1、2020-2021 学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）第一次月考数学试卷学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax2y2 B2x2x Cax23x+30 D3x22x2x2 2若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx6 Cx6 Dx6 3若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m10 有一个根是 0，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D0 4下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 5
2、如果关于 x 的一元二次方程 x24xk0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 且 k0 Ck4 Dk4 且 k0 6若化简后是正整数，则整数 a 的最小值是（ ） A0 B3 C4 D12 7某口罩厂六月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 81 万只，则该厂 七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ） A10% B29% C81% D14.5% 8已知 x+1，y1，则 xy 的值为（ ） A8 B48 C2 D6 9用配方法解一元二次方程：x24x20，可将方程变形为（x2）2n 的形式，则 n 的值是（ ） A0 B2 C4
3、 D6 10 请 先 在 草 稿 纸 上 计 算 下 列 四 个 式 子 的 值 ： ； ； ； 观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ） A351 B350 C325 D300 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算的结果是 12若要说明“3m”是错误的，则 m 的值可以为 （写出一个 m 的值） 13若 a（a0）是关于 x 的方程：x2+bx+a0 的一个根，则 a+b 的值为 14若最简二次根式与是同类二次根式，则 x 的值为 15 九章算术是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架它的代数成就主要 包括开方术、正负术和方
4、程术其中，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术 “勾股”一 章记载： “今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形 的门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，那么门的高为 尺 （1 丈10 尺，1 尺10 寸） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）计算： 17 （9 分）用适当的方法解方程：x（x8）9（8x） 18 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围 （2）当 x15 时，求另一个根 x2
5、的值 19 （9 分）计算： （1） （56+4） （2） （32）2（3+2）2 20 （9 分）2019 年女排世界杯于 9 月 14 日至 29 日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军， 为中华人民共和国成立 70 周年献上大礼人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是 她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知 2019 年女排世界杯赛 制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场） ，一共比赛 66 场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的 场次 21 （10 分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的
6、周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形 如图，矩形 A1B1C1D1是矩形 ABCD 的“减半”矩形 任务： 当矩形的长为 8，宽为 1 时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如 果不存在，请说明理由 22 （10 分）阅读下面的材料，并解决问题 1； ； （1）观察上式并填空： （2）观察上述规律并猜想：当 n 是正整数时， （用含 n 的式子表示，不用说明理 由） （3）请利用（2）的结论计算： （+）（+1） ； （+）（+1） 23 （11 分）综合与探究 如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）
7、有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称 这样的方程是“邻根方程” 例如：一元二次方程 x2+x0 的两个根是 x10，x21，则方程：x2+x0 是“邻根方程” （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程” ： x2+x60； 2x22x+20 （2）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）x2m0（m 是常数）是“邻根方程” ，求 m 的值 （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20（a、b 是常数，且 a0）是“邻根方程” ，令 t16+b2，请 化简 2020-2021 学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）第一次月考数学试卷学年河南省洛阳市洛宁县九年级（上）第一次
8、月考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1下列方程中，一定是关于 x 的一元二次方程的是（ ） Ax2y2 B2x2x Cax23x+30 D3x22x2x2 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、当 a0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一
9、个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面： “化简后” ； “一个未知数” ； “未知数的最高次数是 2” ； “二次项的系数不等于 0” ； “整式方程” 2若在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx6 Cx6 Dx6 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案 【解答】解：在实数范围内有意义，则 x60， 故 x 的取值范围是：x6 故选：C 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键 3若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m10 有一个根是 0，则 m 的值为（ ） A1 B1 C2 D0 【分析】根据一元二次方程的解的定义
10、，把 x0 代入 x2+2x+m10 得 m10，然后解关于 m 的一 元二次方程即可 【解答】解：把 x0 代入 x2+2x+m10 得 m10，解得 m1， 即 m 的值为 1 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程 的解 4下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可 【解答】解：A.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B.2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C.2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D.是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D 【点评
11、】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键 5如果关于 x 的一元二次方程 x24xk0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak4 Bk4 且 k0 Ck4 Dk4 且 k0 【分析】利用判别式的意义得到（4）24（k）0，然后解不等式即可 【解答】解：根据题意得（4）24（k）0， 解得 k4 故选：C 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根 6若化简后是正整数，则整数 a 的最小值是（ ）
12、 A0 B3 C4 D12 【分析】先将化简为最简二次根式，然后再根据是正整数求解即可 【解答】解：，化简后是正整数， 3a 是一个完全平方数 整数 a 的最小值是 3 故选：B 【点评】 本题主要考查的是二次根式的性质， 由是正整数得出 3a 是一个完全平方数是解题的关键 7某口罩厂六月份的口罩产量为 100 万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到 81 万只，则该厂 七八月份的口罩产量的月平均减少率为（ ） A10% B29% C81% D14.5% 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 x，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可 得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正
13、值即可得出结论 【解答】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为 x， 依题意得：100（1x）281， 解得：x10.110%，x21.9（不合题意，舍去） 故选：A 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 8已知 x+1，y1，则 xy 的值为（ ） A8 B48 C2 D6 【分析】将 x、y 的值代入 xy 后，利用平方差公式计算即可 【解答】解：当 x+1，y1 时， xy（+1） （1） （）212 71 6， 故选：D 【点评】本题主要考查分母有理化和二次根式的运算，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一 项）或与原分母组成平
14、方差公式 9用配方法解一元二次方程：x24x20，可将方程变形为（x2）2n 的形式，则 n 的值是（ ） A0 B2 C4 D6 【分析】方程配方得到结果，即可确定出 n 的值 【解答】解：方程 x24x20， 移项得：x24x2， 配方得：x24x+46，即（x2）26， 则 n6 故选：D 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 10 请 先 在 草 稿 纸 上 计 算 下 列 四 个 式 子 的 值 ： ； ； ； 观察计算的结果，由发现的规律得出的值为（ ） A351 B350 C325 D300 【分析】根据：1；31+2；61+2+3； 101
15、+2+3+4，可得：1+2+3+n，据此求出的 值为多少即可 【解答】解：1； 31+2； 61+2+3； 101+2+3+4； 1+2+3+25 325 故选：C 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，以及数字的变化规律的应用，要熟练掌握 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11计算的结果是 【分析】先分母有理化，然后化简后合并即可 【解答】解：原式2 故答案为 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即 可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能事
16、半功倍 12若要说明“3m”是错误的，则 m 的值可以为 2 （写出一个 m 的值） 【分析】根据“3m”是错误的，可得：3m0，所以 m0，据此写出 m 的一个值即可 【解答】解：“3m”是错误的， 3m0， m0， m 的值可以为2 故答案为：2 （答案不唯一） 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：3m0 13若 a（a0）是关于 x 的方程：x2+bx+a0 的一个根，则 a+b 的值为 1 【分析】将 xa 代入方程，然后将方程的左边因式分解即可得到答案 【解答】解：a（a0）是关于 x 的方程 x2+bx+a0 的根， a2+ab+a0，
17、a（a+b+1）0， a0 或 a+b+10， a0， a+b+10， a+b1 故答案是：1 【点评】考查了一元二次方程的解，解题的关键是代入后将方程的左边因式分解 14若最简二次根式与是同类二次根式，则 x 的值为 2 【分析】根据同类二次根式和最简二次根式的定义得出方程 x222x2，求出方程的解即可 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， x222x2， 解得：x10，x22， 当 x0 时与是无意义， 所以 x0 舍去， 故答案：2 【点评】本题考查了解一元二次方程，同类二次根式和最简二次根式的定义等知识点，能得出关于 x 的 一元二次方程是解此题的关键 15 九章算术是我国传统
18、数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架它的代数成就主要 包括开方术、正负术和方程术其中，方程术是九章算术最高的数学成就 九章算术 “勾股”一 章记载： “今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形 的门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，那么门的高为 9.6 尺 （1 丈10 尺，1 尺10 寸） 【分析】设长方形门的宽 x 尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解 【解答】解：设长方形门的宽 x 尺，则高是（x+6.8）尺， 根据题意得 x2+（x+6.8）2102， 解得：x2.8 或9.6（舍去） 则宽是
19、6.8+2.89.6（尺） 答：门的高是 9.6 尺； 故答案为：9.6 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分） 16 （8 分）计算： 【分析】首先利用二次根式的乘法法则、绝对值的性质、零次幂的性质进行计算，再算加减即可 【解答】解：原式3（2）+132+141 【点评】 此题主要考查了实数的运算， 关键是掌握二次根式的乘法法则、 绝对值的性质、 零次幂的性质 17 （9 分）用适当的方法解方程：x（x8）9（8x） 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可
20、【解答】解：x（x8）9（8x） ， 移项得：x（x8）+9（x8）0， （x8） （x+9）0， x80 或 x+90， 解得：x18，x29 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 18 （9 分）已知关于 x 的一元二次方程 x23x+m0 有两个不相等的实数根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围 （2）当 x15 时，求另一个根 x2的值 【分析】 （1）根据题意可得根的判别式0，列出不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系可得 x1+x25，把 x1
21、5 代入，求出方程的另一个根 【解答】解： （1）根据题意得，94m0， 解得，m； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x23， x15， x22 【点评】本题重点考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法 19 （9 分）计算： （1） （56+4） （2） （32）2（3+2）2 【分析】 （1）利用二次根式的除法法则运算； （2）先利用平方差公式计算，然后根据二次根式的乘法法则运算 【解答】解： （1）原式56+4 2018+8 2+8； （2）原式（32+3+2） （3232） 6（4） 24 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，
22、然后合并同类二次根式即 可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能事半功倍 20 （9 分）2019 年女排世界杯于 9 月 14 日至 29 日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军， 为中华人民共和国成立 70 周年献上大礼人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是 她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知 2019 年女排世界杯赛 制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场） ，一共比赛 66 场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的 场次 【分析】设中国女排在本届世界杯比赛中连胜 x 场
23、，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据“2019 年女 排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场） ，一共比赛 66 场” ，即可得出关于 x 的一元二次 方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设中国女排在本届世界杯比赛中连胜 x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛， 依题意，得：x（x+1）66， 整理，得：x2+x1320， 解得：x111，x212（不合题意，舍去） 答：中国女排在本届世界杯比赛中连胜 11 场 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 21 （10 分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 给定一个矩形，如果存在
24、另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 一半，那么称这个矩形是给定矩形的“减半”矩形 如图，矩形 A1B1C1D1是矩形 ABCD 的“减半”矩形 任务： 当矩形的长为 8，宽为 1 时，它是否存在“减半”矩形？如果存在，请求出“减半”矩形的长和宽；如 果不存在，请说明理由 【分析】假设存在，设“减半”矩形的长为 x，则宽为（x） ，根据矩形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论 【解答】解：假设存在，设“减半”矩形的长为 x，则宽为（x） ， 依题意，得：x（x）81， 整理，得：x2x+40， 解得：x1，x2 当 x时，x，符合题意； 当
25、 x时，x，不合题意，舍去 长为 8，宽为 1 的矩形存在“减半”矩形，且“减半”矩形的长为，宽为 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 22 （10 分）阅读下面的材料，并解决问题 1； ； （1）观察上式并填空： 2 （2）观察上述规律并猜想：当 n 是正整数时， （用含 n 的式子表示，不 用说明理由） （3）请利用（2）的结论计算： （+）（+1） 4 ； （+）（+1） 【分析】 （1）根据平方差公式、二次根式的乘法法则计算； （2）仿照（1）的作法计算； （3）根据（1）总结规律，根据规律解答 【解答】解： （1）2； （2）； （3
26、）（+）（+1） （+） （+1） （1+2） （+1） （1） （） 4； （+）（+1） （1+）（+1） （1）（+1） 2020， 故答案为： （1）2； （2）；4；2020 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、平方差公式、分母有理化是解题的 关键 23 （11 分）综合与探究 如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称 这样的方程是“邻根方程” 例如：一元二次方程 x2+x0 的两个根是 x10，x21，则方程：x2+x0 是“邻根方程” （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程” ： x2
27、+x60； 2x22x+20 （2）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m2）x2m0（m 是常数）是“邻根方程” ，求 m 的值 （3）若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+20（a、b 是常数，且 a0）是“邻根方程” ，令 t16+b2，请 化简 【分析】本题是一元二次方程的解法与新定义“邻根方程”的综合题，运用一元二次方程的解法，结合 新定义便可解答 （1） 根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解， 再比较两根的差是否为 1， 从而确定方程是否为 “邻 根方程” ； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出 m 的方程，注意有两种情况； （3） 根据新定义得方程的大根与小根的差为
28、 1， 列出 a 与 b 的关系式， 再由 t16+b2， 得 t 与 a 的关系， 化简即可 【解答】解： （1）解方程得： （x+3） （x2）0， x13，x22， 23+1， x2+x60 不是“邻根方程” ； x， x1，x2， +1， 2x22x+20 是“邻根方程” ； （2）解方程得： （xm） （x+2）0， x1m，x22， 方程 x2（m1）xm0（m 是常数）是“邻根方程” ， m2+1 或 m21， m1 或3； （3）解方程 ax2+bx+20 得： x1，x2， 关于 x 的方程 ax2+bx+20（a、b 是常数，a0）是“邻根方程” ， +1， 1， a， 等号两边平方得：b28aa2， b2a2+8aa（a+8） ， a0， a8， t16+b2， ta2+8a+16（a+4）2， 当 a8 时，（a+4）a4； 当4a8 时，a+4 【点评】 本题考查一元二次方程， 解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解 “邻根方程” 的定义，本题属于中等题型
