1、2020-2021 学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2已知 2 是一元二次方程 x2c0 的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A4 B2 C2 D4 3已知点 P 的坐标是（6，5） ，则 P 点关于原点的对称点的坐标是（ ） A （6，5） B （6，5） C （6，5） D （5，6） 4抛物线：y2x2，y2（x1） 23，y （x+1）2，y3x21，其
2、中形状相同的是（ ） A B C D 5方程 4x25x+81 化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A4、5、81 B4、5、81 C4、5、81 D4、5、81 6将二次函数 yx24x+1 的右边进行配方，正确的结果是（ ） Ay（x2）23 By（x4）2+1 Cy（x2）2+1 Dy（x+2）23 7方程 x24x5 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D有一个实数根 8抛物线 y2x2先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线是（ ） Ay2 （x+1）2+3 By2 （x+1）23 Cy
3、2 （x1）23 Dy2 （x1）2+3 9若 A（3，y1） ，B（2，y2） ，C（2，y3）为二次函数 y（x+2）2+1 的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2 10参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，设共有 x 个队参加比赛，则下列方程符 合题意的是（ ） Ax（x+1）90 Bx（x+1）90 Cx（x1）90 Dx（x1）90 11如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点 为 E，连接 BE，下列结论正确的
4、是（ ） AACAD BBCDE CABEB DAEBC 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b0；m 为任意实数， 则 a+bam2+bm； ab+c0； 若 ax12+bx1ax22+bx2， 且 x1x2， 则 x1+x22 其中正确的有 （ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程（x+2） （x3）0 的解是： 14已知点 A（a，2）与点 B（3，b）关于原点对称，则 a+b 的值等于 15抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐标是 16
5、已知方程 2x2+4x30 的两根分别为出 x1和 x2，则 x1+x2+x1x2 17如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A 顺时针旋转后与 ACP1重合，如果 AP5，那么线段 PP1的长等于 18有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与 x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线 x4； 丙：与 y 轴的交点到原点的距离为 3 满足上述全部特点的二次函数的解析式为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19
6、（8 分）解方程： （）x2+x120； （）5x（x1）2（x1） 20 （8 分）如图，在 1010 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位将ABC 向下平移 4 个单 位， 得到ABC， 再把ABC绕点 C顺时针旋转 90， 得到ABC， 请你画出A BC和ABC（不要求写画法） 21 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+6x10 有两个不相等的实数根 （）求实数 k 的取值范围； （）写出满足条件的 k 的最小整数值，并求此时方程的根 22 （10 分）已知二次函数 yax2+bx 的图象过点（2，0） ， （1，6） （1）求二次函数的关系式； （2）写出它的
7、对称轴和顶点坐标 23 （10 分）李师傅去年开了一家商店，今年 1 月份开始盈利，2 月份盈利 2400 元，4 月份的盈利达到 3456 元，且从 2 月到 4 月，每月盈利的平均增长率都相同 （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计 5 月份这家商店的盈利将达到多少元？ 24 （10 分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准 备到一家植物种植基地购买 A、B 两种花苗据了解，购买 A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元； 购买 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元 （1）求 A、B
8、 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室种植基地销售人 员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆 B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你 为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 SPAB8，并 求出此时 P 点的坐标 20
9、20-2021 学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷学年天津市东丽区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题
10、意； 故选：D 2已知 2 是一元二次方程 x2c0 的一个根，则该方程的另一个根是（ ） A4 B2 C2 D4 【分析】先把 x2 代入方程 x2c0 可求出 c2，然后利用直接开平方法解方程得到该方程的另一个 根 【解答】解：把 x2 代入方程 x2c0 得 4c0，解得 c4， 方程为 x240， 所以 x24， 解得 x12，x22， 即该方程的另一个根是2 故选：B 3已知点 P 的坐标是（6，5） ，则 P 点关于原点的对称点的坐标是（ ） A （6，5） B （6，5） C （6，5） D （5，6） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案 【解
11、答】解：点 P 的坐标是（6，5） ， P 点关于原点的对称点的坐标是（6，5） ， 故选：C 4抛物线：y2x2，y2（x1） 23，y （x+1）2，y3x21，其中形状相同的是（ ） A B C D 【分析】根据题意，根据二次函数中的二次项系数相同，则形状相同，从而可以解答本题 【解答】解：y2x2的二次项系数是 2，y2（x+1）23 的二次项系数是 2，y（x+1）2 的二次项系数是，y3x21 的二次项系数是3， 的形状相同， 故选：A 5方程 4x25x+81 化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A4、5、81 B4、5、81 C4、5、81
12、D4、5、81 【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可 【解答】解：方程 4x25x+81， 整理得：4x25x810， 则二次项系数为 4，一次项系数为5，常数项为81 故选：C 6将二次函数 yx24x+1 的右边进行配方，正确的结果是（ ） Ay（x2）23 By（x4）2+1 Cy（x2）2+1 Dy（x+2）23 【分析】加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式 【解答】解：yx24x+1（x24x+4）4+1（x2）23 故选：A 7方程 x24x5 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D有一个实数根 【分析】计算判别式的值，然后根
13、据判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：方程化为 x24x50， （4）241（5）360， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 8抛物线 y2x2先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线是（ ） Ay2 （x+1）2+3 By2 （x+1）23 Cy2 （x1）23 Dy2 （x1）2+3 【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可 【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ， 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后的抛物线的顶点坐标为（1，3） ， 所以，平移后的抛物线的解析式为 y2（x+1）23 故选：B 9若 A（
14、3，y1） ，B（2，y2） ，C（2，y3）为二次函数 y（x+2）2+1 的图象上的三点，则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2 【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 x2，利用二次函数的性质即可判断 【解答】解：二次函数 y（x+2）2+1， 抛物线开口向上，对称轴为 x2， A（3，y1）关于对称轴的对称点为（1，y1） ， 212， y2y1y3 故选：C 10参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90 场，设共有 x 个队参加比赛，则下列方程符 合题意的是（ ） Ax（x+1）90 Bx（x+1）90
15、 Cx（x1）90 Dx（x1）90 【分析】设有 x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛 90 场，可 列出方程 【解答】解：设有 x 个队参赛，则 x（x1）90 故选：D 11如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在边 AB 上，点 B 的对应点 为 E，连接 BE，下列结论正确的是（ ） AACAD BBCDE CABEB DAEBC 【分析】 根据旋转的性质得到 ACCD， BCCE， ABDE， 故 A 错误， B 错误； 可得出ACDBCE， 根据三角形的内角和得到AADC，CBE，求得AEBC， 故 D
16、正确；由于A+ABC 不一定等于 90，于是得到ABC+CBE 不一定等于 90，故 C 错误 【解答】解：将ABC 绕点 C 顺时针旋转得到DEC， ACCD，BCCE，ABDE，故 A 错误，B 错误； ACDBCE， AADC，CBE， AEBC，故 D 正确； A+ABC 不一定等于 90， ABC+CBE 不一定等于 90，故 C 错误 故选：D 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b0；m 为任意实数， 则 a+bam2+bm； ab+c0； 若 ax12+bx1ax22+bx2， 且 x1x2， 则 x1+x22 其中正确的有 （ ）
17、 A B C D 【分析】根据抛物线开口方向得 a0，由抛物线对称轴为直线 x1，得到 b2a0，即 2a+b 0，由抛物线与 y 轴的交点位置得到 c0，所以 abc0；根据二次函数的性质得当 x1 时，函数有最 大值 a+b+c，则当 m1 时，a+b+cam2+bm+c，即 a+bam2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在（1，0）的右侧，则当 x1 时，y0，所以 ab+c0；把 ax12+bx1ax22+bx2 先移项，再分解因式得到（x1x2）a（x1+x2）+b0，而 x1x2，则 a（x1+x2）+b0，即 x1+x2， 然后把 b2a 代入计算得到 x
18、1+x22 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 抛物线对称轴为直线 x1， b2a0，即 2a+b0，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； 抛物线对称轴为直线 x1， 函数的最大值为 a+b+c， 当 m1 时，a+b+cam2+bm+c，即 a+bam2+bm，所以错误； 抛物线与 x 轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在（1，0）的右侧 当 x1 时，y0， ab+c0，所以错误； ax12+bx1ax22+bx2， ax12+bx1ax22bx20， a（x1+x2） （x1x2）+b（x1x
19、2）0， （x1x2）a（x1+x2）+b0， 而 x1x2， a（x1+x2）+b0，即 x1+x2， b2a， x1+x22，所以正确 综上所述，正确的有 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程（x+2） （x3）0 的解是： x12，x23 【分析】利用因式分解法把原方程化为 x+20 或 x30，然后解两个一次方程即可 【解答】解： （x+2） （x3）0， x+20 或 x30， 所以 x12，x23 故答案为 x12，x23 14已知点 A（a，2）与点 B（3，b）关于原点对称，则 a+
20、b 的值等于 1 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 【解答】解：点 A（a，2）与点 B（3，b）关于原点对称， a3，b2， 则 a+b 的值为：3+21 故答案为：1 15抛物线 y（x+1）2+3 的顶点坐标是 （1，3） 【分析】根据 ya（xh）2+k 的顶点是（h，k） ，可得答案 【解答】解：y（x+1）2+3 的顶点坐标是（1，3） ， 故答案为： （1，3） 16已知方程 2x2+4x30 的两根分别为出 x1和 x2，则 x1+x2+x1x2 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x22，x1x2，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：
21、根据题意得 x1+x22，x1x2， 所以 x1+x2+x1x22 故答案为 17如图，ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为ABC 内一点，将ABP 绕点 A 顺时针旋转后与 ACP1重合，如果 AP5，那么线段 PP1的长等于 5 【分析】由旋转的性质可得 APAP15，BACPAP190，由等腰直角三角形的性质可求解 【解答】解：将ABP 绕点 A 顺时针旋转后与ACP1重合， APAP15，BACPAP190， PP15， 故答案为：5 18有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点： 甲：与 x 轴只有一个交点； 乙：对称轴是直线 x4； 丙：与 y 轴的交点到原点的
22、距离为 3 满足上述全部特点的二次函数的解析式为 y（x4）2或 y（x4）2 【分析】先利用甲、乙所说的特点可判断抛物线的顶点坐标为（4，0） ，再利用丙所说的特点得到抛物线 与 y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，3） ，然后利用待定系数法求抛物线解析式 【解答】解：抛物线与 x 轴只有一个交点，且对称轴是直线 x4， 抛物线的顶点坐标为（4，0） ， 抛物线与 y 轴的交点到原点的距离为 3 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，3）或（0，3） ， 设抛物线的解析式为 ya（x4）2， 把（0，3）代入得 3a（04）2，解得 a，此时抛物线的解析式为 y（x4）2； 把（0，3）代入得3
23、a（04）2，解得 a，此时抛物线的解析式为 y（x4）2； 满足上述全部特点的二次函数的解析式为 y（x4）2或 y（x4）2 故答案为 y（x4）2或 y（x4）2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解方程： （）x2+x120； （）5x（x1）2（x1） 【分析】 （）利用因式分解法解方程； （）先移项得 5x（x1）2（x1）0，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （） （x+4） （x3）0， x+40 或 x30， 所以 x14，x23；
24、（）5x（x1）2（x1）0， （x1） （5x2）0， x10 或 5x20， 所以 x11，x2 20 （8 分）如图，在 1010 正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位将ABC 向下平移 4 个单 位， 得到ABC， 再把ABC绕点 C顺时针旋转 90， 得到ABC， 请你画出A BC和ABC（不要求写画法） 【分析】利用平移的性质和网格特点画出点 A、B、C 平移后的对应点 A、B、C，即可得到A BC，然后利用网格特点和旋转的性质画出 A和 B的对应点 A、B，从而得到ABC 【解答】解：如图，ABC和ABC为所作 21 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+
25、6x10 有两个不相等的实数根 （）求实数 k 的取值范围； （）写出满足条件的 k 的最小整数值，并求此时方程的根 【分析】 （）根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到 k0，且0，然后解两个不等式即可得 到实数 k 的取值范围； （）根据（）中 k 的取值范围，任取一 k 的值，然后解方程即可 【解答】解： （）根据题意得，k0，且0，即 624k（1）0， 解得 k9， 实数 k 的取值范围为 k9 且 k0； （）由（1）知，实数 k 的取值范围为 k9 且 k0，故取 k1， 所以该方程为 x2+6x10， 解得，x3 x13+，x23 22 （10 分）已知二次函数 yax2+b
26、x 的图象过点（2，0） ， （1，6） （1）求二次函数的关系式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标 【分析】 （1）把点（2，0） ， （1，6）代入二次函数 yax2+bx，得出关于 a、b 的二元一次方程组，求 得 a、b 即可； （2）利用（1）中解析式配方求得对称轴和顶点坐标 【解答】解： （1）把点（2，0） ， （1，6）代入二次函数 yax2+bx 得 ， 解得， 因此二次函数的关系式 y2x24x； （2）y2x24x2（x1）22， 二次函数 y2x24x 的对称轴是直线 x1，顶点坐标（1，2） 23 （10 分）李师傅去年开了一家商店，今年 1 月份开始盈利，2 月份盈
27、利 2400 元，4 月份的盈利达到 3456 元，且从 2 月到 4 月，每月盈利的平均增长率都相同 （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计 5 月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【分析】 （1）设该商店的月平均增长率为 x，根据等量关系：2 月份盈利额（1+增长率）24 月份的 盈利额列出方程求解即可 （2）5 月份盈利4 月份盈利增长率 【解答】解： （1）设该商店的每月盈利的平均增长率为 x，根据题意得： 2400（1+x）23456， 解得：x120%，x22.2（舍去） （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为 20%，则 5 月份盈利为： 3456
28、（1+20%）4147.2（元） 答： （1）该商店的每月盈利的平均增长率为 20% （2）5 月份盈利为 4147.2 元 24 （10 分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准 备到一家植物种植基地购买 A、B 两种花苗据了解，购买 A 种花苗 3 盆，B 种花苗 5 盆，则需 210 元； 购买 A 种花苗 4 盆，B 种花苗 10 盆，则需 380 元 （1）求 A、B 两种花苗的单价分别是多少元？ （2）经九年级一班班委会商定，决定购买 A、B 两种花苗共 12 盆进行搭配装扮教室种植基地销售人 员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠
29、：购买几盆 B 种花苗，B 种花苗每盆就降价几元，请你 为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 【分析】 （1）设 A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和 y 元，则，即可求解； （2）设购买 B 花苗 x 盆，则购买 A 花苗为（12x）盆，设总费用为 w 元，由题意得：w20（12x） +（30 x）xx2+10 x+240（0 x12） ，即可求解 【解答】解： （1）设 A、B 两种花苗的单价分别是 x 元和 y 元，则，解得， 答：A、B 两种花苗的单价分别是 20 元和 30 元； （2）设购买 B 花苗 x 盆，则购买 A 花苗为（12x）盆，设总费
30、用为 w 元， 由题意得：w20（12x）+（30 x）xx2+10 x+240（0 x12） ， 10故 w 有最大值，当 x5 时，w 的最大值为 265，当 x12 时，w 的最小值为 216， 故本次购买至少准备 216 元，最多准备 265 元 25 （10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 SPAB8，并 求出此时 P 点的坐标 【分析】 （1）由于抛物线 yx2+bx+c 与
31、 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点，那么可以得到方程 x2+bx+c 0 的两根为 x1 或 x3，然后利用根与系数即可确定 b、c 的值 （2）把抛物线的解析式化成顶点式即可； （3）根据 SPAB8，求得 P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得 P 点的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 方程 x2+bx+c0 的两根为 x1 或 x3， 1+3b， 13c， b2，c3， 二次函数解析式是 yx22x3 （2）yx22x3（x1）24， 抛物线的对称轴 x1，顶点坐标（1，4） （3）设 P 的纵坐标为 yP， SPAB8， AB|yP|8， AB3+14， |yP|4， yP4， 把 yP4 代入解析式得，4x22x3， 解得，x12， 把 yP4 代入解析式得，4x22x3， 解得，x1， 点 P 在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（12，4）或（1，4）时，满足 SPAB8
