1、2020-2021 学年山东省潍坊市诸城市九年级（上）期中数学试卷学年山东省潍坊市诸城市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题一、选择题 1下列关于“圆”的说法不正确的是（ ） A圆是中心对称图形，圆心就是对称中心 B垂直于弦的直径一定平分这条弦 C相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等 D圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴 2若锐角 A 满足 cosA，则A 的度数是（ ） A30 B45 C60 D75 3如图，已知ABC 的六个元素，其中 a、b、c 表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形 中与ABC 不一定相似的图形是（ ） A甲
2、B乙 C丙 D丁 4在 RtABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D没有变化 5 如图， O 的半径为 5， 弦 AB8， P 是弦 AB 上的一个动点 （不与 A、 B 重合） ， 则 OP 的最小值是 （ ） A2.5 B3 C3.5 D4 6如图大坝的横断面，斜坡 AB 的坡比 i1：2，背水坡 CD 的坡比 i1：1，若坡面 CD 的长度为米， 则斜坡 AB 的长度为（ ） A B C D24 7如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点 B 作O 的切线 PB 与 OA 延长线交于点 P，连接 O
3、B，已 知P34，则ACB（ ） A17 B27 C28 D30 8如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，BADC，AC2AD，如果ACD 的面积为 15，那么ABD 的面积为（ ） A15 B10 C7.5 D5 9边长为 6 的正三角形的外接圆的周长为（ ） A B2 C3 D4 10 如图， E， F 分别为矩形 ABCD 的边 AD， BC 的中点， 若矩形 ABCD矩形 EABF， AB1 求矩形 ABCD 的面积为（ ） A1 B C D2 11 如图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上， 且 DEEF， 若
4、 AD3，则的长为（ ） A B C D 12如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，BEAC，垂足为点 F，下列结论：AEFCAB；CF 2AF；tanCAD，其中正确的结论有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 二填空题二填空题 13在ABC 中，C90，AB13cm，BC5cm，则 tanB 14若ABCADE，若 AB9，AC8，AD3，则 EC 的长是 15如图，ACB30，点 O 是 CB 上的一点，且 OC6，则以 4 为半径的O 与直线 CA 的公共点的个 数为 16如图，A，B，C 是O 上顺次三点，若 AC，AB，BC 分别是O 内接正三角形，正方形，正
5、 n 边形的 一边，则 n 17再如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 30km 至 B 港，然后再沿北偏西 40方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20方向，则 A，C 两港之间的距离为多少 km 18如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点 D，与 BC 交于点 E，连接 BI、CI、 BD、DC下列说法中正确的有 CAD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度一定能与DAB 重合； I 到ABC 三个顶点的距离相等； BIC90+BAC； 点 D 是BIC 的外心 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 46 分）分） 19 （8 分）
6、 （1）tan45cos60 （2）sin30+tan60cos45+tan30 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点ABC（顶点均在正方形网格的格点上） ，已知点 A 的 坐标为（4，3） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2） 以点 O 为位似中心， 在给定的网格中画A2B2C2， 使ABC 与A2B2C2位似， 且点 B2的坐标为 （2， 2） （3）ABC 与A2B2C2的位似比是 21 （6 分）在ABC 中，B45，C30，若 AB2，求 AC 的长 22 （6 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DECD，连接
7、 BE 与 AC， AD，FE 分别交于点 O，F （1）若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 （2）求证 OB2OEOF 23 （6 分）如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E （1）求证：BDCD； （2）若 AB4，BAC45，求阴影部分的面积 24 （6 分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段 OP） 小明拿着一根长 2m 的竹竿去测量路灯的高度， 他走到路灯旁的一个地点 A 竖起竹竿（线段 AE） ，这时他量了一下竹竿的影长 AC 正好是 1m，他沿着影 子的方向走了 4m 到达点 B，又竖起竹竿（线段 BF） ，这时竹竿的影
8、长 BD 正好是 2m，请利用上述条件 求出路灯的高度 25 （6 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAD，对角线 BD 为O 的直径，AC 与 BD 交于点 E点 F 为 CD 延长线上，且 DFBC （1）证明：ACAF； （2）若 AD2，AF，求 AE 的长； （3）若 EGCF 交 AF 于点 G，连接 DG证明：DG 为O 的切线 2020-2021 学年山东省潍坊市诸城市九年级（上）期中数学试卷学年山东省潍坊市诸城市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1下列关于“圆”的说法不正确的是（ ） A圆是中心对称图形，圆心就是对称
9、中心 B垂直于弦的直径一定平分这条弦 C相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等 D圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系；圆的性质及垂径定理对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：A、圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确； B、垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确； C、只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本 小题错误； D、圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确 故选：C 2若锐角 A 满足 cosA，则A 的度
10、数是（ ） A30 B45 C60 D75 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案 【解答】解：cosA， A30 故选：A 3如图，已知ABC 的六个元素，其中 a、b、c 表示三角形三边的长，则下面甲、乙、丙、丁四个三角形 中与ABC 不一定相似的图形是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案 【解答】解：甲三角形的两边 AC，BC 的夹角不一定等于 72 度，故与ABC 不一定相似的图形，故选 此选项正确； 乙可以利用两边对应成比例且夹角相等得出相似； 丙、丁可以利用两角对应相等得出相似； 故选：A 4在 RtABC 中，如果各边长度都
11、扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ） A扩大 2 倍 B缩小 2 倍 C扩大 4 倍 D没有变化 【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角 A 的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值 【解答】解：根据锐角三角函数的概念，知 若各边长都扩大 2 倍，则 sinA 的值不变 故选：D 5 如图， O 的半径为 5， 弦 AB8， P 是弦 AB 上的一个动点 （不与 A、 B 重合） ， 则 OP 的最小值是 （ ） A2.5 B3 C3.5 D4 【分析】作 OCAB 于点 C，连接 OA，根据垂线段最短，知 OP 最短为 AB 弦的弦心距的长度，由垂径 定理和勾股定理即可得出答案
12、【解答】解：作 OCAB 于点 C，连接 OA，如图所示： 则 ACAB4， OA5， OC3， 则 OP 的最小值是 3； 故选：B 6如图大坝的横断面，斜坡 AB 的坡比 i1：2，背水坡 CD 的坡比 i1：1，若坡面 CD 的长度为米， 则斜坡 AB 的长度为（ ） A B C D24 【分析】过 B 作 BEAD 于 E，过 C 作 CFAD 于 F，则四边形 BEFC 是矩形，得 BECF，由坡比得 BECFDFCD6（米） ，AE2BE12（米） ，再由勾股定理解答即可 【解答】解：过 B 作 BEAD 于 E，过 C 作 CFAD 于 F，如图所示： 则四边形 BEFC 是矩形
13、， BECF， 背水坡 CD 的坡比 i1：1，CD米， CFDFCD6（米） ， BECF6 米， 又斜坡 AB 的坡比 i1：2， AE2BE12（米） ， AB6（米） ， 故选：C 7如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点 B 作O 的切线 PB 与 OA 延长线交于点 P，连接 OB，已 知P34，则ACB（ ） A17 B27 C28 D30 【分析】根据切线性质求出OBP90，求出AOB，根据圆周角定理求出即可 【解答】解：PB 切O 于 B， OBPB， OBP90， P34， POB180903456， ACBAOB28， 故选：C 8如图，点 D 是ABC 的边 BC
14、上一点，BADC，AC2AD，如果ACD 的面积为 15，那么ABD 的面积为（ ） A15 B10 C7.5 D5 【分析】首先证明BADBCA，由相似三角形的性质可得：BAD 的面积：BCA 的面积为 1：4， 得出BAD 的面积：ACD 的面积1：3，即可求出ABD 的面积 【解答】解：BADC，BB， BADBCA， AC2AD， （）2， ， ACD 的面积为 15， ABD 的面积155， 故选：D 9边长为 6 的正三角形的外接圆的周长为（ ） A B2 C3 D4 【分析】如图，O 为等边ABC 的外接圆，作 ODBC 于 D，连接 OB、OC，利用等边三角形的性质 得到A60
15、，则BOC120，接着计算出OBD30，利用垂径定理得 BDCD3，然后在 RtOBD 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 OB，从而得到O 的周长 【解答】解：如图，O 为等边ABC 的外接圆， 作 ODBC 于 D，连接 OB、OC， ABC 为等边三角形， A60， BOC120， OBD30， ODBC， BDCD3， 在 RtOBD 中，ODBD， OB2OD2， O 的周长224 故选：D 10 如图， E， F 分别为矩形 ABCD 的边 AD， BC 的中点， 若矩形 ABCD矩形 EABF， AB1 求矩形 ABCD 的面积为（ ） A1 B C D2 【分析】要
16、求矩形的面积只要求出 BC 的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出 BC，进而得出面积即可 【解答】解：由矩形 ABCD矩形 EABF 可得， 设 AEx，则 ADBC2x，又 AB1， ， 可得：， 矩形的长不能是负数， 解得：， BC2x2， S矩形ABCDBCAB1 故选：C 11 如图， 将矩形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到矩形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在边 CD 上， 且 DEEF， 若 AD3，则的长为（ ） A B C D 【分析】连接 AC、AF，根据等腰直角三角形的性质得到DAE45，AE3，根据旋转变换的性 质、弧长公式计算，得到答案
17、【解答】解：连接 AC、AF， 由旋转的性质可知，BCEF，ABAE， DEEF， DEBCAD， 在 RtADE 中，DEAD， DAE45，AE3， EAB904545，即旋转角为 45， FAC45， 在 RtABC 中，AC9， 的长， 故选：A 12如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，BEAC，垂足为点 F，下列结论：AEFCAB；CF 2AF；tanCAD，其中正确的结论有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【分析】正确只要证明EACACB，ABCAFE90即可； 正确由 ADBC，推出AEFCBF，推出 AE 和 CF 的关系即可； 不正确设 AEa，A
18、Bb，则 AD2a，由BAEADC，求出 a 和 b 的关系，可得 tanCAD 的 值 【解答】解：如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，ABC90，ADBC， BEAC 于点 F， EACACB，ABCAFE90， AEFCAB，故正确； ADBC， AEFCBF， ， AEADBC， ， CF2AF，故正确； 设 AEa，ABb，则 AD2a， 由BAEADC， 有，即 ba， tanCAD，故不正确； 正确的有，2 个， 故选：B 二填空题二填空题 13在ABC 中，C90，AB13cm，BC5cm，则 tanB 【分析】根据勾股定理求出
19、 AC，再根据锐角三角函数的意义求出 tanB 的值 【解答】解：由勾股定理得，AC12， tanB， 故答案为： 14若ABCADE，若 AB9，AC8，AD3，则 EC 的长是 【分析】利用相似三角形的对应边成比例列式计算即可 【解答】解：设 ECx， AC8， AE8x， ABCADE， ， ， 解得：x， 故答案为： 15如图，ACB30，点 O 是 CB 上的一点，且 OC6，则以 4 为半径的O 与直线 CA 的公共点的个 数为 2 个 【分析】过 O 作 ODOA 于 D，求出 CD 的长，根据直线和圆的位置关系判断即可 【解答】解：过 O 作 ODOA 于 D， AOB30，O
20、C6， ODOC34， 以 4 为半径的O 与直线 CA 的公共点的个数为 2 个， 故答案为：2 个 16如图，A，B，C 是O 上顺次三点，若 AC，AB，BC 分别是O 内接正三角形，正方形，正 n 边形的 一边，则 n 12 【分析】如图，连接 OA，OC，OB想办法求出中心角BOC 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OA，OC，OB 若 AC、AB 分别是O 内接正三角形、正方形的一边， AOC120，AOB90， BOCAOCAOB30， 由题意得 30， n12， 故答案为：12 17再如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65方向航行 30km 至 B 港，然后再沿北偏西 40方
21、向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20方向，则 A，C 两港之间的距离为多少 （30+10） km 【分析】过 B 作 BEAC 于 E，过 C 作 CFAD，证出ACB60，由题意得CAB6520 45，AB30km，解直角三角形求出 AE、CE 的长，即可得到答案 【解答】解：如图，过 B 作 BEAC 于 E，过 C 作 CFAD， 则 CFADBG，AEBCEB90， ACFCAD20，BCFCBG40， ACB20+4060， 由题意得，CAB652045，AB30km， 在 RtABE 中，ABE45， ABE 是等腰直角三角形， AB30km， AEBEAB30（km）
22、， 在 RtCBE 中，ACB60，tanACB， CE10（km） ， ACAE+CE30+10（km） ， A，C 两港之间的距离为（30+10）km， 故答案为： （30+10） 18如图，I 是ABC 的内心，AI 的延长线与ABC 的外接圆相交于点 D，与 BC 交于点 E，连接 BI、CI、 BD、DC下列说法中正确的有 CAD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度一定能与DAB 重合； I 到ABC 三个顶点的距离相等； BIC90+BAC； 点 D 是BIC 的外心 【分析】利用三角形内心的性质得到BADCAD，则根据旋转的性质可对进行判断；直接利用三 角形内心的性质对进行判断；利用
23、1ABC，ICBACB 和三角形内角和定理得到BIC 90+BAC，则可对进行判断；通过证明5DBI 得到 DBDI，再证明 BDCD，则 DB DIDC，所以点 B、I、C 在以点 D 为圆心，DB 为半径的圆上，则可对进行判断 【解答】解：I 是ABC 的内心， AD 平分BAC， 即BADCAD， CAD 绕点 A 顺时针旋转一定的角度一定能与DAB 重合，所以正确； I 是ABC 的内心， 点 I 到三角形三边的距离相等，所以错误； BI 平分ABC，CI 平分ACB， 1ABC，ICBACB， BIC1801ICB， BIC180（ABC+ACB） 180（180BAC） 90+BA
24、C，所以正确； 12，3CAD4， 2+31+4， 而52+3， 51+4，即5DBI， DBDI， 3CAD， ， BDCD， DBDIDC， 点 B、I、C 在以点 D 为圆心，DB 为半径的圆上， 即点 D 是BIC 的外心所以正确 故答案为 三、解答题（共三、解答题（共 7 小题，满分小题，满分 46 分）分） 19 （8 分） （1）tan45cos60 （2）sin30+tan60cos45+tan30 【分析】各式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值 【解答】解： （1）原式1 ； （2）原式+ 20 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点ABC（顶点均在正方形网格的格点
25、上） ，已知点 A 的 坐标为（4，3） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1 （2） 以点 O 为位似中心， 在给定的网格中画A2B2C2， 使ABC 与A2B2C2位似， 且点 B2的坐标为 （2， 2） （3）ABC 与A2B2C2的位似比是 1：2 【分析】 （1）直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案； （2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3）ABC 与A2B2C2的位似比是：1：2 故答案为：1：2
26、 21 （6 分）在ABC 中，B45，C30，若 AB2，求 AC 的长 【分析】过 A 点作 ADBC 于 D 点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形 中利用三角函数，即可求出 AC 的长度 【解答】解：过 A 点作 ADBC 于 D 点， 在直角三角形 ABD 中，B45，AB2， ADABsinB2， 在直角三角形 ADC 中，C30， AC2AD4 22 （6 分）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，DECD，连接 BE 与 AC， AD，FE 分别交于点 O，F （1）若DEF 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 的面积 （
27、2）求证 OB2OEOF 【分析】 （1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定DEFABF，DEF CEB，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及DEF 的面积为 2，可求得 答案 （2）由 ADBC，ABDC，分别判定AOFCOB，ABOCEO，从而可得比例式，等量代换， 再变形即可得出结论 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， DECD， ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， DEFABF， ， 又SDEF2， SABF8； 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， DEFCEB， ， SCBE9218， S
28、四边形BCDFSCBESDEF18216， 平行四边形 ABCD 的面积为：8+1624 （2）证明：ADBC， AOFCOB， ， ABDC， ABOCEO， ， ， OB2OEOF 23 （6 分）如图，AB 为O 的直径，ABAC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E （1）求证：BDCD； （2）若 AB4，BAC45，求阴影部分的面积 【分析】 （1）利用圆周角定以及等腰三角形的性质得出即可； （2）首先得出BOE90，BOEO2，AOE90，进而求出 S阴SBOE+S扇形OAE的值 【解答】 （1）证明：连结 AD， AB 为O 直径， ADBC， 又ABAC， BDCD；
29、（2）解：连结 OE， AB4，BAC45， BOE90，BOEO2，AOE90， S阴SBOE+S扇形OAE22+2 24 （6 分）如图，学校操场旁立着一杆路灯（线段 OP） 小明拿着一根长 2m 的竹竿去测量路灯的高度， 他走到路灯旁的一个地点 A 竖起竹竿（线段 AE） ，这时他量了一下竹竿的影长 AC 正好是 1m，他沿着影 子的方向走了 4m 到达点 B，又竖起竹竿（线段 BF） ，这时竹竿的影长 BD 正好是 2m，请利用上述条件 求出路灯的高度 【分析】根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：由于 BFDB2m，即D45， DPOP灯高 在CEA 与COP 中， AECP
30、，OPCP， AEOP CEACOP， 设 APxm，OPhm，则， DPOP2+4+xh， 联立两式， 解得 x4，h10 路灯有 10m 高 25 （6 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，ABAD，对角线 BD 为O 的直径，AC 与 BD 交于点 E点 F 为 CD 延长线上，且 DFBC （1）证明：ACAF； （2）若 AD2，AF，求 AE 的长； （3）若 EGCF 交 AF 于点 G，连接 DG证明：DG 为O 的切线 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 内接于O 证得ABCADF，利用全等三角形的对应边相等证得 AC AF； （2）根据（1）得，ACAF，证得ADEAC
31、D，利用相似三角形的对应边的比相等得到， 代入数值求得 AE 的长即可； （3）首先根据平行线等分线段定理得到 AGAE，然后证得ADGAFD，从而证得 GDBD，利用 “经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线”证得 DG 为O 的切线即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 内接于O， ABC+ADC180 ADF+ADC180， ABCADF 在ABC 与ADF 中， ， ABCADF（SAS） ACAF； （2）解：由（1）得，ACAF ABAD， ADEACD DAECAD， ADEACD ， 则 AE； （3）证明：EGCF， AGAE 由（2）得， DAGFAD， ADGAFD ADGF ACAF， ACDF 又ACDABD， ADGABD BD 为O 的直径， BAD90 ABD+BDA90 ADG+BDA90 GDBD DG 为O 的切线
