1、20202020- -20212021 学年苏科新版初三一轮复习寒假提升训练学年苏科新版初三一轮复习寒假提升训练 0505 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 1. 下列各数中，互为相反数的是( ) A. 4与(2)2 B. 1 与(1)2 C. 2 与1 2 D. 2 与| 2| 【答案】A 【解析】解：A、(2)2= 4，4与 4 互为相反数，故 A正确； B、(1)2= 1，两个数相等，故 B错误； C、2 与1 2互为倒数，故 C错误； D、| 2| = 2，两个数相等，故 D错误； 故选：A 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数 本题考查了相反数，明
2、确“在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数”是解题的关键 2. “戴口罩、勤洗手”能有效预防新冠病毒， N95 口罩对直径大于0.00 000 03米的颗粒， 阻隔率达95%以 上，数据0.00 000 03科学记数法表示为( ) A. 0.3 106 B. 0.3 107 C. 3 107 D. 3 106 【答案】C 【解析】解：数据0.00 000 03科学记数法表示为3 107， 故选：C 绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示， 一般形式为 10， 与较大数的科学记数法不同的是其 所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 本题考查用科学记
3、数法表示较小的数，一般形式为 10，其中1 | 10，n 为由原数左边起第一个 不为零的数字前面的 0的个数所决定 3. 下列计算正确的是( ) A. 32 52 = 22 B. (22)3 () = 86 C. 3532 52 = 7 D. (2 )(2 + ) = 42 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了单项式乘单项式、多项式乘多项式和整式的除法的知识点，解题关键点是熟练掌握这些运 算法则 【解答】 解：A32 52 = 1542，故本选项错误； B.(22)3 () = 87，故本选项错误； C.3532 52 = 7，故本选项正确； D.(2 )(2 + ) = 42
4、4 2，故本选项错误 故选 C 4. 一组数据 2，4，3，5，2的中位数是( ) A. 5 B. 3.5 C. 3 D. 2.5 【答案】C 【解析】【试题解析】 解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5， 数据个数为奇数，最中间的数是 3， 这组数据的中位数是 3 故选：C 中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的 总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数 本题考查了统计数据中的中位数，明确中位数的计算方法是解题的关键本题属于基础知识的考查，比较 简单 5. 如图，在矩形 ABCD中， = 3， = 2，以点 A为圆心，AD 长
5、为半径画 弧交边 BC于点 E，连接 AE，则 的长为( ) A. 4 3 B. C. 2 3 D. 3 【答案】C 【解析】解：四边形 ABCD是矩形， = = 2， = 90， = = 2， = 3， cos = = 3 2 ， = 30， = 60， 的长= 602 180 = 2 3 ， 故选：C 根据矩形的性质和三角函数的定义得到 = 30，根据弧长公式即可得到结论 本题考查了弧长的计算，矩形的性质，熟练正确弧长公式是解题的关键 6. 如图，在矩形 ABCD中， = 3， = 10，点 E 在 BC 边上， ， 垂足为.若 = 6，则线段 EF 的长为( ) A. 2 B. 3 C.
6、 4 D. 5 【答案】B 【解析】解：四边形 ABCD为矩形， = = 3， = = 10，/， = ， ， = = ， = 6， = 102 62= 8， 8 = 10 = 6 3， = 5， = = 8 5 = 3 故选：B 证明 ，得到 = = ，求出 AF，即可求出 AE，从而可得 EF 本题考查了矩形的性质， 相似三角形的判定和性质，勾股定理， 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法 7. 如图，直线 = + 交 x 轴于点(2,0)，直线 = + 交 x轴于点 (5,0)，这两条直线相交于点(1,)，则不等式组 + 0的解集为 ( ) A. 5 B. 2 C. 2 5 D. 2 1
7、 【答案】B 【解析】解： = + 0，则 0，则 5， 不等式组 + 0的解集即为： 2， 故选：B = + 0，则 0，则 5，即可求解 本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出 x 的值，是解答本题的 关键 8. 若 0) = + 1 = ( + 3)2( 3)，中，y的值随 x 的值增大而增大的函数共有( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数的性质，根据各性质进行判断即可得出结果 【解答】 解： 0)时函数图象位于第四象限，y 随 x 增大而增大； 一次
8、函数，x的系数大于 0时，y 随 x 增大而增大； 二次函数，m小于 0 时，开口向下， 3，y 随 x 的增大而减小 则正确的有两个， 故选 C. 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 9. 分解因式：22 62=_ 【答案】2(2 3) 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键直接提取公因式 2a，进而 分解因式即可 【解答】解：22 62= 2(2 3) 故答案为：2(2 3) 10. 若二元一次方程组 + = 3 3 5 = 4的解为 = = ，则 =_ 【答案】7 4 【解析】解：将 = = 代入方程组 + = 3 3 5 = 4，
9、得： + = 3 3 5 = 4， + ，得：4 4 = 7， 则 = 7 4， 故答案为：7 4 把 x、y 的值代入方程组，再将两式相加即可求出 的值 本题考查二元一次方程组的解， 解题的关键是观察两方程的系数， 从而求出 的值， 本题属于基础题型 11. 九章算术是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中题目译文如下：“今有人合伙买羊，每人出 5 钱，还差 45钱；每人出 7钱，还差 3 钱问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为 x人，根据题 意可列一元一次方程为_ 【答案】5 + 45 = 7 + 3 【解析】解：设合伙人数为 x人， 依题意，得：5 + 45 = 7 + 3 故答案为：5
10、 + 45 = 7 + 3 设合伙人数为 x 人，根据买羊需要的钱数不变，即可得出关于 x的一元一次方程，此题得解 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 12. 如图，已知 = 10，P 是线段 AB上的动点，分别以 AP、PB 为边在线段 AB 的同侧作等边 和 ，连接 CD，设 CD的中点为 G，当点 P 从点 A运动到点 B时，则点 G 移动路径的长是_ 【答案】5 【解析】解：如图，分别延长 AC、BD交于点 H，过 G 作/，分别交 AH 于 M，BH于 N， 和 是等边三角形， = = 60， 是等边三角形， = = 60， /，
11、= = 60， /， 四边形 CPDH 为平行四边形， 与 HP互相平分 为 CD的中点， 正好为 PH中点， 是等边三角形， 在 P 的运动过程中，G始终为 PH 的中点，所以 G的运行轨迹为 的中位线 MN = 1 2 = 5，即 G的移动路径长为 5 故答案为：5 分别延长 AC、BD 交于点 H，过 G作/，分别交 AH 于 M，BH于 N，易证四边形 CPDH 为平行四边 形，得出 G为 PH中点，则 G 的运行轨迹 的中位线 MN，运用中位线的性质求出 MN 的长度即可 本题考查了三角形中位线定理及等边三角形的性质， 解答本题的关键是作出辅助线， 找到点 G移动的规律， 判断出其运
12、动路径，综合性较强 13. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 坐标(3,0)，有一长度为2的线段 AB 在直线 = + 1的图象上滑动，则 + 的最小值为_ 【答案】34 【解析】解：当点 P在 AB 的垂直平分线上时， + 的值最小， 设直线 = + 1交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 D， (1,0)，(0,1)， = = 1， = 45， (3,0)， = 1 + 3 = 4， ， = 22， = 2， = 2 2 = 2+ 2= 34 2 ， = + 的最小值为： 34， 故答案为 34 当点 P在 AB的垂直平分线是 + 的值最小， 通过证得 是等腰直角三角形求得 = 22， 进而
13、求 得 = = 34 2 ，即可求得 + 的最小值 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线，等腰直角三角形的判定和性质 14. 使式子 1 24 + + 2成立的 x 的取值范围是_ 【答案】 2且 2 【解析】解：使式子 1 24 + + 2成立，则2 4 0， + 2 0， 解得： 2且 2 故答案为： 2且 2 直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案 此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键 15. 如图，在四边形 ABCD中，BD 平分， = = 90，E为 BC 的中点， AE与 BD 相交于点.若 = 4
14、， = 30， 则 DF的长为_ 【答案】4 5 3 【解析】 【分析】 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质， 相似三角形的判定和性质， 角平分线的定义， 判断出/ 是解本题的关键先利用含 30 度角的直角三角形的性质求出 BD，再利用直角三角形的性质求出 = = 2，即： = ，进而判断出/，再求出 = 3，即可得出结论 【解答】 解：如图， 在 中， = 4， = 30， = 23， 连接 DE， = 90，点 E是 BC中点， = = = 1 2 = 2， = 30， = = 30， 平分， = ， = ， /， ， = ， 在 中， = 30， = 23， = 3， = 2 3
15、， = 2 5， = 2 5 = 2 5 23 = 4 53 故答案为4 53 16. 如图，长方形 ABCD中， = = = = 90， = = 9， = = 15.点E为射线DC上的一个动点， 与 关于直线AE对称， 当 为直角三角形时，DE的长为 【答案】3 或 27 【解析】 【分析】 此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解 决问题的关键 关键是分两种情况：点 E在 DC线段上，点 E为 DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可 【解答】 解：如图 1， 折叠， ， = = 90， = 90， 、E 三点共线， + = + =
16、 90， = 在 与 中， = = = ， = = 15， = 2 2= 152 92= 12， = = 15 12 = 3； 如图 2， + = + = 90， = ， 在 和 中， = = = ， ， = = 15， = 2 2= 152 92= 12， = = 15 + 12 = 27 综上所知， = 3或 27 故答案为 3 或 27 三、计算题（本大题共 2 小题，共 12.0 分） 17. 计算：3 4 + (2)4+ (24)2 【答案】解：3 4 + (2)4+ (24)2 = 8+ 8+ 48 = 68 【解析】本题主要考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法运算、积的乘方
17、运算以及合并同类项， 正确掌握相关运算法则是解题关键.按照先算乘方，后算乘除，最后算加减的运算顺序进行计算即可 18. 解二元一次方程组2 + 3 = 12, 2 = 4. 【答案】解：2 + 3 = 12 2 = 4 ， 得：4 = 8， 解得： = 2， 将 = 2代入得：2 2 = 4， 解得： = 3， 原方程组的解为 = 3 = 2 【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法， 掌握消元法解二元一次方程组是解题的关键，方程组直接利用加减消元法求出解即可 四、解答题（本大题共 8 小题，共 64.0 分） 19. 在某体育用品商店，购买
18、30 根跳绳和 60 个毽子共用 720 元，购买 10 根跳绳和 50 个毽子共用 360 元 (1)跳绳、毽子的单价各是多少元？ (2)该店在“五四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售节日期间购买 100根 跳绳和 100 个毽子只需 1800 元，该店的商品按原价的几折销售？ 【答案】解：(1)设跳绳的单价为 x 元/根，毽子的单件为 y元/个，可得：30 + 60 = 720 10 + 50 = 360， 解得： = 16 = 4 ， 答：跳绳的单价为 16元/根，毽子的单件为 4元/个； (2)设该店的商品按原价的 x折销售，可得：(100 16 + 100 4)
19、10 = 1800， 解得： = 9， 答：该店的商品按原价的 9 折销售 【解析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键 (1)设跳绳的单价为 x元/根，毽子的单件为 y 元/个，根据：购买 30根跳绳和 60个毽子共用 720 元，购买 10 根跳绳和 50 个毽子共用 360 元，列方程组求解即可； (2)设该店的商品按原价的 x折销售， 根据： 购买 100 根跳绳和 100 个毽子只需 1800 元， 列出方程求解可得 20. 如图，E、F分别为平行四边形 ABCD的边 BC、AD上的点，且1 = 2，求证： = 【答案】证明：四边形 ABCD
20、 是平行四边形， /， 2 = ， 1 = 2， 1 = ， /， 四边形 AECF是平行四边形， = 【解析】根据平行四边形的性质证明2 = ，进而可得1 = ，然后证明四边形 AECF是平行四 边形，再根据平行四边形的性质可得结论 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等 21. 如图， 某市郊外景区内一条笔直的公路 l经过 A、 B两个景点， 景区管委会又开发了风景优美的景点.经 测量，C位于 A 的北偏东60的方向上，C位于 B 的北偏东30的方向上，且 = 10 (1)求景点 B 与 C的距离； (2)求景点 A 与 C的距离(结果保留根号) 【答案】解：(
21、1)过点 C作 直线 l，垂足为 D，如图所示 根据题意，得： = 30， = 60 设 = 在 中，tan = = 3 3 ， = 3； 在 中，tan = = 3，sin = = 3 2 ， = 3 3 ， = 23 3 = = 3 3 3 = 23 3 = 10， = 53， = 23 3 = 10 (2)在 中，sin = = 1 2， = 2 = 103 【解析】【试题解析】 本题考查了解直角三角形的应用方位角问题，通过解直角三角形，找出 AC，BC，AD，BD与 CD 之间的 关系是解题的关键 (1)过点 C作 直线 l，垂足为 D，设 = ，则 = 3， = 3 3 ， = 23
22、 3 ，结合 = 10可求出 x的值，进而可得出景点 B 与 C的距离； (2)在 中，通过解直角三角形可得出 = 2，结合(1)中 x的值可求出景点 A与 C 的距离 22. 为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影要求每名学生必须 选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査 结果绘制成如下不完整的统计表和统计图 学生选修课程统计表 课程 人数 所占百分比 声乐 14 % 舞蹈 8 16% 书法 16 32% 摄影 a 24% 合计 m 100% 根据以上信息，解答下列问题： (1) =_， =_ (2)求出 a 的
23、值并补全条形统计图 (3)该校有 1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名 (4)七(1)班和七(2)班各有 2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这 4 人中随机抽取 2 人编 排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的 2人恰好来自同一个班级的 概率 【答案】50 28 【解析】解：(1) = 8 16% = 50，% = 14 50 100% = 28%，即 = 28， 故答案为：50、28； (2) = 50 24% = 12，补全图形如下： (3)估计选修“声乐”课程的学生有1500 28% = 420(人) (4)画树状图为： 共有 12种
24、等可能的结果数，其中抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数为 4， 则所抽取的 2人恰好来自同一个班级的概率为 4 12 = 1 3 (1)由舞蹈人数及其所占百分比可得 m 的值，声乐人数除以总人数即可求出 b的值； (2)总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形； (3)利用样本估计总体思想求解可得； (4)画树状图展示所有 12种等可能的结果数，再找出抽取的 2 名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根 据概率公式求解 本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或
25、事件 B的概率也考查了统计图表 23. A 箱中装有 3 张相同的卡片，它们分别写有数字 1，2，4；B 箱中也装有 3张相同的卡片，它们分别写 有数字 2，4，5；现从 A箱、B 箱中各随机地取出 1 张卡片，请你用画树状图或列表的方法求： (1)两张卡片上的数字恰好相同的概率； (2)如果取出 A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出 B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求 两张卡片组成的两位数能被 3整除的概率 【答案】解：(1)根据题意画出树状图如下： 一共有 9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有 2 种情况， 所以， = 2 9； (2)一共有 9种情况，能被 3整除的两位数有 1
26、2、15、24、42、45共 5种， 所以， = 5 9 【解析】(1)画出树状图，然后根据概率公式解答； (2)根据能被 3 整除的数的各个数位上的数字之和是 3的倍数求出能被 3整除的情况数，然后根据概率公式 解答 本题考查了列表法与树状图法，主要利用了概率=所求情况数与总情况数之比 24. 已知抛物线 = 2经过点(2,1) (1)求这个函数的解析式； (2)若点 A关于 y 轴对称的点是 B， 则抛物线上是否存在点 C， 使 的面积等于 面积的一半， 若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为 = 2， 经过点(2,1)， 4 = 1， 解得
27、 = 1 4， 这个函数的解析式为 = 1 4 2； (2) 点(2,1)， 点 A 关于 y轴的对称点 B的坐标为(2,1)； = 2 (2) = 2 + 2 = 4， = 1 2 4 1 = 2； 假设存在点 C，且点 C 到 AB 的距离为 h， 则= 1 2 = 1 2 4， 的面积等于 面积的一半， 1 2 4 = 1 2 2， 解得 = 1 2， 当点 C在 AB下面时，点 C的纵坐标为1 1 2 = 1 2， 此时，1 4 2 = 1 2， 解得1= 2，2 = 2， 点 C 的坐标为(2, 1 2)或(2, 1 2)， 点 C 在 AB 的上面时，点 C的纵坐标为1 + 1 2
28、 = 3 2， 此时1 4 2 = 3 2 解得1= 6，2 = 6， 点 C 的坐标为(6, 3 2)或(6, 3 2)， 综上所述，存在点(2, 1 2)或(2, 1 2)或(6, 3 2)或(6, 3 2)使 的面积等于 面积的一半 【解析】(1)把点 A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到 a 的值，从而得解； (2)根据关于 y 轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；根据点 A、B的坐标求出 AB的长 度，以及点 O到 AB 的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解；根据三角形的面积公式求 出点 C到 AB的距离，再分点 C 在 AB 下面，点 C在 AB 的
29、上面两种情况求出点 C的纵坐标，然后代入 抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 C的坐标 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，关于 y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对 称性，(3)要注意分点 C在 AB 的上面与下面两种情况讨论求解 25. 如图，在 中， = ，以 AB 为直径的 分别交 BC，AC 于点 D，E，连接 EB，交 OD于点 F (1)求证： (2)若 = 5， = 8，求 AE 的长 (3)若 的面积是 面积的3 4，求 的值 【答案】解：(1)连接 AD， 是 直径， = = 90， = ， = ， ； (2) = 90， = 90， = ， = 2 =
30、25， 四边形 ABDE内接于 ， + = 180， + = 180， = ， = ， ， = ，即 25 = 5 8 ， = 5 4 = = = 8 5 4 = 27 4 ； ， 设= 3，= 4， = ， = = 3， = ， = ， /， ， = ( ) 2 = 1 4， = 4， = 4= 16， = + + = 22， ， ， = 3 22 = 66 22 ， = 2， = 66 11 【解析】略 26. “如图 1，在 中， = 90， 于点.”这里，根据已学的相似三角形的知识，易 证： = .在图 1 这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图 2，点 E 是直线 AC上一动点，连
31、接 DE，过点 D作 ，交直线 BC于点 F，设 = .” (1)探究发现：如图，若 = ，点 E 在线段 AC上，则 =_ (2)数学思考： 如图 3，若点 E 在线段 AC上，则 =_(用含 m，n 的代数式表示)； 当点 E在直线 AC上运动时，中的结论是否仍然成立？请仅就图 4 的情形给出证明； (3)拓展应用：若 = 5， = 25， = 42，请直接写出 CE的长 【答案】解：(1)1； (2) ； 成立如图， = 90， + = 90， 又 ， + = 90， = ， = = 90， + = + ， 即 = ， ， = ， = ， = = 90， ， = = ， = (3) =
32、25或 = 25 5 【解析】 【分析】 此题属于相似形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分 类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 (1)先用等量代换判断出 = ， = ， 得到 ， 再判断出 即可 (2)方法和(1)一样，先用等量代换判断出 = ， = ，得到 ，再判断出 即可 (3)由(2)的结论得出 ，判断出 = 2，求出 EF，再利用勾股定理，分三种情形分别求解 即可 【解答】 解：(1)当 = 时，即： = ， = 90， + = 90， ， + = 90， = ， = = 90， = ， 即 = ， ， = ， = ， = = 90， ，
33、= = 1， = 1， 故答案为 1 (2) = 90， + = 90， ， + = 90， = ， = = 90， = ， 即 = ， ， = ， = ， = = 90， ， = = ， = ， 故答案为 见答案 (3)由(2)有， ， = = 1 2， = = = 1 2， = 2， = 1 2 = 22， 在 中， = 22， = 42， = 2+ 2=(22)2+ (42)2= 210， 当 E 在线段 AC 上时，在 中， = 2 = 2( ) = 2(5 )， = 210， 根据勾股定理得，2+ 2= 2， 2+ 2(5 )2= 40 = 25，或 = 25 5 (舍)， 而 = 5 ， 此种情况不存在， 当 E 在 AC 延长线上时， 在 中， = 2 = 2( + ) = 2(5 + )， = 210， 根据勾股定理得，2+ 2= 2， 2+ 2(5 + )2= 40， = 25 5 ，或 = 25(舍)， 如图4 1，当点 E 在 CA 延长线上时， = 2 = 2( ) = 2( 5)， = 210， 根据勾股定理得，2+ 2= 2， 2+ 2( 5)2= 40， = 25，或 = 25 5 (舍) 即： = 25或 = 25 5
