1、2020-2021 学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）期末数学试卷学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均 不给分）不给分） 1若，则的值等于（ ） A B C D 2O 的半径为 4cm，若点 P 到圆心的距离为 3cm，点 P 在（ ） A圆内 B圆上 C圆外 D无法确定 3二次函数 yx21 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，1） B （1，0） C （1，0） D
2、（0，1） 4若一个圆内接正多边形的内角是 108，则这个多边形是（ ） A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形 5一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定 在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（ ） A20 B24 C28 D30 6 已知二次函数的图象 （0 x4） 如图， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是 （ ） A有最大值 2，有最小值2.5 B有最大值 2，有最小值 1.5 C有最大值 1.5，有最小
3、值2.5 D有最大值 2，无最小值 7如图，D 是等边ABC 外接圆上的点，且DAC20，则ACD 的度数为（ ） A20 B30 C40 D45 8如图，有一块直角三角形余料 ABC，BAC90，D 是 AC 的中点，现从中切出一条矩形纸条 DEFG， 其中 E，F 在 BC 上，点 G 在 AB 上，若 BF4.5cm，CE2cm，则纸条 GD 的长为（ ） A3 cm B2cm Ccm Dcm 9已知 A（m，2020） ，B（m+n，2020）是抛物线 y（xh）2+2036 上两点，则正数 n（ ） A2 B4 C8 D16 10如图，点 A，B，C 均在坐标轴上，AOBOCO1，过
4、 A，O，C 作D，E 是D 上任意一点，连 结 CE，BE，则 CE2+BE2的最大值是（ ） A4 B5 C6 D4+ 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11（5分） 某校九年1班共有45位学生， 其中男生有25人， 现从中任选一位学生， 选中女生的概率是 12 （5 分）已知扇形的圆心角为 120，弧长为 6，则它的半径为 13 （5 分）如图，点 B，E 分别在线段 AC，DF 上，若 ADBECF，AB3，BC2，DE4.5，则 DF 的长为 14 （5 分）已知 y 是 x 的二次函数，y 与 x 的部分对应值如下
5、表： x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 该二次函数图象向左平移 个单位，图象经过原点 15（5 分） 如图， ABC 内接于O， ADBC 于点 D， ADBD 若O 的半径 OB2， 则 AC 的长为 16 （5 分）两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾，此 时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E，F若点 B 和点 E、点 C 和 F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物 线向上平移 0.4m，再向左后退了 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火
6、 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，网线的交点称为格点，点 A，B，C 都是格点已知每个小正 方形的边长为 1 （1）画出ABC 的外接圆O，并直接写出O 的半径是多少 （2）连结 AC，在网络中画出一个格点 P，使得PAC 是直角三角形，且点 P 在O 上 18 （8 分）已知点（0，3）在二次函数 yax2+bx+c 的图象上，且当 x1 时，函数 y 有最小值 2 （1）求这个二次函数的表达式 （2）如果两个
7、不同的点 C（m，6） ，D（n，6）也在这个函数的图象上，求 m+n 的值 19 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证： （2）若BAC50，求的度数 20 （10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处，点 D 落在点 D1处，C1D1 交线段 AE 于点 G （1）求证：BC1FAGC1； （2）若 C1是 AB 的中点，AB6，BC9，求 AG 的长 21 （10 分）如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A，过 A 作 ABx
8、轴， 交抛物线于点 B，连结 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点，连结 PA，作 PQAB 垂足为 H，交 OB 于点 Q （1）求 AB 的长； （2）当APQB 时，求点 P 的坐标； （3）当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时，求点 P 的坐标 22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是上一点，AG，DC 的延长线交于点 F （1）求证：FGCAGD （2）当 DG 平分AGC，ADG45，AF，求弦 DC 的长 23 （12 分）自 2019 年 3 月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从 2019 年
9、10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示：猪 肉的进价与上市时间的关系用图 2 的一段抛物线 ya（x30）2+100 表示 （1）a ； （2）求图 1 表示的售价 p 与时间 x 的函数关系式； （3）问从 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？ 24 （14 分）如图 RtABC 中，ABC90，P 是斜边 AC 上一个动点，以 BP 为直径作O 交 BC 于点 D，与 AC 的另一个交点 E，连接 DE （1）当时， 若130，求C 的度数； 求证 ABAP；
10、（2）当 AB15，BC20 时 是否存在点 P，使得BDE 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 CP 的长； 以 D 为端点过 P 作射线 DH，作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在CPH 内，则 CP 的取值范围 为 （直接写出结果） 2020-2021 学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）期末数学试卷学年浙江省温州市南浦实验中学九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均每小题只有一个选项是正确的，不选、多
11、选、错选均 不给分）不给分） 1若，则的值等于（ ） A B C D 【分析】根据比例的性质即可得到结论 【解答】解：， 设 b3k，a2k， ， 故选：B 2O 的半径为 4cm，若点 P 到圆心的距离为 3cm，点 P 在（ ） A圆内 B圆上 C圆外 D无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断 【解答】解：点 P 到圆心的距离为 3cm， 而O 的半径为 4cm， 点 P 到圆心的距离小于圆的半径， 点 P 在圆内 故选：A 3二次函数 yx21 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A （0，1） B （1，0） C （1，0） D （0，1） 【分析】令 x0，求出 y 的值
12、，即可解决问题； 【解答】解：对于二次函数 yx21，令 x0，得到 y1， 所以二次函数与 y 轴的交点坐标为（0，1） ， 故选：D 4若一个圆内接正多边形的内角是 108，则这个多边形是（ ） A正五边形 B正六边形 C正八边形 D正十边形 【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和 360 度，用 360除以外角度数即可求出这个正多边形 的边数 【解答】解：正多边形的每个内角都相等，且为 108， 其一个外角度数为 18010872， 则这个正多边形的边数为 360725， 故选：A 5一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球
13、摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定 在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（ ） A20 B24 C28 D30 【分析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为 30%，然后根据概率公式计算 n 的值 【解答】解：根据题意得30%，解得 n30， 所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球 故选：D 6 已知二次函数的图象 （0 x4） 如图， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是 （ ） A有最大值 2，有最小值2.5 B有最大值 2，有最小值 1.5 C有最大值 1.5，有最小值2.5 D
14、有最大值 2，无最小值 【分析】根据二次函数的图象，可知函数 y 的最大值和最小值 【解答】解：观察图象可得，在 0 x4 时，图象有最高点和最低点， 函数有最大值 2 和最小值2.5， 故选：A 7如图，D 是等边ABC 外接圆上的点，且DAC20，则ACD 的度数为（ ） A20 B30 C40 D45 【分析】根据圆内接四边形的性质得到D180B120，根据三角形内角和定理计算即可 【解答】解：ABC 是等边三角形， B60， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， D180B120， ACD180DACD40， 故选：C 8如图，有一块直角三角形余料 ABC，BAC90，D 是 AC 的中
15、点，现从中切出一条矩形纸条 DEFG， 其中 E，F 在 BC 上，点 G 在 AB 上，若 BF4.5cm，CE2cm，则纸条 GD 的长为（ ） A3 cm B2cm Ccm Dcm 【分析】根据题意推知AGDABC，由该相似三角形的对应边成比例求得 GD 的长度即可 【解答】解：依题意得：AGDABC， ，即， 解得 GD（cm） 故选：C 9已知 A（m，2020） ，B（m+n，2020）是抛物线 y（xh）2+2036 上两点，则正数 n（ ） A2 B4 C8 D16 【分析】 由 A （m， 2020） ， B （m+n， 2020） 是抛物线 y （xh） 2+2036 上两
16、点， 可得 A （h4， 2020） ， B（h+4，2020） ，即可得到 mh4，m+nh+4，进而即可求得 n8 【解答】解：A（m，2020） ，B（m+n，2020）是抛物线 y（xh）2+2036 上两点， 2020（xh）2+2036， 解得 x1h4，x2h+4， A（h4，2020） ，B（h+4，2020） ， mh4，m+nh+4， n8， 故选：C 10如图，点 A，B，C 均在坐标轴上，AOBOCO1，过 A，O，C 作D，E 是D 上任意一点，连 结 CE，BE，则 CE2+BE2的最大值是（ ） A4 B5 C6 D4+ 【分析】连接 AC，DE，如图，利用圆周角
17、定理可判定点 D 在 AC 上，易得 A（0，1） ，B（1，0） ，C （1，0） ，AC，D（，） ，设 E（m，n） ，利用两点间的距离公式得到则 EB2+EC22（m2+n2） +2，由于 m2+n2表示 E 点到原点的距离，则当 OE 为直径时，E 点到原点的距离最大，由于 OD 为平分 AOC，则 mn，利用点 E 在圆上得到（m）2+（n）2（）2，则可计算出 mn1，从 而得到 EB2+EC2的最大值 【解答】解：连接 AC，DE，如图， AOC90， AC 为D 的直径， 点 D 在 AC 上， AOBOCO1， A（0，1） ，B（1，0） ，C（1，0） ，AC，D（，）
18、 ， 设 E（m，n） ， EB2+EC2（m1）2+n2+（m+1）2+n2 2（m2+n2）+2， 而 m2+n2表示 E 点到原点的距离， 当 OE 为直径时，E 点到原点的距离最大， OD 为平分AOC， mn， DEAC， （m）2+（n）2（）2， 即 m2+n2m+n mn1， 此时 EB2+EC22（m2+n2）+22（1+1）+26， 即 CE2+BE2的最大值是 6 故选：C 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11（5 分） 某校九年 1 班共有 45 位学生， 其中男生有 25 人， 现从中任选一位学生，
19、 选中女生的概率是 【分析】先求出女生的人数，再用女生人数除以总人数即可得出答案 【解答】解：共有 45 位学生，其中男生有 25 人， 女生有 20 人， 选中女生的概率是； 故答案为： 12 （5 分）已知扇形的圆心角为 120，弧长为 6，则它的半径为 9 【分析】根据弧长的公式 l，计算即可 【解答】解：设扇形的半径为 R， 由题意得，6， 解得，R9， 故答案为：9 13 （5 分）如图，点 B，E 分别在线段 AC，DF 上，若 ADBECF，AB3，BC2，DE4.5，则 DF 的长为 7.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可 【解答】解：ADBECF， ，
20、即， 解得，EF3， DFDE+EF7.5， 故答案为：7.5 14 （5 分）已知 y 是 x 的二次函数，y 与 x 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 该二次函数图象向左平移 3 个单位，图象经过原点 【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与 x 轴另一个交点为（3，0） ，可得结论 【解答】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线 x1 抛物线与 x 轴另一个交点为（1，0） ， 抛物线与 x 轴另一个交点为（3，0） ， 该二次函数图象向左平移 3 个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移 1 个单位，图象经过 原点 故答案为 3 15 （5 分）如图，AB
21、C 内接于O，ADBC 于点 D，ADBD若O 的半径 OB2，则 AC 的长为 2 【分析】连接 OA、OC，根据等腰直角三角形的性质得到ABC45，根据圆周角定理求出AOC， 根据勾股定理计算即可 【解答】解：连接 OA、OC， ADBC，ADBD， ABC45， 由圆周角定理得，AOC2ABC90， ACOA2， 故答案为：2 16 （5 分）两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼 A 处透过窗户 E 发现乙楼 F 处出现火灾，此 时 A，E，F 在同一直线上跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在 1.2m 高的 D 处喷出，水流正好经过 E，F若点 B 和点 E
22、、点 C 和 F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物 线向上平移 0.4m，再向左后退了 10 m，恰好把水喷到 F 处进行灭火 【分析】由图形得出点 A（0，21.2） 、D（0，1.2） 、E（20，9.2） 、点 F 的纵坐标为 6.2，先利用待定系数 法求得直线 AE 解析式， 据此求得点 F 的坐标， 再根据点 D、 E、 F 的坐标求得抛物线的解析式为 y x2+x+（x15） 2+ ，若设向左移动的距离为 p，则移动后抛物线的解析式为 y（x+p 15）2+，将点 F 坐标代入求得 p 的值即可 【解答】解：由图形可知，点 A（0，21.2） 、D（0，1.2） 、E（20，
23、9.2） 、点 F 的纵坐标为 6.2 设 AE 所在直线解析式为 ymx+n， 则， 解得：， 直线 AE 解析式为 y0.6x+21.2， 当 y6.2 时，0.6x+21.26.2， 解得：x25， 点 F 坐标为（25，6.2） ， 设抛物线的解析式为 yax2+bx+c， 将点 D（0，1.2） 、E（20，9.2） 、F（25，6.2）代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x+（x15）2+， 设消防员向左移动的距离为 p（p0） ， 则移动后抛物线的解析式为 y（x+p15）2+， 根据题意知，平移后抛物线过点 F（25，6.2） ，代入得： （25+p15）2+6
24、.2， 解得：p10（舍）或 p10， 即消防员将水流抛物线向上平移 0.4m，再向左后退了（10）m，恰好把水喷到 F 处进行灭火， 故答案为：10 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 8 小题，共小题，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17 （8 分）如图，在 66 的正方形网格中，网线的交点称为格点，点 A，B，C 都是格点已知每个小正 方形的边长为 1 （1）画出ABC 的外接圆O，并直接写出O 的半径是多少 （2）连结 AC，在网络中画出一个格点 P，使得PAC 是直角三角形，且点 P 在O 上 【分析】
25、 （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）字节利用圆周角定理得出 P 点位置 【解答】解： （1）如图所示：O 即为所求，O 的半径是：； （2）如图所示：直角三角形 PAC 即为所求 18 （8 分）已知点（0，3）在二次函数 yax2+bx+c 的图象上，且当 x1 时，函数 y有最小值 2 （1）求这个二次函数的表达式 （2）如果两个不同的点 C（m，6） ，D（n，6）也在这个函数的图象上，求 m+n 的值 【分析】 （1）由题意可得（1，2）是抛物线的顶点，且过（0，3） ，可利用顶点式求出关系式； （2）根据点 C（m，6） ，D（n，6）坐标特点可知这两个点关于对称轴对称
26、，可求出 m+n 的值 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+c 当 x1 时，函数 y 有最小值 2， 点（1，2）为抛物线的顶点， 于是可设抛物线的关系式为 ya（x1）2+2，把（0，3）代入得， a+23， a1， 抛物线的关系式为 y（x1）2+2， 即 yx22x+3； （2）点 C（m，6） ，D（n，6）都在抛物线上， 因此点 C、D 关于直线 x1 对称， 1， m+n2 19 （8 分）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 E （1）求证： （2）若BAC50，求的度数 【分析】 （1）连接 AD，先由圆周角定理得AD
27、B90，则 ADBC，再由等腰三角形的性质得BAD CAD，即可得出结论； （2）连接 OE，先由等腰三角形的性质得OEABAC50，再由三角形内角和定理求出AOE 80，即可得出结论 【解答】 （1）证明：连接 AD，如图 1 所示： AB 是O 的直径， ADB90， ADBC， ABAC， BADCAD， （2）解：连接 OE，如图 2 所示： AB 是O 的直径， OA 是半径， OAOE， OEABAC50， AOE180505080， 的度数为 80 20 （10 分）如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的 C1处，点 D 落在点 D1处，C1D1
28、 交线段 AE 于点 G （1）求证：BC1FAGC1； （2）若 C1是 AB 的中点，AB6，BC9，求 AG 的长 【分析】 （1）根据题意和图形可以找出BC1FAGC1的条件，从而可以解答本题； （2）根据勾股定理和（1）中的结论可以求得 AG 的长 【解答】证明： （1）由题意可知ABGC1F90， BFC1+BC1F90，AC1G+BC1F90， BFC1AC1G， BC1FAGC1 （2）C1是 AB 的中点，AB6， AC1BC13 B90， BF2+32（9BF）2， BF4， 由（1）得AGC1BC1F， ， ， 解得，AG 21 （10 分）如图直角坐标系中，O 为坐标原
29、点，抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A，过 A 作 ABx 轴， 交抛物线于点 B，连结 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点，连结 PA，作 PQAB 垂足为 H，交 OB 于点 Q （1）求 AB 的长； （2）当APQB 时，求点 P 的坐标； （3）当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）对于 yx2+6x+3，令 x0，则 y3，故点 A（0，3） ，令 yx2+6x+33，解得 x0 或 6，故点 B（6，3） ，即可求解； （2）证明ABOHPA，则，即可求解； （3）当APH 的面积是四边形 AOQH 的面积的 2
30、倍时，则 2（AO+HQ）PH，即可求解 【解答】解： （1）对于 yx2+6x+3，令 x0，则 y3，故点 A（0，3） ， 令 yx2+6x+33，解得 x0 或 6，故点 B（6，3） ， 故 AB6； （2）设 P（m，m2+6m+3） ， PB，AHPOAB90， ABOHPA，故， ， 解得 m4 P（4，11） ； （3）当APH 的面积是四边形 AOQH 的面积的 2 倍时， 则 2（AO+HQ）PH， 2（3+）m2+6m， 解得：m14，m23， P（4，11）或 P（3，12） 22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是上一点，AG，DC
31、 的延长线交于点 F （1）求证：FGCAGD （2）当 DG 平分AGC，ADG45，AF，求弦 DC 的长 【分析】 （1）如图 1，利用垂径定理得到，根据等腰三角形的性质得ADCACD，根据圆周 角定理的推论得到AGDACDADC，再利用圆内接四边形的性质得到FGCADC，从而得 到结论； （2）连接 BG，AC，如图 2，根据垂径定理得到 DECE，先证明AEF 是等腰直角三角形，可得 AE 的长，最后利用勾股定理可得 DE 的长，从而得 CD 的长 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 AC， AB 是O 的直径，弦 CDAB， ， ADAC， ADCACD， ADCG 在O 上，
32、CGFADC， AGDACD， FGCAGD； （2）解：如图 2，连接 BG，AC， AB 是O 的直径，弦 CDAB， DECE， DG 平分AGC， AGDCGD， FGCAGD， AGDCGDFGC， AGD+CGD+FGC180， CGFAGD60， ADCACD60， ADC 是等边三角形， ABCD， CAEDAE30， ADG45， CDGCAG604515， EAF30+1545， RtAEF 中，AEEF， AF， AEEF， RtADE 中，DAE30， DE1， DC2DE2 23 （12 分）自 2019 年 3 月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过
33、程中发现，从 2019 年 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示：猪 肉的进价与上市时间的关系用图 2 的一段抛物线 ya（x30）2+100 表示 （1）a ； （2）求图 1 表示的售价 p 与时间 x 的函数关系式； （3）问从 10 月 1 日起到 11 月 9 日的 40 天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？ 【分析】 （1）把（10，60）代入 ya（x30）2+100 可得结论 （2）分两种情形，分别利用待定系数法解决问题即可 （3）分两种情形，分别求解即可 【解答】解： （1）把（10，60）代
34、入 ya（x30）2+100，得到 a， 故答案为 （2）当 0 x30 时，设 Pkx+b， 把（0，60） ， （10，80）代入得到， 解得， P2x+60 当 30 x40 时，设 Pkx+b， 把（30，120） ， （40，100）代入得到， 解得， P2x+180 综上所述，P （3）设利润为 w 当 0 x30 时，w2x+60（x2+6x+10）x24x+50（x20）2+10， 当 x20 时，w 有最小值，最小值为 10（元/千克） 当 30 x40 时， w2x+180（x2+6x+10）x28x+170（x40）2+10， 当 x40 时，最小利润 w10（元/千克）
35、 ， 综上所述，当 20 天或 40 天，最小利润为 10 元/千克 24 （14 分）如图 RtABC 中，ABC90，P 是斜边 AC 上一个动点，以 BP 为直径作O 交 BC 于点 D，与 AC 的另一个交点 E，连接 DE （1）当时， 若130，求C 的度数； 求证 ABAP； （2）当 AB15，BC20 时 是否存在点 P，使得BDE 是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的 CP 的长； 以 D 为端点过 P 作射线 DH， 作点 O 关于 DE 的对称点 Q 恰好落在CPH 内， 则 CP 的取值范围为 7 CP12.5 （直接写出结果） 【分析】（1） 连接 BE， 由圆
36、周角定理得出BEC90， 求出50，100， 则CBE50， 即可得出结果； 由， 得出CBPEBP， 易证CABE， 由APBCBP+C， ABPEBP+ABE， 得出APBABP，即可得出结论； （2）由勾股定理得 AC25，由面积公式得出ABBCACBE，求出 BE12，连 接 DP，则 PDAB，得出DCPBCA，求出 CPCD， BDE 是等腰三角形，分三种情况讨论，当 BDBE 时，BDBE12，CDBCBD8，CPCD 10；当 BDED 时，可知点 D 是 RtCBE 斜边的中线，得出 CDBC10，CPCD；当 DEBE 时，作 EHBC，则 H 是 BD 中点，EHAB，求
37、出 AE9，CEACAE16， CH20BH，由 EHAB，得出，求出 BH，BD2BH，CDBCBD，则 CPCD7； 当点 Q 落在CPH 的边 PH 上时，CP 最小，连接 OD、OQ、OE、QE、BE，证明四边形 ODQE 是菱 形，求出 PCACPEAE7； 当点 Q 落在CPH 的边 PC 上时，CP 最大， 连接 OD、 OQ、OE、 QD， 同理得四边形 ODQE 是菱形，连接 DF，求出 PCAC12.5，即可得出答案 【解答】 （1）解：连接 BE，如图 1 所示： BP 是直径， BEC90， 130， 50， ， 100， CBE50， C40； 证明：， CBPEBP
38、， ABE+A90，C+A90， CABE，APBCBP+C，ABPEBP+ABE， APBABP， APAB； （2）解：由 AB15，BC20， 由勾股定理得：AC25， ABBCACBE， 即152025BE BE12， 连接 DP，如图 11 所示： BP 是直径， PDB90， ABC90， PDAB， DCPBCA， ， CPCD， BDE 是等腰三角形，分三种情况： 当 BDBE 时，BDBE12， CDBCBD20128， CPCD810； 当 BDED 时，可知点 D 是 RtCBE 斜边的中线， CDBC10， CPCD10； 当 DEBE 时，作 EHBC，则 H 是 B
39、D 中点，EHAB，如图 12 所示： AE9， CEACAE25916，CHBCBH20BH， EHAB， ， 即， 解得：BH， BD2BH， CDBCBD20， CPCD7； 综上所述，BDE 是等腰三角形，符合条件的 CP 的长为 10 或或 7； 当点 Q 落在CPH 的边 PH 上时，CP 最小，如图 2 所示： 连接 OD、OQ、OE、QE、BE， 由对称的性质得：DE 垂直平分 OQ， ODQD，OEQE， ODOE， ODOEQDQE， 四边形 ODQE 是菱形， PQOE， PB 为直径， PDB90， PDBC， ABC90， ABBC， PDAB， DEAB， OBOP， OE 为ABP 中位线， PEAE9， PCACPEAE25997； 当点 Q 落在CPH 的边 PC 上时，CP 最大，如图 3 所示： 连接 OD、OQ、OE、QD， 同理得：四边形 ODQE 是菱形， ODQE， 连接 DF， DBA90， DF 是直径， D、O、F 三点共线， DFAQ， OFBA， OBOF， OFBOBFA， PAPB， OBF+CBPA+C90， CBPC， PBPCPA， PCAC12.5， 7CP12.5， 故答案为：7CP12.5
