1、2020-2021 学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的.） 1下列实数中的无理数是（ ） A B C D0.1 2如图，字母 B 所代表的正方形的面积是（ ） A144 B194 C12 D169 3的值等于（ ） A3 B3 C3 D 4点 M（5，3）在第（ ）象限 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 5下列运
2、算中，正确的是（ ） A523 B236 C2+35 D33 6如图，根据图中标注在点 A 所表示的数为（ ） A B1+ C1 D1 7在平面直角坐标系中，一次函数 ykx3（k0）的图象大致是（ ） A B C D 8已知点（4，y1） ， （2，y2）都在直线 yx+2 上，则 y1，y2大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能比较 9 如图， 平面直角坐标系 xOy 中， 阴影部分 （射线 yx， x0 与 y 正半轴之间， 不含边界） 的点的坐标 （x， y）满足（ ） Axy Bxy0 Cyx0 Dyx0 10如图，在 22 的方格中，小正方形的边长是 1，点
3、A、B、C 都在格点上，则 AC 边上的高为（ ） A B C D 11观察下列式子：；根据此规律，若 ，则 a2+b2的值为（ ） A110 B164 C179 D181 12如图，已知直线 a：yx，直线 b：yx 和点 P（1，0） ，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 a 于点 P1， 过点 P1作 x 轴的平行线交直线 b 于点 P2，过点 P2作 y 轴的平行线交直线 a 于点 P3，过点 P3作 x 轴的 平行线交直线 b 于点 P4，按此作法进行下去，则点 P2020的横坐标为（ ） A21009 B21009 C21010 D21010 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大
4、题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） 138 的立方根是 14已知一个直角三角形的两条直角边长分别是 2 和 4，则斜边的长是 15已知点 A（m，3） ，B（1，n）关于 x 轴对称，则 mn 的值为 16如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 8dm、3dm、2dmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁， 想到点B处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm 17 一个有进水管与出水管的容器， 从某时刻开始， 2min 内只进水不出水， 在随后的 4min 内既进水又出水， 每分钟的进水量和出水量是两个常数，容
5、器内的水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如 图所示，则每分钟出水 升 18如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC4，O 为 AC 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 7 个小题，共个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、演算步骤分。解答应写出文字说明、演算步骤.） 19 （8 分）计算 （1）+； （2）4 20 （8 分）计算 （1）； （2） （3+2） （32） 21 （6 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标
6、志中国古代数学形成了完整的体系， “折 竹抵地“问题源自九章算术中： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数 学问题是：如图所示，ABC 中，ACB90，AC+AB10 尺，BC4 尺，求 AC 的长 22 （8 分）如图，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的函数表达式 （2）已知直线 AB 上一点 C 在第一象限，且点 C 的坐标为（a，2） ，求 a 的值及BOC 的面积 23 （6 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（2，2） ，B（1，0） ，C（3，2） （1）请在平面直角坐标系中画出A
7、BC （2）请作ABC 关于 y 轴对称的ABC （3）已知点 P 为 x 轴上一点，若 SABP5 时，则点 P 的坐标为 24 （8 分）在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案 方案一：买分类垃圾桶，需要费用 3000 元，以后每月的垃圾处理费用 250 元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用 500 元 设交费时间为x个月， 方案一的购买费和垃圾处理费共为M元， 方案二的购买费和垃圾处理费共为N元 （1）分别用 x 表示 M，N； （2）若交费时间为 12 个月，哪种方案更合适，并说明理由 （3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？
8、 25 （10 分）阅读下列材料，然后解答问题 在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：，这样的式子，其实我们还可以将其进一 步化简：；1 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化 （1）根据上面规律化简： ； （2）化简下列各式 ， ， ， （3）用含 n（n1 的整数）的式子写出（2）中第 n 个式子，并化简 26 （12 分）在等腰 RtABC 中，ABAC，BAC90 （1） 如图 1， D， E 是等腰 RtABC 斜边 BC 上两动点， 且DAE45， 在等腰 RtABC 外侧作CAF BAE，连接 DF 问：DCF 度 AED 与AFD 是否全等？请说明理由； 当 BE
9、3，CE7 时，求 DE 的长； （2）如图 2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 BC 所在射线 CB 上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作 等腰 RtADE，当 BD3，BC9 时，求 DE 的长 27 （12 分）如图，在平面直角坐标 xOy 中，已知直线 y2x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，直线 l 过原点，与 AB 交于点 C，OBC 的面积为 （1）求 A、B 两点的坐标 （2）求直线 l 的解析式 （3）若直线 l 上有一动点 P（不与 O 重合） ，连接 AP，PQAP，交 x 轴于点 Q，当AOP 为等腰三角 形时，求点 Q 的坐标 2020-2
10、021 学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷学年山东省济南市市中区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的.） 1下列实数中的无理数是（ ） A B C D0.1 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整 数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选 择项 【解答
11、】解：A、2，2 是有理数，故此选项不符合题意； B、 是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、0.1 是有理数，故此选项不符合题意 故选：B 2如图，字母 B 所代表的正方形的面积是（ ） A144 B194 C12 D169 【分析】根据勾股定理：直角三角形斜边的平方减直角边的平方等于另一直角边的平方，可得答案 【解答】解：由勾股定理，得 B16925144， 故选：A 3的值等于（ ） A3 B3 C3 D 【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数 【解答】解：3， 故选：A 4点 M（5，3）在第（ ）象限 A第一象限 B第二
12、象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据四个象限的符号特点判断即可 【解答】解：第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标也是正数， 点 M（5，3）在第二象限 故选：B 5下列运算中，正确的是（ ） A523 B236 C2+35 D33 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式3，不符合题意； B、原式6212，不符合题意； C、原式不能合并，不符合题意； D、原式3，符合题意 故选：D 6如图，根据图中标注在点 A 所表示的数为（ ） A B1+ C1 D1 【分析】求出点 A 的绝对值，即可确定点 A 所表示的有理数 【解答】解：如图，在 RtPBQ 中，由勾股定理得，
13、PQ， 而 PAPQ， 点 A 到原点的距离为+1， 点 A 所表示的数为（+1）1， 故选：C 7在平面直角坐标系中，一次函数 ykx3（k0）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象经过哪几个象限，本题得以 解决 【解答】解：一次函数 ykx3（k0） ，b3， 该函数图象经过第二、三、四象限， 故选：C 8已知点（4，y1） ， （2，y2）都在直线 yx+2 上，则 y1，y2大小关系是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D不能比较 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据两点横坐标的大小即可得出结论
14、 【解答】解：k0， y 随 x 的增大而减小 42， y1y2 故选：A 9 如图， 平面直角坐标系 xOy 中， 阴影部分 （射线 yx， x0 与 y 正半轴之间， 不含边界） 的点的坐标 （x， y）满足（ ） Axy Bxy0 Cyx0 Dyx0 【分析】观察阴影部分的位置确定 x、y 的取值范围即可 【解答】解：当 xy0 时在射线 yx 上， 故当 yx0 时点（x，y）在阴影部分内， 故选：C 10如图，在 22 的方格中，小正方形的边长是 1，点 A、B、C 都在格点上，则 AC 边上的高为（ ） A B C D 【分析】首先计算出ABC 的面积和 AC，再设 AC 边上的高
15、为 x，利用三角形面积公式可得答案 【解答】解：ABC 的面积：22121112， AC， 设 AC 边上的高为 x，由题意得： x， x， 故选：C 11观察下列式子：；根据此规律，若 ，则 a2+b2的值为（ ） A110 B164 C179 D181 【分析】由 122，236，3412，可得 ab90，还发现每个式子的两个因数是连续的整数， 可得：a+1b，解方程组可得 a 和 b 的值，代入所求式子可得结论 【解答】解：由题意得，解得：， a2+b292+102181 故选：D 12如图，已知直线 a：yx，直线 b：yx 和点 P（1，0） ，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 a
16、 于点 P1， 过点 P1作 x 轴的平行线交直线 b 于点 P2，过点 P2作 y 轴的平行线交直线 a 于点 P3，过点 P3作 x 轴的 平行线交直线 b 于点 P4，按此作法进行下去，则点 P2020的横坐标为（ ） A21009 B21009 C21010 D21010 【分析】点 P（1，0） ，P1在直线 yx 上，得到 P1（1，1） ，求得 P2的纵坐标P1的纵坐标1，得到 P2（2，1） ，即 P2的横坐标为221，同理，P3的横坐标为221，P4的横坐标为 422，P5 22，P623，P723，P824，求得 P4n2，于是得到结论 【解答】解：点 P（1，0） ，P1
17、在直线 yx 上， P1（1，1） ， P1P2x 轴， P2的纵坐标P1的纵坐标1， P2在直线 yx 上， 1x， x2， P2（2，1） ，即 P2的横坐标为221， 同理，P3的横坐标为221，P4的横坐标为 422，P522，P623，P723，P824， P4n2， P2020的横坐标为 221010， 故选：C 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.） 138 的立方根是 2 【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果 【解答】解：8 的立方根为 2， 故答案为：2 14已知一个直角三角形的两条直角边长分别是
18、2 和 4，则斜边的长是 2 【分析】根据勾股定理求斜边即可 【解答】解：由勾股定理得，斜边， 故答案为：2 15已知点 A（m，3） ，B（1，n）关于 x 轴对称，则 mn 的值为 3 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特点可得答案 【解答】解：点 A（m，3） ，B（1，n）关于 x 轴对称， m1，n3， mn3， 故答案为：3 16如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 8dm、3dm、2dmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点， 点A处有一只蚂蚁， 想到点B处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 17 dm 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点
19、之间线段最短进行解答 【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 8dm，宽为（2+3）3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm， 由勾股定理得：x282+（2+3）32172， 解得 x17 故答案为：17 17 一个有进水管与出水管的容器， 从某时刻开始， 2min 内只进水不出水， 在随后的 4min 内既进水又出水， 每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如 图所示，则每分钟出水 7.5 升 【分析】出水量根据后 4 分钟的水量变化求解 【解答】解：
20、根据图象，每分钟进水 20210 升， 设每分钟出水 m 升，则 10（62）（62）m3020， 解得：m7.5 故答案为：7.5 18如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC4，O 为 AC 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动，连接 OE，则在点 D 运动过程中，线段 OE 的最小值是 【分析】取 AB 的中点为点 Q，连接 DQ，先证得AQDAOE，得出 QDOE，根据点到直线的距离 可知当 QDBC 时，QD 最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得 QDBC 时的 QD 的值，即可求得 线段 OE 的最小值 【解答】解：取 AB 的中点为点 Q，连接
21、DQ， BACDAE90， BACDACDAEDAC， 即BADCAE， ABAC4，O 为 AC 中点， AQAO， 在AQD 和AOE 中， ， AQDAOE（SAS） ， QDOE， 点 D 在直线 BC 上运动， 当 QDBC 时，QD 最小， ABC 是等腰直角三角形， B45， QDBC， QBD 是等腰直角三角形， QDQB， QBAB2， QD， 线段 OE 的最小值是为 故答案为： 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 7 个小题，共个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、演算步骤分。解答应写出文字说明、演算步骤.） 19 （8 分）计算 （1）+； （2）4 【分
22、析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式43+ （2）原式64 2 20 （8 分）计算 （1）； （2） （3+2） （32） 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案 【解答】解： （1）原式1+3 （2）原式32（2）2 98 1 21 （6 分） 九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系， “折 竹抵地“问题源自九章算术中： “今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数 学问题是：如图所示，ABC 中，ACB90，AC+AB10 尺，BC4 尺，求 AC 的长 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断
23、处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺，利用勾 股定理解题即可 【解答】解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+42（10 x）2 解得：x4.2， 折断处离地面的高度为 4.2 尺， 答：AC 的长为 4.2 尺 22 （8 分）如图，已知直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点 B（0，2） （1）求直线 AB 的函数表达式 （2）已知直线 AB 上一点 C 在第一象限，且点 C 的坐标为（a，2） ，求 a 的值及BOC 的面积 【分析】 （1）设函数的关系式，把点 A、B 的坐标代入，即可求出待定系数，确定函数关系式， （
24、2）把 C（a，2）代入 y2x2，即可求得 a 的值，然后根据三角形面积公式BOC 的面积 【解答】解： （1）设一次函数的关系式为 ykx+b，把 A（1，0） ，B（0，2）代入得， 解得，k2，b2， 直线 AB 的表达式为 y2x2； （2）点 C（a，2）在直线 y2x2 上， 22a2， a2， C（2，2） ， SBOC2 23 （6 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（2，2） ，B（1，0） ，C（3，2） （1）请在平面直角坐标系中画出ABC （2）请作ABC 关于 y 轴对称的ABC （3）已知点 P 为 x 轴上一点，若 SABP5 时，则点 P 的坐标为 （
25、6，0）或（4，0） 【分析】 （1）依据 A（2，2） ，B（1，0） ，C（3，2） ，即可画出ABC （2）依据轴对称的性质，即可得到ABC 关于 y 轴对称的ABC （3）设 P（x，0） ，则 BP|x1|，依据 SABP5，即可得到点 P 的坐标 【解答】解： （1）如图所示，ABC 即为所求 （2）如图所示，ABC即为所求 （3）设 P（x，0） ，则 BP|x1|， SABP5， |x1|25， 解得 x6 或4， 点 P 的坐标为（6，0）或（4，0） ， 故答案为： （6，0）或（4，0） 24 （8 分）在“清洁乡村”活动中，某村长提出了两种购买垃圾桶方案 方案一：买分类
26、垃圾桶，需要费用 3000 元，以后每月的垃圾处理费用 250 元； 方案二：买不分类垃圾桶，需要费用 1000 元，以后每月的垃圾处理费用 500 元 设交费时间为x个月， 方案一的购买费和垃圾处理费共为M元， 方案二的购买费和垃圾处理费共为N元 （1）分别用 x 表示 M，N； （2）若交费时间为 12 个月，哪种方案更合适，并说明理由 （3）交费时间为多少个月时，两种方案费用相同？ 【分析】 （1）根据购买费和垃圾处理费每月的垃圾处理费交费时间+购买垃圾桶费用，即可用含 x 的代数式表示出 M，N； （2）将 x12 代入 M，N 中可求出选择两种方案所需费用，比较后即可得出结论； （3
27、）根据 MN，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）依题意，得 M250 x+3000；N500 x+1000 （2）当 x12 时，M25012+30006000； 当 x12 时，N50012+10007000 60007000， 若交费时间为 12 个月，选择方案一更合适 （3）依题意，得 MN， 即 250 x+3000500 x+1000， 解得 x8 答：交费时间为 8 个月时，两种方案费用相同 25 （10 分）阅读下列材料，然后解答问题 在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如：，这样的式子，其实我们还可以将其进一 步化简：；1 以上将分母
28、中的根号化去的过程，叫做分母有理化 （1）根据上面规律化简： ； （2）化简下列各式 ， ， ， （3）用含 n（n1 的整数）的式子写出（2）中第 n 个式子，并化简 【分析】 （1）根据题目中的例子，可以求得所求式子的值； （2）利用分母有理化的方法可以求得各小题中式子的值； （3）根据（2）中的式子，可以发现每个式子第一个数的分子是n，分母都是 2，而第二个数和 第一个数互为倒数，然后化简即可解答本题 【解答】解： （1）， 故答案为：，； （2） 1； 1 1（+1） 11 2； 3； 2 2 4； （3）由（2）可得， 第 n 个式子是， n 26 （12 分）在等腰 RtABC 中
29、，ABAC，BAC90 （1） 如图 1， D， E 是等腰 RtABC 斜边 BC 上两动点， 且DAE45， 在等腰 RtABC 外侧作CAF BAE，连接 DF 问：DCF 90 度 AED 与AFD 是否全等？请说明理由； 当 BE3，CE7 时，求 DE 的长； （2）如图 2，点 D 是等腰 RtABC 斜边 BC 所在射线 CB 上的一动点，连接 AD，以点 A 为直角顶点作 等腰 RtADE，当 BD3，BC9 时，求 DE 的长 【分析】 （1）先由等腰直角三角形的性质得BACB45，再由全等三角形的性质得ACF B45，即可得出答案； 先证出DAEDAF，再由 DADA，A
30、EAF，即可得出结论； 设 DEx，则 CD7x在 RtDCF 中，由勾股定理得 DF2CD2+CF2，则 x2（7x）2+32，解 方程即可； （2）分两种情形：当点 E 在线段 BC 上时，连接 BE，由EADADC，推出ABEC45， BECD6，推出EBD90，由勾股定理即可得出答案； 当点 D 在 CB 的延长线上时，同法可得 DE 的长 【解答】解： （1）ABAC，BAC90， BACB45， CAFBAE， ACFB45， DCFACB+ACF45+4590， 故答案为：90； AEDAFD，理由如下： CAFBAE， AFAE，CAFBAE， BAC90， CAE+BAECA
31、E+CAFBAC90， DAE45， DAF904545， DAEDAF， 又DADA，AEAF， AEDAFD（SAS） ； CAFBAE， CFBE3， 设 DEx，则 CD7x， 由得：DCF90， 由得：AEDAFD， DEDFx， 在 RtDCF 中，由勾股定理得：DF2CD2+CF2， 即 x2（7x）2+32， x， DE； （2）当点 E 在线段 BC 上时，连接 BE，如图 2 所示： ADE 是等腰直角三角形，EAD90， AEAD，BACEAD， EABDAC， AEAD，ABAC， EABDAC（SAS） ， ABEC45，BECDBCBD936， EBD90， DE3
32、； 当点 D 在 CB 的延长线上时，连接 BE，如图 3 所示： 同得：EABDAC（SAS） ，EBD90， BECDBC+BD9+312， DE3； 综上所述，DE 的值为 3或 3 27 （12 分）如图，在平面直角坐标 xOy 中，已知直线 y2x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 A，直线 l 过原点，与 AB 交于点 C，OBC 的面积为 （1）求 A、B 两点的坐标 （2）求直线 l 的解析式 （3）若直线 l 上有一动点 P（不与 O 重合） ，连接 AP，PQAP，交 x 轴于点 Q，当AOP 为等腰三角 形时，求点 Q 的坐标 【分析】 （1）对于 y2x+2，
33、令 y2x+20，则 x1，令 x0，则 y2，即可求解； （2）由OBC 的面积OByC1yC，解得 yC，将点 C 的纵坐标代入 y2x+2 得，2x+2，解得 x，故点 C（，） ，即可求解； （3）证明PMQPNA（AAS） ，求出点 Q（2m2，0） ，利用AOP 为等腰三角形求出 m 的值，即 可求解 【解答】解： （1）对于 y2x+2，令 y2x+20，则 x1，令 x0，则 y2， 故点 A、B 的坐标分别为（0，2） 、 （1，0） ； （2）OBC 的面积OByC1yC，解得 yC， 将点 C 的纵坐标代入 y2x+2 得，2x+2，解得 x， 故点 C（，） ， 设直线
34、 l 的表达式为 ykx，将点 C 的坐标代入上式并解得 k1， 故直线 l 的表达式为 yx； （3）设点 P（m，m） ，过点 O 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M、N， PQAP，则APQ90， QPM+MPA90， MPA+NPA90， MPQNPA， 在PMQ 和PNA 中， ， PMQPNA（AAS） ， 则 MQANm2，则 OQm+m22m2， 故点 Q（2m2，0） ， 在AOP 中，点 A、P、O 的坐标分别为（0，2） 、 （m，m） 、 （0，0） ， 则 AP2m2+（m2）2，AO24，OP22m2， 当 APAO 时，则 m2+（m2）24，解得 m0（舍去）或 2； 当 APOP 时，同理可得 m1； 当 AOPO 时，同理可得 m， 故 m2 或或 1， 故点 Q 的坐标为（2，0）或（0，0）或（22，0）或（22，0）
