1、2020-2021 学年安徽省学年安徽省合肥市瑶海区二校联考合肥市瑶海区二校联考九年级（上）段考数学试卷九年级（上）段考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）分） 1如果 是锐角，且 cos，那么 sin 的值是（ ） A B C D2 2下列判断正确的是（ ） A不全等的三角形一定不是相似三角形 B不相似的三角形一定不是全等三角形 C相似三角形一定不是全等三角形 D全等三角形不一定是相似三角形 3如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列一个条件仍不能判断ADB 与ABC 相似的是（ ） AABDC BADB
2、ABC CBC2CDAC DAB2ADAC 4若 x1，x2（x1x2）是方程（xa） （xb）1（ab）的两个根，则实数 x1，x2，a，b 的大小关系为 （ ） Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 5已知在ABC 中，C90且ABC 不是等腰直角三角形，设 sinBn，当B 是最小的内角时，n 的 取值范围是（ ） A B C D 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则反比例函数 y与一次函数 ybxc 在同一坐标系内 的图象大致是（ ） A B C D 7如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE2：3，连结 AE，BD
3、交于点 F，则 SDEF： SADF：SABF等于（ ） A2：3：5 B4：9：25 C4：10：25 D2：5：25 8 如图， 在ABC 中， CD 平分ACB， 过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 M， 若 BCm， ACn， 则 DM （ ） A B C D 9如图，已知在 RtABC 中，ABC90，点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动（点 D 与点 B、C 不重合） ，作 BE AD 于 E，CFAD 于 F，则 BE+CF 的值（ ） A不变 B增大 C减小 D先变大再变小 10如图，在梯形 ABCD 中，ABBC10cm，CD6cm，CD90，动点 P、Q 同时以每秒
4、1cm 的速度从点 B 出发，点 P 沿 BA、AD、DC 运动，点 Q 沿 BC、CD 运动，P 点与 Q 点相遇时停止，设 P、 Q 同时从点 B 出发 x 秒时，P、Q 经过的路径与线段 PQ 围成的图形的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 之间的 函数关系的大致图象为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11若点 A（2，m）在函数 yx21 的图象上，则 A 点的坐标是 12在ABC 中，若A30，B45，AC，则 BC 13如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中
5、 AB 和 BC 分别在两直角边上设 AB xm，长方形的面积为 ym2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为 14设ABC 的面积为 1，如图，将边 BC、AC 分别 2 等分，BE1、AD1相交于点 O，AOB 的面积记为 S1；如图将边 BC、AC 分别 3 等分，BE1、AD1相交于点 O，AOB 的面积记为 S2；，依此类推， 则 Sn可表示为 （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15计算：+sin45 16已知线段 a、b、c 满足，且 a+2b+c26 （1）求 a
6、、b、c 的值； （2）若线段 x 是线段 a、b 的比例中项，求 x 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17如图，RtABC 中，斜边 AB 上一点 M，MNAB 交 AC 于 N，若 AM3cm，AB：AC5：4，求 MN 的长 18如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，BEAC，垂足为点 F求证：AEFCAB 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，两幢建筑物 AB 和 CD，ABBD，CDBD，AB15m，CD20mAB 和 CD 之间有一景观池， 小双在 A 点测得池中
7、喷泉处 E 点的俯角为 42，在 C 点测得 E 点的俯角为 45，点 B、E、D 在同一直 线上 求两幢建筑物之间的距离 BD（结果精确到 0.1m）【参考数据： sin420.67， cos420.74， tan42 0.90】 20如图所示，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，B30，若边长 ABx（cm） （1）写出ABCD 的面积 y（cm2）与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围 （2）当 x 取什么值时，y 的值最大？并求最大值 六、本题 12 分 21在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD：DB3：2，AE：EC1：2，直线 ED 和 C
8、B 的 延长线交于点 F，求：FB：FC 七、本题 12 分 22如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标， 并求出POB 的面积；若不存在，请说明理由 八、本题 14 分 23 问题提出： 数学课本上有这样一道题目： 如图， 一块材料的形状是锐角三角形 ABC， 边 BC120mm， 高 AD80mm把
9、它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上， 这个正方形零件的边长是多少？ 初步思考： （1）试计算出正方形零件的边长； 深入探究： （2）李华同学通过探究发现如果要把ABC 按照图加工成三个相同大小的正方形零件，ABC 的边 BC 与高 AD 需要满足一定的数量关系则这一数量关系是： （直接写出结论，不用说明理由） ； （3）若ABC 可以按照图加工成四个大小相同的正方形，且B30，求证：ABBC 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1如果 是锐角，且 cos，那么 sin 的值是（ ） A B C D2
10、 【分析】因为 cos所以利用 sin2+cos21 直接解答即可 【解答】解：sin2+cos21， sin 故选：C 2下列判断正确的是（ ） A不全等的三角形一定不是相似三角形 B不相似的三角形一定不是全等三角形 C相似三角形一定不是全等三角形 D全等三角形不一定是相似三角形 【分析】做题前需掌握：全等三角形一定是相似三角形，但相似三角形不一定是全等三角形，根据此对 各个选项进行分析从而不难得到答案 【解答】解：A，不正确，两个相似的三角形相似但不全等； B，正确，因为全等三角形是特殊的相似三角形，不相似即不构成全等的前提； C，不正确，因为相似三角形可以是全等三角形，全等三角形是特殊的
11、相似三角形； D，不正确，因为全等三角形一定是相似三角形； 故选：B 3如图，点 D 在ABC 的边 AC 上，添加下列一个条件仍不能判断ADB 与ABC 相似的是（ ） AABDC BADBABC CBC2CDAC DAB2ADAC 【分析】由A 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A 与 D 正确；又由两组对应边的 比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 B 正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的 应用 【解答】解：A 是公共角， 当ABDC 或ADBABC 时，ADBABC（有两角对应相等的三角形相似） ； 故 A 与 B 正确； 当，即 AB2ACAD 时，A
12、DBABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形 相似） ； 故 D 正确； 当，即 BC2CDAC 时，A 不是夹角，故不能判定ADB 与ABC 相似， 故 C 错误 故选：C 4若 x1，x2（x1x2）是方程（xa） （xb）1（ab）的两个根，则实数 x1，x2，a，b 的大小关系为 （ ） Ax1x2ab Bx1ax2b Cx1abx2 Dax1bx2 【分析】因为 x1和 x2为方程的两根，所以满足方程（xa） （xb）1，再由已知条件 x1x2、ab 结合图象，可得到 x1，x2，a，b 的大小关系 【解答】解：用作图法比较简单，首先作出 y（xa） （xb）图象，任意画
13、一个（开口向上的，与 x 轴有两个交点） ，再向下平移一个单位，就是 y（xa） （xb）1，这时与 x 轴的交点就是 x1，x2， 画在同一坐标系下，很容易发现： 答案是：x1abx2 故选：C 5已知在ABC 中，C90且ABC 不是等腰直角三角形，设 sinBn，当B 是最小的内角时，n 的 取值范围是（ ） A B C D 【分析】根据三角形的内角和定理，易知直角三角形的最小内角不大于 45 再根据 sin45和一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，进行分析 【解答】解：根据题意，知 0B45 又 sin45， 0n 故选：A 6二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则反比例函
14、数 y与一次函数 ybxc 在同一坐标系内 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据二次函数的图象可得出 a0、b0、c0，由此即可得出反比例函数 y的图象在第一、 三象限，一次函数 ybxc 的图象经过第二、三、四象限，再结合四个选项即可得出结论 【解答】解：观察二次函数图象可得出：a0，0，c0， b0 反比例函数 y的图象在第一、三象限，一次函数 ybxc 的图象经过第二、三、四象限 故选：A 7如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE2：3，连结 AE，BD 交于点 F，则 SDEF： SADF：SABF等于（ ） A2：3：5 B4：9：25 C4：
15、10：25 D2：5：25 【分析】根据平行四边形性质得出 DCAB，DCAB，求出 DE：AB2：5，推出DEFBAF，求 出 （） 2 ， 根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出 ，即可得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，DCAB， DE：CE2：3， DE：AB2：5， DCAB， DEFBAF， （）2， （等高的三角形的面积之比等于对应边之比） ， SDEF：SADF：SABF等于 4：10：25， 故选：C 8 如图， 在ABC 中， CD 平分ACB， 过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 M， 若 BCm， ACn， 则 DM （ ） A
16、B C D 【分析】根据“CD 平分ACB，过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 M” ，得到 DMMC，所以 AMACMC nDM，再根据平行线分线段成比例定理推论解答 【解答】解：CD 平分ACB，过 D 作 BC 的平行线交 AC 于 M， MDCMCD， DMMC， AMACMCnDM， 又DMBC， ，即， 解得 DM 故选：C 9如图，已知在 RtABC 中，ABC90，点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动（点 D 与点 B、C 不重合） ，作 BE AD 于 E，CFAD 于 F，则 BE+CF 的值（ ） A不变 B增大 C减小 D先变大再变小 【分析】设DCFDBE，易知
17、 BE+CFBCcos，根据 090，由此即可作出判断 【解答】解：BEAD 于 E，CFAD 于 F， CFBE， DCFDBE，设DCFDBE， CFDCcos，BEDBcos， BE+CF（DB+DC）cosBCcos， ABC90， O90， 当点 D 从 B 向 C 运动时， 是逐渐增大的， cos 的值是逐渐减小的， BE+CFBCcos 的值是逐渐减小的 故选 C 面积法：SABCADCF+ADBEAD（CF+BE） ， CF+BE， 点 D 沿 BC 自 B 向 C 运动时，AD 是增加的， CF+BE 的值是逐渐减小 故选：C 10如图，在梯形 ABCD 中，ABBC10cm
18、，CD6cm，CD90，动点 P、Q 同时以每秒 1cm 的速度从点 B 出发，点 P 沿 BA、AD、DC 运动，点 Q 沿 BC、CD 运动，P 点与 Q 点相遇时停止，设 P、 Q 同时从点 B 出发 x 秒时，P、Q 经过的路径与线段 PQ 围成的图形的面积为 y（cm2） ，则 y 与 x 之间的 函数关系的大致图象为（ ） A B C D 【分析】二次函数开口方向由 a 的符号确定：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下 【解答】解：过点 P 作 PEBC 于 E， 设 P、Q 同时从点 B 出发 x 秒时，BPQ 的面积是 y， PEBPsinB， 当点 P 在 AB 上
19、，即 0 x10 时，yBQBPsinBx2x2； 当点 P 在 AD 上，即 10 x12 时，y梯形 ABCD 面积PDQ 面积36PDQD而 PD12 x，QD16x，则 yx2+14x60； P 到 D 之后，面积达到最大 36cm2，且不变 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11若点 A（2，m）在函数 yx21 的图象上，则 A 点的坐标是 （2，3） 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征把 A（2，m）代入函数解析式求出 m 的值，则可确定 A 点坐 标 【解答】解：把 A（2，m）代入 yx21 得 m413， 所以 A 点坐标为（2，3） 故答案为（2，
20、3） 12在ABC 中，若A30，B45，AC，则 BC 【分析】通过作辅助线把一般的三角形转化为直角三角形，根据三角函数的定义求解 【解答】解：作 AB 边的高 CE 在 RtACE 中， A30，AC， CEAC 在等腰 RtCBE 中，BCCE， 故 BC 13如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 BC 分别在两直角边上设 AB xm，长方形的面积为 ym2，要使长方形的面积最大，其边长 x 应为 【分析】根据EADEBF 列出比例式，用含 x 的代数式表示 AD，根据矩形的面积公式列出二次函数 解析式，根据二次函数性质解答即可 【解答】解：四边形 AB
21、CD 为矩形， ADBC， EADEBF， ，即， 解得，AD12x， yx（12x） x2+12x （x）2+15， 当 x时，长方形的面积最大， 故答案为： 14设ABC 的面积为 1，如图，将边 BC、AC 分别 2 等分，BE1、AD1相交于点 O，AOB 的面积记为 S1；如图将边 BC、AC 分别 3 等分，BE1、AD1相交于点 O，AOB 的面积记为 S2；，依此类推， 则 Sn可表示为 （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 【分析】连接 D1E1，设 AD1、BE1交于点 M，先求出 SABE1，再根据得出 S ABM：SABE1（n+1） ： （2n+1） ，最后
22、根据 SABM：（n+1） ： （2n+1） ，即可求出 Sn 【解答】解：如图，连接 D1E1，设 AD1、BE1交于点 M， AE1：AC1： （n+1） ， SABE1：SABC1： （n+1） ， SABE1， ， ， SABM：SABE1（n+1） ： （2n+1） ， SABM：（n+1） ： （2n+1） ， Sn 故答案为： 三解答题三解答题 15计算：+sin45 【分析】根据特殊角的三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案 【解答】解：原式+ 1+ 16已知线段 a、b、c 满足，且 a+2b+c26 （1）求 a、b、c 的值； （2）若线段 x 是线段 a、
23、b 的比例中项，求 x 【分析】 （1）设比值为 k，然后用 k 表示出 a、b、c，再代入等式求解得到 k，然后求解即可； （2）根据比例中项的定义列式求解即可 【解答】解： （1）设k， 则 a3k，b2k，c6k， 所以，3k+22k+6k26， 解得 k2， 所以，a326， b224， c6212； （2）线段 x 是线段 a、b 的比例中项， x2ab6424， 线段 x2 17如图，RtABC 中，斜边 AB 上一点 M，MNAB 交 AC 于 N，若 AM3cm，AB：AC5：4，求 MN 的长 【分析】先证得AMNACB，由 AB：AC5：4 可得出 AN：AM5：4，再由
24、AM3cm 可求出 MN 的长 【解答】解：由题意得：AMNACB AB：ACAN：AM5：4 可知 AN， 根据勾股定理得 AM2+MN2AN2 MN 18如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，BEAC，垂足为点 F求证：AEFCAB 【分析】只要证明EACACB，ABCAFE90即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABC90，ADBC， BEAC 于点 F， EACACB，ABCAFE90， AEFCAB 19如图，两幢建筑物 AB 和 CD，ABBD，CDBD，AB15m，CD20mAB 和 CD 之间有一景观池， 小双在 A 点测得池中喷泉处 E
25、点的俯角为 42，在 C 点测得 E 点的俯角为 45，点 B、E、D 在同一直 线上 求两幢建筑物之间的距离 BD（结果精确到 0.1m）【参考数据： sin420.67， cos420.74， tan42 0.90】 【分析】 在 RtABE 中， 根据正切函数可求得 BE， 在 RtDEC 中， 根据等腰直角三角形的性质求得 ED， 然后根据 BDBE+ED 求解即可 【解答】解：由题意得：AEB42，DEC45， ABBD，CDBD， 在 RtABE 中，ABE90，AB15，AEB42， tanAEB， BE150.90， 在 RtDEC 中，CDE90，DECDCE45，CD20，
26、 EDCD20， BDBE+ED+2036.7（m） 答：两幢建筑物之间的距离 BD 约为 36.7m 20如图所示，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，B30，若边长 ABx（cm） （1）写出ABCD 的面积 y（cm2）与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围 （2）当 x 取什么值时，y 的值最大？并求最大值 【分析】 （1）过 A 作 AEBC 于 E，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 AEx，利用平行四边 的周长可表示出 BC4x，则 0 x4；然后根据平行四边形的面积公式即可得到 y（cm2）与 x 的函数 关系式； （2）把（1）中的关系式配成顶点式得
27、到 y（x2）2+2，然后根据二次函数的最值问题即可得到 x 取什么值时，y 的值最大，并得到最大值 【解答】解： （1）过 A 作 AEBC 于 E，如图， B30，ABx， AEx， 又平行四边形 ABCD 的周长为 8cm， BC4x， yAEBCx（4x）x2+2x（0 x4） ； （2）yx2+2x （x2）2+2， a， 当 x2 时，y 有最大值，其最大值为 2 21在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD：DB3：2，AE：EC1：2，直线 ED 和 CB 的 延长线交于点 F，求：FB：FC 【分析】过 B 作 BGAC 交 EF 于 G，得到DBGADE
28、，由相似三角形的性质得到， 推出 BG：CE，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：过 B 作 BGAC 交 EF 于 G， DBGADE， ， AE：EC1：2， BG：CE， BGAC， BFGCFE， 22如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx2+（2k1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、A 两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使POB90？若存在，求出点 P 的坐标， 并求出POB 的面积；若不存在，请说明理由
29、 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，也就得出了抛物线的解析式 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据OAB 的面积可 求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出 B 点的坐标， 然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 B 点是否符合要求即可 （3）根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OBOP，由此可求出 P 点的坐标特点，代入二次函 数解析式可得出 P 点的坐标求POB 的面积时，可先求出 OB，OP 的长度即可求出BOP 的面积 【解答】解：函数的图象与
30、 x 轴相交于 O， 0k+1， k1， yx23x， 假设存在点 B，过点 B 做 BDx 轴于点 D， AOB 的面积等于 6， AOBD6， 当 0 x23x， x（x3）0， 解得：x0 或 3， AO3， BD4 即 4x23x， 解得：x4 或 x1（舍去） 又顶点坐标为： （ 1.5，2.25） 2.254， x 轴下方不存在 B 点， 点 B 的坐标为： （4，4） ； 点 B 的坐标为： （4，4） ， BOD45，BO4， 当POB90， POD45， 设 P 点横坐标为：x，则纵坐标为：x23x， 即xx23x， 解得 x2 或 x0， 在抛物线上仅存在一点 P （2，2
31、） OP2， 使POB90， POB 的面积为：POBO428 23 问题提出： 数学课本上有这样一道题目： 如图， 一块材料的形状是锐角三角形 ABC， 边 BC120mm， 高 AD80mm把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上， 这个正方形零件的边长是多少？ 初步思考： （1）试计算出正方形零件的边长； 深入探究： （2）李华同学通过探究发现如果要把ABC 按照图加工成三个相同大小的正方形零件，ABC 的边 BC 与高 AD 需要满足一定的数量关系则这一数量关系是： ADBC （直接写出结论，不用说明理 由） ； （3）若ABC 可以按照图加
32、工成四个大小相同的正方形，且B30，求证：ABBC 【分析】 （1）设正方形零件的边长为 xmm，则 KDEFx，AK80 x，根据 EFBC，得到AEF ABC，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）BCAD，如图 2 由已知条件得：EFGHBC，通过GBNEGM，得到 EGBG，根据AEF AGH，得到比例式，证得 AEEG，于是得到 AEEGGB，再由AEFABC，得 到比例式，即可得到结论 （3）如图 3，过点 A 作 ADBC 于 D，分别交 EF、GH 于点 M、N，设每个正方形的边长为 a，根据 EF GHBC，推出AEFAGHABC，于是得到，列方程即可得
33、到结论 【解答】解： （1）设正方形零件的边长为 x mm，则 KDEFx，AK80 x， EFBC， AEFABC， ADBC， ， ， 解得 x48 答：正方形零件的边长为 48mm （2）BCAD， 如图 2 由已知条件得：EFGHBC， 在GBN 与EGM 中， ， GBNEGM， EGBG， AEFAGH， ， AEEG， AEEGGB， AEFABC， ， PD2x， AD3x，BC3x， ADBC， 故答案为：ADBC； （3）如图 3，过点 A 作 ADBC 于 D，分别交 EF、GH 于点 M、N， 设每个正方形的边长为 a， EFGHBC， AEFAGHABC， ， ， 解得 AD2.5a，BC5a， BC2AD B30，ADBC， AB2AD， ABBC
