2020-2021学年山东省德州市德城区九年级上期中考试数学试卷(含答案解析)

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资源描述

1、2020-2021 学年山东省学年山东省德州市德城区德州市德城区九年级(上)期中数学试卷九年级(上)期中数学试卷 一、单选题一、单选题 1下列手机软件图标中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A B C D 2抛物线 y(x2)21 可以由抛物线 yx2平移而得到,下列平移正确的是( ) A先向左平移 2 个单位长度,然后向上平移 1 个单位长度 B先向左平移 2 个单位长度,然后向下平移 1 个单位长度 C先向右平移 2 个单位长度,然后向上平移 1 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度,然后向下平移 1 个单位长度 3已知关于 x 的方程(m+3)x2+5x+m290 有一个解

2、是 0,则 m 的值为( ) A3 B3 C3 D不确定 4如图,AB 是O 的弦,半径 OA2,AOB120,则弦 AB 的长是( ) A B C D 5如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不成立的是( ) ACMDM B CACDADC DOMMD 6已知点 A(x2,3)与点 B(x+4,y5)关于原点对称,则 yx的值是( ) A2 B C4 D8 7已知:如图,O 的两条弦 AE、BC 相交于点 D,连接 AC、BE,若ACB50,则下列结论中正确 的是( ) AAOB50 BADB50 CAEB30 DAEB50 8如图,将 RtABC 绕其直角顶点 C 按

3、顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC,连接 AD,若B55, 则ADE 等于( ) A5 B10 C15 D20 9在一幅长 80cm,宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要 使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 xcm,那么 x 满足的方程是( ) Ax2+130 x14000 Bx2+65x3500 Cx2130 x14000 Dx265x3500 10如图,RtABC 中,C90,ABC30,AC2,ABC 绕点 C 顺时针旋转得A1B1C,当 A1 落在 AB 边上时,连接 B1B,取 BB1的中点 D,连接 A1D,则 A

4、1D 的长度是( ) A B2 C3 D2 11如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,连结 AC,BC,分别以 AC、BC 为直径作半圆,其中 M,N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点,的中点分别是 P,Q若 MP+NQ7,AC+BC26,则 AB 的长是( ) A17 B18 C19 D20 12如图,在 RtABC 中,C90,AC6cm,BC2cm,点 P 在边 AC 上,从点 A 向点 C 移动,点 Q 在边 CB 上,从点 C 向点 B 移动若点 P,Q 均以 1cm/s 的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另 一点也随之停止,连接 PQ,则线段 PQ 的最小值是

5、( ) A20cm B18cm C2cm D3cm 二、填空题二、填空题 13方程 2x23x10 的两根为 x1,x2,则 x12+x22 14已知点 A(4,y1) ,B(,y2) ,C(2,y3)都在二次函数 y(x2)21 的图象上,则 y1、y2、 y3的大小关系是 15如图所示的一座拱桥,当水面宽 AB 为 12m 时,桥洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线以水 平方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点,则抛物线的解析式是 16如图,RtOAB 的顶点 A(2,4)在抛物线 yax2上,将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到 OCD,边 CD

6、与该抛物线交于点 P,则点 P 的坐标为 17关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根,则 m 的取值范围是 18如图,抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点,P 是以点 C(0,3)为圆心,2 为半径的圆上的动点, Q 是线段 PA 的中点,连结 OQ则线段 OQ 的最大值是 三、解答题三、解答题 19解方程: (1) (3y+2)2(2y1)20 (2)3x(x1)2x2 20已知ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 (1)作ABC 关于点 O 成中心对称的A1B1C1; (2)将A1B1C1向右平移 4 个单位,作出平移后的A2B2C2; (3)在

7、x 轴上求作一点 P,使 PA1+PC2的值最小,并求出这个最小值 21如图,已知二次函数 y+bx+c 的图象经过 A(2,0) 、B(0,6)两点 (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连接 BA、BC,求ABC 的面积 22某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资 3000 元,已知绿茶每千克成本 50 元,在第一个月的试销 时间内发现,销量 w(kg)随销售单价 x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示 销售单价 x (元/kg) 70 75 80 85 90 销售量 w (kg) 100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为

8、 y(元) (销售利润单价销售量成本投资) (1)请根据上表,写出 w 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围) ; (2)求 y 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围) 并求出 x 为何值时,y 的值最大? (3)若在第一个月里,按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售 单价不得高于 90 元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元,那么第二个月里应 该确定销售单价为多少元? 23如图,以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC,BC 的交点分别为 D,E,且 (1)试判断ABC 的形状,

9、并说明理由; (2)已知半圆的半径为 5,BC12,求 BD 的长 24在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,且EAFCEF45 (1)将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90,得到ABG(如图 1) ,求证:BE+DFEF; (2)若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点 M、N(如图 2) ,求证:EF2ME2+NF2; (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,其余条件不变(如图 3) ,直接写出线段 EF、BE、DF 之间的 数量关系 25如图,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,且当 x0

10、 和 x2 时,y 的值相等,直线 y3x7 与这条抛物线交于两点,其中一点横坐标为 4,另一点是这条抛物 线的顶点 M (1)求顶点 M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式 (2)P 为线段 BM 上一点(P 不与点 B,M 重合) ,作 PQx 轴于点 Q,连接 PC,设 OQt,四边形 PQAC 的面积为 S,求 S 与 t 的函数解析式,并直接写出 t 的取值范围 (3) 在线段 BM 上是否存在点 N, 使NMC 为等腰三角形?若存在, 直接写出点 N 的坐标, 若不存在, 说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1下列手机软件图标中,既是轴对称图形

11、又是中心对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称 图形的定义即可判断出 【解答】 解: A、 此图形旋转 180后不能与原图形重合, 此图形不是中心对称图形, 是轴对称图形, 故 A 选项错误; B、此图形旋转 180后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故 B 选 项错误; C、此图形旋转 180后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故 C 选项错 误; D、此图形旋转 180后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故 D 选项正 确 故选:D

12、2抛物线 y(x2)21 可以由抛物线 yx2平移而得到,下列平移正确的是( ) A先向左平移 2 个单位长度,然后向上平移 1 个单位长度 B先向左平移 2 个单位长度,然后向下平移 1 个单位长度 C先向右平移 2 个单位长度,然后向上平移 1 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度,然后向下平移 1 个单位长度 【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究 【解答】解:抛物线 yx2顶点为(0,0) ,抛物线 y(x2)21 的顶点为(2,1) ,则抛物线 y x2向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位得到抛物线 y(x2)21 的图象 故选:D 3已知关于

13、x 的方程(m+3)x2+5x+m290 有一个解是 0,则 m 的值为( ) A3 B3 C3 D不确定 【分析】方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值;即用这个数代替未知数所得式子仍然 成立;将 x0 代入原方程即可求得 m 的值 【解答】解:把 x0 代入原方程得 m290; 解得:m3 故选:C 4如图,AB 是O 的弦,半径 OA2,AOB120,则弦 AB 的长是( ) A B C D 【分析】过 O 作弦 AB 的垂线,通过构建直角三角形求出弦 AB 的长 【解答】解:过 O 作 OCAB 于 C 在 RtOAC 中,OA2,AOCAOB60, ACOAsin60, 因

14、此 AB2AC2 故选:B 5如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M,下列结论不成立的是( ) ACMDM B CACDADC DOMMD 【分析】由直径 AB 垂直于弦 CD,利用垂径定理得到 M 为 CD 的中点,B 为劣弧的中点,可得出 A 和 B 选项成立,再由 AM 为公共边,一对直角相等,CMDM,利用 SAS 可得出三角形 ACM 与三角形 ADM 全等,根据全等三角形的对应角相等可得出选项 C 成立,而 OM 不一定等于 MD,得出选项 D 不 成立 【解答】解:AB 是O 的直径,弦 CDAB,垂足为 M, M 为 CD 的中点,即 CMDM,选项 A 成立; B

15、 为的中点,即,选项 B 成立; 在ACM 和ADM 中, , ACMADM(SAS) , ACDADC,选项 C 成立; 而 OM 与 MD 不一定相等,选项 D 不成立 故选:D 6已知点 A(x2,3)与点 B(x+4,y5)关于原点对称,则 yx的值是( ) A2 B C4 D8 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 x,y 的值进而得出答案 【解答】解:点 A(x2,3)与点 B(x+4,y5)关于原点对称, x2+x+40, y53, 解得:x1,y2, 则 yx2 1 故选:B 7已知:如图,O 的两条弦 AE、BC 相交于点 D,连接 AC、BE,若ACB50,则下列结论中

16、正确 的是( ) AAOB50 BADB50 CAEB30 DAEB50 【分析】由圆周角定理知AEBACB50,AOB2ACB100,ADBACB+CAD ACB50,即可得出结论 【解答】解:ACB50, AEBACB50,AOB2ACB100, ADBACB+CADACB50, 故选项 A、B、C 不正确,只有选项 D 正确, 故选:D 8如图,将 RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC,连接 AD,若B55, 则ADE 等于( ) A5 B10 C15 D20 【分析】根据旋转的性质可得 ACCD,CEDB,再判断出ACD 是等腰直角三角形,然后根据 等

17、腰直角三角形的性质求出CAD45,由外角的性质可求解 【解答】解:RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC, ACCD,CEDB55, ACD 是等腰直角三角形, CAD45, ADECEDCAD554510, 故选:B 9在一幅长 80cm,宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要 使整个挂图的面积是 5400cm2,设金色纸边的宽为 xcm,那么 x 满足的方程是( ) Ax2+130 x14000 Bx2+65x3500 Cx2130 x14000 Dx265x3500 【分析】本题可设长为(80+2x) ,宽为(5

18、0+2x) ,再根据面积公式列出方程,化简即可 【解答】解:依题意得: (80+2x) (50+2x)5400, 即 4000+260 x+4x25400, 化简为:4x2+260 x14000, 即 x2+65x3500 故选:B 10如图,RtABC 中,C90,ABC30,AC2,ABC 绕点 C 顺时针旋转得A1B1C,当 A1 落在 AB 边上时,连接 B1B,取 BB1的中点 D,连接 A1D,则 A1D 的长度是( ) A B2 C3 D2 【分析】首先证明ACA1,BCB1是等边三角形,推出A1BD 是直角三角形即可解决问题 【解答】解:ACB90,ABC30,AC2, A90

19、ABC60,AB4,BC2, CACA1, ACA1是等边三角形,AA1ACBA12, BCB1ACA160, CBCB1, BCB1是等边三角形, BB12,BA12,A1BB190, BDDB1, A1D 故选:A 11如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,连结 AC,BC,分别以 AC、BC 为直径作半圆,其中 M,N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点,的中点分别是 P,Q若 MP+NQ7,AC+BC26,则 AB 的长是( ) A17 B18 C19 D20 【分析】连接 OP,OQ,根据 M,N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点,的中点分别是 P, Q 得到

20、 OPAC, OQBC, 从而得到 H、 I 是 AC、 BC 的中点, 利用中位线定理得到 OH+OI (AC+BC) 13 和 PH+QI6,从而利用 ABOP+OQOH+OI+PH+QI 求解 【解答】解:连接 OP,OQ,分别交 AC,BC 于 H,I, M,N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点,的中点分别是 P,Q, OPAC,OQBC,由对称性可知:H,P,M 三点共线,I,Q,N 三点共线, H、I 是 AC、BC 的中点, OH+OI(AC+BC)13, MH+NIAC+BC13,MP+NQ7, PH+QI1376, ABOP+OQOH+OI+PH+QI13+619,

21、故选:C 12如图,在 RtABC 中,C90,AC6cm,BC2cm,点 P 在边 AC 上,从点 A 向点 C 移动,点 Q 在边 CB 上,从点 C 向点 B 移动若点 P,Q 均以 1cm/s 的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另 一点也随之停止,连接 PQ,则线段 PQ 的最小值是( ) A20cm B18cm C2cm D3cm 【分析】根据已知条件得到 CP6t,得到 PQ,于 是得到结论 【解答】解:APCQt, CP6t, PQ, 0t2, 当 t2 时,PQ 的值最小, 线段 PQ 的最小值是 2, 故选:C 二、填空题二、填空题 13方程 2x23x10 的两根为 x

22、1,x2,则 x12+x22 【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2,x1x2” ,再利用完全平方公式将 x12+x22 转化成2x1x2,代入数据即可得出结论 【解答】解:方程 2x23x10 的两根为 x1,x2, x1+x2,x1x2, x12+x222x1x22() 故答案为: 14已知点 A(4,y1) ,B(,y2) ,C(2,y3)都在二次函数 y(x2)21 的图象上,则 y1、y2、 y3的大小关系是 y3y1y2 【分析】分别计算出自变量为 4,和2 时的函数值,然后比较函数值得大小即可 【解答】解:把 A(4,y1) ,B(,y2) ,C(2,y3)分别代入 y(x2

23、)21 得: y1(x2)213,y2(x2)2154,y3(x2)2115, 54315, 所以 y3y1y2 故答案为 y3y1y2 15如图所示的一座拱桥,当水面宽 AB 为 12m 时,桥洞顶部离水面 4m,已知桥洞的拱形是抛物线以水 平方向为 x 轴, 建立平面直角坐标系, 若选取点 A 为坐标原点, 则抛物线的解析式是 yx2+x 【分析】根据题意可知抛物线经过点(0,0) 、 (12,0) 、 (6,4) ,然后利用待定系数法求解即可 【解答】解:设抛物线的解析式为 yax(x12) ,将点(6,4)代入得:36a4 解得:a 抛物线的解析式为 yx2+x 故答案为:yx2+x

24、16如图,RtOAB 的顶点 A(2,4)在抛物线 yax2上,将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到 OCD,边 CD 与该抛物线交于点 P,则点 P 的坐标为 (,2) 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式,然后根据题意求得 D(0,2) ,且 DCx 轴,从而求 得 P 的纵坐标为 2,代入求得的解析式即可求得 P 的坐标 【解答】解:RtOAB 的顶点 A(2,4)在抛物线 yax2上, 44a,解得 a1, 抛物线为 yx2, 点 A(2,4) , B(2,0) , OB2, 将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90,得到OCD, D 点在 y 轴上,且 ODOB2

25、, D(0,2) , DCOD, DCx 轴, P 点的纵坐标为 2, 代入 yx2,得 2x2, 解得 x, P(,2) 故答案为(,2) 17关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根,则 m 的取值范围是 m1 且 m0 【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知,0,列出关于 m 的不等式,解答即可 【解答】解:关于 x 的一元二次方程 mx22x+l0 有两个实数根, b24ac(2)24m44m0, m1 又mx22x+l0 是一元二次方程, m0, 故 m 的取值范围是 m1 且 m0 故答案为 m1 且 m0 18如图,抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点

26、,P 是以点 C(0,3)为圆心,2 为半径的圆上的动点, Q 是线段 PA 的中点,连结 OQ则线段 OQ 的最大值是 3.5 【分析】当 B、C、P 三点共线,且点 C 在 PB 之间时,PB 最大,而 OQ 是ABP 的中位线,即可求解 【解答】解:令 yx240,则 x4, 故点 B(4,0) , 设圆的半径为 r,则 r2, 当 B、C、P 三点共线,且点 C 在 PB 之间时,PB 最大, 而点 Q、O 分别为 AP、AB 的中点,故 OQ 是ABP 的中位线, 则 OEBP(BC+r)(+2)3.5, 故答案为 3.5 三、解答题三、解答题 19解方程: (1) (3y+2)2(

27、2y1)20 (2)3x(x1)2x2 【分析】 (1)利用因式分解法求解可得答案; (2)利用因式分解法求解可得答案 【解答】解: (1)(3y+2)2(2y1)20 (3y+2+2y1) (3y+22y+1)0, (5y+1) (y+3)0, 5y+10 或 y+30, y1,y23 (2)3x(x1)2x2 3x(x1)2(x1) (3x2) (x1)0, 3x20 或 x10, x1,x21 20已知ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 (1)作ABC 关于点 O 成中心对称的A1B1C1; (2)将A1B1C1向右平移 4 个单位,作出平移后的A2B2C2; (3)在

28、x 轴上求作一点 P,使 PA1+PC2的值最小,并求出这个最小值 【分析】 (1)直接利用关于点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案; (2)利用平移的性质进而得出对应点位置进而得出答案; (3)利用轴对称求最短路线的方法进而得出答案 【解答】解: (1)如图所示:A1B1C1,即为所求; (2)如图所示:A2B2C2,即为所求; (3)如图所示:点 P 即为所求,此时 PA1+PC2的值最小为:AC2 21如图,已知二次函数 y+bx+c 的图象经过 A(2,0) 、B(0,6)两点 (1)求这个二次函数的解析式; (2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连接 BA、BC,求AB

29、C 的面积 【分析】 (1)二次函数图象经过 A(2,0) 、B(0,6)两点,两点代入 y+bx+c,算出 b 和 c, 即可得解析式 (2)先求出对称轴方程,写出 C 点的坐标,计算出 AC,然后由面积公式计算值 【解答】解: (1)把 A(2,0) 、B(0,6)代入 y+bx+c, 得: 解得, 这个二次函数的解析式为 y+4x6 (2)该抛物线对称轴为直线 x4, 点 C 的坐标为(4,0) , ACOCOA422, SABCACOB266 22某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资 3000 元,已知绿茶每千克成本 50 元,在第一个月的试销 时间内发现,销量 w(kg)随销售单价

30、 x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示 销售单价 x (元/kg) 70 75 80 85 90 销售量 w (kg) 100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为 y(元) (销售利润单价销售量成本投资) (1)请根据上表,写出 w 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围) ; (2)求 y 与 x 之间的函数关系式(不必写出自变量 x 的取值范围) 并求出 x 为何值时,y 的值最大? (3)若在第一个月里,按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门干预,销售 单价不得高于 90 元,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润

31、达到 1700 元,那么第二个月里应 该确定销售单价为多少元? 【分析】 (1)利用表格中数据,设出解析式,进而求出一次函数关系式,整理即可; (2)利用销售利润单价销售量成本列出函数关系式,利用配方法可求最值; (3)首先根据第一个月的利润,得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元,即 第二个月必须获得 2250 元的利润,把函数值 2250 代入,解一元二次方程即可 【解答】解: (1)设 wkx+b, 将(70,100) , (75,90)代入上式得: , 解得:, 则 w2x+240; (2)y(x50) w3000(x50) (2x+240)30002x2+3

32、40 x15000, 因此 y 与 x 的关系式为: y2x2+340 x15000, 2(x85)2550, 故当 x85 时,y 的值最大为550 (3)故第 1 个月还有 550 元的投资成本没有收回, 则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元, 可得方程(x50) (2x+240)2250, 解这个方程,得 x195,x275; 根据题意,x295 不合题意应舍去 答:当销售单价为每千克 75 元时,可获得销售利润 2250 元,即在全部收回投资的基础上使第二个月的 利润达到 1700 元 23如图,以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC,BC 的交

33、点分别为 D,E,且 (1)试判断ABC 的形状,并说明理由; (2)已知半圆的半径为 5,BC12,求 BD 的长 【分析】 (1)结论:ABC 为等腰三角形证明CABC 即可解决问题 (2)利用勾股定理求出 AB,再利用面积法解决问题即可 【解答】解: (1)ABC 为等腰三角形 理由如下:连结 AE,如图, , DAEBAE,即 AE 平分BAC, AB 为直径, AEB90, AEBC, C+CAE90,ABC+BAE90, CABC, ACAB, ABC 为等腰三角形; (2)ABC 为等腰三角形,AEBC, , 在 RtABE 中,AB10,BE6, AE8, AB 为直径, AD

34、B90, , , 24在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上,且EAFCEF45 (1)将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90,得到ABG(如图 1) ,求证:BE+DFEF; (2)若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点 M、N(如图 2) ,求证:EF2ME2+NF2; (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,其余条件不变(如图 3) ,直接写出线段 EF、BE、DF 之间的 数量关系 【分析】 (1)根据旋转的性质可知 AFAG,EAFGAE45,证明AEGAEF,可得结论 (2)将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到ABG,连结 GM由(1)知AEGA

35、EF,则 EG EF再由BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形,得出 CECF,BEBM,NFDF,然 后证明GME90, MGNF, 利用勾股定理得出EG2ME2+MG2, 等量代换即可证明 EF2ME2+NF2 (3)延长 EF 交 AB 延长线于 M 点,交 AD 延长线于 N 点,将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到 AGH,连结 HM,HE由(1)知AEHAEF,结合勾股定理以及相等线段可得(GH+BE)2+(BE GH)2EF2,所以 2(DF2+BE2)EF2 【解答】 (1)证明:如图 1 中, ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到ABG, AFAG,FAG9

36、0, EAF45, GAE45, 在AGE 与AFE 中, , AGEAFE(SAS) , EGEF, EGEB+BGBE+DF, EFEB+DF (2)证明:如图 2 中,设正方形 ABCD 的边长为 a将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到ABG, 连结 GM则ADFABG,DFBG 由(1)知AEGAEF, EGEF CEF45, BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形, CECF,BEBM,NFDF, aBEaDF, BEDF, BEBMDFBG, BMG45, GME45+4590, EG2ME2+MG2, EGEF,MGBMDFNF, EF2ME2+NF2 (3)解:结论

37、:EF22BE2+2DF2 理由:如图所示,延长 EF 交 AB 延长线于 M 点,交 AD 延长线于 N 点, 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90,得到AGH,连结 HM,HE 由(1)知AEHAEF, 则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2EH2, 即(GH+BE)2+(BMGM)2EH2 又EFHE,DFGHGM,BEBM, (GH+BE)2+(BEGH)2EF2, 即 2(DF2+BE2)EF2, EF22BE2+2DF2 25如图,抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 左侧) ,与 y 轴交于点 C,且当 x0 和 x2 时,y 的值相等,直

38、线 y3x7 与这条抛物线交于两点,其中一点横坐标为 4,另一点是这条抛物 线的顶点 M (1)求顶点 M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式 (2)P 为线段 BM 上一点(P 不与点 B,M 重合) ,作 PQx 轴于点 Q,连接 PC,设 OQt,四边形 PQAC 的面积为 S,求 S 与 t 的函数解析式,并直接写出 t 的取值范围 (3) 在线段 BM 上是否存在点 N, 使NMC 为等腰三角形?若存在, 直接写出点 N 的坐标, 若不存在, 说明理由 【分析】 (1)当 x0 和 x2 时,y 的值相等,可知抛物线的对称轴为 x1,将 x1 代入直线的解析式 中即可求出抛物线顶

39、点的坐标,根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标,可用顶点式二次函数通式 来设抛物线的解析式,然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式 (2)由于四边形 QACP 不是规则的四边形,因此可将其分成直角三角形 AOC 和直角梯形 QOCP 两部分 进行计算先求出直线 BM 的解析式,然后将 xt 代入直线 BM 的解析式中即可求出 QP 的长,然后根 据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积 然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S, t 的函数关系式 (3)可分三种情况进行讨论:NMMC;NMNC;MCNC可根据直线 BM 的解析式设出 N 点的坐标,然后用坐标系中

40、两点间的距离公式表示出各线段的长,进而求解 【解答】解: (1)由题意可知:抛物线的对称轴为 x1 当 x1 时,y3x74,因此抛物线的顶点 M 的坐标为(1,4) 当 x4 时,y3x75,因此直线 y3x7 与抛物线的另一交点为(4,5) 设抛物线的解析式为 ya(x1)24, 则有:a(41)245,a1 抛物线的解析式为:yx22x3; (2)根据(1)的抛物线可知:A(1,0)B(3,0)C(0,3) ; 由点 B、M 的坐标知,直线 BM 的解析式为 y2x6, 当 xt 时,y2t6, 因此 PQ62t; S四边形PQACS梯形QPCO+SAOC(3+62t)t+3 即:SS四

41、边形PQACt2+t+(1t3) ; (3)假设存在这样的点 N,使NMC 为等腰三角形 点 N 在 BM 上,不妨设 N 点坐标为(m,2m6) , 则 CM212+122,CN2m2+3(62m)2,或 CN2m2+(62m)32 MN2(m1)2+4(62m)2 NMC 为等腰三角形,有以下三种可能: 若 CNCM,则 m2+(62m)322, m1,m21(舍去) N(,) 若 MCMN,则(m1)2+4(62m)212+12 m1 1m3, m1应舍去 N(1+,4) 若 NCNM,则 m2+3(62m)2(m1)2+4(62m)2 解得 m2 N(2,2) 故假设成立 综上所述, 存在这样的点 N, 使NMC 为等腰三角形, 且点 N 的坐标为 (, ) 或 (1+, 4)或(2,2)

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