1、2019-2020 学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题一、选择题 1 （3 分）已知两条线段 a2cm，b3.5cm，下列能和 a、b 构成三角形的是（ ） A5.5cm B3.5cm C1.3cm D1.5cm 2 （3 分）下列图形为轴对称图形的为（ ） A B C D 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，AB10，则 CD 的长为（ ） A5 B6 C8 D10 4 （3 分）表示实数 a 与 1 的和不大于 10 的不等式是（ ） Aa+110 Ba+110 Ca+110 Da+
2、110 5（3分） 已知ABC 为直角坐标系中任意的一个三角形， 现将ABC 的各顶点横坐标乘以1， 得到A1B1C1， 则它与ABC 的位置关系是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于直线 yx 对称 6 （3 分）一次函数 y2x1 的图象大致是（ ） A B C D 7 （3 分）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分 3 本，那么余 8 本；如果前面的每个学生分 5 本，那么 最后一人就分不到 3 本则共有学生（ ） A4 人 B5 人 C6 人 D5 人或 6 人 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB 的中垂线交 AC 于 D，P 是 BD
3、 的中点，若 BC4，AC 8，则 SPBC为（ ） A3 B3.3 C4 D4.5 9 （3 分）若关于 x 的不等式组的整数解共有 3 个，则 m 的取值范围是（ ） A5m6 B5m6 C5m6 D6m7 10 （3 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC10，BC12，O 是ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别 为 OD，OE，OF，且 OD：OE：OF1：4：4，则 AO 的长度为（ ） A10 B9 C D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知一次函数 y2x+3，当 y1 时，x 12
4、（4 分）命题“如果 a+b0，那么 a0，b0”的逆命题是 13 （4 分）已知等腰三角形的一个外角的度数为 108，则顶角的度数为 14 （4 分）如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标 A、B，其中 A 的位置可以表示成（60， 6） ，那么 B 可以表示为 ，A 与 B 的距离为 15 （4 分）如图，AD 是ABC 的中线，ADC30，把ADC 沿着直线 AD 翻折，点 C 落在点 E 的位 置，如果 BC2，那么线段 BE 的长度为 16 （4 分） 已知ABC 是边长为 6 的等边三角形， 过点 B 作 AC 的垂线 l， 垂足为 D， 点 P 为直线 l 上的点， 作点
5、 A 关于 CP 的对称点 Q，当ABQ 是等腰三角形时，PD 的长度为 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）分，解答题要有文字说明、证明或演算过程） 17 （6 分）解不等式（组） ： （1）2（x+1）1x； （2） 18 （8 分）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别是 A（2，4） ，B（1，1） ， （3，2） （1）在平面直角坐标系中画出ABC，并判断三角形的形状（不写理由） ； （2）平移ABC，使点 A 与点 O 重合，写出点 B、点 C 平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程 19 （8
6、 分）在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO DCO；AEAD；OBOC （1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形） （2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程 20 （10 分）已知 3m+n1，且 mn， （1）求 m 的取值范围 （2）设 y3m+4n，求 y 的最大值 21 （10 分）大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量 的数据，行驶里程 x（km）和剩余油量 y（L）的部分关系如表： x 100 200 300 350
7、400 y 43 36 29 25.5 22 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）大伟老师到 4158 公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？ 22 （12 分）已知一次函数的表达式是 y（m4）x+124m（m 为常数，且 m4） （1）当图象与 x 轴交于点（2，0）时，求 m 的值； （2）当图象与 y 轴交点位于原点下方时，判定函数值 y 随着 x 的增大而变化的趋势； （3）在（2）的条件下，当函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小时，求其中任意两条直线与 y 轴围成的 三角形面积的取值范围 23 （12 分）已知ABC 与ABC关于直线 l 对称，其中 CACB，连接 AB，
8、交直线 l 于点 D（点 D 与点 C 不重合） （1）如图 1，若ACB40，130，求2 的度数； （2）若ACB40，且 0BCD110，求2 的度数； （3）如图 2，若ACB60，0BCD120，求证：BDAD+CD 2019-2020 学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市上城区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （3 分）已知两条线段 a2cm，b3.5cm，下列能和 a、b 构成三角形的是（ ） A5.5cm B3.5cm C1.3cm D1.5cm 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，
9、两边之差小于第三边第三边的取值范围是大 于 1.5 而小于 5.5，只有 3.5 符合 【解答】解：第三边 c 的范围是：3.5cm2cmc3.5cm+2cm即 1.5cmc5.5cm符合条件的只有 3.5cm 故选：B 【点评】此题考查了三角形三边关系一定要注意构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差 第三边 2 （3 分）下列图形为轴对称图形的为（ ） A B C D 【分析】结合选项根据轴对称图形的概念求解即可 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意 故选：D
10、 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AB 的中点，AB10，则 CD 的长为（ ） A5 B6 C8 D10 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题 【解答】解：ACB90，ADDB， CDAB5， 故选：A 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属 于中考常考题型 4 （3 分）表示实数 a 与 1 的和不大于 10 的不等式是（ ） Aa+110 Ba+110 Ca+110 Da+110 【分析】a 与 1 的和即
11、a+1，不大于 10 即“10” ，从而得出答案 【解答】解：表示实数 a 与 1 的和不大于 10 的不等式是 a+110， 故选：D 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的 关键词，如“大于（小于） 、不超过（不低于） 、是正数（负数） ” “至少” 、 “最多”等等，正确选择不等 号因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系 5（3分） 已知ABC 为直角坐标系中任意的一个三角形， 现将ABC 的各顶点横坐标乘以1， 得到A1B1C1， 则它与ABC 的位置关系是（ ） A关于 x 轴对称 B关于 y
12、轴对称 C关于原点对称 D关于直线 yx 对称 【分析】横坐标乘以1 变为原来的相反数再根据“关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反 数”解答 【解答】解：ABC 各顶点的横坐标乘以1，得到A1B1C1， ABC 与A1B1C1的各顶点纵坐标相同，横坐标互为相反数， A1B1C1与ABC 的位置关系是关于 y 轴对称 故选：B 【点评】本题考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1） 关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于 y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互 为相反数 6 （3 分）一次函数 y2x1 的图象大
13、致是（ ） A B C D 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数图象所经过的象限，由此即可得出结论 【解答】解：在 y2x1 中， 20，10， 此函数的图象经过二、三、四象限， 故选：D 【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知当 k0，b0 时，一次函数 ykx+b 的图象在一、二、四 象限是解答此题的关键 7 （3 分）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分 3 本，那么余 8 本；如果前面的每个学生分 5 本，那么 最后一人就分不到 3 本则共有学生（ ） A4 人 B5 人 C6 人 D5 人或 6 人 【分析】根据每人分 3 本，那么余 8 本，如果前面的每个学生分 5 本，那么最
14、后一人就分不到 3 本，得 出 3x+85（x1） ，且 5（x1）+33x+8，分别求出即可 【解答】解：假设共有学生 x 人，根据题意得出： 5（x1）+33x+85（x1） ， 解得：5x6.5 故选：C 【点评】此题主要考查了不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键 8 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，AB 的中垂线交 AC 于 D，P 是 BD 的中点，若 BC4，AC 8，则 SPBC为（ ） A3 B3.3 C4 D4.5 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DADB，根据勾股定理求出 BD，得到 CD 的长，根据三角形 的面积公式计算，得到答
15、案 【解答】解：点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， DADB， 在 RtBCD 中，BC2+CD2BD2，即 42+（8BD）2BD2， 解得，BD5， CD853， BCD 的面积CDBC346， P 是 BD 的中点， SPBCSBCD3， 故选：A 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等是解题的关键 9 （3 分）若关于 x 的不等式组的整数解共有 3 个，则 m 的取值范围是（ ） A5m6 B5m6 C5m6 D6m7 【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据
16、解集中整 数解有 3 个，即可得到 m 的范围 【解答】解：解不等式 xm0，得：xm， 解不等式 72x1，得：x3， 则不等式组的解集为 3xm， 不等式组的整数解有 3 个， 不等式组的整数解为 3、4、5， 则 5m6 故选：B 【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本 题的关键 10 （3 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC10，BC12，O 是ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别 为 OD，OE，OF，且 OD：OE：OF1：4：4，则 AO 的长度为（ ） A10 B9 C D 【分析】连接 AO，OB，OC，根据 OD：OE
17、：OF1：4：4 求出 O 在BAC 的角平分线上，求出 BD CD6，根据勾股定理求出 AD，设 ODx，则 OEOF4x， 根据 SABC+SOBCSABO+SACO求出 OD 即可 【解答】解：连接 AO，OB，OC， O 是ABC 外一点，O 到三边的垂线段分别为 OD，OE，OF，且 OD：OE：OF1：4：4， O 在BAC 的角平分线上， ABAC， AO 过 D，且 ADBC， BC12， BDCD6， 在 RtADC 中，由勾股定理得：AD8， 即 BD8， 设 ODx，则 OEOF4x， SABC+SOBCSABO+SACO，ABAC10，BC12，AD8， +， ， 解得
18、：x， 即 OD， AOAD+OD8+， 故选：D 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出 AO 过 D 是解此题的关键 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （4 分）已知一次函数 y2x+3，当 y1 时，x 2 【分析】代入 y1 求出与之对应的 x 值，此题得解 【解答】解：当 y1 时，2x+31， 解得：x2 故答案为：2 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 y kx+b 是解题的关键 12 （4 分）
19、命题“如果 a+b0，那么 a0，b0”的逆命题是 如果 a0，b0，那么 a+b0 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题 【解答】解：命题“如果 a+b0，那么 a0，b0”的逆命题是：如果 a0，b0，那么 a+b0， 故答案为：如果 a0，b0，那么 a+b0 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第 一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题 的逆命题 13 （4 分）已知等腰三角形的一个外角的度数为 108，则顶角的度数为 72或 36 【分析】等腰三角形的一个外角等于 10
20、8，则等腰三角形的一个内角为 72，但已知没有明确此角是 顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论 【解答】解：一个外角为 108， 三角形的一个内角为 72， 当 72为顶角时，其他两角都为 54、54， 当 72为底角时，其他两角为 72、36， 所以等腰三角形的顶角为 72或 36 故答案为：72或 36 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于 等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解 决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错 14 （4 分）如图，已知雷达探测器在一次探测
21、中发现了两个目标 A、B，其中 A 的位置可以表示成（60， 6） ，那么 B 可以表示为 （150，4） ，A 与 B 的距离为 2 【分析】根据度数表示横坐标，圆圈数表示纵坐标，可得答案，再利用勾股定理得出 AB 的长 【解答】解：B 可以表示为（150，4） ， 由题意可得：2 故答案为： （150，4） ，2 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意得出横纵坐标的意义是解题关键 15 （4 分）如图，AD 是ABC 的中线，ADC30，把ADC 沿着直线 AD 翻折，点 C 落在点 E 的位 置，如果 BC2，那么线段 BE 的长度为 【分析】过 D 作 DFBE 于 F，依据
22、 BDED，BDE120，即可得出 BE2BF，DBE30， 再根据等腰三角形的性质，利用 BF 的长，即可得出 BE 的长 【解答】解：如图，过 D 作 DFBE 于 F， AD 是ABC 的中线， BDCD1， 由折叠可得，DEDC1，CDE2CDA60， BDED，BDE120， BE2BF，DBE30， RtBDF 中，DFBD， BF， BE2BF， 故答案为： 【点评】本题主要考查了折叠问题以及等腰三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠 前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 16 （4 分） 已知ABC 是边长为 6 的等边三角形， 过点 B 作 A
23、C 的垂线 l， 垂足为 D， 点 P 为直线 l 上的点， 作点A关于CP的对称点Q， 当ABQ是等腰三角形时， PD的长度为 3或63或或3+6 【分析】分四种情形，分别画出图形即可解决 【解答】解：如图 1 中，当点 P 与 B 重合时，ABQ 是等腰三角形，此时 PDABsin606 3 如图 2 中，当点 Q 落在线段 AB 的垂直平分线上时，QAQB，ABQ 是等腰三角形，此时PCD PCQ15， 在 CD 上取一点 J，使得 JCPJ，则JPCJCP15， PJDJPC+JCP30，设 PDx，则 DJxPJCP2x， x+2x3， x63， PD63 如图 3 中，当点 Q 落
24、在直线 BD 上时，ABQ 是等腰三角形，此时 PDCDtan30 如图 4 中，当点 Q 落在线段 AB 的垂直平分线上时，DCPPCQ75，可得CPJ15， 在 PD 上取一点 J，使得 JCJP，同法可得DJC30，DJ3，CJJP6， PDDJ+JP3+6， 综上所述，满足条件的 PD 的值为 3或 63或或 3+6 【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，轴对称等知识，解题的关键是学会用分类讨论的 思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分，解答题要有文字说明、证明或演算过程）分，解答题要有文字说明、证
25、明或演算过程） 17 （6 分）解不等式（组） ： （1）2（x+1）1x； （2） 【分析】 （1）去括号，移项，合并同类项，系数化成 1 即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集 【解答】解： （1）2（x+1）1x， 2x+21x， 2xx2+1， x1； （2）， 解不等式得：x2， 解不等式得：x， 不等式组的解集为 x2 【点评】 本题考查了解一元一次不等式 （组） 的应用， 能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键 18 （8 分）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别是 A（2，4） ，B（1，1） ， （3，2） （1）在平面直角坐标系中画出ABC
26、，并判断三角形的形状（不写理由） ； （2）平移ABC，使点 A 与点 O 重合，写出点 B、点 C 平移后的所得点的坐标，并描述这个平移过程 【分析】 （1）根据 A，B，C 的坐标，画出三角形即可解决问题 （2）分别作出 B，C 的对应点 B，C即可 【解答】解： （1）如图，ABC 即为所求，ABC 等腰直角三角形 （2）平移后的OBC即为所求，B（1，3） ，C（1，2） ，ABC 向下平移 4 个单位，向 左平移 2 个单位得到OBC 【点评】本题考查坐标图图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 19 （8 分）在ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、AB 上
27、，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO DCO；AEAD；OBOC （1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形） （2）请选择（1）中的一种情况，写出证明过程 【分析】 （1）根据三角形全等的判定和等腰三角形的判定可得出答案； （2） 当判定ABC 是等腰三角形； 由等腰三角形的性质， 得出OBCOCB， 又EBODCO， 得到ABCACB，进而证出 ABAC； 当判定ABC 是等腰三角形；由“AAS”可证ABDACE，可得 ABAC 【解答】解： （1）由或可以判定ABC 是等腰三角形； （2）判定ABC 是等腰三角形； 理由如
28、下： OBOC， OBCOCB， 又EBODCO， OBC+EBOOCB+DCO， 即：ABCACB， ABAC， 即ABC 是等腰三角形； 判定ABC 是等腰三角形； 理由如下： 在ABD 和ACE 中， ， ABDACE（AAS） ， ABAC， 即ABC 是等腰三角形； 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用三角形全等得出角相等， 线段相等进而证出结论是常用的方法 20 （10 分）已知 3m+n1，且 mn， （1）求 m 的取值范围 （2）设 y3m+4n，求 y 的最大值 【分析】 （1）由 3m+n1 可得出 n3m+1，结合 mn 即可得出关于 m
29、 的一元一次不等式，解之即可 得出 m 的取值范围； （2）将 n3m+1 代入 y3m+4n 中，即可得出 y 关于 m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可 解决最值问题 【解答】解： （1）3m+n1， n3m+1， 又mn， m3m+1， m （2）y3m+4n3m+4（3m+1）9m+4 90， y 值随 x 值的增大而减小， 当 m时，y 取得最大值，最大值9+4 【点评】本题考查了一次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是： （1）根据 m，n 之间的关 系， 找出关于 m 的一元一次不等式； （2） 牢记 “k0， y 随 x 的增大而增大； k0， y 随 x 的增大
30、而减小” 21 （10 分）大伟老师购买了一辆轿车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到了一组行驶里程与剩余油量 的数据，行驶里程 x（km）和剩余油量 y（L）的部分关系如表： x 100 200 300 350 400 y 43 36 29 25.5 22 （1）求 y 与 x 的关系式； （2）大伟老师到 4158 公里外的拉萨，在途中至少需要加几次油？ 【分析】 （1）先判断 y 与 x 的关系，再利用待定系数法求解关系式； （2）先求解一油箱油行驶的里程数，再用总里程数去除即可七届加油的次数 【解答】解： （1）根据表格中的变化规律可知：y 与 x 成一次函数， 设 y 与 x 的关系
31、式为 ykx+b， 将 x100 时 y43，x200 时 y36 代入关系式得， 解得， y0.07x+50（x0） ； （2）当 y0 时，0.07x+500， 解得 x， 41585.8， 答：大伟老师到 4158 公里外的拉萨，在途中至少需要加 6 次油 【点评】本题主要考查一次函数的应用，求解函数关系式是解题的关键 22 （12 分）已知一次函数的表达式是 y（m4）x+124m（m 为常数，且 m4） （1）当图象与 x 轴交于点（2，0）时，求 m 的值； （2）当图象与 y 轴交点位于原点下方时，判定函数值 y 随着 x 的增大而变化的趋势； （3）在（2）的条件下，当函数值
32、y 随着自变量 x 的增大而减小时，求其中任意两条直线与 y 轴围成的 三角形面积的取值范围 【分析】 （1）将（2，0）代入 y（m4）x+124m 中得 m 的方程，求出 m 的值便可； （2）根据抛物线与 y 轴交点的纵坐标小于 0，列出 m 的不等式，求出 m 的取值范围便可确定函数值 y 随着 x 的增大而变化的趋势； （3）设 3m1m24，求出两直线 y（m14）x+124m1和直线 y（m24）x+124m2分别 与 y 轴的交点 M1（0 和 M2的坐标，以及直线 y（m14）x+124m1和直线 y（m24）x+12 4m2的交点 N 的坐标，再用三角形的面积公式求出这两条
33、直线与 y 轴围成的三角形面积，再根据 m1与 m2的取值范围求得 S 的取值范围 【解答】解： （1）将（2，0）代入 y（m4）x+124m 中，得 2（m4）+124m0， 解得，m2； （2）图象与 y 轴交点位于原点下方， 124m0， m3， 当 3m4 时，有 m40，则函数 y（m4）x+124m 的函数值 y 随着 x 的增大而减小， 当 m4 时，有 m40，则函数 y（m4）x+124m 的函数值 y 随着 x 的增大而增大； （3）设 3m1m24，则两直线 y（m14）x+124m1和直线 y（m24）x+124m2分别与 y 轴的交点坐标为 M1（0，124m1）和
34、 M2（0，124m2） ， M1M24（m2m1） ， 直线 y（m14）x+124m1和直线 y（m24）x+124m2的交点坐标为 N（4，4） ， 在（2）的条件下，当函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小时，任意两条直线与 y 轴围成的三角形面积 的为： S， 3m1m24， 0m2m11， 0S8， 在（2）的条件下，当函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小时，其中任意两条直线与 y 轴围成的三角形 面积的取值范围 0S8 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，求一次函数图象的交点坐标，关键是正 确理解一次函数的图象与性质，灵活应用一次函数的性质列出方程与不等
35、式 23 （12 分）已知ABC 与ABC关于直线 l 对称，其中 CACB，连接 AB，交直线 l 于点 D（点 D 与点 C 不重合） （1）如图 1，若ACB40，130，求2 的度数； （2）若ACB40，且 0BCD110，求2 的度数； （ 3 ） 如 图2 ， 若 ACB 60 ， 0 BCD 120 ， 求 证 ： BD AD+CD 【分析】 （1）由轴对称的性质可得 ACCBACBC，BCDBCD，可得1CBD30，由 三角形内角和定理可求BCD40，即可求解； （2）分两种情况讨论，由轴对称的性质可得 ACCBACBC，BCDBCD，由等腰三角形的性 质可得1CBD70BC
36、D，由三角形的外角可求解； （3）如图 2，在 BD 上截取 DHCD，连接 CH，首先求出BDC60，可证CDH 是等边三角形， 可得 CHCD，由“SAS”可证BCHACD，可得 BHAD，可得结论 【解答】解： （1）ABC 与ABC关于直线 l 对称，其中 CACB， ACCBACBC，BCDBCD， 1CBD30， ACB120， ACB40， BCB80， BCD40， 21801ACD70； （2）若点 D 在点 C 下方时，ABC 与ABC关于直线 l 对称，其中 CACB， ACCBACBC，BCDBCD， 1CBD70BCD， 2CBD+DCB70， 若点 D 在点 C 上方时，同理可求2110； （3）如图 2，在 BD 上截取 DHCD，连接 CH， ABC 与ABC关于直线 l 对称，其中 CACB， ACCBACBC，BCDBCD， 1CBD60BCD， 2CBD+DCB60， 又CDDH， CDH 是等边三角形， CHCD， BCAHCD60， BCHACD， 在BCH 和ACD 中， ， BCHACD（SAS） ， ADBH， BDBH+DHAD+CD 【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键
