1、2020-2021 学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2平面直角坐标系内，与点 P（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 3抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为（ ） A （2，2） B （2，2） C （2，2）
2、D （2，2） 4将抛物线 y2x2向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） Ay2（x4）21 By2（x+4）2+1 Cy2（x4）2+1 Dy2（x+4）21 5参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，设共有 x 个队参加比赛，则下列方程符 合题意的是（ ） Ax（x+1）90 Bx（x+1）90 Cx（x1）90 Dx（x1）90 6函数 yax22x+1 和 yax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 7如图，EM 经过圆心 O，EMCD 于 M，若 CD4，EM6，则弧 CED
3、所在圆的半径为（ ） A B C3 D4 8如图，PA、PB、CD 是O 的切线，切点分别是 A、B、E，CD 分别交 PA、PB 于 C、D 两点，若APB 60，则COD 的度数（ ） A50 B60 C70 D75 9如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF， 过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG3，CG2，则 CE 的长为（ ） A B C4 D 10抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点（4，0）和点（3，0） 之间，其部分图象如图所示，下
4、列结论中正确的个数有（ ） 4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根；b2+2b4ac A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分. 11若函数是二次函数，则 m 的值为 12已知函数 yx22x3，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是 13设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小 关系为 14如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC，若 B落到 BC 边上
5、，B50，则CBC 的度数为 15如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水 面下降 1 米时，水面的宽度为 米 16如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CDAB，CD8，AB10，则 CD 与 AB 之间的距离是 17以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线 DE 上，且 量角器与三角板只有一个公共点 P若点 P 的读数为 135，则CBD 的度数是 18如图，直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，P 是该直线上的任一点，过点 D（3，0）向 以 P 为圆心，
6、 AB 为半径的P作两条切线， 切点分别为 E、 F 则四边形PEDF 面积的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 46 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （5 分）解方程：x2+10 x+160 20 （6 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0）两点 （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求 y 的取值范围 21 （7 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D （1）求证：AC 平分D
7、AB； （2）若 CD4，AD8，试求O 的半径 22 （8 分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱 36 元，每 月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 1 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛 奶降价 x 元（x 为正整数） ，每月的销量为 y 箱 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）超市要使每月销售牛奶的利润不低于 800 元，且获得尽可能大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多 少钱？ 23 （10 分）在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A（2，0） ，B（0，4） ，以点 A
8、为旋转中心，把 ABO 顺时针旋转，得ACD （）如图，当旋转后满足 DCx 轴时，求点 C 的坐标 （）如图，当旋转后点 C 恰好落在 x 轴正半轴上时，求点 D 的坐标 （）在（）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 P，当 DP+AP取得最小值时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 24 （10 分） 如图， 直线 yx+2 交 y 轴于点 A， 交 x 轴于点 C， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A， 点 C， 且交 x 轴于另一点 B （）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标及抛物线的解析式； （）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 M，求三角形 ACM 面积的
9、最大值及此时点 M 的坐标； （）将线段 OA 绕 x 轴上的动点 P（m，0）顺时针旋转 90得到线段 OA，若线段 OA与抛物线 只有一个公共点，请结合函数图象，求 m 的取值范围（直接写出结果即可） 2020-2021 学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 1下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A
10、 B C D 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 2平面直角坐标系内，与点 P（3，2）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案 【解答】解：与点 P（3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，2） ， 故选：A 3抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为（ ） A （
11、2，2） B （2，2） C （2，2） D （2，2） 【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可 【解答】解：抛物线 y（x2）2+2， 抛物线 y（x2）2+2 的顶点坐标为： （2，2） ， 故选：C 4将抛物线 y2x2向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ） Ay2（x4）21 By2（x+4）2+1 Cy2（x4）2+1 Dy2（x+4）21 【分析】把抛物线 y2x2的顶点（0，0）先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度后得到点 的坐标为（4，1） ，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可
12、 【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ， 把点（0，0）先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到（4，1） 所以平移后所得的抛物线的解析式 y2（x+4）2+1， 故选：B 5参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，设共有 x 个队参加比赛，则下列方程符 合题意的是（ ） Ax（x+1）90 Bx（x+1）90 Cx（x1）90 Dx（x1）90 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛 90 场，可 列出方程 【解答】解：设有 x 个队参赛，则 x（x1）90 故选：D 6函数 yax22x+
13、1 和 yax+a（a 是常数，且 a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【分析】可先根据一次函数的图象判断 a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误 【解答】解：A、由一次函数 yax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 yax2+bx+c 的图象应该开口向 下，故选项错误； B、由一次函数 yax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 yax2+bx+c 的图象应该开口向下，故选项错 误； C、由一次函数 yax+a 的图象可得：a0，此时二次函数 yax2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴 x 0，故选项正确； D、由一次函数 yax+a 的图象可得
14、：a0，此时二次函数 yax2+bx+c 的对称轴 x0，故选项 错误故选：C 7如图，EM 经过圆心 O，EMCD 于 M，若 CD4，EM6，则弧 CED 所在圆的半径为（ ） A B C3 D4 【分析】连接 OC，设弧 CED 所在圆的半径为 R，则 OCR，OM6R，根据垂径定理求出 CM，根 据勾股定理得出方程，求出即可 【解答】解： 连接 OC，设弧 CED 所在圆的半径为 R，则 OCR，OM6R， EM 经过圆心 O，EMCD 于 M，CD4， CMDM2， 在 RtOMC 中，由勾股定理得：OC2OM2+CM2， R2（6R）2+22， R， 故选：A 8如图，PA、PB、
15、CD 是O 的切线，切点分别是 A、B、E，CD 分别交 PA、PB 于 C、D 两点，若APB 60，则COD 的度数（ ） A50 B60 C70 D75 【分析】连接 AO，BO，OE 由切线的性质可得PAOPBO90，结合已知条件和四边形的内角和 为 360可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数 【解答】解： 连接 AO，BO，OE， PA、PB 是O 的切线， PAOPBO90， APB60， AOB36029060120， PA、PB、CD 是O 的切线， ACOECO，DBODEO， AOCEOC，EODBOD， CODCOE+EODAOB60 故选：B 9如
16、图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，连接 EF， 过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G若 BG3，CG2，则 CE 的长为（ ） A B C4 D 【分析】连接 EG，根据 AG 垂直平分 EF，即可得出 EGFG，设 CEx，则 DE5xBF，FGEG 8x，再根据 RtCEG 中，CE2+CG2EG2，即可得到 CE 的长 【解答】解：如图所示，连接 EG， 由旋转可得，ADEABF， AEAF，DEBF， 又AGEF， H 为 EF 的中点， AG 垂直平分 EF， EGFG， 设 CEx，则 D
17、E5xBF，FG8x， EG8x， C90， RtCEG 中，CE2+CG2EG2，即 x2+22（8x）2， 解得 x， CE 的长为， 故选：B 10抛物线 yax2+bx+c 的对称轴直线 x2抛物线与 x 轴的一个交点在点（4，0）和点（3，0） 之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ） 4ab0；c3a；关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根；b2+2b4ac A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据抛物线的对称轴可判断；由抛物线与 x 轴的交点及抛物线的对称性以及由 x1 时 y 0 可判断，由抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3
18、） ，即可判断；利用抛物线的顶点的纵坐 标为 3 得到3，即可判断 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x2， 4ab0，所以正确； 与 x 轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在（1，0）和（0，0）之间， x1 时 y0，且 b4a， 即 ab+ca4a+c3a+c0， c3a，所以错误； 抛物线与 x 轴有两个交点，且顶点为（2，3） ， 抛物线与直线 y2 有两个交点， 关于 x 的方程 ax2+bx+c2 有两个不相等实数根，所以正确； 抛物线的顶点坐标为（2，3） ， 3， b2+12a4ac， 4ab0， b4a， b2+3b4ac， a0，
19、b4a0， b2+2b4ac，所以正确； 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分分. 11若函数是二次函数，则 m 的值为 3 【分析】根据二次函数的定义得出 m272，再利用 m30，求出 m 的值即可 【解答】解：若 y（m3）xm2 7 是二次函数， 则 m272，且 m30， 故（m3） （m+3）0，m3， 解得：m13（不合题意舍去） ，m23， m3 故答案为：3 12已知函数 yx22x3，当函数值 y 随 x 的增大而减小时，x 的取值范围是 x1 【分析】根据二次函数的性质和题目中的函数解析式，可以写
20、出当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小 【解答】解：函数 yx22x3（x1）24， 该函数图象开口向上，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 故答案为：x1 13设 A（2，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y（x+1）2+a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小 关系为 y1y2y3 【分析】根据题意画出函数图象解直观解答 【解答】解：如图：y1y2y3 故答案为 y1y2y3 14如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC，若 B落到 BC 边上，B50，则CBC 的度数为 80 【分析】依据旋转的性质可求得 ABA
21、B，ABC的度数，依据等边对等角的性质可得到B BBA，于是可得到CBC的度数 【解答】解：由旋转的性质可知：ABAB，BABC50， ABAB， BBBA50 BBC50+50100， CBC18010080， 故答案为：80 15如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水 面下降 1 米时，水面的宽度为 米 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y1 代入抛物线解析式得出 水面宽度，即可得出答案 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图
22、 可得知 O 为原点， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为 （0，2） ， 通过以上条件可设顶点式 yax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（2，0） ， 到抛物线解析式得出：a0.5，所以抛物线解析式为 y0.5x2+2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y1 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y1 代入抛物线解析式得出： 10.5x2+2， 解得：x， 所以水面宽度增加到米， 故答案为： 16如图，已知 AB 是半
23、圆 O 的直径，弦 CDAB，CD8，AB10，则 CD 与 AB 之间的距离是 3 【分析】过点 O 作 OHCD 于 H，连接 OC，如图，根据垂径定理得到 CHDH4，再利用勾股定理 计算出 OH3，从而得到 CD 与 AB 之间的距离 【解答】解：过点 O 作 OHCD 于 H，连接 OC，如图，则 CHDHCD4， 在 RtOCH 中，OH3， 所以 CD 与 AB 之间的距离是 3 故答案为 3 17以 O 为中心点的量角器与直角三角板 ABC 如图所示摆放，直角顶点 B 在零刻度线所在直线 DE 上，且 量角器与三角板只有一个公共点 P若点 P 的读数为 135，则CBD 的度数
24、是 45 【分析】根据切线的性质得到OPB90，证出 OPBC，根据平行线的性质得到POBCBD， 于是得到结果 【解答】解：如图，点 P 的读数为 135， POB18013545 AB 是O 的切线， OPB90， ABC90， OPBC， CBDPOB45， 故答案是：45 18如图，直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，P 是该直线上的任一点，过点 D（3，0）向 以P为圆心， AB为半径的P作两条切线， 切点分别为E、 F 则四边形PEDF面积的最小值为 【分析】连接 DP，根据直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，求得 AB 的长，即可得
25、出P 的半径，证PEDPFD，可得四边形 PEDF 面积2SPED2PEDE，当 DPAP 时，四边形 PEDF 面积的最小，利用锐角三角函数求出 DP 的长，即可得出四边形 PEDF 面积的最小值 【解答】解：如图，连接 DP， 直线 yx+1 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点， 当 x0 时，y1，当 y0 时，x2， A（2，0） ，B（0，1） ， AB， 过点 D（3，0）向以 P 为圆心，AB 为半径的P 作两条切线，切点分别为 E、F， DEDF，PEDE， PEPF，PDPD， PEDPFD（SSS） ， P 的半径为， DE， 当 DPAP 时，DP 最小，此时 D
26、PADsinBAO5， 四边形 PEDF 面积2SPED2PEDEDE， 四边形 PEDF 面积的最小值为 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 46 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （5 分）解方程：x2+10 x+160 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x2+10 x+160， （x+2） （x+8）0， x+20，x+80， x12，x28 20 （6 分）如图，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0）两点 （1）求抛
27、物线的解析式和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求 y 的取值范围 【分析】 （1）把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即 可求得其顶点坐标； （2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分 0 x1 和 1x3 分别求 y 的最大值和最小值 即可求得 y 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0）两点， ，解得， 抛物线解析式为 yx22x3（x1）24， 顶点坐标为（1，4） ； （2）y（x1）24， 抛物线开口向上，对称轴为 x1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，
28、y 随 x 的增大而增大， 当 0 x1 时，当 x0 时，y 有最大值为3，当 x1 时，y 有最小值为4， 当 1x3 时，当 x3 时，y 有最大值为 0，当 x1 时，y 有最小值为4， 当 0 x3 时，4y0 21 （7 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）若 CD4，AD8，试求O 的半径 【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质，判断出 ADOC，再应用平行线的性质，即可推得 AC 平分 DAB （2）作 OEAD 于点 E，判断出四边形 OEDC 是矩形，并应用勾股定理，求出O
29、的半径是多少即可 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OC， ， CD 是切线， OCCD ADCD， ADOC， 14 OAOC， 24， 12， AC 平分DAB （2）解：如图 2，作 OEAD 于点 E， ， 设O 的半径为 x， ADCD，OEAD， OECD； 由（1） ，可得 ADOC， 四边形 OEDC 是矩形， OECD4，AEADDE8x， 42+（8x）2x2， 8016x+x2x2， 解得 x5， O 的半径是 5 22 （8 分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱 24 元，规定售价不低于进价现在的售价为每箱 36 元，每 月可销售 60 箱市场调查发现：若这种牛奶的售
30、价每降价 1 元，则每月的销量将增加 10 箱，设每箱牛 奶降价 x 元（x 为正整数） ，每月的销量为 y 箱 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）超市要使每月销售牛奶的利润不低于 800 元，且获得尽可能大的销售量，则每箱牛奶的定价应是多 少钱？ 【分析】 （1）根据每降价 1 元，则每月的销意将增加 10 箱；每箱降价 x 元，则多卖 10 x 箱，据此可列出 函数关系式；根据 36x24，及 x 为正整数，可得自变量 x 的取值范围； （2）设每月销售牛奶的利润为 w，则根据每箱的利润乘以销售量等于利润，可得关于 x 的二次函数，令 w800，解方
31、程，再根据问题的实际意义对方程的解作出取舍，则定价也可求得 【解答】解： （1）由题意得：y60+10 x 36x24 x12 x 为正整数 1x12，且 x 为正整数； （2）设每月销售牛奶的利润为 w，则 w（36x24） （10 x+60） 10 x2+60 x+720 10（x3）2+810 令 w800 得：10（x3）2+810800 解得：x12，x24 要使每月销售牛奶的利润不低于 800 元，且获得尽可能大的销售量 x4 3643224（元） 每箱牛奶的定价应是 32 元钱 23 （10 分）在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A（2，0） ，B（0，4） ，以点
32、A 为旋转中心，把 ABO 顺时针旋转，得ACD （）如图，当旋转后满足 DCx 轴时，求点 C 的坐标 （）如图，当旋转后点 C 恰好落在 x 轴正半轴上时，求点 D 的坐标 （）在（）的条件下，边 OB 上的一点 P 旋转后的对应点为 P，当 DP+AP取得最小值时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 【分析】 （1）如图 1 中，作 CHx 轴于 H只要证明四边形 ADCH 是矩形，利用矩形的性质即可解决问 题； （2）如图 2 中，作 DKAC 于 K在 RtADC 中，求出 DK、AK 即可解决问题； （3） 如图 3 中， 连接 PA、 AP， 作点 A 关于 y 轴的对称点 A
33、， 连接 DA交 y 轴于 P， 连接 AP 由 题意 PAAP， 推出 AP+PDPA+PD，根据两点之间线段最短， 可知当点 P 与点 P重合时， PA+PD 的值最小只要求出直线 AD 的解析式即可解决问题； 【解答】解： （1）如图 1 中，作 CHx 轴于 H CDAH，DAHC90， DAH90， 四边形 ADCH 是矩形， ADOACH2，CDOBAH4， OH6， C（6，2） （2）如图 2 中，作 DKAC 于 K 在 RtADC 中，AD2，CD4， AC2， ADDCACDK， DK，AK， OK2+， D（2+，） （3）如图 3 中，连接 PA、AP，作点 A 关于
34、 y 轴的对称点 A，连接 DA交 y 轴于 P，连接 AP 由题意 PAAP， AP+PDPA+PD， 根据两点之间线段最短，可知当点 P 与点 P重合时，PA+PD 的值最小 A（2，0） ，D（2+，） ， 直线 AD 的解析式为 yx+， 点 P 坐标（0，） 24 （10 分） 如图， 直线 yx+2 交 y 轴于点 A， 交 x 轴于点 C， 抛物线 yx2+bx+c 经过点 A， 点 C， 且交 x 轴于另一点 B （）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标及抛物线的解析式； （）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 M，求三角形 ACM 面积的最大值及此时点 M 的坐标； （）将
35、线段 OA 绕 x 轴上的动点 P（m，0）顺时针旋转 90得到线段 OA，若线段 OA与抛物线 只有一个公共点，请结合函数图象，求 m 的取值范围（直接写出结果即可） 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 SACMSMNA+SMNCMNOC4（a2+a+2+2）a2+2a，即可求解； （3）根据旋转性质，求得 O点和 A点的坐标，令 O点和 A点在抛物线上时，求出 m 的最大和最 小值便可 【解答】解： （1）令 x0，得 yx+22， A（0，2） ， 令 y0，得 yx+20，解得，x4， C（4，0） ， 把 A、C 两点代入 yx2+bx+c 得，解得， 抛物线的解析式为
36、 yx2+x+2， 令 y0，得 yx2+x+20， 解得，x4，或 x2， B（2，0） ； （2）过 M 点作 MNx 轴，与 AC 交于点 N，如图 1， 设 M（a，a2+a+2） ，则 N（a，a+2） ， SACMSMNA+SMNCMNOC4（a2+a+2+2）a2+2a， 0， 三角形 ACM 面积有最大值，当 a2 时，其最大值为 2， 此时 M 的坐标为（2，2） ； （3）将线段 OA 绕 x 轴上的动点 P（m，0）顺时针旋转 90得到线段 OA，如图 2， POPOm，OAOA2， O（m，m） ，A（m+2，m） ， 当 A（m+2，m）在抛物线上时，有（m+2）2+（m+2）+2m， 解得，m3， 当点 O（m，m）在抛物线上时，有m2+m+2m， 解得，m4 或 2， 当3m4 或3+m2 时，线段 OA与抛物线只有一个公共点
