1）求证：CEAD； （2）当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若 D 为 AB 中点，则当A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由 【分析】 （1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （
36、2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CDBD，根据菱形的判定推出即可； （3）求出CDB90，再根据正方形的判定推出即可 【解答】 （1）证明：DEBC， DFB90， ACB90， ACBDFB， ACDE， MNAB，即 CEAD， 四边形 ADEC 是平行四边形， CEAD； （2）解：四边形 BECD 是菱形， 理由是：D 为 AB 中点， ADBD， CEAD， BDCE， BDCE， 四边形 BECD 是平行四边形， ACB90，D 为 AB 中点， CDBD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， 四边形 BECD 是菱形； （3）当A45时，四边形 BECD 是正方形，理由是： 解：ACB90，A45， ABCA45， ACBC， D 为 BA 中点， CDAB， CDB90， 四边形 BECD 是菱形， 菱形 BECD 是正方形， 即当A45时，四边形 BECD 是正方形
