1、 1 【类型综述】 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为 特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导 边的大小。 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后 利用相似来列方程求解。 【方法揭秘】 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个 三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一
2、组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检 验 如果已知AD，探求ABC 与DEF 相似，只要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成 比例，分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是 确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，
3、而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形， 直角边与坐标轴平行， 这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了 水 平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点 间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减 2 图 1 【典例分析】 例 1 如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 yx2bxc 经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速
4、度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物 线于点 F，连结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问：是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形 与以 O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 思路点拨思路点拨 1 在APQ 中， A
5、45 ， 夹A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示， 分两种情况讨论直角三角形 APQ 2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PEQF 列方程就好了 3MBQ 与BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 满分解答满分解答 3 图 2 图 3 （3）如图 4，因为 PE/QF，当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ 因为 xPt，xQ3t，所以 yE3t，yQt，yF(3t)22(3t)3t24t 因为 yEyPyFyQ，解方程 3t(t24t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以
6、点 F 的坐标为(2, 3) 图 4 图 5 （4）由 yx22x3(x1)24，得 M(1, 4) 4 考点伸展考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3t, t)，按照 PE 方向，将点 Q 向上平移，得 F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 yx22x3，得 t1，或 t3 例例 2 二次函数 yax2bxc（a0）的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示） ； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象
7、限内抛物线上的一个动点，设APC 的面积为 S，试求出 S 与 点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 三点为顶点的三角形与OBC 相似？ 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP，APC 可以割补为：AOP 与COP 的和，再减去AOC 3讨论ACD 与OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 5 满分解答满分解答 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线
8、交 DE 于 F 由 ym(x3)(x1)m(x1)24m，得 D(1,4m) 在 RtOBC 中，OBOC13m 如果ADC 与OBC 相似，那么ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 13m 如图 4，当ACD90 时， OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m1 此时3 CAOC CDED ，3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以CDAOBC 6 考点伸展考点伸展 第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC：y2x6，可得 H(x,2x6) 又因为 P(x, 2x24x6)，所以 HP2x26x 因为PAH 与
9、PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、C 两点间的水平距离 3，所以 SS APC S APH SCPH 3 2 (2x26x) 2 327 3() 24 x 例 3 如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值； （2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点 C，联结 AB、AC， 求ABC 的面积； （3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E
10、的坐标 7 图 1 思路点拨思路点拨 1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为 45 2求ABC 的面积，一般用割补法 3讨论ACE 与ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程 满分解答满分解答 （3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD2 2，AC2 10 由于DACACD45 ，ACEACD45 ，所以DACACE 所以ACE 与ACD 相似，分两种情况： 如图 3，当 CEAD CAAC 时，CEAD2 2 此时ACDCAE，相似比为 1 8 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第（2）题我们在计算ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形
11、一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法 如图 5，作ABC 的外接矩形 HCNM，MN/y 轴 由 S矩形HCNM24，S AHC 6，SAMB2，S BCN 8，得 S ABC 8 例 4 如图 1，RtABC 中，ACB90 ，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以 每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 4 cm 的速度向点 B 匀速运 动，运动时间为 t 秒（0t2） ，连接 PQ （1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值； （2）如图 2，连接 AQ、CP，若 AQCP，求 t 的值；
12、 （3）试证明：PQ 的中点在ABC 的一条中位线上 9 图 1 图 2 思路点拨思路点拨 1BPQ 与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程来源: 2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了 BDCQ 3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻 P、Q、H 的位置，一目了然 满分解答满分解答 图 3 图 4 （2）作 PDBC，垂足为 D 在 RtBPD 中，BP5t，cosB 4 5 ，所以 BDBPcosB4t，PD3t 当 AQCP 时，ACQCDP 所以 ACCD QCPD ，即 684 43 t tt 解得 7 8 t 10 图 5 图 6
13、 考点伸展考点伸展 本题情景下，如果以 PQ 为直径的H 与ABC 的边相切，求 t 的值 如图 7，当H 与 AB 相切时，QPAB，就是 BPBC BQBA ， 32 41 t 如图 8，当H 与 BC 相切时，PQBC，就是 BPBA BQBC ，t1 如图 9，当H 与 AC 相切时，直径 2222 (3 )(88 )PQPDQDtt， 半径等于 FC4所以 22 (3 )(88 )8tt 解得 128 73 t ，或 t0（如图 10，但是与已知 0t2 矛盾） 图 7 图 8 图 9 图 10 例 5 如图 1，已知抛物线 2 11 (1) 444 b yxbx （b 是实数且 b
14、2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C （1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直 11 角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形 均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第（2
15、）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等 2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示 3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点 Q 最大的可能在 经过点 A 与 x 轴垂直的直线上 满分解答满分解答 图 2 图 3 12 图 4 图 5 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互 余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况 这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应
16、成比例确定点 B 的位 置 如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？ 如果符合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾 例 6 如图 1，已知抛物线的方程 C1： 1 (2)()yxxm m (m0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧 （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BHEH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B
17、、C、F 为顶点的三角形与BCE 相似？ 13 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 思路点拨思路点拨 1第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当 H 落在线段 EC 上时，BHEH 最小 2第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线 BF，作CBFEBC45 ，或者作 BF/EC再 用含 m 的式子表示点 F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程 满分解答满分解答 （4）如图 3，过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于 F，过点 F 作 FFx 轴于 F 由于BCEFBC，所以当 CEBC CBBF ，即 2 BCCE BF时，BCEFBC 设点 F 的坐标为
18、1 ( ,(2)()xxxm m ，由 FFEO BFCO ，得 1 (2)() 2 2 xxm m xm 解得 xm2所以 F(m2, 0) 由 COBF CEBF ，得 2 4 4 mm BF m 所以 2 (4)4mm BF m 由 2 BCCE BF，得 2 22 (4)4 (2)4 mm mm m 整理，得 016此方程无解 14 图 2 图 3 图 4来源:Z#xx#k.Com 考点伸展考点伸展 第（4）题也可以这样求 BF 的长：在求得点 F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长 【变式训练】 1 如图， 在四边形中， 点 为边上一动点， 若 与是相似三角形，则满足条
19、件的点 的个数是（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 【答案】C 【解析】分类讨论 设，则， 15 ，设为 ，则，综上， 为 ， ，则满足题意， 有三个点. 2如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90 ，AD=2 ，BC=6 ，AB=7 ，点 P 是从点 B 出 发在射线 BA 上的一个动点，运动的速度是 1 /s，连结 PC、PD若PAD 与PBC 是相似三角形，则满 足条件的点 P 个数是（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【答案】A 【解析】 考点：相似三角形的判定与性质 3已知：如图，在长方形 ABCD 中,AB=4，AD=6.延长 BC 到点 E，使 CE=
20、2,连接 DE,动点 P 从点 B 出发， 以每秒 2 个单位的速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动,设点 P 的运动时间为 t 秒,当 t 的值为 （ ） 秒时， ABP 和DCE 全等 A1 B1 或 3 C1 或 7 D3 或 7 16 【答案】C 【解析】 4如图，在中，点 是边上一动点（不与 、 重合） ，交于 点 ，且，则线段的最大值为_ 【答案】 【解析】 过点 A 作 AGBC 于 G， 17 设 BD=x，则 CD=16-x， ADC=B+BAD，即ADE+CDE=B+BAD， CDE=BAD， C=B， ABDDCE， ，即， CE=， 当 x=8 时，EC 有最大值，最
21、大值为 6.4. 故答案为：6.4. 5如图， Rt ABC中， 90 ,8,3CACBC, , ,AEAC P Q分别是,AC AE上动点，且 PQAB，当AP=_时，才能使ABC和PQA全等. 【答案】3 或 8 【解析】试题解析：分为两种情况：当 AP=3 时， BC=3， AP=BC， C=90 ，AEAC， C=QAP=90 ， 在 RtABC 和 RtQAP 中， ABPQ BCAP RtABCRtQAP（HL） ， 18 6如图，在ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点 （不与 B，C 重合） ，ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 下列结论： ADEA
22、CD； 当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等； DCE为直角三角形时，BD为 8或； CD2=CECA 其中正确的结论是_ （把你认为正确结论的 序号都填上） 【答案】 【解析】 19 7如图，在中，点 是边上的动点（点 与点 、 不重合） ， 过动点 作交于点 若与相似，则_ 【答案】或 【解析】 BAC=90 ，PDAB， PDA=90 ， 又C=60 ， APD=30 或 60 时，ABC 与DAP 相似， APD=30 或 60 . 8如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线，经过点. (1)求抛物线的解析式 (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点
23、作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过 作轴于点 ，交抛物线于两点(点 位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 【答案】(1) ；(2) 点 的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ； 【解析】 20 (2) 由题意可知，四边形是矩形，所以. 由(1)可知， 当时，最短，即最短， 此时点 是的中点， 点 的坐标为，点 的坐标为 当时(如图 2)，则 、 关于抛物线的对称轴对称， 的坐标为，点 的坐标为， 当时(如图 3)，则是等腰直角三角形， 过点 作于点 ，设点 的坐标为， ，解得， . 21 9如图，抛物线与坐标轴交点分
24、别为，作直线 BC 求抛物线的解析式； 点 P 为抛物线上第一象限内一动点， 过点 P作轴于点 D， 设点 P 的横坐标为， 求 的面积 S与 t的函数关系式； 条件同，若与相似，求点 P 的坐标 【答案】（1）；（2）；（3） 点 P 的坐标为 或 【解析】 设点 P 的坐标为， 22 ， ， ； 解得：或舍去 ， ， 点 P 的坐标为， 综上所述点 P 的坐标为或 10如图，抛物线 2 0yaxbxc a的顶点坐标为2, 1，并且与y轴交于点0,3C，与x轴交于 A、B两点 （1）求抛物线的表达式 （2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行
25、 线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似若存 在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 23 【答案】 （1） 2 43yxx； （2） 2212，或 2212，或12，或41，. 【解析】试题分析： （1）设抛物线的表达式为 y=a（x-2）2-1（a0） ，将点 C 的坐标代入即可得出答案； （2） 由直线 BC 的解析式知，OBC=OCB=45 又由题意知EFD=COB=90 ，所以只有EFDCOB， 根据这种情况求点 E 的坐标即可 试题解析： （1）该抛物线的顶点坐标为2, 1，所以该抛物线的解析式为 2 21ya x，又该抛物线过点 0
26、,3C，代入 2 21ya x得： 413a ，解得1a ，故该抛物线的解析式为 2 2 214yxxx +3 如图，连接 DF 24 当 x=2-2时，y=-x+3=1+2； E1（2-2，1+2） 、E2（2+2，1-2） EDF=90 ；易知，直线 AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有： x2-4x+3=x-1，解得 x1=1、x2=4； 当 x=1时，y=-x+3=2； 当 x=4时，y=-x+3=-1； E3（1，2） 、E4（4，-1） 综上，点 E 的坐标为（2-2，1+2）或（2+2，1-2）或（1，2）或（4，-1） 11如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于 、
27、两点，抛物线过 、 两点，点 为线段上一动点，过点 作轴于点 ，交抛物线于点 25 求抛物线的解析式 求面积的最大值 连接，是否存在点 ，使得和相似？若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1） （2）存在点 ，使得和相似，点 的坐标为或 【解析】 如图，连接、过点 作轴于点 ， 设点 坐标为，则点 坐标为， 则， ， 26 ， 为等腰直角三角形，和相似 必为等腰直角三角形 若，则， ， ， ， 点 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或， ； 若，则， 在等腰直角三角形中， 27 12在平面直角坐标系中，抛物线与 轴的两个交点分别为 A（-3，0） 、B（1，0） ， 与 y
28、 轴交于点 D(0，3)，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H. （1）求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标； （2）连结 AD、CD，若点 E 为抛物线上一动点（点 E 与顶点 C 不重合） ，当ADE 与ACD 面积相等时， 求点 E 的坐标； （3）若点 P 为抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，过点 P 向 CD 所在的直线作垂线，垂足为点 Q， 以 P、C、Q 为顶点的三角形与ACH 相似时，求点 P 的坐标. 【答案】 （1）， （-1,4） （2）(-2，3)， （3）(-4，-5)，(，) 【解析】 （1）设抛物线的解析式为， 抛物线过点 A(-3，0),B(1，0)，
29、D(0，3)， 28 ，解得，a=-1，b=-2，c=3， 抛物线解析式为，顶点 C（-1,4） ； （3）若点 P 在对称轴左侧（如图 2） ，只能是CPQACH，得PCQ=CAH， ， 分别过点 C、P 作 x 轴的平行线，过点 Q 作 y 轴的平行线，交点为 M 和 N， 由CQMQPN， 得=2， MCQ=45 ， 设 CM=m，则 MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， P 点坐标为(-m-1，4-3m)， 将点 P 坐标代入抛物线解析式，得， 解得 m=3，或 m=0(与点 C 重合，舍去) P 点坐标为(-4，-5)； 若点 P 在对称轴右侧（如图） ，只能是PCQACH，得P
30、CQ=ACH， 29 ， 30 13抛物线过点和，点 P为 x轴正半轴上的一个动点，连接 AP，在 AP 右侧作，且，点 B 经过矩形 AOED的边 DE 所在的直线，设点 P 横坐标为 t 求抛物线解析式； 当点 D落在抛物线上时，求点 P 的坐标； 若以 A、B、D 为顶点的三角形与相似，请直接写出此时 t的值 【答案】 （1）抛物线的解析式为：； （2）； （3）当、时，以 A、B、D为顶点的三角形与相似 【解析】 解：由题意得， 解得 故抛物线的解析式为：； 31 假设在抛物线上，有， 解得 或， ， ， 即当时，点 D 落在抛物线上 当时，如图 1， 32 若， ， ， ，即，化简得
31、：， 解得： ， 当时，如图 2， 33 解得负根舍去 ， ，同理，此时 t无解 综合上述：当、时，以 A、B、D 为顶点的三角形与相似 14如图，已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线1x ， （ 0a ） ，且经过1,0A 、0, 3C两 点，与x轴交于另一点B，设D是抛物线的对称轴1x 上的一动点，且90DCB （1）求这条抛物线所对应的函数关系式 （2）求点D的坐标 （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合 条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 23yxx； （2）1, 4D； （3）
32、0,0， 1 0, 3 ， 9,0 34 （2）设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l，作DFy轴，垂足为F； 3OBOC， 1CFDF， 4OFOCCF， 1, 4D （3）连接AC，则容易得出COACAP，又PCABCD，可知RtRtCOABCD，得符合条 件的点为0,0P 35 15如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，3） ，顶点为点 M （1）求抛物线的解析式及点 M 的坐标 （2）点 P 是直线 BC 在 y 轴右侧部分图象上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与AOC 相似， 求符合条件的 P 点坐标 （3）过点 C
33、 作 CDAB，CD 交抛物线于点 D，点 Q 是线段 CD 上的一动点，作直线 QN 与线段 AC 交于 点 N，与 x 轴交于点 E，且BQEBDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标 36 【答案】 （1）yx22x3,M（1，4）;（2）P1（ ， ） ，P2（3，0）;（3）E（10，0） 来源:+网 Z+X+X+K 【解析】 （2）连接 MC，作 MFy轴于点 F，则点 F坐标为（0，4） MF1，CF3(4)1， MFCF，MC FCMFMC45 B（3，0） ，C（0，3） ，OBOC3 而BOC90 ，OCBOBC45 MCB180 OCBFCM90 由此可知，MCP90
34、 ，则点 O与点 C必为相似三角形对应点 过点 P 作 PHy轴于 H 若有PCMAOC，则有 CP PCH45 ，CP， PHCH OHOCCH3 P1（ ， ） ； 37 （3）过点 Q作 QGx轴于点 G 设点 E的坐标为（n，0） ，Q的坐标为（m，3） CDx轴， D 的纵坐标为3 把 y3 代入 yx22x3， x0或 x2 D（2，3） B（3，0） ， 由勾股定理可求得：BD Q（m，3） ， QD2m，CQm（0m2） BQEBDC，EQCBQEBDCQBD， EQCQBD 又由抛物线的轴对称性可知：NCQBDC， NCQQDB CN(m22m)(m1)2 当 m1时，CN可
35、取得最大值此时 Q的坐标为（1，3） 38 BQ2QDEB，即 131 (3n)， n10 E 的坐标为（10，0） 16如图，在平面直角坐标系 xOy中，将抛物线 y=x2平移，使平移后的抛物线经过点 A（3，0） 、B（1， 0） (1)求平移后的抛物线的表达式 (2)设平移后的抛物线交 y轴于点 C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点 P，当 BP 与 CP 之和最小时，P 点坐标是多少？ (3)若 y=x2与平移后的抛物线对称轴交于 D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点 M，使 得以 M、O、D为顶点的三角形BOD 相似？若存在，求点 M 坐标；若不存在，说明理由 【答
36、案】 （1）y=x2+2x3； （2）点 P 坐标为（1，2） ； （3）点 M 坐标为（1，3）或（1，2） 【解析】 39 （2）y=x2+2x3=（x+1）24， 抛物线对称轴为直线 x=1，与 y轴的交点 C（0，3） ， 则点 C关于直线 x=1的对称点 C（2，3） ， 如图 1， 连接 B，C，与直线 x=1 的交点即为所求点 P， 由 B（1，0） ，C（2，3）可得直线 BC解析式为 y=x1， 则， 解得， 所以点 P 坐标为（1，2） ； （3）如图 2， 40 BOD=135 ， 点 M 只能在点 D上方， B OD=ODM=135 ， 当或时，以 M、O、D为顶点的三
37、角形BOD 相似， 若，则，解得 DM=2， 此时点 M坐标为（1，3） ； 17已知抛物线的图象经过点、，顶点为 ，与 轴交于点 求抛物线的解析式和顶点 的坐标； 如图 ， 为线段上一点，过点 作 轴平行线，交抛物线于点 ，当的面积最大时，求点 的坐标； 如图 ，若点 是直线上的动点，点 、 、 所构成的三角形与相似，请直接写出所有点 的坐 41 标； 如图 ，过 作轴于 点，是 轴上一动点， 是线段上一点，若，则 的最大 值为_，最小值为_ 【答案】(1)抛物线解析式为 y=x2+2x+3，顶点坐标 E(1,4).（2）P( , ).（3）Q 点坐标为(3,0),(3,6), ( , )，
38、 ( ,).（4）m 的最大值为 5,最小值为54. 【解析】 (1)抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点 A(1,0)、B(3,0)， , 解得， 抛物线解析式为 y=x2+2x+3， 顶点坐标 E(1,4). (2)如图 1 中， 42 0， 当 a= 时,BDC 的面积最大,此时 P( , ). (3)如图 2 中，来源: C(0,3),E(1,4),B(3,0)， 直线 EC 的解析式为 y=x+3，直线 BC 的解析式为 y=x+3， 1 (1)=1， ECBC， ECB=90， 43 (4)如图 3 中，过 C 作 CHEF 于 H 点，则 CH=EH=1， 当 M 在 EF
39、左侧时， MNC=90， 则MNFNCH， ， 44 作 EMCE 交 x 轴于点 M,则FEM=45， FM=EF=4， OM=5， 即 N 为点 E 时，OM=5，此时 m 的值最大， m5， m 的最大值为 5,最小值为54， 18如图，已知抛物线的对称轴是 y 轴，且点（2，2） ， （1， 5 4 ）在抛物线上，点 P 是抛物线上不与顶点 N 重合的一动点，过 P 作 PAx 轴于 A，PCy 轴于 C，延长 PC 交抛物线于 E，设 M 是 O 关于抛物线顶点 N 的对称点，D 是 C 点关于 N 的对称点 （1）求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标； （2）求证：四边形 PMDA
40、是平行四边形； （3）求证：DPEPAM，并求出当它们的相似比为3时的点 P 的坐标 【答案】 （1） 2 1 1 4 yx， N（0，1） ； （2）证明见解析； （3）证明见解析，P（2 3，4）或（2 3， 4） 45 【解析】 （3）解：同（2）设 P（t， 2 1 1 4 t ） ，则 C（0， 2 1 1 4 t ） ，PA= 2 1 1 4 t ，PC=|t|，M（0，2） ，CM= 2 1 1 4 t 2= 2 1 1 4 t ，在 RtPMC 中，由勾股定理可得 PM= 22 PCCM = 222 1 (1) 4 tt = 22 1 (1) 4 t = 2 1 1 4 t =
41、PA，且四边形 PMDA 为平行四边形，四边形 PMDA 为菱形，APM=ADM=2PDM， PEy 轴，且抛物线对称轴为y 轴，DP=DE，且PDE=2PDM，PDE=APM，且 PDDE PAPM ， DPEPAM； OA=|t|， OM=2， AM= 2 4t ， 且 PE=2PC=2|t|， 当相似比为3时， 则 AM PE =3， 即 2 2 4 t t =3，解得 t=2 3或 t=2 3，P 点坐标为（2 3，4）或（2 3，4） 来源:ZXXK 考点：二次函数综合题；压轴题 19如图 1，抛物线 2 yxbxc 经过 1,0A ， 4,0B 两点，与 y 轴相交于点 C，连接
42、BC点 P 为抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l，交直线 BC 于点 G，交 x 轴于点 E 求抛物线的表达式； 46 当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时，过点 C 作 CF 直线 l， F 为垂足当点 P 运动 到何处时，以 P， C， F 为顶点的三角形与 OBC 相似?并求出此时点 P 的坐标； 如图 2，当点 P 在位于直线 BC 上方的抛物线上运动时，连接 PC， PB请问 PBC 的面积 S 能否取得最大值?若能，请求出最大面积 S，并求出此时点 P 的坐标；若不能，请说明理由 【答案】 （1）抛物线的表达式为 2 34yxx ;（2）点 P 的坐标为 2,6 或
43、 4,0;（3）当 2t 时， PBC 的面积 S 能取最大值 8，此时 P 点坐标为 2,6 （2） C 点坐标为 0,4， BOC 为等腰直角三角形，且 BOC 为直角 P， C， F 为顶点的三角形与 OBC 相似， PCF 为等腰直角三角形， 又 CF 直线 l， PFCF 设 2 ,340P tttt，则 CFt， 22 3443PFtttt 2 3ttt， 2 3ttt ，解得 2t 或 4t 点 P 的坐标为 2,6 或 4,0 47 20如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（3，3）及原点 O，顶点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物
44、线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求 点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0） ，且过 A（2，0） ，B（3，3） ，O（0，0）可 得 ， 解得 故抛物线的解析式为 y=x2+2x； 48 （3）存在， 如上图：B（3，3） ，C（1，1） ，根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20， BO2+CO2=BC2 BOC 是直角三角形 假设存在点 P，使以 P，M，A 为顶点的 三角形与BOC 相似， 设 P（x，y） ，由题意知 x0，y0，且 y=x2+2x， 49 【解析】略
