1、2020-2021 学年安徽省淮南市学年安徽省淮南市十校联盟九年级上十校联盟九年级上第三次月考数学试卷第三次月考数学试卷 一、选择题（ 每小题 4 分，满分 40 分） 1下面四幅作品分别代表“大雪” 、 “立春” 、芒种” 、 “白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 2抛物线 y（x1）2+2 的对称轴为（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 3用配方法解关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，此方程可变形为（ ） A B C D 4若二次函数 yx2+mx 的对称轴是 x4，则关于 x 的方程 x2+mx9 的根为（ ） Ax
2、10，x28 Bx11，x29 Cx11，x29 Dx11，x29 5如图，ABC 是一张三角形纸片，O 是它的内切圆，点 D、E 是其中的两个切点，已知 AD6cm，小 明准备用剪刀沿着与O相切的一条直线MN剪下一块三角形 （AMN） ， 则剪下的AMN的周长是 （ ） A9cm B12cm C15cm D18cm 6如图，在ABC 中，C90，BAC70，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 70，B、C 旋转后的对 应点分别是 B和 C，连接 BB，则BBC的度数是（ ） A35 B40 C45 D50 7如图，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，若C65，则P 的度数为（ ） A65
3、 B130 C50 D100 8如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相 切的是（ ） A点（0，3） B点（1，3） C点（6，0） D点（6，1） 9如图，圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA3，OC1，分别连接 AC、BD，则 图中阴影部分的面积为（ ） A B C2 D4 10如图甲，A、B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB点 P 从 A 出发，在O 上以每秒一个单位的速 度匀速运动，回到点 A 运动结束设运动时间为 x，弦 BP 的长度为 y，那么如图乙图象中可能表示 y 与 x 的函数关系
4、的是（ ） A B C或 D或 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11二次函数 yx22x5 的最小值是 12如图，AB 为直径，BED40，则ACD 度 13如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形若 正三角形边长为 2，则该莱洛三角形的周长为 14二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a） ，下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 5ab+c0； 若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1x2，则5x1x21； 若方
5、程|ax2+bx+c|1 有四个根，则这四个根的和为8， 其中正确的结论有 三、 （本大题共三、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 15解方程：x（x+2）3x+6 16 “圆材埋壁”是我国古代数学著作算术中的一个问题， “今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是： “如图，OCAB，垂足为 D，CD1 寸， AB1 尺，求O 的直径是多少寸？” （注：1 尺10 寸） 四、 （本大题共四、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分） 17如图，ABC 三个顶
6、点的坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）请画出ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2； （3）求出（2）中 C 点旋转到 C2点所经过的路径长（结果保留根号和 ） 18如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米，则水面 CD 的 宽是 10 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2） 当水位在正常水位时， 有一艘宽为 6 米的货船经过这里， 船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物 （货 物与货船同宽） 问：此船能
7、否顺利通过这座拱桥？ 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分） 19如图，ABC 中，ABAC1，BAC45，AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的， 连接 BE、CF 相交于点 D （1）求证：BECF； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长 20如图，四边形 ABCD 内接于圆，AD，BC 的延长线交于点 E，F 是 BD 延长线上任意一点，ABAC （1）求证：DE 平分CDF； （2）求证：ACDAEB 六、（本题满分 12 分） 21如图，在O 中，AB 是直径，P 为 AB 上一点，过点 P
8、作弦 MN，NPB45 （1）若 AP2，BP6，求 MN 的长； （2）若 MP3，NP5，求 AB 的长； （3）当 P 在 AB 上运动时（NPB45不变） ，的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请求出其范围 七、（本题满分 12 分） 22已知：正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们 的延长线）于点 M，N当MAB 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 1） ，易证 BM+DNMN （1）当MAN 旋转到 BMDN 时（如图 2） ，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想， 并加以证明 （2）当M
9、AN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并加以证明 八、（本题满分 14 分） 23如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 且 OCOB （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此 抛物线上，求点 P 的坐标 参考答案与试题解析参
10、考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下面四幅作品分别代表“大雪” 、 “立春” 、芒种” 、 “白露”四个节气，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：结合中心对称图形的概念可知： 第一个图形是中心对称图形 故选：A 2抛物线 y（x1）2+2 的对称轴为（ ） A直线 x1 B直线 x1 C直线 x2 D直线 x2 【分析】由抛物线解析式可求得答案 【解答】解： y（x1）2+2， 对称轴为直线 x1， 故选：A 3用配方法解关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0） ，此方程可变形为（ ） A B
11、 C D 【分析】首先进行移项，然后把二次项系数化为 1，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一 半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式 【解答】解：ax2+bx+c0， ax2+bxc， x2+x， x2+x+， 故选：C 4若二次函数 yx2+mx 的对称轴是 x4，则关于 x 的方程 x2+mx9 的根为（ ） Ax10，x28 Bx11，x29 Cx11，x29 Dx11，x29 【分析】先利用二次函数的性质，利用对称轴方程求出 m8，然后解方程 x28x9 即可 【解答】解：二次函数 yx2+mx 的对称轴是 x4， 4，解得 m8， 所以抛物线解析式为 yx28
12、m， 解方程 x28x9 得 x11，x29 故选：D 5如图，ABC 是一张三角形纸片，O 是它的内切圆，点 D、E 是其中的两个切点，已知 AD6cm，小 明准备用剪刀沿着与O相切的一条直线MN剪下一块三角形 （AMN） ， 则剪下的AMN的周长是 （ ） A9cm B12cm C15cm D18cm 【分析】利用切线长定理得出 DMMF，FNEN，ADAE，进而得出答案 【解答】解：如图所示： ABC 是一张三角形的纸片，O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，AD6cm， 设 F 是O 的切点， 故 DMMF，FNEN，ADAE， AMN 的周长AM+AN+MNAD+AE6+612
13、（cm） 故选：B 6如图，在ABC 中，C90，BAC70，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 70，B、C 旋转后的对 应点分别是 B和 C，连接 BB，则BBC的度数是（ ） A35 B40 C45 D50 【分析】 首先在ABB中根据等边对等角， 以及三角形内角和定理求得ABB的度数， 然后在直角BBC 中利用三角形内角和定理求解 【解答】解：ABAB， ABBABB55， 在直角BBC 中，BBC905535 故选：A 7如图，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，若C65，则P 的度数为（ ） A65 B130 C50 D100 【分析】由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利
14、用切线的性质得到 OA 垂直于 AP，OB 垂直于 BP，可得出两 个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知C 的度数求出AOB 的度数，在 四边形 PABO 中，根据四边形的内角和定理即可求出P 的度数 【解答】解：PA、PB 是O 的切线， OAAP，OBBP， OAPOBP90， 又AOB2C130， 则P360（90+90+130）50 故选：C 8如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相 切的是（ ） A点（0，3） B点（1，3） C点（6，0） D点（6，1） 【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在
15、位置，再根据切线的性质得出，OBD+EBF90时 F 点的位置即可 【解答】解：过格点 A，B，C 作一圆弧， 三点组成的圆的圆心为：O（2，0） ， 只有OBD+EBF90时，BF 与圆相切， 当BODFBE 时， EFBD2， F 点的坐标为： （5，1） ， 点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是： （5，1）和（1，3） 故选：B 9如图，圆心角都是 90的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起，OA3，OC1，分别连接 AC、BD，则 图中阴影部分的面积为（ ） A B C2 D4 【分析】通过分析图可知：ODB 经过旋转 90后能够和OCA 重合（证全等也可） ，因此图
16、中阴影部 分的面积扇形 AOB 的面积扇形 COD 的面积，所以 S阴（91）2 【解答】解：由图可知，将OAC 顺时针旋转 90后可与ODB 重合， SOACSOBD； 因此 S阴影S扇形OAB+SOBDSOACS扇形OCDS扇形OABS扇形OCD（91）2 故选：C 10如图甲，A、B 是半径为 1 的O 上两点，且 OAOB点 P 从 A 出发，在O 上以每秒一个单位的速 度匀速运动，回到点 A 运动结束设运动时间为 x，弦 BP 的长度为 y，那么如图乙图象中可能表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C或 D或 【分析】分两种情形讨论当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P
17、逆时针旋转时，图象是，由此即 可解决问题 【解答】解：当点 P 顺时针旋转时，图象是，当点 P 逆时针旋转时，图象是， 故答案为， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11二次函数 yx22x5 的最小值是 6 【分析】利用二次函数顶点式求最小（大）值的方法 【解答】解：原式可化为 yx22x+16（x1）26， 最小值为6 故答案为：6 12如图，AB 为直径，BED40，则ACD 50 度 【分析】 连接 OD， 由BED 的度数， 推出BOD 的度数， 然后由邻补角的性质即可推出AOD 的度数， 最后根据圆周角定理即可推出ACD 的度数 【解答】解：连接 OD， BED
18、40， BOD80， AB 为直径， AOB180， AOD100， ACD50 故答案为 50 13如图，分别以正三角形的 3 个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形若 正三角形边长为 2，则该莱洛三角形的周长为 2 【分析】直接利用弧长公式计算即可 【解答】解：该莱洛三角形的周长32 故答案为：2 14二次函数 yax2+bx+c（a0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（2，9a） ，下列结论： abc0； 4a+2b+c0； 5ab+c0； 若方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2，且 x1x2，则5x1x21； 若方程|ax2+bx+c|1 有四个根
19、，则这四个根的和为8， 其中正确的结论有 【分析】利用顶点式得到 yax2+4ax5a，根据抛物线的开口向上得到 a0，则 b0，c0，于是可对 进行判断；解方程 ax2+4ax5a0 得抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （1，0） ，利用 x2 时， y0 可对进行判断；把 b4a，c5a 代入 5ab+c 中可对进行判断；根据抛物线 ya（x+5） （x 1）与直线 y1 有两个交点，交点的横坐标分别为 x1和 x2，则可对进行判断；由于方程 ax2+bx+c 1 有 2 个根，方程 ax2+bx+c1 有 2 个根，则利用根与系数的关系可对进行判断 【解答】解：抛物线的顶点坐标
20、为（2，9a） ， ya（x+2）29aax2+4ax5a， 抛物线的开口向上， a0， b4a0，c5a0， abc0，所以正确； 当 y0 时，ax2+4ax5a0，解得 x15，x21， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（5，0） ， （1，0） ， x2 时，y0， 4a+2b+c0，所以正确； 5ab+c5a4a5a4a， 而 a0， 5ab+c0，所以错误； 方程 a（x+5） （x1）1 有两个根 x1和 x2， 抛物线 ya（x+5） （x1）与直线 y1 有两个交点，交点的横坐标分别为 x1和 x2， 5x1x21，所以正确； 方程|ax2+bx+c|1 有四个根， 方程 ax2
21、+bx+c1 有 2 个根，方程 ax2+bx+c1 有 2 个根， 所有根之和为 2（）2（）8，所以正确 故答案为 三解答题三解答题 15解方程：x（x+2）3x+6 【分析】先变形得到 x（x+2）3（x+2）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：x（x+2）3（x+2）0， （x+2） （x3）0， x+20 或 x30， 所以 x12，x23 16 “圆材埋壁”是我国古代数学著作算术中的一个问题， “今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之， 深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是： “如图，OCAB，垂足为 D，CD1 寸， AB1 尺，求O 的直径是多少寸？” （
22、注：1 尺10 寸） 【分析】连接 OA，如图，设O 的半径为 r 寸，则 OD（r1）寸，根据垂径定理得到 ADBD5， 再利用勾股定理得 52+（r1）2r2，然后解方程求出 r，从而得到O 的直径 【解答】解：连接 OA，如图，设O 的半径为 r 寸，则 OD（r1）寸， OCAB， ADBDAB105， 在 RtAOD 中，AD2+OD2OA2， 52+（r1）2r2，解得 r13， O 的直径是 26 寸 17如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（1，1） ，C（4，3） （1）请画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标； （2）请画出ABC
23、 绕点 B 逆时针旋转 90后的A2BC2； （3）求出（2）中 C 点旋转到 C2点所经过的路径长（结果保留根号和 ） 【分析】 （1）利用关于 x 轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点 A1、B1、C1的坐标，然 后画出图形即可； （2）利用旋转的性质可确定出点 A2、C2的坐标； （3）利用弧长公式进行计算即可 【解答】解： （1）根据关于 x 轴对称点的坐标特点可知：A1（2，4） ，B1（1，1） ，C1（4，3） ， 如图下图：连接 A1、B1、C1即可得到A1B1C1 （2）如图： （3）由两点间的距离公式可知：BC， 点 C 旋转到 C2点的路径长 18如图，有一座
24、抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米，则水面 CD 的 宽是 10 米 （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2） 当水位在正常水位时， 有一艘宽为 6 米的货船经过这里， 船舱上有高出水面 3.6 米的长方体货物 （货 物与货船同宽） 问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【分析】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式 （2）计算出本问可用两种方法求得，求 x3 米时求出水面求出此时 y 的值，A、B 点的横坐标减去 y 此 时的值到正常水面 AB 的距离与 3.6 相比较即可得出答案 【解答】解：
25、（1）设抛物线解析式为 yax2， 因为抛物线关于 y 轴对称，AB20，所以点 B 的横坐标为 10， 设点 B（10，n） ，点 D（5，n+3） ， n102a100a，n+352a25a， 即， 解得， ； （2）货轮经过拱桥时的横坐标为 x3， 当 x3 时， （4）3.6 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 19如图，ABC 中，ABAC1，BAC45，AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的， 连接 BE、CF 相交于点 D （1）求证：BECF； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长 【分析】 （1） 先由旋
26、转的性质得 AEAB， AFAC， EAFBAC， 则EAF+BAFBAC+BAF， 即EABFAC，利用 ABAC 可得 AEAF，于是根据旋转的定义，AEB 可由AFC 绕点 A 按顺 时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到 BECD； （2）由菱形的性质得到 DEAEACAB1，ACDE，根据等腰三角形的性质得AEBABE，根 据平行线得性质得ABEBAC45，所以AEBABE45，于是可判断ABE 为等腰直角三 角形，所以 BEAC，于是利用 BDBEDE 求解 【解答】 （1）证明：AEF 是由ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的， AEAB，AFAC，EAFBAC， EAF+
27、BAFBAC+BAF，即EABFAC， ABAC， AEAF， AEB 可由AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到， BECF； （2）解：四边形 ACDE 为菱形，ABAC1， DEAEACAB1，ACDE， AEBABE，ABEBAC45， AEBABE45， ABE 为等腰直角三角形， BEAC， BDBEDE1 20如图，四边形 ABCD 内接于圆，AD，BC 的延长线交于点 E，F 是 BD 延长线上任意一点，ABAC （1）求证：DE 平分CDF； （2）求证：ACDAEB 【分析】 （1）根据圆内接四边形的性质得到CDEABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明 即可； （2）
28、根据三角形外角的性质和图形得到CAE+EABD+DBC，得到EABD，根据圆周角 定理证明 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 内接于圆， CDEABC， 由圆周角定理得，ACBADB，又ADBFDE， ACBFDE， ABAC， ACBABC， FDECDE，即 DE 平分CDF； （2）ACBABC， CAE+EABD+DBC， 又CAEDBC， EABD， ACDAEB 21如图，在O 中，AB 是直径，P 为 AB 上一点，过点 P 作弦 MN，NPB45 （1）若 AP2，BP6，求 MN 的长； （2）若 MP3，NP5，求 AB 的长； （3）当 P 在 AB 上运动时（NP
29、B45不变） ，的值是否发生变化？若不变，请求出其值； 若变化，请求出其范围 【分析】（1） 作 OHMN 于 H， 连接 ON， 先计算出 OA4， OP2， 在 RtPOH 中， 由于OPH45， 则 OHOP，再在 RtOHN 中，利用勾股定理计算出 NH，然后根据垂径定理由 OH MN 得到 HMHN，所以 MN2NH2； （2）作 OHMN 于 H，连接 ON，先计算出 HMHN4，PH1，在 RtPOH 中，由OPH45 得到 OH1，再在 RtOHN 中利用勾股定理可计算出 ON，所 AB2ON2； （3）作 OHMN 于 H，连接 ON，根据垂定理得 HMHN，设圆的半径为 R
30、，在 RtOHN 中，利用勾 股定理得到 OH2+NH2ON2R2，在 RtPOH 中，由OPH45得 OHPH，则 PH2+NH2R2，然 后变形 PM2+PN2可得到 2 （PH2+NH2） ， 所以 PM2+PN2的值为 2R2， 又 AB2R， 代入计算即可求出答案 【解答】解： （1）作 OHMN 于 H，连接 ON， AP2，BP6， AB8， OA4，OP2， 在 RtPOH 中，OPH45， OHOP， 在 RtOHN 中，ON4，OH， NH， OHMN， HMHN， MN2NH2； （2）作 OHMN 于 H，连接 ON， 则 HMHN， MP3，NP5， MN8， HMH
31、N4， PH1， 在 RtPOH 中，OPH45， OH1， 在 RtOHN 中，HN4，OH1， ON， AB2ON2； （3）的值不发生变化，为定值， 作 OHMN 于 H，连接 ON， 则 HMHN， 设圆的半径为 R， 在 RtOHN 中，OH2+NH2ON2R2， 在 RtPOH 中，OPH45， OHPH， PH2+NH2R2， PM2+PN2（HMPH）2+（NH+PH）2 （NHPH）2+（NH+PH）2 2（PH2+NH2） 2R2 又 AB24R2， 的值不发生变化，为定值 22已知：正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 绕点 A 顺时旋转，它的两边分别交 CB，DC（
32、或它们 的延长线）于点 M，N当MAB 绕点 A 旋转到 BMDN 时（如图 1） ，易证 BM+DNMN （1）当MAN 旋转到 BMDN 时（如图 2） ，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想， 并加以证明 （2）当MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，并加以证明 【分析】 （1）结论：BM+DNMN 成立，证得 B、E、M 三点共线即可得到AEMANM，从而证得 MEMN （2）结论：DNBMMN首先证明ADQABM，得 DQBM，再证明AMNAQN（SAS） ， 得 MNQN， 【解答】解
33、： （1）BM+DNMN 成立 证明：如图，把ADN 绕点 A 顺时针旋转 90， 得到ABE，则可证得 E、B、M 三点共线（图形画正确） EAM90NAM904545， 又NAM45， 在AEM 与ANM 中， ， AEMANM（SAS） ， MEMN， MEBE+BMDN+BM， DN+BMMN； （2）DNBMMN 在线段 DN 上截取 DQBM， 在ADQ 与ABM 中， ， ADQABM（SAS） ， DAQBAM， QANMAN 在AMN 和AQN 中， ， AMNAQN（SAS） ， MNQN， DNBMMN 23如图，已知抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A
34、（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴交于点 C， 且 OCOB （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此 抛物线上，求点 P 的坐标 【分析】 （1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求 出二次函数的解析式； （2）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EFx
35、轴于 F，四边形 BOCE 的面积三角形 BFE 的面积+直角梯形 FOCE 的面积直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长在三角形 BFE 中，BFBOOF，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代 入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可 求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值即可求出此时 E 的坐标； （3）由 P 在抛物线的对称轴上，设出 P 坐标为（1，m） ，如图所示，过 A作 AN对称轴
36、于 N， 由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用 AAS 得 到ANPPMA， 由全等三角形的对应边相等得到 ANPM|m|， PNAM2， 表示出 A坐标， 将 A坐标代入抛物线解析式中求出相应 m 的值，即可确定出 P 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ， OB3， OCOB， OC3， c3， ， 解得：， 所求抛物线解析式为：yx22x+3； （2）如图 2，过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E（a，a22a+3） （3a0） ， EFa22a+3，BFa+3
37、，OFa， S四边形BOCEBFEF+（OC+EF） OF， （a+3） （a22a+3）+（a22a+6） （a） ， a+， （a+）2+， 当 a时，S四边形BOCE最大，且最大值为 此时，点 E 坐标为（，） ； （3）抛物线 yx22x+3 的对称轴为 x1，点 P 在抛物线的对称轴上， 设 P（1，m） ， 线段 PA 绕点 P 逆时针旋转 90后，点 A 的对应点 A恰好也落在此抛物线上， 当 m0 时， PAPA1，APA190， 如图 3，过 A1作 A1N对称轴于 N，设对称轴于 x 轴交于点 M， NPA1+MPANA1P+NPA190， NA1PNPA， 在A1NP 与PMA 中， ， A1NPPMA， A1NPMm，PNAM2， A1（m1，m+2） ， 代入 yx22x+3 得：m+2（m1）22（m1）+3， 解得：m1，m2（舍去） ， 当 m0 时，要使 P2AP2A，2，由图可知 A2点与 B 点重合， AP2A290，MP2MA2， P2（1，2） ， 满足条件的点 P 的坐标为 P（1，1）或（1，2）
