1、 一、选择题一、选择题 10 （2019滨州）滨州）满足下列条件时，ABC 不是 直角三角形的为（ ） AAB41，BC4，AC5 BAB：BC：AC3：4：5 CA：B：C3：4：5 D 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 0 【答案】【答案】C 【解析】【解析】A 中，4541，AC2+BC2=52+42=41，AB2=（41）2=41，AC2+BC2=AB2， ABC 是直角 三角形；B 中，AB：BC：AC=3：4：5，设 AB=3k，BC=4k，AC=5k，AB2+BC2=（3k）2+（4k）2=25k2， AC2=（5k） 2=25k2，AB2+BC2=AC2，ABC 是
2、直角三角形；C 中，A：B：C=3：4：5，A=180 3 12 =45， B=180 4 12 =60， C=180 5 12 =75， ABC 不 是 直 角 三 角 形 ； D 中 ， 2 13 cosAtanB 23 骣 + 桫 =0， 又 1 cosA 2 0， 2 3 tanB 3 骣 桫 0， cosA= 1 2 ， tanB= 3 3 ， A=60 ， B=30 ，ABC 是直角三角形故选 C 13(2019广元)如图,ABC 中,ABC90,BABC2,将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60得到 DEC,连接 BD,则 BD2的值是_ 第 13 题图 【答案】8 4 3+ 【解
3、析】连接 AD,过点 D 作 DMBC 于点 M,DNAC 于点 N,易得ACD 是等边三角形,四边形 BNDM 是正方 形,设 CMx,则 DMMBx+2,BC2,CDAC2 2,在 RtMCD 中,由勾股定理可求得,x 3 1-,DMMB3 1+,在 RtBDM 中,BD2MD2+MB28 4 3+ . 2828 9(2019广元)如图,在正方形 ABCD 的对角线 AC 上取一点 E.使得CDE15,连接 BE 并延长 BE 到 F,使 CFCB,BF 与 CD 相交于点 H,若 AB1,有下列结论:BEDE;CE+DEEF;SDEC 13 412 -, 2 3 1 DH HC =-.则
4、其中正确的结论有( ) A. B. C. D. 第 9 题图 【答案】A 【解析】利用正方形的性质,易得BECDEC,BEDE,正确;在 EF 上取一点 G,使 CGCE,CEG CBE+BCE60,CEG 为等边三角形,易得DECFGC,CE+DEEG+GFEF,正确;过点 D 作 DMAC 于点 M,SDECSDMCSDME 13 412 -,正确;tanHBC23,HC23,DH1HC 31,3+1 DH HC =,错误.故选 A. 10 （2019 绍兴绍兴 ）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面
5、恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】【答案】A 【解【解析析】如图所示：设 DMx，则 CM8x， 根据题意得：（8x+8） 3 33 3 5， 解得：x4，DM6， D90 ，由勾股定理得：BM 2222 43BDDM5， 过点 B 作 BHAH，HBA+ABMABM+ABM90 ， HBA+ABM，所以 Rt ABHMBD， BHBD ABBM ，即 3 85 BH ，解得 BH 5 24 ，即水面高度为 5 24 7 （2019益阳）益阳）已知 M、N 是线段 AB
6、 上的两点，AM=MN=2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧； 再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC、BC，则ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】【答案】B 【解析】如图所示， AM=MN=2，NB1， AB=AM=MN+NB2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， 2552 2 AB，1642 2 AC，932 2 BC, 222 ABBCAC， ABC 是直角三角形. 1.（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交
7、点，则这条直线平分该平 行四边形的面积如图是由 5 个边长为 1 的小正方形拼成的图形P 是其中 4 个小正方形的公共顶点，小强 在小明的启发下，将该图形沿着过点 P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度 是（） A22 B5 C 3 5 2 D10 【答案答案】D 【解析】【解析】如答图，取左下角的小正方形的中心 O，作直线 OP，得线段 AB，则沿折痕 AB 裁剪，即可将该图形面 积两等分 过点 A 作 ACBD 于点 C， 则ACB90 由中心对称的性质可知， BDEFAG， 从而 BC1 又 AC3，故在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB 22 3110故选
8、D 2. (2019宁波宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图 1,以直角三 角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴 影部分的面积,则一定能求出 A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】【答案】C 【解题过程】【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则 S阴影c2a2b2+b(a+bc),由勾股定理可知,c2a2 b2,S阴影c2a2b2+S重叠S重叠,即 S阴影S重叠,故选 C. 3.（20
9、19重庆重庆 B 卷）卷）如图，在ABC 中，ABC=45，AB=3，ADBC 于点 D，BEAC 与点 E，AE=1.连接 DE，将AED 沿直线 AE 翻折至ABC 所在的平面，得AEF，连接 DF.过点 D 作 DGDE 交 BE 于点 G.则四 边形 DFEG 的周长为( ) A.8 B. C. D. 4 22 24+3 22+ G FEDCBAOP P 【答案】【答案】D 【解析】【解析】ABC=45，ADBC， ABC 是等腰直角三角形， AD=BD. BEAC，ADBD， DAC=DBH， DBHDAC（ASA）. DGDE， BDG=ADE， DBGDAE（ASA） ， BG=
10、AE，DG=DE， DGE 是等腰直角三角形， DEC=45. 在 RtABE 中，BE= ， GE= ， DE= . D，F 关于 AE 对称， FEC=DEC=45， EF=DE=DG= ， DF=GE= ， 四边形 DFEG 的周长为 2（+2-）=.故选 D 二、填空题二、填空题 15 （2019苏州苏州） “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图 是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板” ，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图 形该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）. 12题图题图 F C
11、B A D E G 22 312 2-= 2 2 1- 2 2 2 - 2 2 2 - 2 2 1- 2 2 1- 2 2 3 2+2 （图） （图） （第 15 题） 【答案】 5 2 2 【解析】【解析】 本题考查了正方形性质、 等腰直角三角形性质的综合， 由题意可知， 等腰三角形与等腰三角形全等， 且它们的斜边长都为 1 2 10=5cm，设正方形阴影部分的边长为 xcm，则 5 x =sin45= 2 2 ，解得 x= 5 2 2 ，故答案 为 5 2 2 . 第 15 题答图 17 （2019威海）威海） 如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，ABCD，连接，连接 AC，B
12、D.若若ACB90，ACBC,ABBD,则则ADC 【答案答案】105 【解析】【解析】过点 D 作 DE AB 于点 E， 过点 C 作 CFAB 垂足为 F，由ACB90，ACBC,得得ABC 是等 腰直角三角形，由三线合一得 CF 为中线，从而推出 2CF AB，由 ABCD 得得 DECF，由 ABBD 得 BD 2DE，在 RtDEB 中利用三角函数可得ABD30，再由 ABBD 得得BADADB75，最后由 AB CD 得得BADADC180求出求出ADC105. 18 （2019苏州苏州）如图，一块舍有 45角的直角三角板，外框的一条直角边长为 8 cm，三角板的外框线和与其 平
13、行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为 cm： （结果保留根号） （第 18 题） 【答案】10+12 2 第 18 题答图 解析：解析：如图， 三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，所以ABC 与DEF 有公共内心 O， 连接 AD、 BE、 FC 并延长相交于点 O， 过 O 作 OGAB 于 G， 交 DE 于 H.则 GH=2， SABC= 1 2 OG （AB+AC+BC） = 1 2 ABAC，OG= 8 8 84 2 888 2 ABAC ABACBC ，OH=85 2， DEAB，ODEOAB， OHDE OGAB 8-5 2 88-4 2 DE
14、 ，解得 DE=6-2 2， S阴影= SABC-SDEF= 2 2 11 862 21012 2 22 . 12 （2019江西）江西）在平面直角坐标系中，A，B，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点 P 在 x 轴上， 点 D 在直线 AB 上，若 DA1，CPDP 于点 P，则点 P 的坐标为 . 【答案】【答案】 （ 4 2322216 ，0）或（）或（ 4 2322216 ，0） 【解析】设点【解析】设点 P 的坐标为（的坐标为（x，0） ，） ， （1）当点）当点 D 在线段在线段 AB 上时，如图所示：上时，如图所示： DA=1，点 D 的坐标为（ 2 2
15、4， 2 2 ）. 222 ) 2 2 4() 2 2 4(4CD 22 ) 2 2 (2416) 2 2 (2417， 222 ) 2 2 () 2 2 4( xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2xx2417)28( 2 xx， 222 4)4( xPC328 2 xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC， 2417)28( 2 xx328 2 xx2417， 即032)216(2 2 xx， =3224)216( 2 =23220， 原方程无解，即符合要求的点 P 不存在. （2）当点）当点 D 在线段在线段 BA 的延长线上，如图所示：的延长线上，如
16、图所示： DA=1，点 D 的坐标为（ 2 2 4， 2 2 ）. 222 ) 2 2 (4) 2 2 4(4CD 22 ) 2 2 4() 2 2 (2417， 222 ) 2 2 () 2 2 4( xPD 222 ) 2 2 () 2 2 4() 2 2 4(2xx2417)28( 2 xx， 222 4)4( xPC328 2 xx. CPDP 于点 P， 222 CDPDPC， 2417)28( 2 xx328 2 xx2417， 即032)216(2 2 xx， =3224)216( 2 =23220， 22 2322216 x 4 2322216 ， 点点 P 的坐标为（的坐标为
17、（ 4 2322216 ，0）或（）或（ 4 2322216 ，0）. 13（20192019株洲）株洲）如图所示，在 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，E、F 分别为 MB、 BC 的中点，若 EF1，则 AB 【答案答案】4 4 【解析】因为 RtABC 中，ACB90，CM 是斜边 AB 上的中线，所以 AB=2CM,又因为 E、F 分别为 MB、BC 的中 点，所以 EF 为中位线，所以 CM=2EF,从而 AB=4EF=4。 1.(2019 枣庄)把两个同样大小含 45的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角 尺的直角顶点重合于点 A
18、,且另外三个锐角顶点 B,C,D 在同一直线上,若 AB2,则 CD_. 【答案】62 【解析】在等腰直角ABC 中,AB2,BC2 2,过点 A 作 AMBD 于点 M,则 AMMC 1 2 BC2,在 RtAMD 中,ADBC2 2,AM2,MD6,CDMDMC62. 2. (2019巴中)如图,等边三角形 ABC 内有一点 P,分别连接 AP,BP,CP,若 AP6,BP8,CP10,则 SABP+SBPC _. 【答案】163+24 【解析】 将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60到CBP,连接 PP,所以 BPBP,PBP60,所以BPP是等边三角 形,其边长 BP 为 8,所以 SB
19、PP163,因为 PP8,PCPA6,PC10,所以 PP2+PC2PC2,所以PPC 是直角三 角形,SPPC24,所以 SABP+SBPCSBPP+SPPC163+24. . 1.(2019巴中巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点 C 在直线 m 上,分别过点 A,B 作 AE直线 m 于点 E,BD 直线 m 与点 D. （1）求证:ECBD; （2）若设AEC 三边分别为 a,b,c,利用此图证明勾股定理. 证明：证明： （1）ABC 是等腰直角三角形, ACB90,ACBC, ACE+BCD90, AEEC, EAC+ACE90,BCDCAE, BDCD, AECCDB90,
20、 AECCDB(AAS), ECBD. （2）AECCDB,AEC 三边分别为 a，b，c,， BDECa,CDAEb,BCACc, S梯形 1 2 (AE+BD)ED 1 2 (a+b)(a+b), S梯形 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab， 1 2 (a+b)(a+b) 1 2 ab+ 1 2 c2+ 1 2 ab, 整理可得 a2+b2c2,故勾股定理得证. 一、选择题一、选择题 12(2019海南海南) 如图,在 RtABC 中,C90,AB5,BC4,点 P 是边 AC 上一动点,过点 P 作 PQAB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分ABC
21、时,AP 的长度为( ) A. 8 13 B. 15 13 C. 25 13 D. 32 13 第 12 题图 【答案】【答案】B 【解题过程】【解题过程】 在 RtABC 中,C90,AB5,BC4,AC3,过点 D 作 DEBC 于点 E,易证ABCDQE, BD平分ABC,PQAB,BQQD,设QDBQ4x,则AP3x,DP4x,PQ8x,CP 24 5 x,AC 39 5 x3, x 5 13 ,AP3x 15 13 ,故选 B. 第 12 题答图 【知识点】【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程 8（2019 毕节） 毕节） 如图， 点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上
22、， 若 EB1， EC2， 那么正方形 ABCD 的面积为 （ ） A B3 C D5 【答案】【答案】B 【解析】【解析】四边形 ABCD 是正方形，B90，BC2EC2EB222123， 正方形 ABCD 的面积BC23故选：B 【知识点】【知识点】勾股定理 10.（2019黔三州黔三州）如右图,在一斜边长 30cm 的直角三角形木板(即 RtACB)中截取一个正方形 CDEF，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上，若 AF:AC=1:3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分 的面积为（ ） A. 200cm2 B. 170cm2 C. 150c
23、m2 D.100 cm2 E 【答案】【答案】D. 【解答过程】【解答过程】AF:AC=1:3， 设 AF=x，则 AC=3x，CF=2x. 四边形 CDEF 是正方形， DEAC，DE=2x， BDEBCA， 22 33 BDBEDEx BCBAACx ， BD=4x，BC=6x， 在 RtABC 中，BC2+AC2=AB2， 9x2+36x2=900， x2=20， S剩余=SABC-S正方形CDEF= 2 36 225100 2 xx xxx， 故选 D. 【知识点】【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理. 10. （2019绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周
24、髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如果大正方形的面积是 125， 小正方形面 积是 25，则（sincos）2（ ） A1 5 B 5 5 C35 5 D9 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， 大正方形的边长为 55，小正方形的边长为 5， 55cos55sin5， cossin= 5 5 ， （sincos）2= 1 5 故选 A 【知识点】【知识点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用 二、填空题二、填空题 12. （2019宜宾）如图，已知直角ABC中，CD是斜
25、边AB上的高，4AC ，3BC ，则AD 【答案】【答案】 16 5 【解析】【解析】在Rt ABC中， 22 5ABACBC， 由射影定理得， 2 ACAD AB， 2 16 5 AC AD AB ， 故答案为： 16 5 【知识点】【知识点】勾股定理；射影定理 15. （2019 南京）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分ACB若 AD2， BD3，则 AC 的长 【答案】10 【解析】解：作 AMBC 于 E，如图所示： CD 平分ACB， = = 2 3， 设 AC2x，则 BC3x， MN 是 BC 的垂直平分线， MNBC，BNCN= 3 2
26、x， MNAE， = = 2 3， NEx， BEBN+EN= 5 2x，CECNEN= 1 2x， 由勾股定理得：AE2AB2BE2AC2CE2， 即 52（5 2x）2（2x）2（ 1 2x）2， 解得：x= 10 2 ， AC2x= 10； 故答案为：10 （2019 宿迁）如图，MAN60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB2，点 C 在射线 AN 上运动， 当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是 【答案】3BC23 【解析】解：如图，过点 B 作 BC1AN，垂足为 C1，BC2AM，交 AN 于点 C2 在 RtABC1 中，AB2，A60 ABC130 AC1
27、= 1 2AB1，由勾股定理得：BC1= 3， 在 RtABC2 中，AB2，A60 AC2B30 AC24，由勾股定理得：BC223， 当ABC 是锐角三角形时，点 C 在 C1C2 上移动，此时3BC23 故答案为：3BC23 【知识点】勾股定理；解直角三角形 12. （2019 南京）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为 20cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在 杯子外面的部分至少有 cm 【答案】5 【解析】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：122+ 92=15， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20155（cm） 故答案为 5 【知识点】勾股定理的应用 19 （2019毕节）
28、毕节） 三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 【答案】【答案】155 【解析】【解析】过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10，ABC30，BC10tan6010 ， ABCF，BMBCsin305，CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45，EDF45，MDBM5 ， CDCMMD155 故答案是：155 【知识点】【知识点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理 15 （2019 浙江舟山，浙江舟山，15，
29、3 分）在分）在ABC 中，若中，若A=45，AC2-BC2= AB2，则 tanC= . 【答案】【答案】5 【解析】【解析】 【知识点】【知识点】勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质. 20.（2019黔东南）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， 点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度是 【答案】【答案】1553 【解析】【解析】解：过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10， ABC30，BC
30、10tan6010 3， ABCF， BMBCsin30= 103 1 2 =53， CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45， EDF45， MDBM5 3， CDCMMD155 3 故答案是：1553 【知识点】含 30 度角的直角三角形；勾股定理 15.（2019鄂州）如图，已知线段 AB4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过点 O，160，P 点是直线 l 上一点， 当APB 为直角三角形时，则 BP 【答案】【答案】2或23或27 【解析】【解析】AOOB2， 当 BP2 时，APB90， 当PAB90时，AOP60， APOAtanAOP23， BP= 2+ 2=2
31、7， 当PBA90时，AOP60， BPOBtan123， 故答案为：2 或 23或 27 【知识点】【知识点】勾股定理 一、选择题一、选择题 8 （2019郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对 全等的 三角形，如图所示，已知A90 ，BD4，CF6，则正方形 ADOF 的边长是 A2 B2 C3 D4 答案：B 解析： 本题考查了勾股定理和解一元二次方程， 设正方形 ADOF 的边长为 x， 则 AB4x， AC6x， BC10， 由于A90 ，所以 BC2AB2AC2，即 100168xx23612xx2，解得 x2 或 x12（不合题意，舍
32、去） ，因此本题选 B 二、填空题二、填空题 12 （2019 北京）北京）如图所示的网格是正方形网格，则 PABPBA_（点 A，B，P 是网格线 交点）. 【答案】【答案】45 【解析】【解析】如图 12-1，延长 AP 至 C，连结 BC. 设图中小正方形的边长为 1，由勾股定理得 222 125PC ， 222 125BC ， 222 1310PB ； 222 ,PCBCPBPCBC且.即PBC 为等腰直角三角形，BPC=45. 由三角形外角的性质得45PABPBAMPC . 【知识点】【知识点】勾股定理及逆定理、三角形外角的性质. 16 （2019襄阳）如图，两个火小不同的三角板放在
33、同一平面内，直角顶点重合于点 C，点 D 在 AB 上，BAC DEC30 ，AC 与 DE 交于点 F，连接 AE，若 BD1，AD5，则CF EF_. 第第12题图题图 P BA （第 8 题图） B D M N C A 第 17 题答图 答案：3 16.（2019泸州）如图，在等腰 RtABC 中，C90，AC15，点 E 在边 CB 上，CE2EB，点 D 在边 AB 上，CDAE，垂足为 F，则 AD 的长为 【答案】【答案】92 【解析】【解析】过 D 作 DHAC 于 H， 在等腰 RtABC 中，C90，AC15， ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH， CFAE，
34、DHADFA90，HAFHDF， ACEDHC， = ， CE2EB，CE10， 15 = 15 10 ，DH9，AD92， 故答案为：92 【知识点】【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质 17 （2019安顺）安顺）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点，过 D 分别作 DMAB 于点 M，作 DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 . 【答案】【答案】 5 12 【解析】【解析】连接 AD，如图所示： DMAB，DNAC，AMDAND90， 又BAC90， 四边形 AMDN 是矩形； MNAD. BA
35、C90，AB3，AC4， BC5， 当 ADBC 时，AD 最短， 此时ABC 的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC， AD 的最小值 5 12 BC ACAB ， 线段 MN 的最小值为 5 12 ； 【知识点】【知识点】垂线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法 16(2019大庆大庆)我国古代数学家赵爽的勾股方圆图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的 一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b, 那么(ab)2的值是_. 第 16 题图 【答案】【答案】1 【解析】【解析】(ab)2
36、a2+b22ab,其中,由勾股定理可得,a2+b213,直角三角形面积(131)43,即 1 3 2 ab ,所以 ab6 所以(ab)2a2+b22ab13121. 【知识点】【知识点】勾股定理,完全平方公式 9 （2019龙东地区）龙东地区） 一张直角三角形纸片 ABC，ACB90 ，AB10，AC6，点 D 为 BC 边上的任一点， 沿过点D的直线折叠， 使直角顶点C落在斜边AB上的点E处， 当BDE是直角三角形时， 则CD的长为_ 【答案答案】3 或 24 7 . 【解析】 如图【解析】 如图 1， DEB 是直角时是直角时， ， ACB90 ， AB10， AC6， BC= 22 1
37、06=8,设设 CD=x， 则， 则 BD=8-x， 由折叠知由折叠知 CD=ED=x，ACBDEB=90 ，BEDBCABEDBCA， ACDE ABDB ，即，即 6 108 x x ，解得解得 x=3; 如图如图 2，EDB 是直角时是直角时，EDAC，BEDBACBEDBAC， ACED CBDB ,即即 6 88 x x ，解得解得 x= 24 7 ，综上，综上，CD 的的长长 为为 3 或或 24 7 . 图 1 图 2 E D A B C D E F A C B 【知识点】轴对称【知识点】轴对称；勾股定理勾股定理；相似三角形；相似三角形 三、解答题三、解答题 18. （2019呼
38、和浩特）如图，在ABC 中，内角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c. （1）若 a=6，b=8，c=12，请直接写出A 与B 的和与C 的大小关系； （2）求证：ABC 的内角和等于 180； （3）若 c cba cba a )( 2 1 ，求证：ABC 是直角三角形. 解： （1）CA+B； （2）证明：过点 B 作直线 DEAC， A=ABD，C=CBE， 又 ABD+ABC+CBE=180， ABC 的内角和等于 180 （3）证明：原式可变形为 c cba bca a 2 )( (a+c)2-b2=2ac，即 a2+2ac+c2-b2=2ac， a2+c2=b2， ABC 是
39、以B 为直角的直角三角形. 22 （2019包头）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，AB=BC，BAD=90 ，AC 交 BD 于点 E，ABD=30 ， AD=3，求线段 AC 和 DE 的长 （注： ba ba baba ba ba )( 1 ） 解：在 Rt ABD 中，BAD=90 ，ABD=30 ，AD= 3， tanABD= AB AD ， AB 3 3 3 ，AB=3 ADBC， BAD+ABC=180 ABC=90 在 Rt ABC 中，AB=BC=3，AC= 23 22 BCAB ADBC ，ADECBE CB AD BE DE ， 3 3 BE DE 设 DE= 3x
40、，则 BE3x，BD=DE+BE=(3+3)x， 33 3 BE DE 在 Rt ABD 中，ABD=30 ，BD=2AD=2 3， DE=2 3 33 3 ，DE=33 25. （2019本溪本溪）在 Rt ABC 中，BCA=90 ，AABC，D 是 AC 边上一点，且 DA=DB，O 是 AB 的 中点，CE 是 BCD 的中线. （1）如图 a，连接 OC 请直接写出OCE 和OAC 的数量关系 ； （2）点 M 是射线 EC 上的一个动点，将射线 OM 绕点 O 逆时针旋转的射线 ON，使MON=ADB，ON 与射 线 CA 交于点 N. 如图 b，猜想并证明线段 OM 和线段 ON
41、 之间的数量关系； 若BAC=30 ，BC=m，当AON=15 时，请直接写出线段 ME 的长度（用含 m 的代数式表示） 解：（1）结论：ECO=OAC 理由：如图 1 中，连接 OE BCD=90 ，BE=ED，BO=OA， CE=ED=EB= 1 2 BD，CO=OA=OB，OCA=A， BE=ED，BO=OA，OEAD，OE= 1 2 AD，CE=EO EOC=OCA=ECO，ECO=OAC 故答案为：OCE=OAC （2）如图 2 中， OC=OA，DA=DB，A=OCA=ABD，COA=ADB， MON=ADB，AOC=MON，COM=AON， ECO=OAC，MCO=NAO， O
42、C=OA，COMAON（ASA），OM=ON 如图 3-1 中，当点 N 在 CA 的延长线上时， CAB=30 =OAN+ANO，AON=15 ，AON=ANO=15 ，OA=AN=m， OCMOAN，CM=AN=m， 在 Rt BCD 中，BC=m，CDB=60 ，BD= 2 3 3 m， BE=ED，CE= 1 2 BD= 3 3 m，EM=CM+CE=m+ 3 3 m 如图 3-2 中，当点 N 在线段 AC 上时，作 OHAC 于 H AON=15 ，CAB=30 ，ONH=15 +30 =45 ，OH=HN= 1 2 m， AH= 3 2 m，CM=AN= 3 2 m- 1 2 m， EC= 3 3 m，EM=EC-CM= 3 3 m-( 3 2 m- 1 2 m)= 1 2 m- 3 6 m， 综上所述，满足条件的 EM 的值为 m+ 3 3 m 或 1 2 m- 3 6 m. 【知识点】【知识点】直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；解直角三角形.
