1、2018-2019 学年河南省南阳市邓州市七年级（下）期末数学试卷学年河南省南阳市邓州市七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡 1 （3 分）若 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ） Aa2b2 Ba5b5 C5a5b D5a5b 2 （3 分）若 x2 是方程 axb1 的解，则代数式 4a+2b+7 的值为（ ） A5 B1 C1 D5 3 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 4 （3 分） 若一个正多边形的每个内角度数是方程2x+14
2、0130 的解， 则这个正多边形的边数是 （ ） A9 B8 C7 D6 5 （3 分）小芳有两根长度为 6cm 和 9cm 的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条， 她应该选择长度为（ ）的木条 A2cm B3cm C12cm D15cm 6 （3 分）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹， 那么可列方程组为（ ） A B C D 7 （3 分）如图所示，ABC 中，AB+BC10，A、C 关于直线 DE 对称
3、，则BCD 的周长是（ ） A6 B8 C10 D无法确定 8 （3 分） 如图， 在ABC 中， C20， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ADE， AE 与 BC 交于点 F， 则AFB 的度数是（ ） A60 B70 C80 D90 9 （3 分）如图，ABC 中，D、E 分别为 BC、AD 的中点，SABC20，则阴影部分的面积是（ ） A18 B10 C5 D1 10 （3 分）如图，168，直线 a 平移后得到直线 b，则23 的度数为（ ） A78 B132 C118 D112 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）
4、11 （3 分）用不等式表示：y 减去 1 的差不小于 y 的一半_ 12 （3 分）如图，已知AOB 与DOC 成中心对称，AOB 的面积是 6，AB3，则DOC 中 CD 边上的高 是_ 13 （3 分）将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板分 别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为_ 14 （3 分）如图，将长方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 25，得到长方形 AB1C1D1，B1C1 交 CD 于点 M，则 CMC1_ 15 （3 分）已知数轴上 M、O、N 三点对应的数分别为2、0、6，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为
5、x若点 P 到点 M、N 的距离之和为 a，且 a8，请用含 a 的代数式表示 x 的值为_ 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题满分小题满分 75 分）分） 16 （8 分） （1）解方程：1； （2）解方程组： 17 （9 分）已知不等式的正整数解是方程 2x1ax 的解，试求出不等式组 的解集 18 （9 分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在 44 的方格纸中，ABC 是格点三角形 （1）在图 1 中，以点 C 为对称中心，作出一个与ABC 成中心对称的格点三角形 DEC，在题后横线上直接 写出 AB 与 DE 的位置关系：_； （2）在图 2 中，以 AC 所在的直线为
6、对称轴，作出一个与ABC 成轴对称的格点三角形 AFC，并在后横线上 直接写出BCF 是什么形状的特殊三角形：_ 19 （9 分）2019 年元旦，某超市将甲种商品降价 30%，乙种商品降价 20%开展优惠促销活动已知甲、乙 两种商品的原销售单价之和为 2400 元，某顾客参加活动购买甲、乙各一件，共付 1830 元 （1）甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？ （2）若商场在这次促销活动中甲种商品亏损 25%，乙种商品盈利 25%，那么商场在这次促销活动中是盈利 还是亏损了？如果是盈利，求商场销售甲、乙两种商品各一件盈利了多少元？如果是亏损，求销售甲、乙 两种商品各一件亏损了多少元？ 20 （
7、9 分）如图，在ABC 中，B90，ACB、CAF 的平分线所在的直线交于点 H，求H 的度数 21 （10 分）湘潭市继 2017 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市某小区积极响应， 决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且 垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍 （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2） 该小区至少需要安放 48 个垃圾箱， 如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个， 且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 22 （10
8、分）取一副三角板按图拼接，其中ACD30，ACB45 （1）如图，三角板 ACD 固定，将三角板 ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定的角度得到ABC，当 CAC15时，请你判断 AB 与 CD 的位置关系并说明理由； （2）如图，三角板 ACD 固定，将三角板 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定的角度得到ABC，猜想 当CAC为多少度时，能使 CDBC？并说明理由 23 （11 分） （1） 【问题解决】已知点 P 在AOB 内，过点 P 分别作关于 OA、OB 的对称点 P1、P2 如图 1，若AOB25，请直接写出P1OP2_； 如图 2 连接 P1P2 分别交 OA、OB 于 C
9、、D，若CPD98，求AOB 的度数； 在的条件下若CPD 度（90a180） ，请直接写出AOB_度 （用含 的代数式表示） （2） 【拓展延伸】利用“有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图 3 在 ABC 中，BAC30，点 P 是ABC 内部一定点，AP8，点 E、F 分别在边 AB、AC 上，请你在图 3 中画 出使PEF 周长最小的点 E、F 的位置（不写画法） ，并直接写出PEF 周长的最小值 2018-2019 学年河南省南阳市邓州市七年级（下）期末数学试卷学年河南省南阳市邓州市七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题
10、（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡 1 （3 分）若 ab，则下列不等式不一定成立的是（ ） Aa2b2 Ba5b5 C5a5b D5a5b 【分析】根据不等式的基本性质进行答题 【解答】解：A、若 0ab 时，不等式 a2b2 不成立，故本选项正确 B、在不等式 ab 的两边同时减去 5，不等式仍然成立，即 a5b5故本选项错误； C、在不等式 ab 的两边同时乘以5，不等号方向改变，即5a5b故本选项错误； D、在不等式 ab 的两边同时乘以 5，不等式仍然成立，即 5a5b故本选项错误 故选：A 【
11、点评】主要考查了不等式的基本性质 （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，不等号的方向不 变 （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 2 （3 分）若 x2 是方程 axb1 的解，则代数式 4a+2b+7 的值为（ ） A5 B1 C1 D5 【分析】把 x2 代入 axb1 得到关于 a 和 b 的等式，利用等式的性质，得到整式 4a+2b+7 的值，即可 得到答案 【解答】解：把 x2 代入 axb1 得：2ab1， 等式两边同时乘以2 得：4a+2b2， 等式两边同时加 7 得：4a+2b+72+75，
12、 故选：D 【点评】本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，正确掌握代入法和等式的性质是解题的关键 3 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 2x+35，得：x1， 解不等式3x9，得：x3， 则不等式组的解集为3x1， 故选：A 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小 取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 4 （3 分） 若一个正多边形的每个内角度
13、数是方程2x+140130 的解， 则这个正多边形的边数是 （ ） A9 B8 C7 D6 【分析】解一元一次方程可知一个内角为 135，再利用多边形的内角和公式就可求解 【解答】解：解方程2x+140130 得 x135， 设这个正多边形的边数为 n，根据题意可得： （n2） 180135n， 解得：n8 故选：B 【点评】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质 5 （3 分）小芳有两根长度为 6cm 和 9cm 的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条， 她应该选择长度为（ ）的木条 A2cm B3cm C12cm D15cm 【分析】设木条的长度为 xcm，再由三角形的三
14、边关系即可得出结论 【解答】解：设木条的长度为 xcm，则 96x9+6，即 3x15， 故她应该选择长度为 12cm 的木条 故选：C 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三 边是解答此题的关键 6 （3 分）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了 100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹， 那么可列方程组为（ ） A B C D 【分析】设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据大马与小马的总匹数是 100，1 匹大马
15、能拉 3 片瓦，3 匹小马能 拉 1 片瓦共拉 100 匹瓦，列出方程组，此题得解 【解答】解：设大马有 x 匹，小马有 y 匹， 根据题意得： 故选：D 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题 的关键 7 （3 分）如图所示，ABC 中，AB+BC10，A、C 关于直线 DE 对称，则BCD 的周长是（ ） A6 B8 C10 D无法确定 【分析】根据轴对称的性质得到两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解 【解答】解：A、C 关于直线 DE 对称， DE 垂直平分 AC， ADCD， AB+BC10， BCD 的周长为：BC+BD+
16、CDBC+AD+CDBC+AB10 故选：C 【点评】此题考查了轴对称的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 8 （3 分） 如图， 在ABC 中， C20， 将ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ADE， AE 与 BC 交于点 F， 则AFB 的度数是（ ） A60 B70 C80 D90 【分析】先根据旋转的性质得CAE60，再利用三角形内角和定理计算出AFC100，然后根据邻补 角的定义易得AFB80 【解答】解：ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得ADE， CAE60， C20， AFC100， AFB80 故选：C 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等
17、；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等 9 （3 分）如图，ABC 中，D、E 分别为 BC、AD 的中点，SABC20，则阴影部分的面积是（ ） A18 B10 C5 D1 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：ADC 是阴影部分的面积的 2 倍，ABC 的面积是 ADC 的面积的 2 倍，依此即可求解 【解答】解：D、E 分别为 BC、AD 的中点， SADCSABC，SACESACD， SACESABC2022 22 5 答：阴影部分的面积等于 5 故选：C 【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分 10 （
18、3 分）如图，168，直线 a 平移后得到直线 b，则23 的度数为（ ） A78 B132 C118 D112 【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可 【解答】解：延长直线，如图：， 直线 a 平移后得到直线 b， ab， 5180118068112， 24+5， 34， 235112， 故选：D 【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）用不等式表示：y 减去 1 的差不小于 y 的一半 y1y 【分析】直接利用 y 减去 1 的
19、差为：y1，再利用不小于即大于等于进而得出答案 【解答】解：由题意可得：y1y 故答案为：y1y 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键 12 （3 分）如图，已知AOB 与DOC 成中心对称，AOB 的面积是 6，AB3，则DOC 中 CD 边上的高 是 4 【分析】根据成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等可得 【解答】解：依题意有DOC 的面积等于AOB 的面积是 6，CDAB3 根据三角形的面积公式，则 CD 边上的高是 6234 故答案为：4 【点评】此题主要考查了中心对称，运用中心对称的性质进行分析计算得出是解题关键 13
20、 （3 分）将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板分 别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为 12 【分析】先求出正方形、正六边形的每个内角的度数，再根据镶嵌的条件即可求出答案 【解答】解：正方形每个内角是 90，正六边形的内角是 120，度数之和为：210， 那么另一个多边形的内角度数为：360210150， 相邻的外角为：18015030， 边数为：3603012 第三块正多边形木板的边数为 12， 故答案为 12 【点评】此题主要考查了平面密铺，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的 多边形的内角加在一起恰好组成
21、一个周角 14 （3 分）如图，将长方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 25，得到长方形 AB1C1D1，B1C1 交 CD 于点 M，则 CMC1 115 【分析】由旋转性质可得BAB125，BB190，即可求DAB1 的度数，根据四边形内角和为 360，可求DMB1 的度数，即CMC1 的度数 【解答】解：长方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 25 BAB125，BB190 DAB1DABBAB1 DAB165 D+B1+DAB1+DMB1360 DMB1115 CMC1115 故答案为：115 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键 15 （3 分）
22、已知数轴上 M、O、N 三点对应的数分别为2、0、6，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x若点 P 到点 M、N 的距离之和为 a，且 a8，请用含 a 的代数式表示 x 的值为 或 【分析】由于 MN8，而点 P 到点 M、N 的距离之和为 a，且 a8，所以点 P 不可能在线段 MN 上，分两 种情况进行讨论：点 P 在点 M 的左边；点 P 在点 N 的右边根据 PM+PNa 列方程即可 【解答】解：分两种情况： 当点 P 在点 M 的左边时，x2 PM+PNa， 2x+6xa， 解得 x； 当点 P 在点 N 的右边时，x6 PM+PNa， x+2+x6a， 解得 x 故答案为或
23、 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，难度适中进行分类讨论是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 8 小题满分小题满分 75 分）分） 16 （8 分） （1）解方程：1； （2）解方程组： 【分析】 （1）先去掉分母，再去掉括号，然后合并同类项求解即可； （2）先用变形为，代入求出 y 的值，再代入求出 x 的值，从而得出方程组的解 【解答】 （1）解：去分母，得 2（2x+1）（5x1）6， 去括号，得 4x+25x+16， 移项，合并，得x9， 两边同除以1，得 x9 （2） 由得 x3y1， 把代入，得 6yy10 解得 y2 把 y2 代入，得 x615 【
24、点评】此题考查了解二元一次方程组，以及一元一次方程，利用了消元的思想，消元的方法有两种：代 入消元法、加减消元法 17 （9 分）已知不等式的正整数解是方程 2x1ax 的解，试求出不等式组 的解集 【分析】求出不等式得正整数解，求出 a 的值，代入不等式组，求出不等式组的解集即可 【解答】解：解不等式得：x1， 该不等式的正整数解为 x1， 将 x1 代入方程 2x1ax，得：a1， 将 a1 代入不等式组得， 解得1x 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解不等式组的求解方法，主要考查学生的计算 能力 18 （9 分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在 44 的
25、方格纸中，ABC 是格点三角形 （1）在图 1 中，以点 C 为对称中心，作出一个与ABC 成中心对称的格点三角形 DEC，在题后横线上直接 写出 AB 与 DE 的位置关系： ABDE，ABDE ； （2）在图 2 中，以 AC 所在的直线为对称轴，作出一个与ABC 成轴对称的格点三角形 AFC，并在后横线上 直接写出BCF 是什么形状的特殊三角形： 等腰直角三角形 【分析】 （1）根据中心对称的性质画出图形即可判断 （2）根据轴对称的性质画出图形即可判断 【解答】解： （1）DEC 即为所求ABDE，ABDE 故答案为 ABDE，ABDE （2）ACF 即为所求 BCF 是等腰直角三角形
26、故答案为：等腰直角三角形 【点评】本题考查旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 19 （9 分）2019 年元旦，某超市将甲种商品降价 30%，乙种商品降价 20%开展优惠促销活动已知甲、乙 两种商品的原销售单价之和为 2400 元，某顾客参加活动购买甲、乙各一件，共付 1830 元 （1）甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？ （2）若商场在这次促销活动中甲种商品亏损 25%，乙种商品盈利 25%，那么商场在这次促销活动中是盈利 还是亏损了？如果是盈利，求商场销售甲、乙两种商品各一件盈利了多少元？如果是亏损，求销售甲、乙 两种商品各一件亏损了多少元？ 【分
27、析】 （1）设甲种商品原销售单价为 x 元/件，则乙种商品原销售单价为（2400 x）元/件，根据超市的 优惠方案，可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设甲种商品进价为 m 元/件，乙中商品进价为 n 元/件，根据利润售价进价，即可得出关于 m（n） 的一元一次方程，解之即可得出 m（n）的值，再利用总利润两件商品的售价两件商品的进价，即可得 出结论 【解答】解： （1）设甲种商品原销售单价为 x 元/件，则乙种商品原销售单价为（2400 x）元/件， 依题意，得： （130%）x+（120%） （2400 x）1830， 解得：x900， 2400 x1500 答：甲种
28、商品原销售单价为 900 元/件，乙种商品原销售单价为 1500 元/件 （2）设甲种商品进价为 m 元/件，乙中商品进价为 n 元/件， 依题意，得： （130%）900m25%m， （120%）1500n25%n， 解得：m840，n960， 183084096030（元） 答：商场在这次促销活动中盈利了，且商场销售甲、乙两种商品各一件盈利了 30 元 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 20 （9 分）如图，在ABC 中，B90，ACB、CAF 的平分线所在的直线交于点 H，求H 的度数 【分析】 由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
29、角的和， 得CAFB+ACB90+ACB 和CAD CAFH+ACB，由这两个式子即可求解出答案 【解答】解：CH、AD 分别为ACB、CAF 的平分线， CADCAFH+ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ， 又CAFB+ACB90+ACB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ， 即CAFACB45， HCAFACB45 【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系所以要 根据题意和图形灵活运用三角形的外角性质 21 （10 分）湘潭市继 2017 年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市某小区积极响应， 决定
30、在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且 垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的 3 倍 （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2） 该小区至少需要安放 48 个垃圾箱， 如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个， 且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【分析】 （1）根据“购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元” ，建立方程求解即可得出结论； （2）根据“费用不超过 10000 元和至少需要安放 48 个垃圾箱” ，建立不等式即可得出结论 【解答】解：
31、 （1）设温馨提示牌的单价为 x 元，则垃圾箱的单价为 3x 元， 根据题意得，2x+33x550， x50， 经检验，符合题意， 3x150 元， 即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是 50 元和 150 元； （2）设购买温馨提示牌 y 个（y 为正整数） ，则垃圾箱为（100y）个， 根据题意得， 50y52， y 为正整数， y 为 50，51，52，共 3 种方案； 即：温馨提示牌 50 个，垃圾箱 50 个；温馨提示牌 51 个，垃圾箱 49 个；温馨提示牌 52 个，垃圾箱 48 个， 根据题意，费用为 50y+150（100y）100y+15000， 当 y52 时，所需资金最少，
32、最少是 9800 元 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键 22 （10 分）取一副三角板按图拼接，其中ACD30，ACB45 （1）如图，三角板 ACD 固定，将三角板 ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定的角度得到ABC，当 CAC15时，请你判断 AB 与 CD 的位置关系并说明理由； （2）如图，三角板 ACD 固定，将三角板 ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转一定的角度得到ABC，猜想 当CAC为多少度时，能使 CDBC？并说明理由 【分析】 （1）由平行线的判定可求解； （2）延长 BA 交 CD 于点 E由旋转的性质和平行线
33、的判定可求解 【解答】解： （1）如图 1， BACBACCAC451530， BACC30， ABCD； （2）当CAC75时，能使 CDBC 理由如下： 如图，延长 BA 交 CD 于点 E 当CAC75 又BAC45 BAC75+45120 又BACAEC+ACD AEC1203090 又B90， B+AEC90+90180 CDBC 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用平行线的判定是本题的关键 23 （11 分） （1） 【问题解决】已知点 P 在AOB 内，过点 P 分别作关于 OA、OB 的对称点 P1、P2 如图 1，若AOB25，请直接写出P1OP2 50 ；
34、如图 2 连接 P1P2 分别交 OA、OB 于 C、D，若CPD98，求AOB 的度数； 在的条件下若CPD 度（90a180） ，请直接写出AOB 90 度 （用含 的代数式 表示） （2） 【拓展延伸】利用“有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图 3 在 ABC 中，BAC30，点 P 是ABC 内部一定点，AP8，点 E、F 分别在边 AB、AC 上，请你在图 3 中画 出使PEF 周长最小的点 E、F 的位置（不写画法） ，并直接写出PEF 周长的最小值 【分析】 （1）连接 OP，由轴对称的性质可知AOPAOP1，BOPBOP2，进而得到P1OP2 的度
35、 数； 由轴对称的性质，即可得出MPN3+CPD+4139，PMOPNO90，再根据四边形 OMPN 内角和，即可得到AOB360PMOPNOMPN41； 直接运用中的方法，即可得到AOB90 （2）过点 P 分别作关于 AB、AC 的对称点 G、H连接 GE，FH，则PEF 的周长GE+HF+EF，当 G，E，F， H 在同一直线上时，PEF 的周长最小值等于 GH 的长再判定AGH 是等边三角形，即可得到 GHAG AP8，即可得到PEF 的周长最小值等于 8 【解答】解： （1）如图 1，连接 OP，由轴对称的性质可知AOPAOP1，BOPBOP2， P1OP22AOB50； 故答案为：
36、50； 如图 2， CPD98， 1+282， 由轴对称的性质得，P13，P24， 2P1+323，1P2+424， 3+4（1+2）41， MPN3+CPD+498+41139， 由轴对称的性质得，PMOPNO90， 四边形 OMPN 中，AOB360PMOPNOMPN41； AOB90理由如下： CPD， 1+2180， 由轴对称的性质得，P13，P24， 2P1+323，1P2+424， 3+4（1+2）90， MPN3+CPD+490+90+， 由轴对称的性质得，PMOPNO90， 四边形 OMPN 中，AOB360PMOPNOMPN90； （2）PEF 周长最小值为 8 如图 3，过
37、点 P 分别作关于 AB、AC 的对称点 G、H连接 GE，FH，则 PEGE，PFHF， PEF 的周长PE+PF+EFGE+HF+EF， 当 G，E，F，H 在同一直线上时，PEF 的周长最小值等于 GH 的长 此时，AB 垂直平分 GP， AGAP， AGEAPE（SSS） ， GAEPAE， 同理可得HAFPAF， GAH2BAC60， 又AGAPAH， AGH 是等边三角形， GHAGAP8， 即PEF 的周长最小值等于 8 【点评】本题主要考查了轴对称变换的应用以及等边三角形的判定，凡是涉及最短距离的问题，一般要考 虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点
