1、2020-2021 学年广西南宁学年广西南宁青秀区青秀区九年级上期中数学试卷九年级上期中数学试卷 一、选择题（共 12 小题）. 1（3 分）2 的倒数是（ ） A B C D2 2（3 分）下面有 4 个汽车标志图案，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 3（3 分）在数轴上表示不等式 2x40 的解集，正确的是（ ） A B C D 4（3 分） 第六次全国人口普查公布的我国总人口数约为 1370000000 人， 用科学记数法表示正确的是 （ ） A1.37107 B1.37108 C1.37109 D1.371010 5（3 分）下列运算正确的是（ ） A3a2a1 Bx8x4
2、x2 C D（2x2y）38x6y3 6（3 分）用配方法将代数式 a2+4a5 变形，结果正确的是（ ） A（a+2）21 B（a+2）25 C（a+2）29 D（a+2）2+4 7（3 分）分式方程的解是（ ） A3 B3 C3 D无解 8（3 分）新学年到了，爷爷带小红到商店买文具从家中走了 20 分钟到一个离家 900 米的商店，在店里 花了 10 分钟买文具后，用了 15 分钟回到家里下面图形中表示爷爷和小红离家的距离 y（米）与时间 x （分）之间函数关系的是（ ） A B C D 9（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m3）x+m20 的两个不相等的实数根 ， 满足
3、+ 1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C3 或 1 D2 10（3 分）如图，已知O 的直径 CD弦 AB 于点 E，ACD25，则ADB 的大小为（ ） A120 B130 C140 D150 11（3 分）如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部 分进行绿化， 要使绿化面积为7644米 2， 则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米， 则可列方程为 （ ） A10080100 x80 x7644 B（100 x）（80 x）+x27644 C（100 x）（80 x）7644 D100 x+80 x356 12（3 分）如图，抛物线 y
4、ax2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 3a+c0； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3； 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（共 6 小题）. 13（3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 14（3 分）分解因式：2x318x 15（3 分）函数 y2（x1）2图象的顶点坐标为 16（3 分）在 RtABC 中，C90，AC3，AB5，则它的内切圆半径是 17（
5、3 分）如图，AD、AE、BC 都是O 的切线，AD10cm，则ABC 的周长是 18（3 分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，组成一条平滑的 曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第 2021 秒时，点 P 的 坐标是 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19（6 分）计算： 20（6 分）解方程：2x2+10 x90 21（8 分）如图所示，每一个小方格都是边长为 1 个单位正方形，ABC 的三个顶点都在格点上，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系 （1）
6、画出将ABC 先向左平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位的A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）画出将ABC 绕原点 O 逆时针方向旋转 180得到的A2B2C2，并写出对应的坐标 22（8 分）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进 行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）请你根据图中提供的信息， 解答下列问题： （1）计算被抽取的天数 （2）请补全条形统计图 （3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数 23（8 分）如图：已知在ABC 中，ABAC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DEAB，DF
7、AC，垂足分 别为 E，F （1）求证：BEDCFD； （2）若A90，求证：四边形 DFAE 是正方形 24 （10 分） 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住， 当每个房间的定价为每天 200 元时， 房间可以住满 当 每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每 天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求： （1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为
8、每天多少元时， w 有最大值？最大值是多少？ 25（10 分）如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E （1）若 ED 与A 相切，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GCCD5，求 AD 的长 26（10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方上的动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求线段 MN 的最大 值；
9、 （3）在（2）的条件下，当 MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使PBN 是等腰 三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（共 12 小题）. 1（3 分）2 的倒数是（ ） A B C D2 解：2 的倒数是， 故选：A 2（3 分）下面有 4 个汽车标志图案，其中是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：根据中心对称的定义可得：A、B、C 都不符合中心对称的定义 故选：D 3（3 分）在数轴上表示不等式 2x40 的解集，正确的是（ ） A B C D 解：2x40， 2x4， 不等式的解集为：x2， 在
10、数轴上表示为：， 故选：B 4（3 分） 第六次全国人口普查公布的我国总人口数约为 1370000000 人， 用科学记数法表示正确的是 （ ） A1.37107 B1.37108 C1.37109 D1.371010 解：将 1370000000 用科学记数法表示为：1.37109 故选：C 5（3 分）下列运算正确的是（ ） A3a2a1 Bx8x4x2 C D（2x2y）38x6y3 解：A、3a2aa，本选项错误； B、本选项不能合并，错误； C、|2|2，本选项错误； D、（2x2y）38x6y3，本选项正确， 故选：D 6（3 分）用配方法将代数式 a2+4a5 变形，结果正确的是
11、（ ） A（a+2）21 B（a+2）25 C（a+2）29 D（a+2）2+4 解：a2+4a5 a2+4a+49 （a+2）29 故选：C 7（3 分）分式方程的解是（ ） A3 B3 C3 D无解 解：等式两边同时乘以（x29）得：2（x+3）12， 去括号得：2x+612， 解得：x3， 把 x3 代入原方程发现，分母为 0， x3 舍去，原方程无解， 故选：D 8（3 分）新学年到了，爷爷带小红到商店买文具从家中走了 20 分钟到一个离家 900 米的商店，在店里 花了 10 分钟买文具后，用了 15 分钟回到家里下面图形中表示爷爷和小红离家的距离 y（米）与时间 x （分）之间函数
12、关系的是（ ） A B C D 解：根据题意，从 20 分钟到 30 分钟在店里买文具，离家距离没有变化，是一条平行于 x 轴的线段 故选：D 9（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m3）x+m20 的两个不相等的实数根 ， 满足+ 1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C3 或 1 D2 解：根据根与系数关系得出：+32m，m2， +1， 1， 1， m3，m1， 把 m3 代入方程得：x29x+90，（9）24190，此时方程有解； 把 m1 代入方程得：x2x+10，（1）24110，此时方程无解，即 m1 舍去； 故选：A 10（3 分）如图，已知O 的直径 CD弦 AB
13、 于点 E，ACD25，则ADB 的大小为（ ） A120 B130 C140 D150 解：如图所示： 直径 CD弦 AB， ， ADCBDC， CD 是 O 的直径， DAC90， BDCADC90ACD902565， ADB2ADC130， 故选：B 11（3 分）如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部 分进行绿化， 要使绿化面积为7644米 2， 则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米， 则可列方程为 （ ） A10080100 x80 x7644 B（100 x）（80 x）+x27644 C（100 x）（80 x）7644 D
14、100 x+80 x356 解：设道路的宽应为 x 米，由题意有 （100 x）（80 x）7644， 故选：C 12（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴为 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 其部分图象如图所示，下列结论： 4acb2； 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23； 3a+c0； 当 y0 时，x 的取值范围是1x3； 当 x0 时，y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解：抛物线与 x 轴有 2 个交点， b24ac0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1， 而点（1，0）关于
15、直线 x1 的对称点的坐标为（3，0）， 方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x23，所以正确； x1，即 b2a， 而 x1 时，y0，即 ab+c0， a+2a+c0，所以错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（1，0），（3，0）， 当1x3 时，y0，所以错误； 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y 随 x 增大而增大，所以正确 故选：B 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 13（3 分）函数 y中，自变量 x 的取值范围是 x2 解：要使分式有意义，即：x20， 解得：x2 故答案为：x2 14（3 分）分解因式：2x318x 2x（x+3）（x3） 解：原式
16、2x（x29） 2x（x+3）（x3）， 故答案为：2x（x+3）（x3） 15（3 分）函数 y2（x1）2图象的顶点坐标为 （1，0） 解：抛物线 y2（x1）2， 抛物线 y2（x1）2的顶点坐标为：（1，0）， 故答案为：（1，0） 16（3 分）在 RtABC 中，C90，AC3，AB5，则它的内切圆半径是 1 解：C90，AC3，AB5， BC4， 它的内切圆半径1 故答案为 1 17（3 分）如图，AD、AE、BC 都是O 的切线，AD10cm，则ABC 的周长是 20cm 解：设 BC 与O 相切于 F， AD、AE、CB 均为O 的切线，D、E、F 分别为切点， CECF，B
17、DBF，AEAD10cm， ABC 的周长为：AC+BC+ABAC+CF+BF+ABAC+CE+BD+ABAE+AD20（cm） 故答案为：20cm 18（3 分）如图，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，组成一条平滑的 曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第 2021 秒时，点 P 的 坐标是 （2021，1） 解：半径为 1 个单位长度的半圆的周长为21， 点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， 点 P 每秒走个半圆， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 1 秒时
18、，点 P 的坐标为（1，1）， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 2 秒时，点 P 的坐标为（2，0）， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 3 秒时，点 P 的坐标为（3，1）， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 4 秒时，点 P 的坐标为（4，0）， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 5 秒时，点 P 的坐标为（5，1）， 当点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 6 秒时，点 P 的坐标为（6，0）， ， 20214505 余 1， P 的坐标是（2021，1）， 故答
19、案为：（2021，1） 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19（6 分）计算： 解：原式17+31+5 17+3+5 2 20（6 分）解方程：2x2+10 x90 解：方程整理得：x2+5x， 配方得：x2+5x+， 即（x+）2， 开方得：x+， 解得：x1，x2 21（8 分）如图所示，每一个小方格都是边长为 1 个单位正方形，ABC 的三个顶点都在格点上，以点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系 （1）画出将ABC 先向左平移 5 个单位，再向上平移 1 个单位的A1B1C1，并写出点 B1的坐标； （2）画出将ABC 绕原点 O 逆
20、时针方向旋转 180得到的A2B2C2，并写出对应的坐标 解：（1）如图，A1B1C1为所作，点 B1的坐标为（4，3）； （2）如图，A2B2C2为所作，A2（3，3），B2（1，2），C（4，0） 22（8 分）小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进 行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）请你根据图中提供的信息， 解答下列问题： （1）计算被抽取的天数 （2）请补全条形统计图 （3）请估计该市这一年（365 天）达到优和良的总天数 解：（1）3264%50（天）， 即被抽取的有 50 天； （2）轻微污染的有：50（8+
21、32+3+1+1）5（天）， 补充完整的条形统计图如右图所示； （3）365292（天）， 即达到优和良的一共有 292 天 23（8 分）如图：已知在ABC 中，ABAC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分 别为 E，F （1）求证：BEDCFD； （2）若A90，求证：四边形 DFAE 是正方形 【解答】证明：（1）DEAB，DFAC， BEDCFD90 ABAC， BC D 是 BC 的中点， BDCD BEDCFD （2）DEAB，DFAC， AEDAFD90 A90， 四边形 DFAE 为矩形 BEDCFD， DEDF 四边形 DFAE 为正方形 24
22、（10 分） 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住， 当每个房间的定价为每天 200 元时， 房间可以住满 当 每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每 天支出 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加 x 元求： （1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式； （2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式； （3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时， w 有最大值？最大值是多少？ 解：（1）由题意得： y60（2 分） （2）p（200+x）（6
23、0）+40 x+12000（3 分） （3）w（200+x）（60）20（60）（2 分） +42x+10800 （x210）2+15210 当 x210 时，w 有最大值 此时，x+200410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元 25（10 分）如图，平行四边形 ABCD 中，以 A 为圆心，AB 为半径的圆交 AD 于 F，交 BC 于 G，延长 BA 交圆于 E （1）若 ED 与A 相切，试判断 GD 与A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GCCD5，求 AD 的长 【解答】结论：GD 与O 相切
24、，（1 分） 证明：连接 AG， 点 G、E 在圆上， AGAE 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC B1，23 ABAG， B3 12（2 分） 在AED 和AGD ， AEDAGD AEDAGD（3 分） ED 与A 相切， AED90 AGD90 AGDG GD 与A 相切（4 分） （2）GCCD5，四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，45，ABAG5（5 分） ADBC， 46 56B 226 630 AD10（6 分） 26（10 分）如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线的解析式；
25、（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方上的动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求线段 MN 的最大 值； （3）在（2）的条件下，当 MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使PBN 是等腰 三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）将点 B（3，0）、C（0，3）代入抛物线 yx2+bx+c 中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为 yx24x+3 （2）设点 M 的坐标为（m，m24m+3），设直线 BC 的解析式为 ykx+3， 把点点 B（3，0）代入 ykx+3 中， 得：03k+3，解得：k1， 直线 BC 的
26、解析式为 yx+3 MNy 轴， 点 N 的坐标为（m，m+3） 抛物线的解析式为 yx24x+3（x2）21， 抛物线的对称轴为 x2， 点（1，0）在抛物线的图象上， 1m3 线段 MNm+3（m24m+3）m2+3m+， 当 m时，线段 MN 取最大值，最大值为 （3）假设存在设点 P 的坐标为（2，n） 当 m时，点 N 的坐标为（，）， PB， PN， BN PBN 为等腰三角形分三种情况： 当 PBPN 时，即， 解得：n， 此时点 P 的坐标为（2，）； 当 PBBN 时，即， 解得：n， 此时点 P 的坐标为（2，）或（2，）； 当 PNBN 时，即， 解得：n， 此时点 P 的坐标为（2，）或（2，） 综上可知：在抛物线的对称轴 l 上存在点 P，使PBN 是等腰三角形，点 P 的坐标为（2，）、（2， ）、（2，）、（2，）或（2，）
