1、高一期末调研 数学试卷 第 1 页 共 10 页 南京市南京市 20202021 学年度第一学期学年度第一学期期期末末学情学情调研调研试卷试卷 高高一一数学数学 2021.01 注意事项：注意事项： 1本试卷包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12 题） 、填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分。本试卷满分为 150 分，考试时间 为 120 分钟。 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动
2、，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 4非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂，请把答案填涂在答题在答题卡相应位置上卡相应位置上 1若角 的终边经过点 P(3，a)(a0)，则 Asin0 Bsin0 Ccos0 Dcos0 2记
3、函数 y 4x2的定义域为 A，函数 yln(x1)的定义域为 B，则 AB A(1，2) B(1，2 C(2，1) D2，1) 3设实数 x 满足 x0，函数 y23x 4 x1的最小值为 A4 31 B4 32 C4 21 D6 4已知 a，b，m 都是负数，且 ab，则 A1 a 1 b B a b b a Cambm D bm am b a 5有一组实验数据如下表所示： t 1.9 3.0 4.0 5.1 6.1 v 1.5 4.0 7.5 12.0 18.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 Av2t2 Bvt 21 2 Cvlog0.5t D
4、vlog3t 6若函数 f(x)sin2x 与 g(x)2cosx 都在区间(a，b)上单调递减，则 ba 的最大值是 A 4 B 3 C 2 D 2 3 高一期末调研 数学试卷 第 2 页 共 10 页 7函数 f(x) sinxx cosxx2 在，上的图象大致为 8若函数 f(x)同时满足：定义域内存在实数 x，使得 f(x) f(x)0；对于定义域内任 意 x1，x2，当 x1x2时，恒有(x1x2) f(x1)f(x2)0；则称函数 f(x)为“DM 函数”下 列函数中是“DM 函数”的为 Af(x)x3 Bf(x)sinx Cf(x)ex1 Df(x)lnx 二二、多项多项选择题选
5、择题：本大题共本大题共 4 4 小题，每小题，每小小题题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，请把答案有多项符合题目要求，请把答案填涂填涂在在答题卡相应位置答题卡相应位置 上全部选对得上全部选对得 5 5 分，部分选对分，部分选对 得得 3 3 分，分，不选或不选或有选错的得有选错的得 0 0 分分 9关于函数 f(x)tan2x，下列说法中正确的是 A最小正周期是 2 B图象关于点( 2，0)对称 C图象关于直线 x 4对称 D在区间( 2， 2)上单调递增 10已知曲线 C1：ysinx，C2：ysin(2x 3)，
6、下列说法中正确的是 A把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到 C2 B把 C1向左平移 3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 1 2倍，得到 C2 C把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 3个单位长度，得到 C2 D把 C1上所有点的横坐标变为原来的1 2倍，再向左平移 6个单位长度，得到 C2 B 1 y x O A x 1 y O D 1 O x y x C 1 y O 高一期末调研 数学试卷 第 3 页 共 10 页 11我们知道，如果集合 A S，那么 S 的子集 A 的补集为 sAx|xS，且 xA类似 地，对于集合 A，B
7、，我们把集合x|xA，且 xB叫作集合 A 与 B 的差集， 记作 AB据此，下列说法中正确的是 A若 A B，则 AB B若 BA，则 ABA C若 AB，则 ABA D若 ABC，则 ABAC 12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号设 xR， 用x表示不超过 x 的最大整数，yx也被称为“高斯函数” ，例如：3.54， 2.12已知函数 f(x)x1x，下列说法中正确的是 Af(x)是周期函数 Bf(x)的值域是(0，1 Cf(x)在(0，1)上是增函数 D xR，f(x)0 三三、 填空题填空题： 本大题共本大题共 4 4 小题， 每小题， 每小小题题 5
8、 5 分， 共分， 共 2020 分 请把答案填写在分 请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 13已知幂函数 yx的图象过点(2， 2)，则 的值为 14已知函数 f(x) 2x1， x1， x2ax，x1， 若 f(f(0)3a，则 a 的值为 15已知 sin( 6) 1 3，则 sin( 5 6 )sin2( 3)的值为 16地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准震级(M) 是用据震中 100 千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的 里氏 震级的计算公式为 MlgAlgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震” 的振
9、幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)根据该公 式可知，7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 倍(精确到 1) 四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知集合 Ax|2x1 x1 1，Bx|2x2(m2)xm0 （1）当 m1 时，求 AB； （2）已知“xA”是“xB”的必要条件，求实数 m 的取值范围 高一期末调研 数学试卷 第 4
10、 页 共 10 页 18 （本小题满分 12 分） 已知 sin()cos()1 8，且 0 4 （1）求 coscos( 2)的值； （2）求 tan 的值 19 （本小题满分 12 分） （1）计算：2log25(0.125) 2 3log 39； （2）已知 alog0.43，blog43，求证：abab0 20(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)x|xa|为 R 上的奇函数 （1）求实数 a 的值； （2）若不等式 f(sin2x)f(t2cosx)0 对任意 x 3， 7 6 恒成立，求实数 t 的最小值 高一期末调研 数学试卷 第 5 页 共 10 页 21 （本小题满分
11、12 分） 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在 t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置) 的高度 h(单位：cm)由关系式 hAsin(t 4)确定，其中 A0，0，t0，)在一 次振动中， 小球从最高点运动至最低点所用时间为 1 s 且最高点与最低点间的距离为 10 cm （1）求小球相对平衡位置的高度 h(单位：cm)和时间 t(单位：s)之间的函数关系； （2）小球在 t0 s 内经过最高点的次数恰为 50 次，求 t0的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x0，使得 f(x0)x0，那么称 x0是函数 f(x)的 一个不动
12、点已知 f(x)ax21 （1）当 a2 时，求 f(x)的不动点； （2）若函数 f(x)有两个不动点 x1，x2，且 x12x2 求实数 a 的取值范围； 设 g(x)logaf(x)x，求证：g(x)在(a，)上至少有两个不动点 （第 21 题图） 高一期末调研 数学试卷 第 6 页 共 10 页 南京市南京市 20202021 学年度第一学期学年度第一学期期末学情调研期末学情调研 高一数学参考答案高一数学参考答案 2021.01 一、一、单项单项选择题选择题 1C 2B 3A 4D 5B 6C 7D 8A 二二、多项多项选择题选择题 9AB 10BD 11ACD 12AB 三三、填空题
13、填空题 131 2 144 15 11 9 1632 四四、解答题解答题 17 （本小题满分 10 分） 解解： （1）由 2x1 x1 1，得 x2 x10，所以 Ax|2x1 Bx|2x2(m2)xm0 x|(x1)(2xm)0 当 m1 时，Bx|1 2x1 3 分 所以 ABx|2x1 4 分 （2）因为“xA”是“xB”的必要条件，所以 B A 6 分 若m 21，不符合题意； 7 分 若m 21 即 m2 时，B，符合题意； 8 分 若m 21，则 Bx| m 2x1， 所以2m 21，解得2m4 9 分 综上，m2，4 10 分 18 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）因
14、为 sin()cos()sincos，且 sin()cos()1 8， 所以 sincos1 8 2 分 故 (cossin)2cos22sincossin2 高一期末调研 数学试卷 第 7 页 共 10 页 12sincos121 8 3 4 4 分 又因为 0 4，所以 cossin，即 cossin0， 所以 cossin 3 2 所以 coscos( 2)cossin 3 2 6 分 （2）法一：法一：由（1）知 sincos1 8，又因为 sin 2cos21， 所以 sincos sin2cos2 1 8 因为 0 4，cos0， 所以 tan tan21 1 8，即 tan 28
15、tan10， 9 分 解得 tan4 15或 tan4 15 10 分 因为 0 4，所以 0tan1， 所以 tan4 15 12 分 法二：法二： 由（1）知 cossin 3 2 ， sincos1 8 因为 0 4，所以 cossin0， 故 cos 3 5 4 ， sin 3 5 4 ， 10 分 所以 tansin cos4 15 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解：解：（1）原式5(2) 3 2 3log 3( 3)4 544 13 4 分 （2）法一：法一：因为 ylog0.4x 在(0，)上递减，ylog4x 在(0，)上递增， 高一期末调研 数学试卷 第 8 页
16、共 10 页 所以 alog0.43log0.410，blog43log410， 故 ab0 6 分 因为1 a 1 blog30.4log34log3(0.44)log31.6， 且 ylog3x 在(0，)递增， 所以 0log31log31.6log331，即 01 a 1 b1 10 分 所以 0ab(1 a 1 b)ab，即 abab0 12 分 法二：法二：因为 alog0.43，blog43， 所以 ablog0.43log43 lg3 lg0.4 lg3 lg4lg3 lg4lg0.4 lg0.4 lg4 lg3 lg1.6 lg0.4 lg4， 因为 lg30，lg40，lg
17、1.60，lg0.40， 所以 ab0 6 分 (ab)ablg3 lg1.6 lg0.4 lg4 lg3 lg0.4 lg3 lg4lg3 lg1.6lg3 lg0.4 lg4 lg3 lg1.6 3 lg0.4 lg4lg3 lg 8 15 lg0.4 lg4 10 分 因为 lg30，lg40，lg 8 150，lg0.40， 所以(ab)ab0，即 abab， 综上，abab0 12 分 20(本小题满分 12 分) 解：解： （1）因为函数 f(x)x|xa|为 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x) 对任意 xR 成立， 即(x) |xa|x |xa|对任意 xR 成立， 2 分
18、 所以|xa|xa|，所以 a0 4 分 （2）由 f(sin2x)f(t2cosx)0 得 f(sin2x)f(t2cosx)， 因为函数 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(sin2x)f(2cosxt) 6 分 由（1）得，f(x)x|x| x2，x0， x2，x0，是 R 上的单调增函数， 故 sin2x2cosxt 对任意 x 3， 7 6 恒成立 8 分 高一期末调研 数学试卷 第 9 页 共 10 页 所以 t2cosxsin2x 对任意 x 3， 7 6 恒成立 因为 2cosxsin2xcos2x2cosx1(cosx1)22， 令 mcosx，由 x 3， 7 6 ，得
19、 cosx1，1 2，即 m1， 1 2 10 分 所以 y(m1)22 的最大值为1 4，故 t 1 4， 即 t 的最小值为1 4 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为 10 cm，所以 A10 2 5 2 分 因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为 1 s，所以周期为 2， 即 T22 ，所以 4 分 所以 h5sin(t 4)，t0 5 分 （2）由题意，当 t1 4时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 7 分 因为小球在 t0 s 内经过最高点的次数恰为 50 次， 所以1 449T
20、t0 1 450T 9 分 因为 T2，所以 981 4t100 1 4， 所以 t0的取值范围为981 4，100 1 4) 12 分 （注：t0的取值范围不考虑开闭） 22 （本小题满分 12 分） 解：解：（1）当 a2 时，f(x)2x21 方程 f(x)x 可化为 2x2x10，解得 x1 或 x1 2， 所以 f(x)的不动点为1 和 1 2 2 分 （2）因为函数 f(x)有两个不动点 x1，x2， 所以方程 f(x)x，即 ax2x10 的两个实数根为 x1，x2， 记 p(x)ax2x1，则 p(x)的零点为 x1和 x2， 高一期末调研 数学试卷 第 10 页 共 10 页
21、 因为 x12x2，所以 a p(2)0， 即 a(4a1)0，解得 0a1 4 所以实数 a 的取值范围为(0，1 4) 6 分 因为 g(x)logaf(x)xloga(ax2x1) 方程 g(x)x 可化为 loga(ax2x1)x，即 axax2x1， ax2x10 因为 0a1 4，14a0，所以 p(x)0 有两个不相等的实数根 设 p(x)ax2x10 的两个实数根为 m，n，不妨设 mn 因为函数 p(x)ax2x1 图象的对称轴为直线 x 1 2a， p(1)a0， 1 2a1， p( 1 a)10， 所以 1m 1 2an 1 a 记 h(x)ax(ax2x1)， 因为 h(1)0，且 p(1)a0，所以 x1 是方程 g(x)x 的实数根， 所以 1 是 g(x)的一个不动点 8 分 h(n)an(an2n1)an0， 因为 0a1 4，所以 1 a4，h( 1 a)a 1 a1a410， 且 h(x)的图象在n，1 a上的图象是不间断曲线， 所以x0(n，1 a)，使得 h(x0)0， 10 分 又因为 p(x)在(n，1 a)上单调递增，所以 p(x0)p(n)0， 所以 x0是 g(x)的一个不动点， 综上，g(x)在(a，)上至少有两个不动点 12 分
