1、2020-2021 学年福建省龙岩市长汀县九年级学年福建省龙岩市长汀县九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题 1 （4 分）青铜器是一种世界性文明的象征，我国青铜器制作精美，它的纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵， 大多数图案还具有几何中的对称美下列纹饰图案中是中心对称图形的是（ ） A B C D 2（4 分）由二次函数y2（x3） 2+1，可知（ ） A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线x3 C其最小值为 1 D当x3 时，y随x的增大而增大 3（4 分）以 3，4 为两实数根的一元二次方程为（ ） Ax 2+7x+120 Bx 27x+120 Cx 27x120 Dx 2+7x1
2、20 4（4 分）抛物线y2（x2） 2+5 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，此时抛物线的对 称轴是（ ） Ax2 Bx1 Cx5 Dx0 5（4 分）用配方法解一元二次方程x 2+4x30 时，原方程可变形为（ ） A（x+2） 21 B（x+2） 219 C（x+2） 213 D（x+2） 27 6（4 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有x人参加这次聚会，则列出方 程正确的是（ ） Ax（x1）10 B10 Cx（x+1）10 D10 7（4 分）如图，将OAB绕点O逆时针旋转 80，得到OCD，若A2D100，则 的度数是 （ ） A
3、50 B60 C40 D30 8 （4 分）将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，EAB度数符合下列条件时， 三角尺不存在一组边平行的是（三角板边ABAE）（ ） AEAB30 BEAB45 CEAB60 DEAB75 9（4 分）在二次函数yx 22x3 中，当 0 x3 时，y 的最大值和最小值分别是（ ） A0，4 B0，3 C3，4 D0，0 10（4 分）已知a，b是非零实数，|a|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1ax 2+bx 与一次函 数y2ax+b的大致图象不可能是（ ） A B C D 二、填空（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分）
4、11（4 分）点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是 12（4 分）方程（x1）（x+2）0 的解是 13（4 分）抛物线y3（x1） 2+8 的顶点坐标为 14（4 分）若关于x的一元二次方程ax 2x 0（a0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，a 3）在第 象限 15（4 分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s60t t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 秒 16（4 分）如图，一段抛物线：yx（x3）（0 x3），记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1 绕A1旋转 180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转 180得到C3，交x轴
5、于A3，过抛物线C1，C3顶点 的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该面积为 三、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17（8 分）用适当的方法解一元二次方程： （1）（2x1） 230； （2）x（x4）1 18（8 分）先化简，再求值：（1），其中a满足方程a 2a20 19（8 分）关于x的一元二次方程x 2x（m+2）0 有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根 20（8 分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，在 1010 的网格中，有一格点三角形ABC（说明：顶点都在网格线交点处的三角
6、形叫做 格点三角形）将ABC绕点C旋转 180，得到ABC，请直接画出旋转后的ABC（友情提醒：别 忘了标上相应的字母!） （2）如图 2，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点 F，使DFBE 21（8 分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且MAN45把ADN绕点A顺时针旋 转 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若BM3，DN2，求正方形ABCD的边长 22（10 分）已知x1+2m，y1m （1）求y关于x的函数表达式； （2）若3m1，x0，求y的取值范围； （3）若点（x，y）恰好为抛物线yax 2ax+1
7、 的顶点，求 a的值 23（10 分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为 1000 元，试营业期间统计发现，影 城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y4x+220（10 x50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润票房收入运营成本） （1）试求w与x之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24（12 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A 与点F重合，点C与点D重合（如图 1），其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4
8、cm，并 进行如下研究活动 活动一：将图 1 中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图 2），当点F与点C重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图 3）求AF的长 活动二： 在图 3 中， 取AD的中点O， 再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转 度 （090） ， 连结OB， OE（如图 4） 【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由 25（14 分）如图，抛物线yx 2+bx+c 与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3） （1）求抛物
9、线的函数解析式； （2）已知点P（m，n）在抛物线上，当2m3 时，直接写n的取值范围； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使 ABP与ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 （4 分）青铜器是一种世界性文明的象征，我国青铜器制作精美，它的纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵， 大多数图案还具有几何中的对称美下列纹饰图案中是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是
10、中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C 2（4 分）由二次函数y2（x3） 2+1，可知（ ） A其图象的开口向下 B其图象的对称轴为直线x3 C其最小值为 1 D当x3 时，y随x的增大而增大 解：由二次函数y2（x3） 2+1，可知： A：a0，其图象的开口向上，故此选项错误； B其图象的对称轴为直线x3，故此选项错误； C其最小值为 1，故此选项正确； D当x3 时，y随x的增大而减小，故此选项错误 故选：C 3（4 分）以 3，4 为两实数根的一元二次方程为（ ） Ax 2+7x+120 Bx 27x+120 Cx 27x120 Dx 2+7x12
11、0 解：以 3，4 为两实数根的一元二次方程为x 27x+120 故选：B 4（4 分）抛物线y2（x2） 2+5 向左平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，此时抛物线的对 称轴是（ ） Ax2 Bx1 Cx5 Dx0 解：抛物线y2（x2） 2+5 的顶点坐标为（2，5），把点（2，5）向左平移 3 个单位，向下平移 2 个 单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的抛物线解析式为y2（x+1） 2+3， 所以平移的抛物线的对称轴为直线x1 故选：B 5（4 分）用配方法解一元二次方程x 2+4x30 时，原方程可变形为（ ） A（x+2） 21 B（x+2） 219 C（x
12、+2） 213 D（x+2） 27 解：x 2+4x3， x 2+4x+43+4，即（x+2）27， 故选：D 6（4 分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 10 次，设有x人参加这次聚会，则列出方 程正确的是（ ） Ax（x1）10 B10 Cx（x+1）10 D10 解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x1（次）； 依题意，可列方程为：10； 故选：B 7（4 分）如图，将OAB绕点O逆时针旋转 80，得到OCD，若A2D100，则 的度数是 （ ） A50 B60 C40 D30 解：将OAB绕点O逆时针旋转 80 AC，AOC80 DOC80 A2D100 D50 C
13、+D+DOC180 100+50+80180 解得 50 故选：A 8 （4 分）将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，EAB度数符合下列条件时， 三角尺不存在一组边平行的是（三角板边ABAE）（ ） AEAB30 BEAB45 CEAB60 DEAB75 解：当EAB30时，CAB90 CAE60E， ACDE， 故A不合题意； 当EAB45， BAD45B， BCAD 故B不合题意； 当EAB60时，三角尺不存在一组边平行 当EAB75时，如图，延长AB交DE于点M， BAD15， EMAD+MAB45ABC BCDE 故选：C 9（4 分）在二次函数yx 22x3
14、中，当 0 x3 时，y 的最大值和最小值分别是（ ） A0，4 B0，3 C3，4 D0，0 解：抛物线的对称轴是x1， 则当x1 时，y1234，是最小值； 当x3 时，y9630 是最大值 故选：A 10（4 分）已知a，b是非零实数，|a|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1ax 2+bx 与一次函 数y2ax+b的大致图象不可能是（ ） A B C D 解：解得或 故二次函数yax 2+bx 与一次函数yax+b（a0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（， 0）或点（1，a+b） 在A中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，0，a+b0，故选 项A
15、有可能； 在B中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，由|a|b|，则a+b0， 故选项B有可能； 在C中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，a+b0，故选项C有可能； 在D中，由一次函数图象可知a0，b0，二次函数图象可知，a0，b0，由|a|b|，则a+b0， 故选项D不可能； 故选：D 二、填空（本大题共 6 题，每题 4 分，共 24 分） 11（4 分）点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，4） 解：根据中心对称的性质，得点P（3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，4） 12（4 分）方程（x1）（x+2）0 的解是 x11、
16、x22 解：（x1）（x+2）0 x10 或x+20 x11，x22， 故答案为x11、x22 13（4 分）抛物线y3（x1） 2+8 的顶点坐标为 （1，8） 解：抛物线y3（x1） 2+8 是顶点式， 顶点坐标是（1，8） 故答案为：（1，8） 14（4 分）若关于x的一元二次方程ax 2x 0（a0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，a 3）在第 四 象限 解：关于x的一元二次方程ax 2x 0（a0）有两个不相等的实数根， ， 解得：a1 且a0 a+10，a30， 点P（a+1，a3）在第四象限 故答案为：四 15（4 分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单
17、位：秒）的函数解析式是s60t t 2，则飞机着陆后滑行的最长时间为 20 秒 解：s60tt 2 （t20） 2+600， 当t20 时，s取得最大值，此时s600 故答案是：20 16（4 分）如图，一段抛物线：yx（x3）（0 x3），记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1 绕A1旋转 180得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转 180得到C3，交x轴于A3，过抛物线C1，C3顶点 的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该面积为 解：当x时，y，则点C1（，），同理点C3（，）， 由图象可以看出阴影部分的面积等于C1C2C3的面积C1C32yC16， 故答案为： 三
18、、解答题（本大题共 9 小题，共 86 分） 17（8 分）用适当的方法解一元二次方程： （1）（2x1） 230； （2）x（x4）1 解：（1）（2x1） 230， （2x1） 23， 则 2x1， x1，x2； （2）整理，得：x 24x1， 则x 24x+41+4，即（x2）25， x2， 解得x12+，x22 18（8 分）先化简，再求值：（1），其中a满足方程a 2a20 解：原式， 解方程a 2a20 得，a 12，a21， 当a2 时，原式， 当a1 时，分式无意义， 则分式的值为 19（8 分）关于x的一元二次方程x 2x（m+2）0 有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范
19、围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根 解： （1）方程x 2x（m+2）0 有两个不相等的实数根， （1） 2+4（m+2）0， 解得； （2）， m的最小整数为2， 方程为x 2x0， 解得x0 或x1 20（8 分）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹 （1）如图 1，在 1010 的网格中，有一格点三角形ABC（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做 格点三角形）将ABC绕点C旋转 180，得到ABC，请直接画出旋转后的ABC（友情提醒：别 忘了标上相应的字母!） （2）如图 2，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点 F
20、，使DFBE 解：（1）如图 1，ABC即为所求； （2）如图 2，连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求 21（8 分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且MAN45把ADN绕点A顺时针旋 转 90得到ABE （1）求证：AEMANM （2）若BM3，DN2，求正方形ABCD的边长 【解答】（1）证明：由旋转的性质得，ADNABE， DANBAE，AEAN， DAB90，MAN45， MAEBAE+BAMDAN+BAM45， MAEMAN， MAMA， AEMANM（SAS） （2）解：设CDBCx，则CMx3，CNx2， AEMANM， EMMN， B
21、EDN， MNBM+DN5， C90， MN 2CM2+CN2， 25（x2） 2+（x3）2， 解得，x6 或1（舍弃）， 正方形ABCD的边长为 6 22（10 分）已知x1+2m，y1m （1）求y关于x的函数表达式； （2）若3m1，x0，求y的取值范围； （3）若点（x，y）恰好为抛物线yax 2ax+1 的顶点，求 a的值 解：（1）由x1+2m得：， ； （2）当x0 时，1+2m0， 解得， ， m3 （3）抛物线yax 2ax+1 的对称轴为直线 ，即， ，即， 把顶点代入yax 2ax+1，得： ， 解得：a1 23（10 分）“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成
22、本为 1000 元，试营业期间统计发现，影 城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数关系：y4x+220（10 x50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润票房收入运营成本） （1）试求w与x之间的函数关系式； （2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 解：（1）根据题意，得：w（4x+220）x10004x 2+220 x1000； （2）w4x 2+220 x10004（x27.5）2+2025， 当x27 或 28 时，w取得最大值，最大值为 2024， 答：影城将电影票售价定为 27 或 28 元/张时，每天获利最
23、大，最大利润是 2024 元 24（12 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A 与点F重合，点C与点D重合（如图 1），其中ACBDFE90，BCEF3cm，ACDF4cm，并 进行如下研究活动 活动一：将图 1 中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图 2），当点F与点C重合时停止平移 【思考】图 2 中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图 3）求AF的长 活动二： 在图 3 中， 取AD的中点O， 再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转 度 （090）
24、， 连结OB， OE（如图 4） 【探究】当EF平分AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由 解：【思考】四边形ABDE是平行四边形 证明：ABCDEF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形ABDE是平行四边形； 【发现】如图 1，连接BE交AD于点O， 四边形ABDE为矩形， OAODOBOE， 设AFx（cm），则OAOE（x+4）， OFOAAF2x， 在 RtOFE中，OF 2+EF2OE2， ， 解得：x， AFcm 【探究】BD2OF， 证明：如图 2，延长OF交AE于点H， 由矩形的性质及旋转的性质知：OAOBOEOD， OABOBAODEOED， OBDODB，
25、OAEOEA， BDE+DEAABD+EAB， ABD+BDE+DEA+EAB360， ABD+BAE180， AEBD， OHEODB， EF平分OEH， OEFHEF， EFOEFH90，EFEF， EFOEFH（ASA）， EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD（AAS）， BDOH2OF 25（14 分）如图，抛物线yx 2+bx+c 与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3） （1）求抛物线的函数解析式； （2）已知点P（m，n）在抛物线上，当2m3 时，直接写n的取值范围； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该
26、抛物线上是否存在点P，使 ABP与ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）将点C坐标代入函数表达式得：yx 2+bx3， 将点A的坐标代入上式并解得：b2， 故抛物线的表达式为：yx 22x3； （2）令yx 22x30，则 x3 或1，即点B（3，0）， 函数的对称轴为x1， m2 时，n4+435， m3，函数的最小值为顶点纵坐标的值：4， 故4n5； （3）点D与点C（0，3）关于点M对称，则点D（2，3）， 在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方， 如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时ABP与ABD全等， 即点P（2，3）； 同理点C（P）也满足ABP与ABD全等， 即点P（0，3）； 故点P的坐标为（0，3）或（2，3）
