1、 高三年级联合考试高三年级联合考试 数学（文科）数学（文科） 考生注意：考生注意： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：高考全部内容 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 2 |10,|28 0Ax xBx xx ，则AB（ ） A |2x x B |4x x C |14x xx 或 D |12x xx
2、或 2 2 1 i i （ ） A 31 22 i B 31 22 i C 31 22 i D 31 22 i 3棱长为 2 的正四面体的表面积是（ ） A3 B2 3 C3 3 D4 3 4已知函数 2 22,0, ( ) 1,0, x x f x xx ，若( )2f a ，则a （ ） A2 B1 C2 或1 D1 或1 5在三棱柱 111 ABCABC中，BC 平面 11 ABB A，四边形 11 ABB A是正方形，且ABBC，E 在棱 1 AA 上，且 1 3AEAE，则异面直线 1 AC与BE所成角的余弦值为（ ） A 3 15 B 3 5 C 5 15 D 5 5 6明朝早期，
3、郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了 一套先进航海技术“过洋牵星术” 简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的 位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位其采用的主要工具是牵星板，由 12 块正方形木板组成，最 小的一块边长约 2 厘米（称一指） ，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约 24 厘米（称十二 指） 观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为 72 厘米，使牵星板与海 平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星 辰落在木板上边缘时所用的是几
4、指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中 的地理纬度如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2（ ） A 12 35 B 1 6 C 12 37 D 1 3 7已知点( , )A m n在椭圆 22 1 42 xy 上，则 22 mn的最大值是（ ） A5 B4 C3 D2 8在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损 失20112020 年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（ ） A自 2011 年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B自 2011 年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有 5 年
5、C2018 年上半年的票房收入增速最大 D2020 年上半年的票房收入增速最小 9函数( )2sin 3 3 f xx 的单调递增区间是（ ） A 225 ,() 318318 kk k Z B 25211 ,() 318318 kk k Z C 5 ,() 318318 kk k Z D 511 ,() 318318 kk k Z 10已知( )f x是定义在 R 上的奇函数，且(1)(1)f xf x 当 1,0 x 时，( )1 x f xe，则 4 ln 2fe（ ） A 1 2 B 1 2 C1 D3 11如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点 E 在棱 1 DD上，且
6、1 2DEED，F 是线段 1 BB上一动点， 现给出下列结论： EFAC； 存在一点 F，使得 1 / /AEC F； 三棱锥 1 DAEF的体积与点 F 的位置无关 其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12设 2 F为双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，直线 l：20 xyc（其中 c 为双曲线 C 的 半焦距）与双曲线 C 的左、右两支分别交于 M，N 两点，若 22 0MNF MF N，则双曲线 C 的离心 率是（ ） A 5 3 B 4 3 C 15 3 D 2 3 3 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小
7、题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上分把答案填在答题卡中的横线上 13已知向量| 2| 4ab，且4 3a b，则向量a，b夹角的大小是_ 14设 x，y 满足约束条件 3 0, 220, 0, xy xy y ，则2zxy的最小值是_ 15在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 11 cos 14 A ，且ABC的面积为5 3，则 a 的最小值为_ 16已知函数( )f x是定义在 R 上的奇函数，其导函数为( )fx，且对任意实数 x 都有( )( )1f xfx， 则不等式( )1 xx e f xe的解集为_ 三、 解答题： 本大题共
8、三、 解答题： 本大题共 6 小題， 共小題， 共 70 分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分） 在递增的等比数列 n a中， 324 9,30aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 32 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 n S 18 （12 分） 随着社会经济的发展，人们生活水平
9、的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段现随机 抽 取 了100名 把 黄 金 作 为 理 财 产 品 的 投 资 人 ， 根 据 他 们 的 年 龄 情 况 分 为 20,30),30,40),40,50),50,60),60,70五组，得到如图所示的频率分布直方图 （1）按照分层抽样的方法从年龄在40,50)和60,70的投资人中随机抽取了 5 人，再从这 5 人中随机抽 取 2 人进行调查，求恰有 1 人年龄在40,50)的概率； （2）请完成下面的列联表，根据列联表的数据判断能否有 99%的把握认为是否投资黄金与年龄有关 投资黄金 不投资黄金 合计 20,50) 15 50
10、,70 20 合计 100 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd ，其中nabcd 参考数据： 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19 （12 分） 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点 E，8,6BDAC，将ACD沿AC折到PAC的位置，使得 4PD ，如图所示 （1）证明：PBAC （2）求点 A 到平面PCD的距离 20 （12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点 3 1, 2 P 在椭圆 C
11、 上，且 12 PFF的 面积为 3 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若椭圆 C 上存在 A，B 两点关于直线1xmy对称，求 m 的取值范围 21 （12 分） 已知函数 12 1 ( )(1)(0) 2 x f xxaexax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当2a时，若( )f x无最小值，求实数 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C 的
12、参数方程为 2cos , 2sin x y （为参数） ，把曲线 C 上各点的横、纵坐标均 压缩为原来的 2 2 ，得到曲线 1 C曲线 2 C的参数方程为 2cos , sin x y （为参数） ，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 1 C与 2 C的极坐标方程； （2） 设点 P 是曲线 2 C上的一点， 此时参数 4 ， 记曲线 1 C与 y 轴正半轴的交点为 T， 求O T P的面积 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |2| 2|f xxxa （1）当0a 时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若对任意的2,4x，不等
13、式( )6f xx 恒成立，求 a 的取值范围 高三年级联合考试高三年级联合考试 数学试题参考答案（文科）数学试题参考答案（文科） 1A 因为 |1, |24Ax xBx xx 或剠，所以 |2ABx x 2B 2 (2)(1)31 1(1)(1)22 iii i iii 3D 棱长为 2 的正四面体的表面积是 1 42414 3 2 4C 当0a 时，( )222 a f a ，解得2a ；当0a时， 2 ( )12f aa ，解得1a 综上， 2a 或1a 5A 如图，取 11 AC的四等分点 F（点 F 靠近 1 A） ，连接,EF BF易证 1/ / ACEF，则BEF为异面直 线 1
14、 AC与BE所成的角 设 11 4AB ， 则5 ,3 ,2 6B EE FB F， 故 3 2 5 2 63 c o s 15253 BEF 6A 由题知六指为 12 厘米，则 121 tan 726 ，则 2 1 2 2tan12 6 tan2 1 1tan35 1 36 7 B 由题意可得 22 1 42 mn ， 则 22 42mn， 故 222 4mnn 因为22n剟， 所以 2 02n剟， 所以 2 2 44n剟，即 22 24mn剟 8D 由图易知自 2011 年以来，每年上半年的票房收入相比前一年有增有减，增速为负的有 3 年，故 A， B 错误；2017 年上半年的票房收入增
15、速最大，故 C 错误；2020 年上半年的票房收入增速最小，故 D 正确 9B 令 3 232() 232 kxkk Z剟，得 25211 () 318318 kk xk Z剟故( )f x的单调 递增区间是 25211 ,() 318318 kk k Z 10 A 因为(1)(1)f xf x ， 所以( )(2)(4)f xf xf x ， 所以( )f x是以 4 为周期的函数， 则 4 ln 2(ln24)(ln2)feff因为12e，所以0ln21，所以1ln 20 ，故 l n 2 11 (ln2)( ln2)11 22 ffe 11D 如图，连接BD易证AC 平面BDEF，则AC
16、EF，故正确在 1 AA上取一点 H，使得 1 2AHAH，连接 11 ,EC EH HB，易证四边形 11 BC EH为平行四边形，则 1111 / /,C EB H C EB H若 1 2BFB F， 易证四边形 1 AHB F为平行四边形， 则 11 / /,AFB H AFB H， 从而 11 / /,AFC E AFC E， 故四边形 1 AEC F为平行四边形，于是 1 / /AEC F，故正确设ABa，三棱锥 1 DAEF的体积与三 棱锥 1 FAD E的体积相等，则 11 3 112 3239 DAEFFAD E aa VVaa ，即三棱锥 1 DAEF的体积 与正方体的棱长有
17、关，与点 F 的位置无关，故正确 12C 设双曲线 C 的左焦点为 1 F，如图，取线段MN的中点 H，连接 2 HF，则 222 2FMFNFH因 为 22 0MNFFMN， 所 以 2 0M NF H， 即 2 M NF H， 则 22 MFNF 设 22 MFNFm因为 2112 2MFMFNFNFa，所以 122111 | | 4NFNFMFMFNFMFMNa，则| | 2MHNHa，从而 1 |HFm，故 2222 2 44HFcmma， 解 得 222 22mac 因 为 直 线l的 斜 率 为 1 2 ， 所 以 22 2 12 22 1 221 tan 2 22 HFca HF
18、F HF ac ， 整 理 得 22 22 1 4 ca ac ， 即 22 35ca， 则 2 2 5 3 c a ， 故 2 2 15 3 c e a 13 6 由题意可得 4 33 cos, 422| a b a b a b ，则向量, a b夹角的大小是 6 141 画出可行域（图略） ，当直线2zxy经过点( 1,0)时，z 取最小值，且最小值是1 152 3 因为 11 cos 14 A ，所以 5 3 sin 14 A，所以ABC的面积为 15 3 sin5 3 228 bcAbc，则 28bc 由余弦定理可得 222 111 2cos212 77 abcbcAbcbcbc，则2
19、 3a（当且仅当 2 7bc时，等号成立） 16(0,) 设( ) ( )1 x g xef x，则( )( )( ) xxx g xe f xe fxe因为( )( )1f xfx，所以 ( )( ) xxx e f xe fxe，即( )( )0 xxx e f xe fxe，故( )g x在 R 上单调递增因为( )f x是定义在 R 上的奇函数，所以(0)0f，所以(0)1g ，不等式( )1 xx e f xe，即( )(0)g xg，则0 x 17解： （1）由题意可得 2 31 3 2411 9, 30, 1, aa q aaa qa q q 2 分 解得 1 1,3aq 4 分
20、 故 11 1 3 nn n aa q 6 分 （2）由（1）可得 21 2 3 n n a ，则 32 log21 nn ban， 9 分 故 2 (121) 13521 2 n nn Snn 12 分 18解： （1）由题意可知，100 名投资人中，年龄在40,50)的有 30 名，年龄在60,70的有 20 名， 1 分 则利用分层抽样抽取的 5 人中，年龄在40,50)的有 3 名，记为 a，b，c；在60,70的有 2 名，记为 D， E 2 分 从这 5 人中随机抽取 2 人的情况有( , ),( , ),( ,),( ,),( , ),( ,),( ,),( ,),( ,),(,
21、)a ba ca Da Eb cb Db Ec Dc ED E， 共 10 种； 4 分 其中符合条件的情况有( ,),( ,),( ,),( ,),( ,),( ,)a Da Eb Db Ec Dc E，共 6 种 5 分 故所求概率 63 105 P 6 分 （2）列联表如下： 投资黄金 不投资黄金 合计 20,50) 15 40 55 50,70 25 20 45 合计 40 60 100 2 2 100(15 204025)2450 8.249 55 45 4060297 K 10 分 因为8.2496.635，所以有 99%的把握认为是否投资黄金与年龄有关 12 分 19 （1）证明
22、：因为ABCD是菱形，所以ACBD， 1 分 则,BEAC PEAC 2 分 因为BE 平面,PBE PE 平面PBE，且BEPEE，所以AC 平面PBE 3 分 因为PB 平面PBE，所以PBAC 4 分 （2）解：取DE的中点 O，连接OP，OC 因为8BD ，所以4DEPE 因为4PD ，所以PDPE，所以PODE,2 3PO 5 分 由（1）可知AC 平面PBE，所以平面PBD 平面ABCD，则PO 平面ABCD 6 分 由题意可得ACBD，所以 2222 345,3213CDOC， 7 分 则12135PC ，故PCD的面积为 1 42542 21 2 9 分 设点 A 到平面PCD
23、的距离为 h 因为 P ACDA PCD VV ，所以 111 642 32 21 323 h ， 10 分 解得 12 7 7 h ， 11 分 即点 A 到平面PCD的距离为 12 7 7 12 分 20解： （1）由题意可得 22 222 13 1, 4 33 , 2 , 2 ab c cab 1 分 解得2,1ab， 3 分 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （2）设 1122 ,A x yB x y，线段AB的中点为 00 ,M xy 因为直线1xmy过定点(1,0)，所以 22 22 1122 11xyxy 5 分 因为 A，B 在椭圆上，所以 22 22
24、12 12 1,1 44 xx yy，所以 22 22 12 12 1111 44 xx xx ， 6 分 整理得 22 12 1212 2 4 xx xxxx ，所以 12 8 3 xx，所以 0 4 3 x 7 分 因为点 M 在直线1xmy上，所以 00 1xmy，则 0 1 3 y m 8 分 由 2 2 1, 4 4 , 3 x y x 得 5 3 y ， 9 分 则 51 0 33m 或 15 0 33m ，解得 5 5 m 或 5 5 m 11 分 故 m 的取值范围为 55 , 55 12 分 21解： （1）因为 12 1 ( )(1)(0) 2 x f xxaexax x
25、，所以 1 ( )()1 (0) x fxxaex 令( )0fx，得xa或1x 1 分 当0a时，由( )0fx，得1x ；由( )0fx，得01x， 则( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 当01a时，由( )0fx，得0 xa或1x ；由( )0fx，得1ax， 则( )f x在( ,1)a上单调递减，在(0, )a和(1,)上单调递增 当1a 时，( ) 0fx恒成立，则( )f x在(0,)上单调递增 当1a 时，由( )0fx，得01x或xa；( )0fx，得1xa， 则( )f x在(1, )a上单调递减，在(0,1),( ,)a 上单调递增 3 分 综上，当
26、0a时，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；当01a时，( )f x在( ,1)a上单 调递减， 在(0, )a和(1,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(0,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(1, )a 上单调递减，在(0,1),( ,)a 上单调递增 4 分 （2）当0a时，由（1）可知( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 则( )f x有最小值 1 (1) 2 f ，故0a不符合题意； 5 分 当01a时，由（1）可知( )f x在( ,1)a上单调递减，在(0, )a和(1,)上单调递增， 因为( )f x无最小值，所以(0
27、)(1)ff，即 11 2 a e ，解得11 2 e a ； 6 分 当1a 时，由（1）可知( )f x在(0,)上单调递增， 所以( )f x无最小值，所以1a 符合题意； 7 分 当12a 时，由（1）可知( )f x在(1, )a上单调递减，在(0,1),( ,)a 上单调递增 因为( )f x无最小值，所以(0)( )ff a，即 21 11 2 a a ae e ，即 12 11 0 2 a a ea e 设 12 11 ( )(12) 2 x x g xexx e ，则 1 1 ( )e(12) e x g xxx 8 分 设 1 1 ( )( )e(12) e x h xg
28、xxx ，则 1 ( )10 x h xe 在(1,2上恒成立 故( )h x在(1,2上单调递增，即( )g x在(1,2上单调递增 9 分 因为 11 (1)0,(2)20gge ee ，所以存在唯一的 0 (1,2x ，使得 0 0gx 故( )g x在 0 1,x上单调递减，在 0,2 x上单调递增 10 分 因为 1243 (1)0, (2)20 22 e gge eee ，所以( )0g x 在(1,2上恒成立， 即 12 11 0 2 a a ea e 在(1,2恒成立，即12a 符合题意 11 分 综上，实数 a 的取值范围为1,2 2 e 12 分 22解： （1）由题意知曲
29、线 1 C的参数方程为 2cos , 2sin x y （为参数） ， 1 分 则曲线 1 C的普通方程为 22 2xy， 2 分 故曲线 1 C的极坐标方程为2 3 分 由题意可得曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 2 x y， 4 分 则曲线 2 C的极坐标方程为 22 1sin2 6 分 （2）由题设知 2 1, (0, 2) 2 PT ， 8 分 故OTP的面积为 112 |21 222 P OTx 10 分 23解： （1）当0a 时，( ) |2| 2|f xxx， 则不等式( ) 4f x 等价于 0, 32 4 x x 或 02, 2 4 x x 或 2, 32 4, x x 2 分 解得 2 3 x或2x 或2x 4 分 故不等式( ) 4f x 的解集为 2 ,2,) 3 5 分 （2）不等式( )6f xx 可化为|2| 2|6xxax 因为不等式|2| 2|6xxax在2,4x上恒成立，所以22|6xxax， 6 分 即|4xa，即44ax a剟， 7 分 则 4 2, 4 4, a a 解得06a剟 9 分 故 a 的取值范围为0,6 10 分
