1、第 1 页 房山区房山区 2020-2021 学年度学年度高一高一第一学期期末检测数学试卷第一学期期末检测数学试卷 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分 （选择题 共 50 分） 一、选择题一、选择题共共 1010 小题，每小题，每小小题题 5 5 分，共分，共 5050 分分。在每小题在每小题列列出的四个选项中，出的四个选项中，选出选出符合题目符合题目 要求的要求的一项。一项。 （1）已知(3, 2)A ，( 1,2)B ，则线段AB中点的坐标为 （A）(1,2) （B）(2,0
2、) （C） 1 ( ,2) 2 （D）(1,0) （2）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品从这批产品中随机 抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.75，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不 合格品”的概率为 （A）0.05 （B）0.25 （C）0.8 （D）0.95 （3）某单位共有职工300名，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人现采用分层抽样方 法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为 （A）6 （B）9 （C）18 （D）36 （4）已知, x yR，且0 xy，则下列结论正确的是 （A） 11 xy （B
3、） 11 22 xy （C） 11 ( )( ) 33 xy （D） 33 loglogxy （5）如果函数( )3xf xb的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则 （A）1b （B）10b （C）01b （D）1b （6）如图，在ABC中， 1 4 MCBC，设AB a，AC b，则AM 第 2 页 （A） 13 44 ab （B） 31 44 ab （C） 13 44 a+b （D） 31 44 ab （7）已知| 3a，| 4b，则“| 7ab”是“向量a与b共线”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （8）根据气象学
4、上的标准，连续5天的日平均气温低于10 C即为入冬现有甲、乙、丙、丁四地连续 5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数） ： 甲地：5个数据的中位数为7，众数为6； 乙地：5个数据的平均数为8，极差为3； 丙地：5个数据的平均数为5，中位数为4； 丁地：5个数据的平均数为6，方差小于3 则肯定进入冬季的地区是 （A）甲地 （B）乙地 （C）丙地 （D）丁地 （9）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是 30 2 10千克地球是太阳系八大行星之一，其质 量m大约是 24 6 10千克 下列各数中与 m M 最接近的是 （参考数据：lg30.4771，lg60.7782） （A） 5.5
5、19 10 （B） 5.521 10 （C） 5.523 10 （D） 5.525 10 （10） 已知函数 |ln|, 0e, ( ) 1 2, e, e xx f x xx 若存在互不相等的实数a，b，c满足( )( )( )f af bf c， 则abc的取值范围是 （A）(0,e) （B）(1,e) （C）(1,2e) （D）(e,2e) 第二部分 （非选择题 共 100 分） 二二、填空题填空题共共 6 6 小题，每小题，每小小题题 5 5 分分，共，共 3030 分。分。 （11） 1 32 2 1 ( )8 4 _； 21 3 32 ()a b ab _ （12）已知( 3,4)
6、 a，则与a方向相同的单位向量的坐标为_ 第 3 页 （13）暑假期间，甲外出旅游的概率是 1 4 ，乙外出旅游的概率是 1 5 ，假定甲乙两人的行动相互之间没有影 响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是_. （14）当23x时，2x， 2 log x， 2 x的大小关系是_ （请用“”连接） （15） 定义在R上的函数( )f x满足： ( )f x单调递减； (0)1f， 请写出一个满足条件的函数( )f x _. （16）由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映.已知 A、B 两部电影同时在9月30日全国 上映，每天的票房统计如图所示： 2.9 3.9 3.7 3.1 2
7、.3 1.6 2.1 2.6 2.9 2.7 2.6 2.5 2.4 1.8 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 09月月30日日 10月月1日日 10月月2日日 10月月3日日 10月月4日日 10月月5日日 10月月6日日 10月月7日日 国庆档电影日票房（单位：亿元）国庆档电影日票房（单位：亿元） A B 有下列四个结论： 这8天 A 电影票房的平均数比 B 电影票房的平均数高； 这8天 A 电影票房的方差比 B 电影票房的方差大； 这8天 A 电影票房的中位数与 B 电影票房的中位数相同； 根据这8天的票房对比，预测10月8日 B 电影票房超过 A 电影票房的概
8、率较大； 其中正确结论的序号为_. 三三、解答题解答题共共 5 小小题，共题，共 70 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （17） （本小题 15 分） 设两个非零向量a与b不共线 （）若(1,2)a，( 1,1) b，且k ab与2ab平行，求实数k的值； （）若ABab，2()BC ab，5CDab，求证：A，B，D三点共线 （18） （本小题 15 分） 为了解学生的周末学习时间（单位：小时） ，高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间 进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息： （）
9、求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数； （）估计这40名同学周末学习时间的25%分位数； 第 4 页 （）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断 是否合理？说明理由 （19） （本小题 14 分） 已知函数 11 22 ( )(2loglog)(2)f xxx （）求函数( )f x的定义域，并判断函数( )f x的奇偶性； （）求解关于x的不等式 1 2 log( )(3 )f xx （20） （本小题 14 分） 空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其 分级如下表： 空气质量指数 05
10、0 51 100 101 150 151200 201300 300 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如下： 甲 48 65 104 132 166 79 乙 80 67 108 150 205 62 （）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率； （）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的 概率； （）记甲城市这6天空气质量指数的方差为 2 0 S从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一 个记为a，若99a，与原有的6天的
11、数据构成新样本的方差记为 2 1 S；若169a ，与原有的6天 的数据构成新样本的方差记为 2 2 S，试比较 2 0 S， 2 1 S， 2 2 S的大小 （结论不要求证明） O3025201510 0.03 0.045 0.05 0.04 0.015 0.02 5 学习时间(小时) 频率 组距 第 5 页 （21） （本小题 12 分） 设函数( )f x的定义域为D，若存在正实数a，使得对于任意xD，有xaD ，且 ()( )f xaf x，则称( )f x是D上的“a距增函数” （）判断函数( )2xf xx是否为(0,)上的“1距增函数”？说明理由； （）写出一个a的值，使得 2,
12、0 ( ) ,0 x x f x x x 是区间(,) 上的“a距增函数”； （）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，且当0 x时，( ) |f xxaa若( )f x为R上的 “2021距增函数” ，求a的取值范围 房山区房山区 2020-2021 学学年度第一学期年度第一学期期末期末检测参考检测参考答案答案 高高一一数学数学 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 5050 分）分） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分，有两空的第一空分，有两空的第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分）分） （11）6； 1 2 ab
13、 （12） 3 4 (,) 5 5 ； （13） 2 5 （14） 2 2 log2xxx （15）2 x （答案不唯一） （16）， 三、三、解答题（共解答题（共 5 5 小题，共小题，共 7070 分）分） （17） （本小题 15 分） 解： （）(1,2)a，( 1,1) b，则(1,21)kkkab， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B B C A D C D 第 6 页 2( 3, 0 )ab 因为k ab与2ab平行，所以有3(21)0k 解得 1 2 k （）因为ABab，2()BC ab，5CDab，所以 2()+533BDBCCDababa
14、b 3BDAB，即 AB与BD共线， 因此A，B，D三点共线 （18）（本小题 15 分） 解： （）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于 20 小时的频率为 (0.030.015) 50.225 则40名学生中周末的学习时间不少于 20 小时的人数为40 0.2259 （）学习时间在5小时以下的频率为0.02 50.10.25 ， 学习时间在10小时以下的频率为0.1 0.04 50.30.25 ， 所以25%分位数在(5,10)， 0.250.1 558.75 0.2 ， 则这40名同学周末学习时间的25%分位数为8.75 （）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性 （19） （
15、本小题 14 分） 解： （）由 20 20 x x 得函数( )f x的定义域为(2,)， 所以函数( )f x既不是奇函数，也不是偶函数 （）由 111 222 2 ( )(2)(2)(logloglog4)f xxxx， 得 11 22 2 (4)loglog (3 )xx， 第 7 页 因为 1 2 logyx在(0)，是减函数，所以有 2 043xx， 解得24x， 因此不等式 1 2 log( )(3 )f xx的解集为 |24xx （20）（本小题 14 分） 解： （）甲城市这6天内空气质量类别为良的有2天，则估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良 的概率为 1 3 （）由题
16、意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，样本空间记为 ( 4 8, 8 0 ) , ( 4 8, 6 7 ) , ( 4 8, 1 0 8 ) , ( 4 8, 1 5 0 ) , ( 4 8, 20 5 ) , ( 4 8, 6 2 ) , ( 6 5, 8 0 ) , ( 6 5, 6 7 ) , ( 6 5, 1 0 8 ) , ( 6 5, 1 5 0 ) , ( 6 5, 2 05 ) , ( 6 5, 6 2 ) , (1 0 4 , 8 0 ) , (1 0 4 , 6 7 ) , (1 0 4 , 1 0 8 ) , (1 0 4 , 1 5 0 ) , (10 4 ,
17、2 0 5 ) , (1 0 4 , 6 2 ) , (1 3 2 , 8 0 ) , (1 3 2 , 6 7 ) , (1 3 2 , 1 0 8 ) , (1 3 2 , 1 5 0 ) , (132,205),(132,62), (166,80),(166,67),(166,108),(166,150),(166,205),(166,62), (79,80),(79,67),(79,108),(79,150),(79,205),(79,62) 有36个样本点， 用 A 表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染” ，则 (1 0 4, 1 0 8) , (1 0 4, 1 5 0
18、) , (1 3 2, 1 0 8) , (1 3 2, 1 5 0 )A，包含4个样本点，则 41 ( ) 369 P A （） 222 102 SSS （21）（本小题 12 分） 解： （）函数( )2xf xx是(0,)上的“1距增函数” 任意x(0,)，有1x (0,)，且21 x 所以 1 (1)( )2(1)(2)210 xxx f xf xxx ， 因此( )2xf xx是(0,)上的“1距增函数” （）10a （答案不唯一，不小于4即可） （） 0 ( )00 0 xaax f xx xaax ， ， ， 因为( )f x为R上的“2021距增函数” ， 第 8 页 i)当0 x时，由定义2021xaaxaa恒成立 即2021xaxa恒成立， 由绝对值几何意义可得20210aa ， 2021 2 a ii)当0 x时，分两种情况： 当2021x时，由定义2021xaaxaa恒成立 即2021xaxa恒成立，由绝对值几何意义可得20210aa ， 2021 2 a 当20210 x时，由定义2021xaaxaa恒成立 即20212021 22xaxaaa恒成立 当0a时，显然成立 当0a时，可得 2021 0 4 a 综上，a的取值范围为 2021 () 4 ，
