1、2020-2021 学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1若，则的值为（ ） A B C D 2如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 3矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A两组对边分别平行 B对角线相等 C对角线互相平分 D两组对角分别相等 4在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘
2、出的统计图 如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A朝上的点数是 5 的概率 B朝上的点数是奇数的概率 C朝上的点数是大于 2 的概率 D朝上的点数是 3 的倍数的概率 5下列一元二次方程没有实数根的是（ ） Ax2+x+10 Bx2+x10 Cx22x10 Dx22x+10 6已知反比例函数 y，下列说法中正确的是（ ） A该函数的图象分布在第一、三象限 B点（2，3）在该函数图象上 Cy 随 x 的增大而增大 D该图象关于原点成中心对称 7在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是（4，2） ，B（5，0） ，以 O 为位似中心，相似比为，把 ABO 缩小，得到A1B1O，则点 A
3、 的对应点 A1的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）或（2，1） 8已知函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+0 的根的情况是（ ） A无实数根 B有两个相等实数根 C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根 9如图，OABOCD，OA：OC3：2，OAB 与OCD 的面积分别是 S1与 S2，周长分别是 C1与 C2，则下列说法正确的是（ ） A B C D 10如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴是直线 x，且经过点（2，0） ，下列说 法：abc0；b24ac0；x1 是关于
4、x 的方程 ax2+bx+c0 的一个根；a+b0其中正 确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）方程 x（x+3）0 的解是 12 （3 分）如图，小树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 BC若树高 AB2m，树影 BC3m，树与路灯的 水平距离 BP4m则路灯的高度 OP 为 m 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，BC5，AC12，则 sinB 的值是 14 （3 分）如图，公路 AC 与 BC 互相垂直，垂足为点 C，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为 4.
5、6km，则点 M 与 C 之间的距离是 km 15 （3 分） 若关于 x 的一元二次方程 （m3） x2+6x+m27m+120 有一个根是 0， 那么 m 的值为 16 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADAB，A30，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90， 并延长至其倍（即 CECD） ，过点 E 作 EFAB 于点 F，当 AD6，BF3，EF时，边 BC 的长是 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18，19 小题各小题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：4sin260+cos452tan60tan30 18 （8 分）
6、 共享经济已经进入人们的生活 小沈收集了自己感兴趣的 4 个共享经济领域的图标， 共享出行、 共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相 同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图 的方法求抽到的两张卡片恰好是 “共享出行” 和 “共享知识” 的概率 （这四张卡片分别用它们的编号 A、 B、C、D 表示） 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E，F（
7、点 E，F 在正方形 ABCD 的 外部） ，满足 BEDF，连接 AE，AF，CE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB4，sinAFE，则四边形 AECF 的面积是 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）某地区 2018 年投入教育经费 2000 万元，2020 年投入教育经费 2880 万元 （1）求 2018 年至 2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2021 年该地区将投入教育经费多少万元 21 （8 分）如图，小亮在大楼 AD 的观光电梯中的 E 点测得大楼 BC
8、 楼底 C 点的俯角为 60，此时他距地 面的高度 AE 为 21 米，电梯再上升 9 米到达 D 点，此时测得大楼 BC 楼顶 B 点的仰角为 45，求大楼 BC 的高度 （结果保留根号） 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y（x0）交于点 A 和 C，与 x 轴交于点 B 和 D，点 A 和 B 的刻度分别为 5cm 和 2cm，直尺的宽度为 2cm，OB2cm （注：平面直角坐标系内一 个单位长度为 1cm） （1）点 A 的坐标为 ； （2）求双曲线 y的解析式； （3）若经过 A，C 两点的直线解析式为 ymx+
9、b，请直接写出关于 x 的不等式 mx0 的解集 六、 （本题六、 （本题 10 分分) 23 （10 分）某厂为满足市场需求，改造了 10 条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩 500 个，如果每 增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产 20 个口罩，设增加 x 条生产线（x 为正整数） ，每条生产 线每天可生产口罩 y 个 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量取值范围； （2）设该厂每天可以生产的口罩 w 个，请求出 w 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为多少时，每天生产 的口罩数量 w 最多？最多为多少个？ （3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于
10、 6000 个，请直接写出需要增加的生产线 x 条的取值范围 七、 （本题七、 （本题 12 分分) 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AD6，AB2，点 E 是边 AD 上的一个动点，连接 BE，以 BE 为一边 在其左上方作矩形 BEFG，过点 F 作直线 AD 的垂线，垂足为点 H，连接 DF （1）当 BEEF 时 求证：FHAE； 当DEF 的面积是时，求线段 DE 的长； （2）如图 2，当 BEEF，且射线 FE 经过 CD 的中点时，请直接写出线段 FH 长 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（
11、a0）与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3， 0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 是第一象限内抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC 与 OP，交于点 D，求当的值最大时点 P 的坐标； （3）点 F 与点 C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点 P 的纵坐标为 2 时，过点 P 作直线 PQx 轴，点 M 为直线 PQ 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴于点 N，在线段 ON 上任取一点 K，当有且只有一个点 K 满足FKM135时，请直接写出此时线段 ON 的长 2020-2021 学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）
12、期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个选项是正确的，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1若，则的值为（ ） A B C D 【分析】设t，则可用 t 表示 a、b 得到 a3t，b2t，然后把它们代入分式中约分即可 【解答】解：设t，则 a3t，b2t， 所以 故选：C 2如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的
13、虚线， 故选：C 3矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A两组对边分别平行 B对角线相等 C对角线互相平分 D两组对角分别相等 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误； B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确； C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误； D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误 故选：B 4在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图 如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A朝上的点数是 5 的概率 B朝上的点数
14、是奇数的概率 C朝上的点数是大于 2 的概率 D朝上的点数是 3 的倍数的概率 【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为 16.67%，根据频率估计概率实 验统计的频率，随着实验次数的增加，频率越稳定在 35%左右，因此可以判断各选项 【解答】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在 35%左右， A 的概率为 16100%16.67%， B 的概率为 36100%50%， C 的概率为 46100%66.67%， D 的概率为 26100%33.33%， 即朝上的点数是 3 的倍数的概率与之最接近， 故选：D 5下列一元二次方程没有实数根的是（ ） Ax2+x+10 B
15、x2+x10 Cx22x10 Dx22x+10 【分析】根据方程的系数结合根的判别式b24ac，逐一分析四个选项方程根的判别式的符号，由此 即可得出结论 【解答】解：A、在方程 x2+x+10 中，1241130， 该方程没有实数根； B、在方程 x2+x10 中，1241（1）50， 该方程有两个不相同的实数根； C、在方程 x22x10 中，（2）241（1）80， 该方程有两个不相同的实数根； D、在方程 x22x+10 中，（2）24110， 该方程有两个相等的实数根 故选：A 6已知反比例函数 y，下列说法中正确的是（ ） A该函数的图象分布在第一、三象限 B点（2，3）在该函数图象
16、上 Cy 随 x 的增大而增大 D该图象关于原点成中心对称 【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，再逐个判断即可 【解答】解：A反比例函数 y中60， 该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意； B把（2，3）代入 y得：左边3，右边3，左边右边， 所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意； C反比例函数 y中60， 函数的图象在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，故本选项不符合题意； D反比例函数 y的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意； 故选：D 7在平面直角坐标系中
17、，点 A，B 的坐标分别是（4，2） ，B（5，0） ，以 O 为位似中心，相似比为，把 ABO 缩小，得到A1B1O，则点 A 的对应点 A1的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1）或（2，1） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案 【解答】解：点 A 为（4，2） ，以 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小，得到A1B1O， 则点 A 的对应点 A1的坐标为（4，2）或（4，2） ，即（2，1）或（2，1） ， 故选：D 8已知函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+0 的根的情况是（ ） A无实数根
18、B有两个相等实数根 C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根 【分析】利用函数图象平移即可求解 【解答】解：函数 yax2+bx+c 向上平移个单位得到 yax2+bx+c+， 而 y顶点的纵坐标为2+， 故 yax2+bx+c+与 x 轴有两个交点，且两个交点在 x 轴的右侧， 故 ax2+bx+c+0 有两个同号不相等的实数根， 故选：D 9如图，OABOCD，OA：OC3：2，OAB 与OCD 的面积分别是 S1与 S2，周长分别是 C1与 C2，则下列说法正确的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的性质判断即可 【解答】解：OABOCD，OA：OC3：2， ，A 正确；
19、，B 错误； ，C 错误； OA：OC3：2，D 错误； 故选：A 10如图是二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴是直线 x，且经过点（2，0） ，下列说 法：abc0；b24ac0；x1 是关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的一个根；a+b0其中正 确的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点位置求得 a、b、c 的符号即可判断； 根据抛物线与 x 轴的交点即可判断； 根据二次函数的对称性即可判断； 由对称轴求出 ba 即可判断 【解答】解：二次函数的图象开口向下， a0， 二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一
20、点， c0， 对称轴是直线 x， ， ba0， abc0 故错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 故正确； 对称轴为直线 x，且经过点（2，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） ， x1 是关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的一个， 故正确； 由中知 ba， a+b0， 故正确； 综上所述，正确的结论是共 3 个 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 （3 分）方程 x（x+3）0 的解是 0 或3 【分析】推出方程 x0，x+30，求出方程的解即可 【解答】解：x（x+3）0， x0，x+30， 方程的解是
21、x10，x23 故答案为：0 或3 12 （3 分）如图，小树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 BC若树高 AB2m，树影 BC3m，树与路灯的 水平距离 BP4m则路灯的高度 OP 为 m 【分析】利用中心投影的特点得到 ABOP，则可判断ABCOPC，然后利用相似比求 OP 的长 【解答】解：ABOP， ABCOPC， ，即， OP（m） 故答案为 13 （3 分）在 RtABC 中，C90，BC5，AC12，则 sinB 的值是 【分析】先利用勾股定理计算出 AB，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：C90，BC5，AC12， AB13， sinB 故答案为 14 （3 分）如图，公
22、路 AC 与 BC 互相垂直，垂足为点 C，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AB 的长为 4.6km，则点 M 与 C 之间的距离是 2.3 km 【分析】利用直角三角形的性质可得 CMAB，从而可得答案 【解答】解：公路 AC 与 BC 互相垂直， ACB90， M 是 AB 中点， CMAB4.6km2.3km， 故答案为：2.3 15 （3 分）若关于 x 的一元二次方程（m3）x2+6x+m27m+120 有一个根是 0，那么 m 的值为 4 【分析】先把 x0 代入（m3）x2+6x+m27m+120 得 m27m+120，再解关于 m 的方程，然后根 据一元二次
23、方程的定义确定满足条件的 m 的值 【解答】解：把 x0 代入（m3）x2+6x+m27m+120 得 m27m+120， 解得 m14，m23， m30， m的值为 4 故答案为 4 16 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADAB，A30，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90， 并延长至其倍（即 CECD） ，过点 E 作 EFAB 于点 F，当 AD6，BF3，EF时，边 BC 的长是 【分析】由锐角三角函数可求DEC30，通过证明ADEBDC，可得，由勾股定理 可求 AE 的长，即可求解 【解答】解：如图，连接 BD，AE，DE， 将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90，并
24、延长至其倍， DCE90，CD， tanDEC， DEC30， cosDEC，sinDEC， ADAB， ， ， 又DECDAB30， DECDAB， ADBEDC， ADEBDC， ADEBDC， ， ADAB，AD6， AB9， 又BF3， AF6， AE， BCAE， 故答案为： 三、解答题（第三、解答题（第 17 小题小题 6 分，第分，第 18，19 小题各小题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17 （6 分）计算：4sin260+cos452tan60tan30 【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则即可求 【解答】解；原式4+2 4+12 2 18 （8 分） 共享经
25、济已经进入人们的生活 小沈收集了自己感兴趣的 4 个共享经济领域的图标， 共享出行、 共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D 的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相 同） 现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ； （2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回） ，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图 的方法求抽到的两张卡片恰好是 “共享出行” 和 “共享知识” 的概率 （这四张卡片分别用它们的编号 A、 B、C、D 表示） 【分析】 （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张
26、卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结 果数为 2，根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片， 小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为 2， 抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E，F（点 E，F 在正方形 ABCD 的 外部） ，满足 BEDF，连接 AE，AF，CE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形
27、； （2）若 AB4，sinAFE，则四边形 AECF 的面积是 32 【分析】 （1）连接 AC，根据正方形的性质即可证明四边形 AECF 是菱形； （2）根据正方形 ABCD 的性质和 AB4，sinAFE，可得 AC4，EF8，进而可得菱形 AECF 的面积 【解答】证明： （1）如图，连接 AC， 四边形 ABCD 是正方形， OAOC，OBOD，ACEF， BEDF， OB+BEOD+DF， 即 OEOF， OAOC，OEOF， 四边形 AECF 是平行四边形， ACEF， 四边形 AECF 是菱形； （2）四边形 ABCD 是正方形，AB4，ACEF， OAAB2， AC4， si
28、nAFE， ， AF2， OF4， EF8， 菱形 AECF 的面积ACEF4832 故答案为：32 四、 （每小题四、 （每小题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 （8 分）某地区 2018 年投入教育经费 2000 万元，2020 年投入教育经费 2880 万元 （1）求 2018 年至 2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2021 年该地区将投入教育经费多少万元 【分析】 （1）设 2018 年至 2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为 x，根据该地区 2018 年及 2020 年投入教育经费的金额，即可得出关于 x 的
29、一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该地区 2021 年投入教育经费该地区 2020 年投入教育经费（1+增长率） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设 2018 年至 2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为 x， 依题意得：2000（1+x）22880， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：2018 年至 2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为 20% （2）2880（1+20%）3456（万元） 答：预计 2021 年该地区将投入教育经费 3456 万元 21 （8 分）如图，小亮在大楼 AD 的观光电梯中的 E 点测得大楼 BC 楼
30、底 C 点的俯角为 60，此时他距地 面的高度 AE 为 21 米，电梯再上升 9 米到达 D 点，此时测得大楼 BC 楼顶 B 点的仰角为 45，求大楼 BC 的高度 （结果保留根号） 【分析】 过 D 作 DHBC 于 H， 过 E 作 EGBC 于 G 求出 EG 和 DH 的长， 在 RtBDH 中， 求出 BH， 则可得出答案 【解答】解：过 D 作 DHBC 于 H，过 E 作 EGBC 于 G 由已知得，BDH45，CEG60，AE21 米，DE9 米 在 RtCEG 中，CGAE21 米，tanCEG， EG7（米） DHEG7米 在 RtBDH 中，BDH45， BHDH7米
31、 BCCG+HG+BHCG+DE+BH21+9+7（30+7）米 答：大楼 BC 的高度是（30+7）米 五、 （本题五、 （本题 10 分）分） 22 （10 分）如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y（x0）交于点 A 和 C，与 x 轴交于点 B 和 D，点 A 和 B 的刻度分别为 5cm 和 2cm，直尺的宽度为 2cm，OB2cm （注：平面直角坐标系内一 个单位长度为 1cm） （1）点 A 的坐标为 （2，3） ； （2）求双曲线 y的解析式； （3）若经过 A，C 两点的直线解析式为 ymx+b，请直接写出关于 x 的不等式 mx0 的解集 【分析】 （1）由 OB
32、 与 AB 的长，及 A 位于第一象限，确定出 A 的坐标； （2）将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 k 的值； （3）由图象求得即可 【解答】解： （1）由题意可知 A（2，3） ， 故答案为（2，3） ； （2）将 A 点坐标代入 y中，得：3， k6， 双曲线的解析式为 y； （3）由图象可知，关于 x 的不等式 mx0 的解集是 0 x2 或 x4 六、 （本题六、 （本题 10 分分) 23 （10 分）某厂为满足市场需求，改造了 10 条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩 500 个，如果每 增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产 20 个口罩，设增加 x 条生产线（x
33、为正整数） ，每条生产 线每天可生产口罩 y 个 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量取值范围； （2）设该厂每天可以生产的口罩 w 个，请求出 w 与 x 的函数关系式，并求出当 x 为多少时，每天生产 的口罩数量 w 最多？最多为多少个？ （3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于 6000 个，请直接写出需要增加的生产线 x 条的取值范围 【分析】 （1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可； （2） 先根据题意写出关于 x 的二次函数， 再将其配方， 写成顶点式， 然后根据二次函数的性质可得答案； （3）生产线的条数乘以每
34、条生产线生产的口罩数量6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意得 出 x 的取值范围 【解答】解： （1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y50020 x； 故 y 与 x 之间的函数关系式为 y50020 x（1x25，且 x 为正整数） ； （2）w（10+x） （50020 x） 20 x2+300 x+5000 20（x7.5）2+6125， a200，开口向下， 当 x7.5 时，w 最大， 又x 为整数， 当 x7 或 8 时，w 最大，最大值为 6120 答：当增加 7 或 8 条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为 6120 个； （3）由题意得： （10+x
35、） （50020 x）6000， 整理得：x215x+500， 解得：x15，x210， 由（2）得：w20 x2+300 x+5000， a200，开口向下， 需要增加的生产线 x 条的取值范围是：5x10（x 为正整数） 七、 （本题七、 （本题 12 分分) 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AD6，AB2，点 E 是边 AD 上的一个动点，连接 BE，以 BE 为一边 在其左上方作矩形 BEFG，过点 F 作直线 AD 的垂线，垂足为点 H，连接 DF （1）当 BEEF 时 求证：FHAE； 当DEF 的面积是时，求线段 DE 的长； （2）如图 2，当 BEEF，且射线 FE
36、 经过 CD 的中点时，请直接写出线段 FH 长 【分析】 （1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； 根据全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可； （3）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可 【解答】解： （1）FHAE， FEH+HFE90， 矩形 BEFG， FEH+AEB90， AEBHFE， 在FHE 与EAB 中， ， FHEEAB（AAS） ， FHAE； FHEEAB， AEFH， AD6， 设 CDx，AE6x， DEF 的面积， 可得：， 解得：， 即线段 DE 的长为或； （2）FHAE， FEH+HFE90， 矩形 BEFG， FEH+AEB9
37、0， AEBHFE， FHEEAB， ， AB6， ， HE2， 延长 FE 交 DC 于点 Q， Q 是 CD 的中点， DQ， 设 FH 为 x，则 AEx， 则 DE6x， DEQFEH，FHEQDE90， EDQEHF， ， 即， 解得：， 线段 FH 长为+1 或1 八、 （本题八、 （本题 12 分）分） 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3， 0） ，与 y 轴交于点 C，点 P 是第一象限内抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC 与 OP，交于点 D，求当的值最大时点 P 的坐
38、标； （3）点 F 与点 C 关于抛物线的对称轴成轴对称，当点 P 的纵坐标为 2 时，过点 P 作直线 PQx 轴，点 M 为直线 PQ 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴于点 N，在线段 ON 上任取一点 K，当有且只有一个点 K 满足FKM135时，请直接写出此时线段 ON 的长 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式； （2）过点 P 作 PGx 轴，交 BC 与 G，先求出直线 BC 的解析式，设点 P（p，p2+2p+3） ，则点 G 坐 标为（p，p+3） ，可求 PG 的长，由平行线分线段成比例可得，利用二次函数的性质可求解； （3） 分两种情况讨论， 连接 FM， 以
39、FM 为斜边， 作等腰直角FHM， 当以 H 为圆心 FH 为半径作圆 H， 与 x 轴相切于 K，此时有且只有一个点 K 满足FKM135，设点 H（x，y） ，由“AAS”可证FHE HMQ， 可得 HEQMy3， HQEFx2， 由勾股定理可求 y 的值， 可求点 M 坐标， 即可求解 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0） 、B（3，0） ， ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图 1，过点 P 作 PGx 轴，交 BC 于 G， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3 与 y 轴交于点 C， 点 C（0，3） ， 直线
40、 BC 解析式为 yx+3， 设点 P（p，p2+2p+3） ，则点 G 坐标为（p，p+3） ， PGp2+2p+3（p+3）p2+3p， PGOC， ， 当 p时，的值有最大值， 点 P（，） ； （3）当点 M 在点 F 的右侧，如图 2，连接 FM，以 FM 为斜边，作等腰直角FHM，当以 H 为圆心 FH 为半径作圆 H，与 x 轴相切于 K，此时有且只有一个点 K 满足FKM135， 连接 HK，交 PM 于 Q，延长 CF 交 HK 于 E，则 HKx 轴， 设点 H（x，y） ， 点 A（1，0） 、B（3，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x1， 点 F 与点 C 关于抛物线的对称轴成轴对称， 点 F（2，3） ，CFx 轴， CFPM， HKCF，HKPM， FEHHQM90FHM， FHE+QHM90FHE+HFE， QHMHFE， 又FHHM， FHEHMQ（AAS） ， HEQMy3，HQEFx2， y2x2， xy， FH2HE2+EF2， y2（y2）2+（y3）2， y2+5， QM2+532+2， 点 M 的坐标（4+7，2） ， MNx 轴， ON7+4， 当点 M 在点 F 的左侧，同理可求 ON3+4， 综上所述：线段 ON 的长为 7+4或 3+4
