1、2018-2019 学年浙江省宁波市二校联考八年级下期中数学试卷学年浙江省宁波市二校联考八年级下期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （3 分）以下各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 2 （3 分）用配方法解方程 x24x60 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）26 B （x2）210 C （x4）26 D （x4）210 3 （3 分）如图，不是中心对称图形的是（ ） A B C D
2、4 （3 分）某班 10 名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 尺寸（cm） 160 165 170 175 180 学生人数（人） 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ） A165cm，165cm B165cm，170cm C170cm，165cm D170cm，170cm 5 （3 分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） Ax2+2x+10 Bx2+x+20 Cx210 Dx22x10 6 （3 分）设四边形的内角和等于 a，五边形的外角和等于 b，则 a 与 b 的关系是（ ） Aab Bab Cab Dba+180 7 （3 分）在平行四边形 ABC
3、D 中，A+C100，则D 等于（ ） A50 B80 C100 D130 8 （3 分）如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，若148，232，则 B 为（ ） A124 B114 C104 D56 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，ABAD，ABa，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN 于点 N则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示） （ ） Aa Ba Ca Da 10 （3 分）如图，把正方形 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片， 使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE，若
4、 AB 长为 2，则 EN 的长为（ ） A23 B32 C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （3 分）当 x1 时，二次根式的值为 12 （3 分）体育老师对甲、乙两名运动员进行了 5 次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是 13.2 秒，S甲 2 3.8 秒 2，S 乙 25.25 秒 2，则两人中成绩较稳定的是 13 （3 分）平面直角坐标系中，点 P（3，1a）与点 Q（b+2，3）关于原点对称，则 a+b 14 （3 分）如图，在网格（网格的正方形边长为 1）中，格点四边形 ABCD 是菱形，则此四
5、边形 ABCD 的 面积等于 15 （3 分） 如图， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， 点 E、 F 分别是线段 AO、 BO 的中点 若 AC+BD24cm，若 EF4cm，则OCD 的周长 cm 16 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（2m3）x+m20 有两个不相等的实数根，则满足条件的 m 的最大整数值是 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB5，AC12，P 为边 BC 上的一个动点，PEAB 于 点 E，PFAC 于点 F，则 EF 最小值为 18 （3 分） 如图， 已知 BD， CE 分别是ABC 的内角平分线，
6、 过 A 点作 AFBD； AGCE， 垂足分别为 F， G，连结 FG，若 ABc，ACb，BCa，则 FG 的长等于 （用含 a，b，c 的代数式表示结果） 三、解答题（共三、解答题（共 46 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： （1）2+ （2） （+） （）+ 20解方程： （1）x26x10； （2） （x3）2+2x（x3）0 21如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大矩形，AB 是其中一个小长方形的对角线，请在大矩形中 完成下列作图，要求：仅用无刻度直尺，保留画图痕迹 （1）在图 1 中画出以 AB 为边的正方形；
7、 （2）在图 2 中画出线段 AB 的垂直平分线 22据新闻报道，作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成某部门统计了今年 4 月份中的 7 天的公共自行车日租车组情况，结果如图： （1）求这 7 天日租车量的众数、中位数和平均数； （2）用（1）中的平均数估计 4 月份（30 天）共租车多少万车次？ （3）2017 年市政府在公共自行车建设项目中共投入 1000 万元，计划 2019 年投入 1210 万元，若这两年 公共自行车建设投资的年增长率相同，求年增长率， 23如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD8，E 是 AD 边上一点，折叠纸片使点 B 与点 E 重合，其
8、中 MN 为折痕，连结 BM、NE （1）求证：四边形 BMEN 是菱形； （2）若 DE2，求 NC 的长 24 （10 分）如图 1，点 G 是正方形 ABCD 对角线 DB 的延长线上任意一点，以线段 BG 为边作一个正方形 BEFG，线段 CE 和 AG 相交于点 H （1）求证：CEAG，CEAG； （2）若 AB2，BG1，求 CE 的长； （3）如图 2，正方形 BEFG 绕点 B 逆时针旋转 a（0a90） ，连结 AE、CG，BCG 与ABE 的面 积之差是否会发生变化？若不变，请求出BCG 与ABE 的面积之差；若变化，请说明理由 25如图 1，已知平行四边形 ABCD 的
9、边 AB 平行于 x 轴，AB6，点 A 的坐标为（1，4） ，点 D 的坐标 为（3，4） ，点 B 在第四象限，点 P 是平行四边形 ABCD 边上的一个动点 （1）若点 P 在边 BC 上，PDCD，求点 P 的坐标； （2）若点 P 在边 AD 或 CD 上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点如图 2，过点 P 作 y 轴的平行线 PM，过点 G 作 x 轴的平行线 GM，它们相交于点 M，将PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴上时， 求点 P 的坐标（直接写出答案） 26如图，RtABC 中，BAC90，ABC30，AB16点 D 是射线 CA 上一动点，过点 C
10、 作 射线 DB 的垂线，垂足为点 H，点 M 为 AB 的中点，连结 HM，则 HM 的最小值为 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1 （3 分）以下各式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 【解答】解：2， 而中被开方数不含能开得尽方的因数， 属于最简二次根式的是， 故选：
11、D 【点评】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件： （1）被开方数的因数是整数或整式； （2） 被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式 2 （3 分）用配方法解方程 x24x60 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）26 B （x2）210 C （x4）26 D （x4）210 【分析】先将常数项移到等号的右边，然后配方将方程左边配成一个完全平方式即可 【解答】解：移项得 x24x6， 配方得 x24x+46+4， 即（x2）210， 故选：B 【点评】本题考查了配方法解一元二次方程的运用，解答时熟练运用配方法的步骤是关键，此题难度一 般 3 （3 分）如图，不是中心对
12、称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解 【解答】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后 的图形能和原图形完全重合，可知 A、B、C 是中心对称图形；D 不是中心对称图形 故选：D 【点评】掌握中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 4 （3 分）某班 10 名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 尺寸（cm） 160 165 170 175 180 学生人数（人） 1 3 2 2 2 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为（ ） A165cm，165cm B165cm
13、，170cm C170cm，165cm D170cm，170cm 【分析】 根据表格可以直接得到这 10 名学生校服尺寸的众数，然后将表格中数据按从小到大的顺序排列 即可得到中位数 【解答】解：由表格可知，这 10 名学生校服尺寸的众数是 165cm， 这 10 名学生校服尺寸按从小到大排列是：160、165、165、165、170、170、175、175、180、180， 故这 10 名学生校服尺寸的中位数是：cm， 故选：B 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位 数 5 （3 分）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） Ax2+2x+10
14、 Bx2+x+20 Cx210 Dx22x10 【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断 【解答】解：A、224110，方程有两个相等实数根，此选项错误； B、1241270，方程没有实数根，此选项正确； C、041（1）40，方程有两个不等的实数根，此选项错误； D、（2）241（1）80，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B 【点评】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0 方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 6 （3 分）设四边形的内角和等于 a，五边形的外角
15、和等于 b，则 a 与 b 的关系是（ ） Aab Bab Cab Dba+180 【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论 【解答】解：四边形的内角和等于 a， a（42） 180360 五边形的外角和等于 b， b360， ab 故选：B 【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键 7 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，A+C100，则D 等于（ ） A50 B80 C100 D130 【分析】由在ABCD 中，若A+C100，根据平行四边形的性质，可求得A 的度数，又由平行 线的性质，求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平
16、行四边形， AC，ABCD， A+D180， A+C100， A50， D180A130 故选：D 【点评】此题考查了平行四边形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 8 （3 分）如图，将平行四边形 ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B处，若148，232，则 B 为（ ） A124 B114 C104 D56 【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案 【解答】解：由折叠得，45， ABCD 是平行四边形， ABCD， 53， 34， 又13+448， 5434824， 在ABC 中，B180521802432124， 故选：A 【点评】本题
17、考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，有图形直观得出各个 角之间的关系是正确解答的关键 9 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，ABAD，ABa，AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN 于点 N则 DM+CN 的值为（用含 a 的代数式表示） （ ） Aa Ba Ca Da 【分析】根据“AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN 于点 N”得MDCNCD45，cos45 ，所以 DM+CNCDcos45；再根据矩形 ABCD，ABCDa，DM+CN 的值即可求出 【解答】解：AN 平分DAB，DMAN 于点 M，CNAN 于点 N， ADMMDCNCD45，
18、 +CD， 在矩形 ABCD 中，ABCDa， DM+CNacos45a 故选：C 【点评】本题利用角平分线的性质和 45角的余弦的定义和余弦值求解，比较灵活，有利于培养学生的 刻苦钻研精神 10 （3 分）如图，把正方形 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片， 使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE，若 AB 长为 2，则 EN 的长为（ ） A23 B32 C D 【分析】由折叠的性质可得 BMBC1，BFBA2，BMF90，由勾股定理可求 FM 的长，可 求 FN 的长，再由勾股定理可求 EN 的长 【解答】解：由折叠的性质可知，BMB
19、C1，BFBA2，BMF90， 由勾股定理得，FM， FNMNFM2 设 AEFEx，则 EN1x， NFMNFM2， RtEFN 中，NE2+NF2EF2， （1x）2+（2）2x2， 解得 x42， EN23， 故选：A 【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图 形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，满分分，满分 24 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 11 （3 分）当 x1 时，二次根式的值为 2 【分析】把 x1 代入二次根式，根据|a|计算即可 【解答
20、】解：当 x1 时，二次根式2， 故答案为：2 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键 12 （3 分）体育老师对甲、乙两名运动员进行了 5 次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是 13.2 秒，S甲 2 3.8 秒 2，S 乙 25.25 秒 2，则两人中成绩较稳定的是 甲 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定 【解答】解：S甲 23.8 秒2，S 乙 25.25 秒2， S甲 2S 乙 2， 两人中成绩较稳定的是甲； 故答案为：甲 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数据越不稳
21、定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏 离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 13 （3 分）平面直角坐标系中，点 P（3，1a）与点 Q（b+2，3）关于原点对称，则 a+b 1 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答 【解答】解：点 P（3，1a）与点 Q（b+2，3）关于原点对称， 3（b+2） ，1a3， 解得：a4，b5， a+b1 故答案为：1 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点 对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数 14 （3 分）如图，在网格（网格的正方形边长为 1）中，格点四边形 A
22、BCD 是菱形，则此四边形 ABCD 的 面积等于 12 【分析】由图可得菱形的两对角线长分别为 4，6，根据菱形的面积两对角线长乘积的一半，求得菱形 的面积 【解答】解：由题意得：AC4，BD6， 菱形 ABCD 的面积ACBD4612， 故答案为：12 【点评】本题考查了菱形的性质；解题的关键是熟记菱形的面积两对角线长乘积的一半 15 （3 分） 如图， 平行四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O， 点 E、 F 分别是线段 AO、 BO 的中点 若 AC+BD24cm，若 EF4cm，则OCD 的周长 20 cm 【分析】由平行四边形的性质可求得 OD+OC 的长度，已知
23、 EF 的长度利用三角形中位线定理可求得 AB 的长度，进而可求得 CD 的长度，OCD 的周长即可求解 【解答】解： 四边形 ABCD 为平行四边形， OCAC，ODBD， OC+OD（AC+BD）2412（cm） ， 点 E、F 分别是线段 AO、BO 的中点， EF 为AOB 的中位线， AB2EF8cm， CDAB8cm， OC+OD+CD12+820（cm） ， OCD 的周长为 20m， 故答案为：20 【点评】 本题主要考查平行四边形的性质， 掌握平行四边形的对边相等、 对角线互相平分是解题的关键 16 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（2m3）x+m20 有两个
24、不相等的实数根，则满足条件的 m 的最大整数值是 2 【分析】由方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于 0，可得到关于 m 的不等式，可求得 m 的最 大整数值 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2+（2m3）x+m20 有两个不相等的实数根， （2m3）24m（m2）0， 解得 m， 最大整数 m2 故答案是：2 【点评】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况求得 m 的取值范围是解题的关键 17 （3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB5，AC12，P 为边 BC 上的一个动点，PEAB 于 点 E，PFAC 于点 F，则 EF 最小值为 【分析】证出四边形 PEA
25、F 是矩形；连接 PA，则 PAEF，所以要使 EF，即 PA 最短，只需 PACB 即 可；然后根据三角形的面积求得 PA 的长，即可得出结论 【解答】解：如图，连接 PA BAC90，AB5，AC12， BC13， 又PEAB 于点 E，PFAC 于点 F AEPAFP90， 四边形 PEAF 是矩形 APEF 当 PA 最小时，EF 也最小， 当 APCB 时，PA 最小， ABACBCAP， AP， 线段 EF 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识；利用“两点之 间垂线段最短”找出 PABC 时，PA 取最小值是解答此题
26、的关键 18 （3 分） 如图， 已知 BD， CE 分别是ABC 的内角平分线， 过 A 点作 AFBD； AGCE， 垂足分别为 F， G，连结 FG，若 ABc，ACb，BCa，则 FG 的长等于 （用含 a，b，c 的代数式表示结 果） 【分析】根据高线推出AFBMFB，证ABFMBF，进一步推出 MBAB，AFMF，同理 CN AC，AGNG，然后得出 GF 是AMN 的中位线即可 【解答】解：延长 AF 交 BC 于点 M，延长 AG 交 BC 于点 N， BD，CE 分别是ABC 的内角平分线， ABDCBD，ACEBCE， AFBD， AFBMFB90， 在ABF 和MBF 中
27、， ， ABFMBF（ASA） ， BMBA，AFFM， 同理，CNCA，NGGA， GF 是AMN 的中位线， GFMN， AB+ACMB+CNBN+MN+CM+MN，BCBN+MN+CM， AB+ACBCMN， GFMN（AB+ACBC）； 故答案为： 【点评】本题考查的是考查三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判断的力 量和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 46 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19计算： （1）2+ （2） （+） （）+ 【分析】 （1）根据二次根式的性质
28、、二次根式的加法法则计算； （2）根据平方差公式、二次根式的性质、二次根式的加法法则计算 【解答】解： （1）原式42+ 4+ 3+； （2）原式734+32 32 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法、加减法法则是 解题的关键 20解方程： （1）x26x10； （2） （x3）2+2x（x3）0 【分析】 （1）根据题目特点，用配方法或公式法求解比较简便； （2）用提公因式法求解比较简便 【解答】解： （1）移项，得 x26x1， 配方，得 x26x+910， （x3）210 x3 即 x3 x13+，x23 （2） （x3）2+2x（x3）0， 提
29、公因式，得（x3） （x3+2x）0 即（x3） （3x3）0 x30 或 3x30 解得：x13，x21 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的解法，并能根据方程特点灵活选择解法 是解决本题的关键 21如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大矩形，AB 是其中一个小长方形的对角线，请在大矩形中 完成下列作图，要求：仅用无刻度直尺，保留画图痕迹 （1）在图 1 中画出以 AB 为边的正方形； （2）在图 2 中画出线段 AB 的垂直平分线 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题 （2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题 【解答】解： （1
30、）如图 1 所示，四边形 ABCD 即为以 AB 为边的正方形； （2）线段 AB 的垂直平分线如图 2 所示， 点 M 是长方形 AFBE 是对角线交点，点 N 是正方形 ABCD 的对角线的交点，直线 MN 就是所求的线段 AB 的垂直平分线 【点评】本题考查作图复杂作图、正方形、长方形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用 这些知识解决问题，属于中考常考题型 22据新闻报道，作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成某部门统计了今年 4 月份中的7天的公共自行车日租车组情况，结果如图： （1）求这 7 天日租车量的众数、中位数和平均数； （2）用（1）中的平均数估计
31、4 月份（30 天）共租车多少万车次？ （3）2017 年市政府在公共自行车建设项目中共投入 1000 万元，计划 2019 年投入 1210 万元，若这两年 公共自行车建设投资的年增长率相同，求年增长率， 【分析】 （1）将数据重新排列后根据众数、中位数和平均数的定义求解可得出答案； （2）将（1）种所得平均数乘以 30 天即可得出答案； （3）设这两年公共自行车建设投资的年增长率为 x，可列出一元二次方程求出答案 【解答】解： （1）这 7 个数据从小到大重新排列为：7.5、8、8、8、9、9、10， 则其众数为 8、中位数为 9，平均数为8.5； （2）估计 4 月份（30 天）该市共租
32、车 8.530255 万车次； （3）设这两年公共自行车建设投资的年增长率为 x，由题意得， 1000（1+x）21210， 解得 x10%或 x210%（舍去） 即每年的增长率是 10% 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，条形统计图及众数、中位数和平均数的定义，根据条形 统计图得出数据，并熟练掌握众数、中位数和平均数的定义是解题的关键 23如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB4，AD8，E 是 AD 边上一点，折叠纸片使点 B 与点 E 重合，其中 MN 为折痕，连结 BM、NE （1）求证：四边形 BMEN 是菱形； （2）若 DE2，求 NC 的长 【分析】 （1）依据折叠的性质
33、以及矩形的性质，即可得到 MN 垂直平分 BE，且MEONBO，进而 判定四边形 MENB 是平行四边形，依据 MNBE，即可得出四边形 MENF 是菱形； （2）设 BNBMMEx，则 AM6x，依据勾股定理即可得到 BN，再根据 BCAD8，即可 得到 NC 【解答】解： （1）折叠纸片后点 B 与点 E 重合，MN 为折痕， MN 垂直平分 BE， BOEO， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， MEONBO，EMOBNO， MEONBO（AAS） ， MENB， 又MENB， 四边形 MENB 是平行四边形， 又MNBE， 四边形 MENF 是菱形； （2）矩形 ABCD 中，AB
34、4，AD8，DE2， AE826， 设 BNBMMEx，则 AM6x， A90， RtABM 中，AB2+AM2BM2， 即 42+（6x）2x2， 解得 x， BN， 又BCAD8， NC8 【点评】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定以及勾股定理的综合运用，解决问题的方法是设要求 的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三 角形，运用勾股定理列出方程求出答案 24 （10 分）如图 1，点 G 是正方形 ABCD 对角线 DB 的延长线上任意一点，以线段 BG 为边作一个正方形 BEFG，线段 CE 和 AG 相交于点 H （1）求证：
35、CEAG，CEAG； （2）若 AB2，BG1，求 CE 的长； （3）如图 2，正方形 BEFG 绕点 B 逆时针旋转 a（0a90） ，连结 AE、CG，BCG 与ABE 的面 积之差是否会发生变化？若不变，请求出BCG 与ABE 的面积之差；若变化，请说明理由 【分析】 （1）根据 SAS 证明ABGCBE，得 CEAG，BAGBCE，再根据三角形内角和定理 和对顶角相等可得 CEAG； （2） 由 ABBC2 在 RtABC 中求得 AC， 从而得 AM 和 MG 的长， 最后利用勾股定理即可求得结果； （3） 如图 3， 过 A 作 APBE 于 P， 过 C 作 CQGB 于 Q，
36、 先证明ABPCBQ （AAS） ， 得 APCQ， 可得 SABESCBG，从而得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形， ABCEBG90，ABBC，BEBG， ABC+ABEEBG+ABE， 即ABGCBE， 在ABG 和CBE 中， ， ABGCBE（SAS） ， CEAG，BAGBCE， COBAOH， AHOCBO90， CEAG； （2）解：如图 2，连接 AC，BD 与 AC 交于点 M， ABBC2， 在 RtABC 中，AC2， AMACBM， MGBG+BM1+， CEAG； （3）解：BCG 与ABE 的面积之差不变，且 SBCG
37、SABE0， 如图 3，过 A 作 APBE 于 P，过 C 作 CQGB 于 Q， ABE+ABC+CBG+GBE360，ABCGBE90， ABE+CBG180， CBQ+CBG180， CBQABP， 在ABP 和CBQ 中， ， ABPCBQ（AAS） ， APCQ， SABE，SCBG， 又 BEBG， SABESCBG， SBCGSABE0 【点评】本题是四边形的综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角 形面积等知识，本题综合性强，难度适中，证明三角形全等是解决问题的关键 25如图 1，已知平行四边形 ABCD 的边 AB 平行于 x 轴，AB6，点 A
38、 的坐标为（1，4） ，点 D 的坐标 为（3，4） ，点 B 在第四象限，点 P 是平行四边形 ABCD 边上的一个动点 （1）若点 P 在边 BC 上，PDCD，求点 P 的坐标； （2）若点 P 在边 AD 或 CD 上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点如图 2，过点 P 作 y 轴的平行线 PM，过点 G 作 x 轴的平行线 GM，它们相交于点 M，将PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴上时， 求点 P 的坐标（直接写出答案） 【分析】 （1）由题意点 P 与点 C 重合，可得点 P 坐标为（3，4） ； （2）分二种情形如图 1 中，当点 P 在线段 CD 上时
39、如图 2 中，当点 P 在线段 AD 上时由勾股 定理分别求解即可 【解答】解： （1）CD6， 点 P 与点 C 重合， 点 P 坐标为（3，4） （2）如图 1 中，当点 P 在线段 CD 上时，设 P（m，4） 在 RtPNM中，PMPM6，PN4， NM2， 在 RtOGM中，OG2+OM2GM2， 22+（2+m）2m2， 解得 m， P（，4） 根据对称性可知，P（，4）也满足条件 如图 2 中，当点 P 在线段 AD 上时，设 AD 交 x 轴于 R易证MRGMGR，推出 MRM GGM，设 MRMGGMx 设直线 AD 的解析式为 ykx+b， ， 解得， 直线 AD 的解析式
40、为 y2x2， R（1，0） ， 在 RtOGM中，有 x222+（x1）2，解得 x， P（，3） 点 P 坐标为（，3）或（，4）或（，4） 【点评】本题考查平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思 想思考问题，学会构建方程解决问题 26如图，RtABC 中，BAC90，ABC30，AB16点 D 是射线 CA 上一动点，过点 C 作 射线 DB 的垂线，垂足为点 H，点 M 为 AB 的中点，连结 HM，则 HM 的最小值为 8 【分析】取 BC 的中点，连接 OH、OM，由直角三角形的性质得 AC16，BC2AC32，证出 OM 为 ABC 的中位线，得 OMAC8，由直角三角形的性质得 OHBC16，由 HM+OMOH，得 HM 8，即可得出答案 【解答】解：取 BC 的中点，连接 OH、OM，如图所示： BAC90，ABC30，AB16， ACAB16，BC2AC32， 点 M 为 AB 的中点， OM 为ABC 的中位线， OMAC8， CHBD， OHBC16， HM+OMOH， HM8， HM 的最小值为 8， 故答案为：8 【点评】本题考查了含 30角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质 等知识；熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键
