1、2020-2021 学年山西省学年山西省太原市小店区二校联考太原市小店区二校联考九年级九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选壮并在答题卡上将该项涂黑）目要求，请选壮并在答题卡上将该项涂黑） 1一元二次方程 3x25x90 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A3，5，9 B3，5，9 C3，5，9 D3，5，9 2如图，一组互相平行的直线 a，b，c 分别与直线 m，n 交于点 A，B
2、，C，D，E，F若 AB3，DE4， BC5，则 EF 的长为（ ） A B C D 3一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，它们除了颜色外都相同将球摇匀后，从中随机摸出一 个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球两次摸到的球颜色相同的概率是（ ） A B C D 4一元二次方程 2x24x+30 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 5下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对边相等且平行 6在经历了一次函数的学习后，同学们掌握了利用图象来分析函数性质的方法某位同学打
3、算探究函数 y x 2 的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图） ，然后通过观察图象得到“在 x 的 取值范围内，无论 x 取何值，函数值恒大于 0， ”的结论其中所蕴含的数学思想是（ ） A演绎思想 B分类讨论思想 C公理化思想 D数形结合思想 7若四边形 ABCD四边形 ABCD，它们的面积比是 9：4，则它们的周长比为（ ） A9：4 B3：2 C5：4 D9：2 8如图，在矩形 ABCD 中，BDC60，现以点 D 为圆心，任意长为半径画弧分别交 BD，CD 于点 E， F，再分别以点 E，F 为圆心，大于EF 为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 DP 交 BC 于点
4、M，若 CM 3，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A27 B18 C D 9如图，ABC 中，ABDC，若 AB3，AD2，则 AC 边的长是（ ） A5 B4.5 C6 D6.5 10在我国古代数学名著算法统宗里有一道“荡秋千”的问题： “平地秋千未起，踏板一尺离地送行 二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文： “有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高 为5尺的人一样高， 秋千的绳索始终是拉直的， 试问绳索有多长？” 设绳索长为x尺， 则所列方程为 （ ） Ax2102+（x51）2
5、 Bx2（x5）2+102 Cx2102+（x+15）2 Dx2（x+1）2+102 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11如果 2x5y（y0） ，那么 12在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6 个人 中有 2 个人同月过生日的概率” ，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有 2 个人 同月过生 日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有 2 个人 同月过生 日”的频率 0.8 0
6、.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6 个人中有 2 个人同月过生日”的概率大约是 （精确到 0.01） 13若 a 是方程 x2+2x30 的一个根，则代数式 2020a22a 的值为 14如图，小明想要利用平面镜来测量学校旗杆 CD 的高度，他将镜子放置在距离旗杆底部 D 点 16 米的点 M 处，然后沿 DM 方向后退直到从镜子中正好看到旗杆顶端 C 点，此时测量镜子和小明之间的距离 BM 长为 2 米，已知小明的眼睛距离地面的高度 AB 是 1.6 米，旗杆 CD 的高度是 米 15如图，正方形 ABCD 中，BC4，点 M 是线段 AD 的
7、中点，点 E 是对角线 BD 上一动点，连接 AE，将 线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90至 AF，连接 MF，则线段 MF 的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 个小题，共个小题，共 55 分分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （1）小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程： （x5）2102x，下面是他的解法： （x5）22（x5） x52 x3 填空：小亮是在第 步开始出现错误的，这一步错误的原因是： 请给出该方程正确的求解过程 （2）解方程：2x24x10 17如图，在平面直角坐标系中，ABC
8、 各顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（2，3） ，C（4，2） （1）将ABC 向左平移 4 个单位长度，得到A1B1C1，请画出A1B1C1 （2）以点 O 为位似中心，请在第三象限内画出A2B2C2，使它与ABC 位似，且相似比为 2：1并写 出点 B2，C2的坐标 18为推动我校科技活动的蓬勃开展，培养中学生的创新精神和实践能力，提高中学生科技素质，我校计 划组织一批爱好科技的学生参加第 36 届山西省青少年科技创新大赛 为了让同学们能更好地备赛， 学校 打算从在往届比赛中已获得国家一等奖的小亮、小白、小颖、小刚四名同学中随机选择两位同学跟本次 参的同学分享创作经验和感受请用列表或画
9、树状图的方法求出小亮和小颖恰好被同时选中的概率 19如图，在ABCD 中，EF 是对角线 AC 的垂直平分线，分别与 AD，BC 交于点 E，F （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AC6，AE5，求菱形 AECF 的面积 20山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮而山西小米以其突出的品质、品种优势， 成为山西现代特色农业的一张 “黄金名片” 某地一家杂粮销售商以每千克 10 元的价格购进一批山西 “沁 州黄”小米，当按每千克 16 元的价格出售时，平均每天可销售 200kg为了尽快减少库存，该商家决定 降价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低 0.5 元，平
10、均每天销量可增加 40kg该销售商要想 每天获利 1400 元，那么每千克小米的售价应为多少元？ 21如图，在ABC 中，AB12cm，BC9cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4cm/s 的速度向点 B 运动； 动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动点 P 和点 Q 同时出发，当其中一个点到达终点 时，另一点随之停止运动设动点的运动时间为 ts，请问当QBP 与ABC 相似时，t 的值是多少？ 22如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CE
11、GF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中， 当 B， E， F 三点在一条直线上时， 如图 （3） 所示， 延长 CG 交 AD 于点 H 若 AG6，GH2，则 BC 23如图，已知在矩形 ABCD 中，CD2，BC4，点 F 是 CD 边上的中点，连接 AF，交 BD 于点 M线 段 BD 的垂直平分线 OE 分别交 BD，BC 于点 O，E连接 EM，则 EM 的长为 五、解答题（共五、解
12、答题（共 1 小题，满分小题，满分 14 分）分） 24阅读与思考 黄金分割 黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了 黄金分割比例这一问题， 并建立起比例理论 后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割， 其 几何原本 成为最早的有关黄金分割的论著黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长 之比等于较短部分与较长部分之比 黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都 可发现与黄金比有联系的数据.20 世纪 70 年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到 大规模推广，取得
13、了很大的成就 如图 1 的作法是由几何原本中给出： （1）以线段 AB 为边作正方形 ABCD （2）取 AD 的中点 E，连接 BE （3）在 DA 的延长线上取点 F，使 FEEB （4）以线段 AF 为边作正方形 AFGH 点 H 就是线段 AB 的黄金分割点 以下是证明点 H 是线段 AB 的黄金分割点的部分过程 证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则 ABAD1 点 E 是 AD 的中点，AEAD 在 RtABE 中，由勾股定理得：BE 任务： （1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整 （2） 如图 2， 点 C， D 是线段 AB 的两个黄金分割点， 且 AC22，
14、则 AB ， BC 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1一元二次方程 3x25x90 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A3，5，9 B3，5，9 C3，5，9 D3，5，9 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c0（a，b，c 是常数且 a0） 其中 a，b，c 分别叫二 次项系数，一次项系数，常数项据此作答 【解答】解：一元二次方程 3x25x90 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 3，5，9 故选：B 2如图，一组互相平行的直线 a，b，c 分别与直线 m，n 交于点 A，B，C，D，E，F若 AB3，DE4
15、， BC5，则 EF 的长为（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可 【解答】解：一组互相平行的直线 a，b，c 分别与直线 m，n 交于点 A，B，C，D，E，F， ， ， EF， 故选：A 3一个不透明的袋子中装有 3 个白球，2 个黑球，它们除了颜色外都相同将球摇匀后，从中随机摸出一 个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球两次摸到的球颜色相同的概率是（ ） A B C D 【分析】 先画出树形图得到所有等可能的结果数， 再由概率公式即可求出两次摸出的球颜色相同的概率 【解答】解：画树状图如图： 共有 25 种等可能的结果，两次摸出的球颜色相同有 13 种情况，
16、两次摸出的球颜色相同的概率为， 故选：B 4一元二次方程 2x24x+30 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【分析】首先求出已知方程的判别式，然后根据判别式的正负情况即可判定根的情况 【解答】解：一元二次方程 2x24x+30 的判别式，b24ac1642380， 一元二次方程 2x24x+30 没有实数根 故选：C 5下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对边相等且平行 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可 【解答】解：A因为矩形的对角线相等，所以 A
17、选项不符合题意； B因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以 B 选项不符合题意； C因为菱形对角线互相垂直，所以 C 选项符合题意； D因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意 故选：C 6在经历了一次函数的学习后，同学们掌握了利用图象来分析函数性质的方法某位同学打算探究函数 y x 2 的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图） ，然后通过观察图象得到“在 x 的 取值范围内，无论 x 取何值，函数值恒大于 0， ”的结论其中所蕴含的数学思想是（ ） A演绎思想 B分类讨论思想 C公理化思想 D数形结合思想 【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数
18、形结合的数学思想的体现 【解答】解：探究函数 yx 2 的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图） ，然后通 过观察图象得到“在 x 的取值范围内，无论 x 取何值，函数值恒大于 0， ”的结论，其中所蕴含的数学思 想是数形结合思想 故选：D 7若四边形 ABCD四边形 ABCD，它们的面积比是 9：4，则它们的周长比为（ ） A9：4 B3：2 C5：4 D9：2 【分析】直接根据相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方进行解答即可 【解答】解：四边形 ABCD四边形 ABCD，它们的面积比为 9：4， 它们的周长比3：2 故选：B 8如图，在矩形 ABCD 中，B
19、DC60，现以点 D 为圆心，任意长为半径画弧分别交 BD，CD 于点 E， F，再分别以点 E，F 为圆心，大于EF 为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 DP 交 BC 于点 M，若 CM 3，则矩形 ABCD 的面积是（ ） A27 B18 C D 【分析】依据矩形的性质以及角平分线的定义，即可得到DBCBDMCDM30，进而得出 BC 和 CD 的长，再根据公式即可得到矩形 ABCD 的面积 【解答】解：矩形 ABCD 中，BDC60， DBC30， 由题可得，DP 平分BDC， BDMCDM30， CM3， DM2CM6，CDCM3， DBMBDM， BMDM6， BC6+39， 矩形
20、 ABCD 的面积BCCD927， 故选：A 9如图，ABC 中，ABDC，若 AB3，AD2，则 AC 边的长是（ ） A5 B4.5 C6 D6.5 【分析】证明ABDACB，然后利用相似比可求出 AC 的长 【解答】解：ABDC，BADCAB， ABDACB， AB：ACAD：AB， 即 3：AC2：3， AC4.5 故选：B 10在我国古代数学名著算法统宗里有一道“荡秋千”的问题： “平地秋千未起，踏板一尺离地送行 二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？”译文： “有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1 尺，将它往前推送 10 尺（水平距离）时，
21、秋千的踏板就和身高 为5尺的人一样高， 秋千的绳索始终是拉直的， 试问绳索有多长？” 设绳索长为x尺， 则所列方程为 （ ） Ax2102+（x51）2 Bx2（x5）2+102 Cx2102+（x+15）2 Dx2（x+1）2+102 【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB（x+15）尺，利用勾股定理可得 x2102+（x+1 5）2 【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为： x2102+（x+15）2， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 11如果 2x5y（y0） ，那么 【分析】根据比例的性质直接求解即可 【解答】解：2x5y（y0）
22、， 故答案为： 12在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6 个人 中有 2 个人同月过生日的概率” ，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有 2 个人 同月过生 日”的次数 80 229 392 779 1251 1562 “有 2 个人 同月过生 日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6 个人中有 2 个人同月过生日”的概率大约是 0.78 （精确到 0.01） 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6 个
23、人中有 2 个人同月过生日”的频率都在 0.78 左右，从而得出该小组估计“6 个人中有 2 个人同月过生日”的概率 【解答】 解： 通过图表给出的数据得出， 该小组估计 “6 个人中有 2 个人同月过生日” 的概率大约是 0.78 故答案为：0.78 13若 a 是方程 x2+2x30 的一个根，则代数式 2020a22a 的值为 2017 【分析】把 xa 代入已知方程，并求得 a2+2a3，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可 【解答】解：把 xa 代入 x2+x30，得 a2+a30， 解得 a2+a3， 所以 2020a2a202032017 故答案是：2017 14如图，小明想
24、要利用平面镜来测量学校旗杆 CD 的高度，他将镜子放置在距离旗杆底部 D 点 16 米的点 M 处，然后沿 DM 方向后退直到从镜子中正好看到旗杆顶端 C 点，此时测量镜子和小明之间的距离 BM 长为 2 米，已知小明的眼睛距离地面的高度 AB 是 1.6 米，旗杆 CD 的高度是 12.8 米 【分析】由入射角等于反射角可知AMNCMN，进而可得出AMBCND，由相似三角形的判定 定理可得出ABMCDM，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 AB 的长 【解答】解：由光学原理得AMNCMN， AMBCND， 又ABMCDM90， ABMCDM， ， 即， 解得 CD12.8（m） 故答案为
25、：12.8 15如图，正方形 ABCD 中，BC4，点 M 是线段 AD 的中点，点 E 是对角线 BD 上一动点，连接 AE，将 线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90至 AF，连接 MF，则线段 MF 的最小值为 【分析】由旋转的性质可得 AEAF，EAF90，由“SAS”可证BAEDAF，可得ADF ABE45，则当 MFDF 时，MF 有最小值，即可求解 【解答】解：如图，连接 DF， 四边形 ABCD 是正方形， ABAD，ABD45， 将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90至 AF， AEAF，EAF90， EAFBAD90， BAEDAF， 在BAE 和DAF 中， ， BAE
26、DAF（SAS） ， ADFABE45， DF 与 AD 所成的角为 45， 当 MFDF 时，MF 有最小值， 点 M 是线段 AD 的中点， MDAD2， MF， 故答案为 16 （1）小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程： （x5）2102x，下面是他的解法： （x5）22（x5） x52 x3 填空： 小亮是在第 2 步开始出现错误的， 这一步错误的原因是： 两边除以 x5 时 x5可能为 0 请给出该方程正确的求解过程 （2）解方程：2x24x10 【分析】 （1）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可得出答案； （2）利用配方法求解即可 【解答】解： （1）小亮是
27、在第 2 步开始出现错误的，这一步错误的原因是：两边除以 x5 时 x5 可 能为 0 正确的求解过程如下： （x5）2102x， （x5）22（x5） ， （x5）2+2（x5）0， 则（x5） （x3）0， x50 或 x30， 解得 x15，x23； 故答案为：2；两边除以 x5 时 x5 可能为 0 （2）2x24x10， 2x24x1， 则 x22x， x22x+1+1，即（x1）2， x1， 则 x11+，x21 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（2，3） ，C（4，2） （1）将ABC 向左平移 4 个单位长度，得到A1B1C1，请画出
28、A1B1C1 （2）以点 O 为位似中心，请在第三象限内画出A2B2C2，使它与ABC 位似，且相似比为 2：1并写 出点 B2，C2的坐标 （4，6） ， （8，4） 【分析】 （1）利用平移的性质得出对应点坐标位置，进而得出答案； （2）画出一个以点 O 为位似中心的A2B2C2，使得A2B2C2与A1B1C1的相似比为 2：1 即可 【解答】解： （1）如图所示： （2）如图所示：点 B2，C2的坐标（4，6） ， （8，4） 故答案为： （4，6） ， （8，4） 18为推动我校科技活动的蓬勃开展，培养中学生的创新精神和实践能力，提高中学生科技素质，我校计 划组织一批爱好科技的学生参加
29、第 36 届山西省青少年科技创新大赛 为了让同学们能更好地备赛， 学校 打算从在往届比赛中已获得国家一等奖的小亮、小白、小颖、小刚四名同学中随机选择两位同学跟本次 参的同学分享创作经验和感受请用列表或画树状图的方法求出小亮和小颖恰好被同时选中的概率 【分析】画出树状图，共有 12 个等可能的结果，小亮和小颖恰好被同时选中的结果有 2 个，由概率公式 求解即可 【解答】解：把小亮、小白、小颖、小刚四名同学分别记为：A、B、C、D，画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，小亮和小颖恰好被同时选中的结果有 2 个， 小亮和小颖恰好被同时选中的概率为 19如图，在ABCD 中，EF 是对角线 AC
30、 的垂直平分线，分别与 AD，BC 交于点 E，F （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AC6，AE5，求菱形 AECF 的面积 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质得出 AFCF，AECE，根据全等三角形的判定推出AOF COE，根据全等三角形的性质得出 AFCE，求出 AEECCFAF，根据菱形的判定得出即可； （2）根据勾股定理得出 OE，进而解答即可 【解答】证明： （1）对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别与 AC、BC、AD 交于点 O、E、F， AFCF，AECE，OAOC， EACECA，FACFCA， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， EACF
31、CA， FAOECO， 在AOF 和COE 中， ， AOFCOE（ASA） ， AFCE， AFCF，AECE， AEECCFAF， 四边形 AECF 为菱形； （2）四边形 AECF 是菱形， ACEF，OAOC，OEOF， AC6，AE5， OE3， 由勾股定理可得：OE， EF2OE8， 菱形 AECF 的面积 20山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮而山西小米以其突出的品质、品种优势， 成为山西现代特色农业的一张 “黄金名片” 某地一家杂粮销售商以每千克 10 元的价格购进一批山西 “沁 州黄”小米，当按每千克 16 元的价格出售时，平均每天可销售 200kg为了尽快
32、减少库存，该商家决定 降价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低 0.5 元，平均每天销量可增加 40kg该销售商要想 每天获利 1400 元，那么每千克小米的售价应为多少元？ 【分析】设每千克小米的售价应降 x 元，由题意得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解：设每千克小米的售价应降 x 元，由题意得， （16x10） （200+）1400， 整理得，2x27x+50， 解这个方程，得 x11，x22.5 为了尽快减少库存， x2.5 每千克小米的售价应为 162.513.5（元） 答：每千克小米的售价应为 13.5 元 21如图，在ABC 中，AB12cm，BC9c
33、m，动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4cm/s 的速度向点 B 运动； 动点 Q 从点 B 开始沿 BC 边以 2cm/s 的速度向点 C 运动点 P 和点 Q 同时出发，当其中一个点到达终点 时，另一点随之停止运动设动点的运动时间为 ts，请问当QBP 与ABC 相似时，t 的值是多少？ 【分析】分两种情形：当时，两三角形相似，当时，两三角形相似，分别构建方程求 解即可 【解答】解：由题意 AB12cmBC9cm，AP4t，BQ2t，则 BP（124t）cm 当时，两三角形相似， ， 解得 t 当时，两三角形相似， ， 解得 t， 综上所述，当QBP 与ABC 相似时，t 的值是或
34、22如图（1） ，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）证明与推断： 求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ： （2）探究与证明： 将正方形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 角（045） ，如图（2）所示，试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展与运用： 正方形 CEGF 在旋转过程中， 当 B， E， F 三点在一条直线上时， 如图 （3） 所示， 延长 CG 交 AD 于点 H 若 AG6，GH2，则 BC 3 【分析】 （1）由 GEBC、GFCD 结合BCD90可得四边形 C
35、EGF 是矩形，再由ECG45 即可得证；由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得、GEAB，利用 平行线分线段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证ACGBCE 即可得； （3） 证AHGCHA 得， 设 BCCDADa， 知 ACa， 由得 AHa、 DHa、CHa，由可得 a 的值 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是正方形， BCD90，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90， 四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45， EGEC， 四边形 CEGF 是正方形； 由知四边形 CEGF 是正方形， CEGB90，ECG45， ，GEAB， ， 故答案
36、为：； （2）连接 CG， 由旋转性质知BCEACG， 在 RtCEG 和 RtCBA 中， cos45、cos45， ， ACGBCE， ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AGBE； （3）CEF45，点 B、E、F 三点共线， BEC135， ACGBCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG， AHGCHA， ， 设 BCCDADa，则 ACa， 则由得， AHa， 则 DHADAHa，CHa， 得， 解得：a3，即 BC3， 故答案为：3 23如图，已知在矩形 ABCD 中，CD2，BC4，点 F 是 CD 边上的中点，连接 AF，交 BD 于点 M线 段
37、 BD 的垂直平分线 OE 分别交 BD，BC 于点 O，E连接 EM，则 EM 的长为 【分析】以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，根据矩 形 ABCD 中，CD2，BC4，点 F 是 CD 边上的中点，可得直线 AF 和 BD 的解析式，进而可得交点 M 的坐标，由 E 点坐标，进而可得 EM 的长 【解答】解：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标 系， 在矩形 ABCD 中，CD2，BC4，点 F 是 CD 边上的中点， A（0，2） ，F（4，1） ， 直线 AF 的解
38、析式为 yx+2， B（0，0） ，D（4，2） ， 直线 BD 的解析式为 yx， 联立方程组为： ， 解得， M（，） ， OE 是 BD 的垂直平分线， BOEBCD90， EBMDBC， EBMDBC， ， BD2， BO， ， BE， E（，0） ， ME 故答案为： 24阅读与思考 黄金分割 黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前 4 世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了 黄金分割比例这一问题， 并建立起比例理论 后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割， 其 几何原本 成为最早的有关黄金分割的论著黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长 之比等于较短
39、部分与较长部分之比 黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都 可发现与黄金比有联系的数据.20 世纪 70 年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到 大规模推广，取得了很大的成就 如图 1 的作法是由几何原本中给出： （1）以线段 AB 为边作正方形 ABCD （2）取 AD 的中点 E，连接 BE （3）在 DA 的延长线上取点 F，使 FEEB （4）以线段 AF 为边作正方形 AFGH 点 H 就是线段 AB 的黄金分割点 以下是证明点 H 是线段 AB 的黄金分割点的部分过程 证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则 AB
40、AD1 点 E 是 AD 的中点，AEAD 在 RtABE 中，由勾股定理得：BE 任务： （1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整 （2） 如图 2， 点 C， D 是线段 AB 的两个黄金分割点， 且 AC22， 则 AB 4 ， BC 62 【分析】 （1）在 RtABE 中，由勾股定理得：BEEF，则 AHAF EFAE，即可求解； （2）点 C 是 AB 的黄金分割点，则 ACAB22，解得 AB4，进而求解 【解答】 （1）证明：设正方形 ABCD 的边长为 1，则 ABAD1 点 E 是 AD 的中点， AEAD 在 RtABE 中，由勾股定理得：BEEF， 则 AHAFEFAE， 故点 H 是线段 AB 的黄金分割点； （2）解：点 C 是 AB 的黄金分割点， 则 ACAB22，解得 AB4， 则 BCABAC4（22）62 故答案为 4，62
