1、2020-2021 学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 2点 M（2，3）关于原点的对称点的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 3下列方程有实数根的是（ ） A （3x2） （2x+2）0 B （x3）2+30 C3x2x+10 D3x2+x
2、+10 4已知函数 y2（x+1）2+1，则（ ） A当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 5如图，E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，F 是 CB 延长线上一点，ADEABF，则可把ABF 看作是以点 A 为旋转中心，把ADE（ ） A顺时针旋转 90后得到的图形 B顺时针旋转 45后得到的图形 C逆时针旋转 90后得到的图形 D逆时针旋转 45后得到的图形 6如图：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，若 AB20，CD16，则线段 BE 的长为（
3、 ） A4 B6 C8 D10 7把抛物线 yx2向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay（x+3）2+1 By（x+3）21 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）2+3 8如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形为便于管理，要在中间开辟一 横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则 根据题意，列方程为（ ） A352035x20 x+2x2600 B352035x220 x600 C （352x） （20 x）600 D （35x） （202x）600 9二次函数
4、 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aa0 Bb0 Cc0 Da+b+c0 10若一元二次方程 x2+bx+40 的两个实数根中较小的一个根是 m（m0） ，则 b+（ ） Am Bm C2m D2m 11如图，点 A 在O 上，BC 为O 的直径，AB4，AC3，D 是的中点，CD 与 AB 相交于点 P，则 CP 的长为（ ） A B C D 12在平面直角坐标系中，已知函数 y1x2+ax+1，y2x2+bx+2，y3x2+cx+4，其中 a，b，c 是正实数，且 满足 b2ac设函数 y1，y2，y3的图象与 x 轴的交点个数分别为 M1，M2，M3， （
5、） A若 M12，M22，则 M30 B若 M11，M20，则 M30 C若 M10，M22，则 M30 D若 M10，M20，则 M30 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程 x2+x0 的两个实数根中较大的根是 14已知二次函数 yax22 的图象经过点（1，1） ，则 a 的值为 15如图，AB 是O 的直径，C，G 是O 上的两个点，OCAG若GAC28，则BOC 的大小 度 16抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（1，0） ， （5，0） ，则这条抛物线的对称轴是直线 x 17如图，A
6、B，CD 是半径为 15 的O 的两条弦，AB24，CD18，MN 是直径，ABMN 于点 E，CD MN 于点 F，P 为 EF 上任意一点，则 PA+PC 的最小值为 18已知，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在边 AB 上，且 BE1，以点 B 为圆心，BE 长为半径画B， 点 P 在B 上移动，连接 AP （）如图，在点 P 移动过程中，AP 长度的最小值是 （）如图，将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90至 AP，连接 BP，在点 P 移动过程中，BP长度的最 小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理
7、过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解下列方程： （）x22x+125； （）2x25x+10 20 （8 分）已知 AB 是O 的直径 （）如图，MON35，求AON 的大小； （）如图，E，F 是O 上的两个点，ADEF 于点 D，若DAE20，求BAF 的大小 21 （10 分）如图，在O 中，点 P 为弧 AB 的中点，弦 AD，PC 互相垂直，垂足为 MBC 分别与 AD， PD 相交于点 E，N （）求DNE 的大小； （）求证 ENBN 22 （10 分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，求平均每次降价的百分率 23
8、（10 分）某商店销售一种销售成本为每件 40 元的玩具，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件销 售价每涨 1 元，月销售量就减少 10 件设销售价为每件 x 元（x50） ，月销量为 y 件，月销售利润为 w 元 （）当销售价为每件 60 元时，月销量为 件，月销售利润为 元； （）写出 y 与 x 的函数解析式和 w 与 x 的函数解析式； （）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润 24 （10 分）已知 RtABC 中，ACB90，AC4，B30，把边 AC 绕点 A 逆时针旋转，点 C 的 对应点 D 落在边 AB 上 （） 如图， 则线段 AD 的长为 ，
9、 旋转角的大小为 ， 点 D 到直线 BC 的距离为 （）点 P 是直线 BC 上的一个动点，连接 AP，把ACP 绕点 A 逆时针旋转，使边 AC 与 AD 重合，得 ADQ，点 Q 与点 P 是对应点 如图，当点 P 在边 CB 上，且 CP3时，求 PQ 的长； 当点 P 在线段 BC 的延长线上，且点 Q 到直线 BC 的距离为时，求 CP 的长（直接写出结果即可） 25 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 C：yx2+4x+3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N （）求点 M，N 的坐标； （）已知点 P（4，2） ，将抛物线 C 向上平移得抛物线 C，点 N 平
10、移后的对应点为 N，且 PN ON，求抛物线 C的解析式； （）如图，直线 y2x+9 与 y 轴交于点 A，与直线 OM 交于点 B现将抛物线 C 平移，保持顶点在 直线 OB 上， 若平移后抛物线与射线 AB （含端点 A） 只有一个公共点， 求它的顶点横坐标 h 的取值范围 2020-2021 学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷学年天津市和平区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有
11、一项是符合题目 要求的）要求的） 1下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原图 形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A 2点 M（2，3）关于原点的对称点的坐标是（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （3，2） 【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点
12、是（x，y） ，即：求关于原点的 对称点，横纵坐标都变成相反数记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆 【解答】解：点 M（2，3）关于原点对称， 点 M（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3） 故选：B 3下列方程有实数根的是（ ） A （3x2） （2x+2）0 B （x3）2+30 C3x2x+10 D3x2+x+10 【分析】解方程或计算方程的根的判别式的值，即可判断各方程根的情况即可 【解答】解：A、解方程（3x2） （2x+2）0，得 x1，x21，所以方程有两个实数根； B、方程（x3）2+30 变形得（x3）23，所以方程没有实数根； C、（1）24（3）10，方程没有实数根
13、； D、124310，方程没有实数根， 故选：A 4已知函数 y2（x+1）2+1，则（ ） A当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 B当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 C当 x1 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 【分析】根据 y2（x+1）2+1 和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答 本题 【解答】解：y2（x+1）2+1， 当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，故选项 A 错误， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 B 错误、选项 C 错误、选项 D 正确； 故选：D 5如图，E 是正方形 ABCD
14、中 CD 边上任意一点，F 是 CB 延长线上一点，ADEABF，则可把ABF 看作是以点 A 为旋转中心，把ADE（ ） A顺时针旋转 90后得到的图形 B顺时针旋转 45后得到的图形 C逆时针旋转 90后得到的图形 D逆时针旋转 45后得到的图形 【分析】由旋转的性质可求解 【解答】解：E 是正方形 ABCD 中 CD 边上任意一点，F 是 CB 延长线上一点，ADEABF， 可把ABF 看作是以点 A 为旋转中心，把ADE 顺时针旋转 90后得到的图形， 故选：A 6如图：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 E，若 AB20，CD16，则线段 BE 的长为（ ） A4 B6 C8 D1
15、0 【分析】连接 OC，求出 OC，CE，根据勾股定理求出 OE，即可求出答案 【解答】解：连接 OC， AB20， OCOAOB10， ABCD，AB 过 O， CEDECD8， 在 RtOCE 中，由勾股定理得：OE6， BE1064， 故选：A 7把抛物线 yx2向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay（x+3）2+1 By（x+3）21 Cy（x1）2+3 Dy（x+1）2+3 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线 yx2向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为：y x2+3；
16、 由“左加右减”的原则可知，把抛物线 yx2+3 向右平移 1 个单位所得抛物线的解析式为：y（x1） 2+3 故选：C 8如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形为便于管理，要在中间开辟一 横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则 根据题意，列方程为（ ） A352035x20 x+2x2600 B352035x220 x600 C （352x） （20 x）600 D （35x） （202x）600 【分析】若设小道的宽为 x 米，则阴影部分可合成长为（352x）米，宽为（20 x）米的矩形，利用矩
17、 形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：依题意，得： （352x） （20 x）600 故选：C 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aa0 Bb0 Cc0 Da+b+c0 【分析】根据开口方向可判断 A；根据对称轴位置可判断 B；根据与 y 轴的交点可判断 C；令 x1，可 判断 D 【解答】解：由图象知，开口向下， a0，故 A 错误； 对称轴在 y 轴的左侧， b0，故 B 错误； 由图象知，与 y 轴的交点在正半轴， c0，故 C 错误； 当 x1 时，ya+b+c0，故 D 正确； 故选：D 10若一元二次方程 x
18、2+bx+40 的两个实数根中较小的一个根是 m（m0） ，则 b+（ ） Am Bm C2m D2m 【分析】根据公式得出m，求出即可 【解答】解：x2+bx+40 的两个实数根中较小的一个根是 m， m， 解得：b+2m， 故选：D 11如图，点 A 在O 上，BC 为O 的直径，AB4，AC3，D 是的中点，CD 与 AB 相交于点 P，则 CP 的长为（ ） A B C D 【分析】如图作 PHBC 于 H首先证明 APPH，设 PAPHx，根据勾股定理构建方程即可解决问 题； 【解答】解：如图作 PHBC 于 H ， ACDBCD， BC 是直径， BAC90， PAAC，PHBC，
19、 PAPH，设 PAPHx， PCPC， RtPCARtPCH， ACCH3， BC5， BH2， 在 RtPBH 中，PB2PH2+BH2， （4x）2x2+22， 解得 x， PC， 故选：D 12在平面直角坐标系中，已知函数 y1x2+ax+1，y2x2+bx+2，y3x2+cx+4，其中 a，b，c 是正实数，且 满足 b2ac设函数 y1，y2，y3的图象与 x 轴的交点个数分别为 M1，M2，M3， （ ） A若 M12，M22，则 M30 B若 M11，M20，则 M30 C若 M10，M22，则 M30 D若 M10，M20，则 M30 【分析】选项 B 正确，利用判别式的性质
20、证明即可 【解答】解：A、错误由 M12，M22， 可得 a240，b280，取 a3，b212，则 c4，此时 c2160故 A 错误 B、正确 理由：M11，M20， a240，b280， a，b，c 是正实数， a2， b2ac， cb2， 对于 y3x2+cx+4， 则有c216b416（b464）（b2+8） （b28）0， M30， 选项 B 正确， C、错误由 M10，M22， 可得 a240，b280，取 a1，b218，则 c18，此时 c2160故 C 错误 D、由 M10，M20， 可得 a240，b280，取 a1，b24，则 c4，此时 c2160故 D 错误 故选：
21、B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13一元二次方程 x2+x0 的两个实数根中较大的根是 0 【分析】原方程转化为 x0 或 x+10，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根 【解答】解：x2+x0， x（x+1）0， x0 或 x+10， x10，x21， 原方程较大的根为 0 故答案为：0 14已知二次函数 yax22 的图象经过点（1，1） ，则 a 的值为 1 【分析】把（1，1）代入函数 yax22 中，即可求 a 【解答】解：把（1，1）代入函数解析式，得 a21， 解得 a1 故答案是 1 15如图，A
22、B 是O 的直径，C，G 是O 上的两个点，OCAG若GAC28，则BOC 的大小 56 度 【分析】根据平行线的性质求出OCAGAC28，根据等腰三角形的性质得出BACOCA 28，根据圆周角定理得出BACBOC，即可求出答案 【解答】解：OCAG，GAC28， OCAGAC28， OAOC， BACOCA28， 由圆周角定理得：BACBOC， BOC2BAC56， 故答案为：56 16抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（1，0） ， （5，0） ，则这条抛物线的对称轴是直线 x 2 【分析】根据抛物线的对称性即可求解 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的公共点
23、的坐标是（1，0） ， （5，0） ， 这条抛物线的对称轴是直线 x（51）2， 故答案为 2 17如图，AB，CD 是半径为 15 的O 的两条弦，AB24，CD18，MN 是直径，ABMN 于点 E，CD MN 于点 F，P 为 EF 上任意一点，则 PA+PC 的最小值为 21 【分析】由于 A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PCPB+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的值最小，即 BC 的值就是 PA+PC 的最小值 【解答】解：连接 BC，OB，OC，作 CH 垂直于 AB 于 H AB24，CD18，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，
24、BEAB12，CFCD9， OE9， OF12， CHOE+OF9+1221， BHBE+EHBE+CF12+921， 在RtBCH中， 根据勾股定理得到BC21， 即PA+PC的最小值为21 故答案为 21 18已知，在正方形 ABCD 中，AB4，点 E 在边 AB 上，且 BE1，以点 B 为圆心，BE 长为半径画B， 点 P 在B 上移动，连接 AP （）如图，在点 P 移动过程中，AP 长度的最小值是 3 （）如图，将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90至 AP，连接 BP，在点 P 移动过程中，BP长度的最 小值是 41 【分析】 （）当点 P 在线段 AB 上时，AP 的长度有最小
25、值，即可求解； （）由“SAS”可证PABPAD，可得 PDPB1，点 P的运动路线为以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上， 则当 P在对角线 BD 上时， BP最小， 再利用勾股定理求对角线 BD 的长， 则得出 BP 的长 【解答】解： （）点 P 在B 上移动， 当点 P 在线段 AB 上时，AP 的长度有最小值，最小值ABPB413， 故答案为 3； （）如图，连接 BP， 由旋转得：APAP，PAP90， PAB+BAP90， 四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， BAP+DAP90， PABDAP， 在PAD 和PAB 中， PADPAB（SAS） ， PDPB1，
26、 点 P 在以点 D 为圆心，DP为半径的圆上， 当 P在对角线 BD 上时，BP最小， 在 RtABD 中，ABAD4， BD4， BPBDPD41， 即 BP长度的最小值为 41 故答案为：41 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 （8 分）解下列方程： （）x22x+125； （）2x25x+10 【分析】 （）根据配方法解一元二次方程的步骤计算可得答案； （）利用求根公式计算可得答案 【解答】解： （）x22x+125， （x1）225， x15， 即 x16
27、，x24； （）a2，b5，c1， （5）2421170， x， x1，x2 20 （8 分）已知 AB 是O 的直径 （）如图，MON35，求AON 的大小； （）如图，E，F 是O 上的两个点，ADEF 于点 D，若DAE20，求BAF 的大小 【分析】 （I）根据圆心角、弧、弦之间的关系求出MONMOCBOC35，再求出答案即可； （II） 根据三角形外角性质求出AEF， 根据圆内接四边形的性质得出AEF+ABF180， 求出ABF， 根据圆周角定理求出AFB90，再根据三角形内角和定理求出即可 【解答】解： （I），MON35， MONMOCBOC35， AON180MONMOCBOC
28、18035353575； （II）连接 BF， AD直线 l， ADE90， DAE20， AEFADE+DAE110， A、E、F、B 四点共圆， ABF+AEF180， ABF70， AB 是O 的直径， AFB90， BAF180AFBABF20 21 （10 分）如图，在O 中，点 P 为弧 AB 的中点，弦 AD，PC 互相垂直，垂足为 MBC 分别与 AD， PD 相交于点 E，N （）求DNE 的大小； （）求证 ENBN 【分析】 （I）根据圆周角定理求出CNDE，根据垂直定义求出EMC90，再根据三角形内角 和定理求出即可； （II）求出DNEDNB90，根据圆周角定理得出E
29、DNBDN，根据全等三角形的判定得出 EDNBDN，根据全等三角形的性质得出即可 【解答】 （I）解：点 P 为弧 AB 的中点， ， CNDE， ADCP， EMC90， CEMDEN， DNE180NDEDEN180CCEMEMC90； （II）证明：DNE90， DNEDNB90， ， EDNBDN， 在EDN 和BDN 中， ， EDNBDN（ASA） ， ENBN 22 （10 分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，求平均每次降价的百分率 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（1每次降价的百分率）2现在价格，设出未 知数，列方程解答即可 【
30、解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得， 125（1x）280， 解得 x10.220%，x21.8（不合题意，舍去） ； 答：平均每次降价的百分率是 20% 23 （10 分）某商店销售一种销售成本为每件 40 元的玩具，若按每件 50 元销售，一个月可售出 500 件销 售价每涨 1 元，月销售量就减少 10 件设销售价为每件 x 元（x50） ，月销量为 y 件，月销售利润为 w 元 （）当销售价为每件 60 元时，月销量为 400 件，月销售利润为 8000 元； （）写出 y 与 x 的函数解析式和 w 与 x 的函数解析式； （）当销售价定为每件多少元时会
31、获得最大利润？求出最大利润 【分析】 （）根据月销售量500（定价50）10，即可求出当销售单价定为 60 元时的月销售量， 再利用月销售利润每件利润销售数量，即可求出当销售单价定为 60 元时的月销售利润； （）根据以上所列等量关系可得函数解析式； （）将 w 关于 x 的函数解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得 【解答】解： （）当销售价为每件 60 元时，月销量为 50010（6050）400（件） ， 月销售利润为 400（6040）8000（元） ， 故答案为：400，8000； （）y50010（x50）10 x+1000， w（x40） （10 x+1000）10 x2
32、+1400 x40000， （50 x100） ； （）w10 x2+1400 x4000010（x70）2+9000， 100， 当 x70 时，w 取得最大值 9000， 故销售价定为每件 70 元时会获得最大利润，最大利润为 9000 元 24 （10 分）已知 RtABC 中，ACB90，AC4，B30，把边 AC 绕点 A 逆时针旋转，点 C 的 对应点 D 落在边 AB 上 （）如图，则线段 AD 的长为 4 ，旋转角的大小为 60 ，点 D 到直线 BC 的距离为 2 （）点 P 是直线 BC 上的一个动点，连接 AP，把ACP 绕点 A 逆时针旋转，使边 AC 与 AD 重合，
33、得 ADQ，点 Q 与点 P 是对应点 如图，当点 P 在边 CB 上，且 CP3时，求 PQ 的长； 当点 P 在线段 BC 的延长线上，且点 Q 到直线 BC 的距离为时，求 CP 的长（直接写出结果即可） 【分析】 （）先由旋转的性质得 ADAC4，再由直角三角形的性质得 AB2AC8，CAB60， 过 D 作 DFBC 于 F，由直角三角形的性质即可得出 DFBD2； （）先由旋转的性质得ADQACP，则 AQAP，PAQCAD60，再证出PAQ 是等 边三角形，得 PQAP，然后由勾股定理即可得出答案； 分两种情况：a、Q 在ABC 内部，过 Q 作 QHBC 于 H，延长 HQ 交
34、 AB 于 M，先由直角三角形的 性质得 MQ2DM，QDDM，设 QDPCx，则 DMx，MQx，再证BMHBAC， 得，解得 x； b、Q 在ABC 外部，过 Q 作 QHBC 于 H，延长 QH 交 AB 于 M，解法同上 【解答】解： （）由旋转的性质得：ADAC4， ACB90，B30， AB2AC8，CAB903060， 即旋转角的大小为 60， 过 D 作 DFBC 于 F，如图所示： BDABAD4，B30， DFBD2， 即点 D 到直线 BC 的距离为 2， 故答案为：4，60，2； （）如图所示： 把ACP 绕点 A 逆时针旋转，使边 AC 与 AD 重合， ADQACP
35、， AQAP，PAQCAD60， PAQ 是等边三角形， PQAP， 在 RtACP 中，AP， PQ； 分两种情况： a、Q 在ABC 内部， 过 Q 作 QHBC 于 H，延长 HQ 交 AB 于 M，如图所示： 则 HMAC， DMQCAB60， 由旋转的性质得：ADQACP， QDPC，ADQACP90， DQM906030， MQ2DM，QDDM， 设 QDPCx，则 DMx，MQx， HMAC， BMHBAC， ， 即， 解得：x， 即 CP 的长为； b、Q 在ABC 外部，过 Q 作 QHBC 于 H，延长 QH 交 AB 于 M，如图所示： 则 HMAC， 同上得：MQ2DM
36、，QDDM， 设 QDPCx，则 DMx，MQx， HMAC， BMHBAC， ， 即， 解得：x， 即 CP 的长为； 综上所述，CP 的长为或 25 （10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 C：yx2+4x+3 的顶点为 M，与 y 轴交点为 N （）求点 M，N 的坐标； （）已知点 P（4，2） ，将抛物线 C 向上平移得抛物线 C，点 N 平移后的对应点为 N，且 PN ON，求抛物线 C的解析式； （）如图，直线 y2x+9 与 y 轴交于点 A，与直线 OM 交于点 B现将抛物线 C 平移，保持顶点在 直线 OB 上， 若平移后抛物线与射线 AB （含端点 A）
37、只有一个公共点， 求它的顶点横坐标 h 的取值范围 【分析】 （）对于 yx2+4x+3，令 x0，则 y3，故点 N（0，3） ，而 yx2+4x+3（x+2）21，故 点 M 的坐标为（2，1） ； （）设平移后抛物线的表达式为 yx2+4x+m，则点 N（0，m） ，由 PNON得 42+（m2）2 m2，即可求解； （）当抛物线 C过点 A 时，将点 A 的坐标代入上式得：9（0h） 2+ h，解得 h， 故当h时， 平移后抛物线与射线 AB （含端点 A） 只有一个公共点当抛物线 C 与直线 AB 只有一个公共点时，联立并整理得：x2+（2h+2）x+h90，则（2h+2）2 4（h
38、2+h9）0，解得 h4，即可求解 【解答】解： （）对于 yx2+4x+3，令 x0，则 y3，故点 N（0，3） ， yx2+4x+3（x+2）21， 故点 M 的坐标为（2，1） ； （）设平移后抛物线的表达式为 yx2+4x+m，则点 N（0，m） ， 由 PNON得，42+（m2）2m2，解得 m5， 故 C抛物线的表达式为 yx2+4x+5； （）直线 y2x+9与 y 轴交于点 A，则点 A（0，9） ， 设直线 OB 的表达式为 ykx，将点 M 的坐标代入上式得：12k，解得 k， 故直线 OB 的表达式为 yx， 设平移后的抛物线为抛物线 C，其顶点为 R，则设点 R（h，h） ， 则 C的表达式为 y（xh）2+h， 当抛物线 C过点 A 时，将点 A 的坐标代入上式得：9（0h）2+h，解得 h， 故当h时，平移后抛物线与射线 AB（含端点 A）只有一个公共点， 当抛物线 C与直线 AB 只有一个公共点时， 联立并整理得：x2+（2h+2）x+h90， 则（2h+2）24（h2+h9）0，解得 h4， 当 h4 时，x2+（2h+2）x+h2+h90，即为 x26x+90，解得 x3， 故唯一交点的坐标为（3，3） ，该点在射线 AB 上， 故顶点横坐标 h 的取值范围为h或 h4
